2.1.1 合情推理(归纳类比推理)
归纳推理
哥德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…，
注⑴ 一个偶数(不小于6)总可表示成两个奇质数之和； ⑵ 没有发现反例 .
A
D
C
B
Ex1（2004广东，15）
由图(1)有面积关系:
SPAB PA PB SPAB PA PB VP ABC PA PB PC VP ABC PA PB PC
B
B
则由图(2)有体积关系:
B
B
C
P
图(1)
A
A
C
P A
1 000＝29+971，…
归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物
的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实
概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的 推理. (部分
归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法. 不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严 格的证明,但它可以为我们的研究提供一种方向.
⑥ a b a1b1 a2b2 0 ⑥ a b a b a b a b 0 1 1 2 2 3 3
⑦ | a | a12 a22
⑦ | a | a12 a22 a32
示例1.(2003年新课程)在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则 AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的 勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的 关系，可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD 的三个侧面 ABC、 ACD、ADB 两两互相垂直， 2 2 2 2 则 SBCD SABC SACD SADB .
举例2.利用平面向量的性质类比空间向量的性质
平面向量
若 a (a1 , a2 )， b (b1 , b2 )则
① a b (a1 b1 , a2 b2 )
空间向量
若a (a1 , a2 , a3 )， b (b1 , b2 , b3 ) 则
① a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ③ a (a1 , a2 )( R) ③ a (a1 , a2 , a3 )( R)
示例2： 磨擦双手（S ）能产生热（P）， 敲击石头（S ）能产生热（P） ， 锤击铁块（S ）能产生热（P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 物质运动能产生热 所以,_____________________;
1
2
3
示例3.观察下图,可以发现怎样的结论: 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分 析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理, 我们把它们统称为合情推理. 简言之，合情推理是指“合乎情理”的推理。
图(2)
A
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想.即 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论
归纳推理和类比推理的共同点
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 n n
(可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.)
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想.即:
试验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
归纳推理的几个特点:
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性.
整体)
(个别
一般)
示例1： 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象,它们受热 后分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼此距 离加大,从而导致体积膨胀. 所有的金属受热后都体积膨胀 所以,_____________________________;
(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分
割成 n
2
1 2 条线段?同时将圆分割成 2 ( n n 2)部分?
分析:
f (2) f (1) 2
f (3) f (2) 3 f (4) f (3) 4
………
f (n) f (n 1) n
累加得: f (n) f (1) 2 3 4 n
④
⑤ a // b a1 b1 , a2 b2 ( R) ⑤ a // b a b , a b , a b ( R) 1 1 2 2 3 3
a b a1b1 a2b2
④ a b a1b1 a2b2 a3b3
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯. 2.仿照鱼类的外型和其在水中沉浮的原理,发明潜水艇. 3.科学家对火星研究,发现其与地球有许多类似的特征: 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物 的生存,等等. 科学家猜想:火星上也可能有生命存在. 4.利用平面向量基本定理类比得到空间向量基本定理.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析 的基础上,提出带有规律性的结论(需证明),由此可作 为进一步研究的起点,从而发现问题和提出问题.
练2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分,画两条线段, 彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线 段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.则有： (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 16 条线段?同时将 圆分割成 11 部分?
1+3+…+(2n－1)=n2
示例4:
.已知数列{an}的第1项a1=1，且
a n 1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
an 解法:分别把n=1,2,3,4代入an1 得: 1 an 1 1 1 1 a 2 , a 3 , a4 , a5 2 3 4 5
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比 推理,简称:类比法.
1.类比推理定义
2.类比推理的几个特点
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． (1)类比是从人们已掌握的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧的认识为基础,类比出新的结果. (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊 属性. (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的 功能.
合情推理(类比推理)
一般地，如果类比的相似性越多，相似 的性质与推测的性质之间越相关，那么类 比得出的命题就越可能为真。 例1．找出圆与球的相似性质，并用圆的下 列性质类比球的有关性质： （1）圆心与弦(非直径)中点的连线垂直 于弦； （2）与圆心距离相等的两弦相等； （3）圆的周长C=πd（d是直径）； （4）圆的面积S=πr2.
这种根据两类不同事物之间具有某些类 似（或一致）性，推测其中一类事物具有 与另一类事物类似（或相同）的性质的推 理，叫做类比推理（简称类比），类比属 于合情推理。
下面我们通过一个例子来得出类比的一 般步骤。 三角形与四面体有如下类似的性质： （1）三角形是平面内由直线段所围成的最 简单的封闭图形；四面体是空间由平面所 围成的最简单的封闭图形； （2）三角形可以看作平面上一条线段外一 点与这条线段上各点连线所形成的图形； 四面体可以看作三角形所在平面外一点与 这个三角形上各点连线所形成的图形。
2.1.1合情推理 （类比推理）
（一）类比推理 在学习空间向量时，我们是这样推测空 间向量的基本定理的： 由于平面向量与空间向量都是既有大小 又有方向的量，并且两者具有类似(或一致) 的运算性质(如都具有加法的交换律和结合 律等)，因此根据平面向量的基本定理，我 们推测空间向量也具有类似的性质：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对于 空间任一向量 p ，存在一个惟一的有序 实数组x，y，z，使 p xa yb zc
其中前三个类比得到的结论是正确的，
最后一个猜测则是错误的。由此可见，类
比的结论值具有或然性，即可能真，也可
能假。 但它所具有的有特殊到特殊的认识功能， 等于发现新的规律和事实却是十分有用的。
虽然有类比所得到的结论未必是正确的，
例2．试根据等式的性质猜想不等式的性质 等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等 (3) a＞ba2＞b2;等等 问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 答：(1)对；(2),(3)不对。
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
2.1.1合情推理-类比推理2
例3、试将平面上的圆类比空间的球. 1.定义的类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合. 2.圆的元素 类比 得出球的元素
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
3.圆的性质类比得出球的性质 球的概念和性质 圆的概念和性质
类比推理
一.复习:
1.归纳推理是从 个别 事实中概括出 一般 结论 的一种推理模式.归纳推理的思维过程大致是: 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
以下哪项最可能是爸爸讲给儿子们听的话？
A. 一个人的爱好是会变化的。爸爸小时候很爱吃糖，你奶 奶管也管不住。到现在，你让我吃我都不吃。
B. 什么事儿都有两面性。咱们家养了猫，耗子就没了。但 是，如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的。 C. 动物有时也通人性。有时主人喂它某种饲料吃得很好， 若是陌生人喂，怎么也不吃。
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦 球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半 径的圆的方程 为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
2.1.1合情推理
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
小结：
(1)合情推理的含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、 分析、比较 、联想 ，再进行 归纳 、类比 ，然后提出猜想 的推 理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程：
从具体问题出发
类比推理
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特 征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
类比推理
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
距圆心较近的弦较长
截面圆不等，距球心较近的
截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半 球的切面垂直于过切点的半
径；经过圆心且垂直于切线 径；经过球心且垂直于切面
的直线必经过切点
的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直 经过切点且垂直于切面的直
线必经过圆心
线必经过球心
类比推理
“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往 往有赖于平面几何的类比问题.”
所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
2013-2014学年高二数学1-2导学案：2.1.1合情推理-类比推理
类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是 、 、 、 ，P到这四个面的距离依次是 、 、 、 ，则有_________________。
【课后巩固】
1.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．类比到空间，有两个棱长均为 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．
新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由
到的推理.
新知：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.
【课堂研讨】
例1在 中，两直角边 ， ，斜边 上的高为 ，
(1)、 (2)、 (3)、 （ 分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）
(4)、
3.在平面直角坐标系中，直线一般方程为 ，圆心在 的圆的一般方程为 。
则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,
球心在 的球的一般方程为_______________________.
课题：2.1.1合情推理——类比推理检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1.类比平面向量基本定理:“如果 是平面 内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量 ，有且只有一对实数 ，使得 ”，写出空间向量基本定理是：
。
2.三角形的面积为 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为
江苏省沭阳高级中学学案 2-2 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理-------类比推理学生版
省沭中高二年级数学学案02 主备仲飞审校审批班级学号姓名同伴评价老师评价我们的责任：修炼自我，精工学业，同伴互助，追求卓越。
老师寄语：课前预习不可少，自主质疑效果好；课上跟着目标跑，合作探究是法宝；知识网络要织巧，理论清晰又明了；达标训练讲效率，拓展提升很重要；格式合理讲效率，要点全面话要巧。
高效课堂要旨：设疑性引导，高效率自学；生活化导入，总揽式介绍；互动式探究，理论性归纳；针对性达标，网络化小结；拓展式提升，开放性思考。
2.1.1合情推理(第2课时)类比推理 学案(含答案)
2.1.1合情推理（第2课时）类比推理学案（含答案）第2课时类比推理学习目标1.了解类比推理的含义.特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征1火星也是绕太阳公转.绕轴自转的行星；2有大气层，在一年中也有季节更替；3火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理答案类比推理梳理1类比推理的定义根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法2类比推理的思维过程大致如图3特征由特殊到特殊的推理知识点二合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系答案区别归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗答案不一定正确梳理1合情推理的含义合情推理是根据已有的事实.正确的结论.实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2合情推理的过程1由合情推理得出的结论一定是正确的2合情推理必须有前提有结论3类比推理不能猜想类型一数列中的类比推理例1设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列答案解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列下面证明该结论的正确性设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，，，成等比数列反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论其中d，q分别是公差和公比，m，n，p，rN*等差数列等比数列定义anan1dn2anan1qn2通项公式ana1n1dana1qn1性质若mnpr，则amanapar若mnpr，则amanapar跟踪训练1若数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列；类比上述性质，相应地若数列cnnN*是等比数列，且cn0，则有数列dn______________nN*也是等比数列答案解析数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列类比猜想若数列cnnN*是各项均为正数的等比数列，则当dnnN*时，数列dn也是等比数列类型二几何中的类比推理例2如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立反思与感悟1类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目.位置关系.度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论2中学阶段常见的类比知识点等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练2在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想解在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，，，则cos2cos2cos21.类型三合情推理的应用例3我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢1类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；2探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；3在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.解1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列2由1知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等3当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k1abaabaab；当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kkabab所以它的前n项和Sn反思与感悟定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性跟踪训练3定义“等积数列”在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为6，求这个数列的前n项和Sn.解由定义，得an前n项和Sn1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则“mnnm”类比得到“abba”；“mntmtnt”类比得到“abcacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn||m||n|”类比得到“|ab||a||b|”以上类比得到的正确结论的序号是________答案2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________填序号三角形；梯形；平行四边形；矩形答案解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________答案18解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.4已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则类似结论为________________答案a1a2a929解析等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a929.5三角形的面积为Sabcr，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为_____________________________________答案S1S2S3S4rS1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径解析ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比设四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以VS1S2S3S4r.1在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2提高所得结论的准确性的常用技巧1类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些2这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性3这些共同相似属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.。
2.1.1 合情推理(2)—— 类比推理(瓯海中学 迟立祥)
作业： 作业：
1、教材77页练习第 题； 、教材 页练习第 页练习第3题 2、阅读教材82页《阅读与思考》 、阅读教材 页 阅读与思考》
A对象具有性质 对象具有性质
a , b, c , d
d。 '
；B对象具有性质 对象具有性质
相同或相似）。 ）。推 a ', b ', c （ a, b, c与 a ', b ', c '相同或相似）。推 ' 测，B对象具有性质 对象具有性质
综合运用： 综合运用：
1 bn = (a1 + a2 + L + an )(n ∈ N ∗ ) 为等差数列,设 例1：若{an }为等差数列 设 ： n 也为等差数列。类比上述性质， 则{bn }也为等差数列。类比上述性质，若 {cn } 为等比数
有生命存在
可能有生命存在
推测这一结论的思维过程： 推测这一结论的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
猜测 地球上有生命存在 火星上有生命存在
初步体验： 初步体验：
类比圆与球，根据圆的性质给出球的相关性质 类比圆与球，根据圆的性质给出球的相关性质.
.
.
圆的性质
球的性质
.
圆心与 非直径)中点连线垂直于弦. 圆心与弦(非直径)中点连线垂直于弦.
减法 0
a b=b a (a b) c = a (b c)
除法 1
法国数学家伽罗瓦正是通过类比不同的集合及其运算 性质，从中归纳出共同的结构，从而提出了“ 性质，从中归纳出共同的结构，从而提出了“群”的理论。 的理论。 本题中的4个类比角度就是刻画“ 的运算的4个方面 个方面。 本题中的 个类比角度就是刻画“群”的运算的 个方面。 个类比角度就是刻画
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第2章 2.1.1 合情推理
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现中的作用.[基础·初探]教材整理1 归纳推理和类比推理阅读教材P26～P27及P30例3以上内容，完成下列问题.1.归纳推理2.类比推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理.( )【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 合情推理阅读教材P26，完成下列问题.1.含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1an ＋1，则a 2 017等于( ) A.2 B.－12 C.－2D.1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：37820008】图2-1-1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：[再练一题]1.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2-1-2A.26B.31C.32D.36(2)把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第七个三角形数是________.图2-1-3【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28如图2-1-4所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，pb ，pc ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pchc ＝1.图2-1-4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 pa ha ＝12BC·pa 12BC·ha ＝S △PBCS △ABC ，同理，pb hb ＝S △P AC S △ABC ，pc hc ＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pdhd ＝1.证明如下：pa ha ＝13S △BCD·pa 13S △BCD·ha＝VP-BCDVA-BCD ，同理，pb hb ＝VP-ACD VA-BCD ，pc hc ＝VP-ABD VA-BCD ，pd hd ＝VP-ABCVA-BCD . ∵V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC ＝V A BCD ， ∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pd hd＝VP-BCD ＋VP-ACD ＋VP-ABD ＋VP-ABCVA-BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：2.(1)找出两类事物之间的类似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]探究1 ”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理. 探究2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是什么？【提示】 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋). 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n (n <17，n ∈N ＋). 相应地，在等比数列{b n }中有： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则 N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点， 所以n 2＝b2a2m 2－b 2.同理y 2＝b2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.可类比得到的结论是________.【导学号：37820009】【解析】 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300[构建·体系]1.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5).图2-1-5则第n 个正方形数是( ) A.n (n －1) B.n (n ＋1) C.n 2D.(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 【答案】 C2.如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )【导学号：37820010】图2-1-6A.a n ＝3n －1B.a n ＝3nC.a n ＝3n －2nD.a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 【答案】 A3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr 2D.无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3anan ＋3. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n.【解】(1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想a n＝3n＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。