高考数学复习点拨 归纳推理与类比推理异同点比较
高考数学推理与证明疑难知识点辨析
高考数学推理与证明疑难知识点辨析一、基础知识总结与归纳1.推理一般包括合情推理和演绎推理。
2.。
合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
归纳、类比是合情推理常用的思维方法。
3.。
归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。
4.。
归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理。
6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理。
8.分析法：从原因推导到结果的思维方法。
9.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
10.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真。
归纳推理、类比推理
归纳推理、类比推理第三周归纳推理、类比推理一、归纳推理(一)归纳推理：以个别或特殊性知识为前提，推出一般性结论的推理。
它包括完全归纳和不完全归纳，两者的区别在于前者考察了一类中的每一个对象，而后者只考察了一类中的部分对象。
其逻辑结构：S1是(不是)P S1是(或不是)PS2是(不是)P S2是(或不是)PS3是(不是)P S3是(或不是)P…………Sn是(不是)P Sn是(或不是)PS1、S2、S3……Sn是S类的全部对象S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象所以，所有的S是(不是)P 所以，所有的S都是(或不是)P根据前提中是否考察了事物对象与其属性之间的内在联系，不完全归纳推理分为简单枚举法和科学归纳法。
1.简单枚举归纳推理又叫做简单枚举法，它是根据一类事物对象中部分对象具有(或不具有)某种属性，推出该类对象全体都具有(或不具有)这种属性的推理。
其逻辑形式是：S1是(不是)PS2是(不是)PS3是(不是)P……Sn是(不是)P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且没有出现反例)———————————————————————————所以，所有的S是(不是)P2.科学归纳法科学归纳推理又叫做科学归纳法，它是根据一类对象中的部分对象与其属性之间的联系具有必然性，推出该类对象的全部都具有这种属性的推理逻辑结构式S1是PS2是PS3是P……Sn是P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且S与p之间有必然联系)——————————————————所以，所有的S是P(二)因果联系：事物之间引起和被引起的关系。
因果联系的特征有：不能颠倒的先因后果、一个原因可以引起多个结果、一个结果也可以由不同原因引起。
求因果方法：五种基本方法。
1.求同法，即寻求被研究的事物现象出现在若干不同场合，是否具有某种共同原因的方法，其特点是异中求同。
形式结构：场合先行情况被研究现象(1) A、B、C a(2) A、D、E a(3) A、F、G a………………………————————————————所以，A与a有因果联系。
高考数学复习点拨归纳推理与类比推理异同点比较
归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.一.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.二.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n=．【答案】a n=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O 分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得++=++。
归纳推理和类比推理
第三，就结论与其前提旳联络情况而论， 归纳推理（完全归纳推理除外）旳结论与其前 提间只具有或然性旳联络，而演绎推理有效式 旳前提与结论间具有蕴涵关系即必然性旳联络。
其形式可用公式表达为： S1是P， S2是P， ……， Sn是P； S1，S2，……，Sn是S类旳部分对象； 而且，没有遇到反例。 所以，全部S都是P。
2.简朴枚举法旳特征
简朴枚举法旳结论所断定旳范围超出 了前提所断定旳范围，前提与结论之间 旳联络是或然旳，而且，其结论旳推出 依赖于没有遇到反例，没有遇到反例并 不等于反例不存在，一旦发觉反例，结 论立即被推翻，所以，它具有猜测旳性 质。
6.2完全归纳推理
6.2.1什么是完全归纳推理 完全归纳推理是根据某类事物中每一对象都具
有某种属性，推出该类事物对象都具有某种属性旳推 理。
例如： 北京市旳人口总数超出900万， 天津市旳人口总数超出900万 ， 上海市旳人口总数超出900万， 重庆市旳人口总数超出900万； 北京、天津、上海、重庆是中国旳四个直辖市。 所以， 中国全部旳直辖市旳人口总数都超出了900 万。
了，有旳是必然旳、本质旳，有旳是偶尔旳、非本质
旳，两类事物之间有某些相同旳属性，并不必然表白
其他属性也会相同。类比推理仅仅根据局部旳简朴比
较进行推理，并不详细分析属性之间旳联络旳性质，
不能精确掌握属性间旳关系，所以推理旳结论经常是
不一定可靠，是或然旳，就是说，它旳前提不必然地 制约着它旳结论。
6.4.3怎样提升类比推理结论旳ห้องสมุดไป่ตู้靠性
演绎推理,归纳推理,类比推理的联系和区别
演绎推理,归纳推理,类比推理的联系和区别古今中外，推理一直是重要的智力活动，可以从多个角度分析事物本质，并做出合理的判断。
演绎推理、归纳推理、类比推理是三种最常用的推理方法，它们之间有着内在的关联，也存在着明显的区别。
首先，演绎推理和归纳推理是比较对立的两种推理方式。
演绎推理是从一般性原理出发，推断出特殊性结果的推理方法，它是比较常用的推理，比如，根据生物学原理推断出某种特定的生物性状。
另一方面，归纳推理是从特定的事例中吸取普遍的结论，即将特定的事例概括为一般的原理的推理方法。
比如，尝试的推测出一般的动物特征。
其次，类比推理是从两个不同的事例中找出相似之处，然后把它们之间的相似之处用于推理的方法。
类比推理的特点是，不仅要根据已有的知识，还要融合思维，引出一些新的结论。
比如，从一个犯罪事件中，类比出另一个犯罪事件，从而发现新的犯罪行为。
最后，演绎推理、归纳推理、类比推理之间存在着明显的关联。
演绎推理是从一般性原理出发，推断出特殊性结果；归纳推理是从特定的事例中提炼出一般的原则；类比推理是从两个不同的事例中发现相似之处，进行推理。
三种推理方法子间关系密切，演绎推理是归纳推理的前提，归纳推理在类比推理中也发挥重要作用。
总之，演绎推理、归纳推理、类比推理是推理中最重要的三种方法，它们不仅有着内在的关联，更有着一定的差异性。
在做出判断时，需要根据事实，选择不同的推理方式，以解决实际问题。
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高考数学推理与证明疑难知识点辨析
一、基础知识总结与归纳
1.推理一般包括合情推理和演绎推理。
2.。
合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
归纳、类比是合情推理常用的思维方法。
3.。
归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。
4.。
归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理。
6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理。
8.分析法：从原因推导到结果的思维方法。
9.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。
10.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法。
应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真。
归纳与类比
n
例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下 列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?
2
1
3
n=1时,
f (1) 1
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3
1.完全归纳推理
（1）完全归纳推理的形式 根据一类事物中每一个对象都具有(或 不具有)某种属性，推出该类事物都具有(或 不具有)这种属性的归纳推理。 我的血型是A型； 我儿子的血型是A型； 我先生的血型是A型； 我家就这三口人； 所以，我家人都是A型血。
（2）完全归纳推理的逻辑要求
两个要求： ①前提所考察的对象是某类思维对象的 全部，无一遗漏； ②前提对每一对象的考察都是真实的。
类比推理的含义
类比推理是根据两个或者两类思维对象 在某些属性上相同或相似，从而推出它们在 其它属性上也相同或相似的推理。 它是一种非必然推理，其结论是或然的。 但它是人们常用的推理。 鲁班发明锯子就运用了一个类比推理：
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
小结
1.什么是归纳推理（简称归纳）? 部分 整体
个别
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明 了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发 明了潜水艇.又比如武术 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征: 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些 已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在. 4.利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.
归纳推理及类比推理
二、差异法（求异法）
1、含义：如果在不同的场合，只有一个情况是不同的，其他的情况完全相
同，那么这个惟一不同的情况就同被研究现象有因果关系。 2、用公式表示为：
场合 相关情况ห้องสมุดไป่ตู้被研究现象
（1） （2） A、B、C B、C a —
所以，A与a之间有因果关系
三、求同求异并用法（契合差异并用 法）
1、含义：如果被研究现象出现的若干场合（正事例组）中，只 有一个共同的情况，而在被研究现象不出现的若干场合（负事 例组）中，却没有这个情况，那么这个情况就与被研究现象之 间有因果联系。 2、用公式表示为： 场合 相关情况 被研究现象 （1） A，B，C，F a （2） A，D，E，Q a （3） A，F，Q，C a …… …… …… （11） ﹁ A，B，C，F ﹁ a （22） ﹁ A，D，E，Q ﹁ a （33） ﹁ A，F，Q，D ﹁ a 所以，A与a 之间有因果关系
归纳推理、类比推理及假说
一、什么叫归纳推理：
就是以若干个个别性或特殊性知识作为前 提，推出一个一般性知识作为结论的推理。 简单说就是从个别推出一般结论的推理。 由于它的结论的知识超出了前提知识的范 围，所以，归纳推理是一种或然性推理。
二、归纳推理与演绎推理的关系
1、区别：
1）从思维过程的方向看，演绎是从一般到个 别，归纳是从个别到一般
2）从前提和结论的性质看，演绎推理的结论 不超出前提所断定的范围，即前提真，形式正 确，结论必真，而归纳推理的结论却超出了前 提所断定的范围，其前提和结论的关系不是必 然的 ，而具有或然性，即前提真结论假是可 能的，即使前提都真，也不能保证结论必然真。 2、联系：它们互相依赖、补充。演绎推理的 大前提是由归纳推理提供的，归纳推理离不开 演绎推理
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归纳推理与类比推理异同点比较
合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.
一.归纳推理和类比推理的联系:
归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.
二.归纳推理和类比推理的区别:
(一) 归纳推理
1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
说明：归纳推理的思维过程大致如下：
2.归纳推理的特点:
（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.
3.归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同本质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．
说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．
(二).类比推理（以下简称类比）
1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2. 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：
类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.
例 1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n= ．
【答案】 a n=3n2-3n+1.
【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.
【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.
例2.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，
B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．
分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作
OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一
命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O 分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．
证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，
则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得
++=++。
在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：
++=1。
∴++=1。
【知识小结】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比,平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．。