归纳推理与类比推理

归纳推理与类比推理一、基础知识： （一）归纳推理：1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理2、处理归纳推理的常见思路：（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 （2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型：（1）函数的迭代：设f 是D D →的函数，对任意x D ∈，记()()()()()()()()()()()()0121,,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其()()n f x 通常具备某些特征（特征与n ）有关。

在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到()()n f x 的通式（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。

（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式）（4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。

对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。

横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标a进行表ij示，其中i代表行，j代表列。

例如：a表示第3行第4列。

在题目中经34常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。

（二）类比推理：1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）2、常见的类比类型及处理方法：（1）运算的类比：通常是运算级数相对应：①加法↔乘法，②数乘（系数与项的乘法）↔指数幂③减法↔除法（2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。

例如①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则：代数中的平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，和差完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+ 均可推广到向量数量积中：()()22a b a b a b -=+-，()2222a ba ab b ±=±⋅+②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理）（3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。

所以在某些性质中体现出运算上的类比。

例如：设{}n a 为等差数列，公差为d ；{}n b 为等比数列，公比为q ，则 ① 递推公式：11n n n nb a a d q b ++-=↔= ② 通项公式：()1111n n n a a n d b b q -=+-↔=⋅③ 双项性质：m n p q m n p q m n p q a a a a m n p q b b b b +=+⇔+=+↔+=+⇔= ④ 等间隔取项，在数列{}n a ，{}n b 中等间隔的取项： 则12,,,mk k k a a a 成等差数列12,,,mk k k b b b ↔ 成等比数列（4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如： ①位置关系：平面中的线的关系↔空间中的面的关系，线所成的角↔线面角或二面角，②度量：线段长度↔图形的面积，图形面积↔几何体体积，点到线的距离↔点到平面距离③衍生图形：内切圆↔内切球，外接圆↔外接球，面对角线↔体对角线（5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标(),x y ↔空间直角坐标系坐标(),,x y z ，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如： ① 线段中点坐标公式：平面：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭空间：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,222x x y y z z M +++⎛⎫⎪⎝⎭ ② 两点间距离公式：平面：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB =空间：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB =3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。

在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论 二、典型例题： 例1：已知()xxf x e =，定义()()()()()()'''1211,,,n n f x f x f x f x f x f x +===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，经计算()()()123123,,,,x x xx x xf x f x f x e e e ---=== 照此规律，则()20151f =（ ） A. 2015- B. 2015 C. 2014eD.2014e -思路：由定义可知：()n f x 即为()1n f x -的导函数，通过所给例子的结果可以推断出()()1nn x x n f x e -=-，从而()20152015x x f x e -=，所以()201520141f e= 答案：C例2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ）A. 61B. 90C. 91D. 127思路：从所给图中可发现第n 个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且这个正六边形的每条边有n 个小正方形，设第n 个图的蜂巢总数为()f n ，则可知()f n 比()1f n -多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。

即66n - （每条边n 个，其中顶点被计算了两次，所以要减6），所以有()()()161f n f n n --=-，联想到数列中用到的累加法，从而由()()()()21612133f n f n n n n -=⨯-+-++=-⎡⎤⎣⎦，且()11f = 则()2331f n n n =-+。

代入6n =可得()263636191f =⋅-⨯+=答案：C例3：将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字2014出现在（ ）A. 第44行第78列B. 第45行第78列C. 第44行第77列D. 第45行第77列思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第k 行最后一个数为2k ，所以考虑离2014较近的完全平方数：22441936,452025==，所以2014位于第45行，因为1936是第44行的最后一个数，所以2014为第45行中第()2014193678-=个数，即位于第45行第78列 答案：B例4：已知结论：“在ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即sin sin sin a b cA B C==”，若把该结论推广到空间，则结论为：“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD ，平面BCD 所成的角为,αβ，则有（ ） A. sin sin BC AD αβ= B. sin sin AD BCαβ= C.sin sin BCD ACD S S αβ= D. sin sin ACD BCD S Sαβ= 思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为线面角，所以可将正弦定理的边长（一维度量）类比推广为面积（二维度量），正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积，即α所对的侧面为平面BCD ，β所对的侧面为平面ACD ，所以猜测sin sin BCD ACDS S αβ=，再考虑证明其正确性。

证明过程如下： 证明：分别过,B A 作平面ACD ，平面BCD 的垂线，垂足分别为,E F 由线面角的定义可知：,BAE ABF αβ∠=∠=11sin 33B ACD ACDACD V SBE S AB α-∴=⋅⋅=⋅⋅⋅ 同理：11sin 33A BCD BCD BCD V S AE S AB β-∴=⋅⋅=⋅⋅⋅11sin sin sin sin 33ACD BCD ACD BCDS AB S AB S S αβαβ∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒⋅=⋅sin sin BCD ACDS S αβ∴=得证 答案：C例5：三角形的面积()12S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为其边长，r 为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（ ）A. ()123412V S S S S r =+++⋅（其中1234S S S S +++分别为四个面的面积，r 为内切球的半径）B. 13V S h =⋅（S 为底面面积，h 为四面体的高）C. ()123413V S S S S r =+++⋅（其中1234S S S S +++分别为四个面的面积，r 为内切球的半径）D. ()13V ab bc ac h =++⋅（,,a b c 为底面边长，h 为四面体的高） 思路：本题为维度题，在三角形中，面积依靠内切圆半径与边长求解。

则在四面体中，内切圆类比成内切球，边长类比为面积。

所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关，即在A ，C 中挑选。

考虑在三角形中，可通过连接内心与各顶点，将三角形分割为三个小三角形，底边为各边边长，高均为半径r ，所以面积()12S a b c r =++⋅，其中系数12来源于三角形面积公式。

进而类比到四面体中，可通过连接内切球的球心与各顶点，将四面体分割为4个小四面体，以各面为底面，内切球半径为高。

从而()123413V S S S S r =+++⋅。

系数13来源于棱锥体积公式答案：C例6：若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列()n n b a n N *=⋅⋅∈也是等比数列.若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A. 12n n a a a b n ⋅⋅=是等差数列 B. 12nn a a a b n+++=是等差数列C. n n b a =⋅⋅是等差数列D. nn a b n++=是等差数列思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方），到了等差数列中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘）。