中考数学题型四动点与最值问题

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2024年中考数学总复习题型训练四几何最值问题

题型四几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题1. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8，点D在AC边上，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE的最小值为________．第1题图2. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB的中点，点M，N分别是CD 和BC上的动点，则BM＋MN的最小值是________．第2题图3. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，点P是BD上一动点，点E 是BC上一动点，若AC＝6，BD＝63，则PC＋PE的最小值为________．第3题图4. 如图，在△OAB中，已知∠AOB＝35°，点P是边AB上一点，点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，连接PO，PM，MN，若∠BOP＝10°，OP＝6，则PM＋MN的最小值为________．第4题图类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点P 是矩形ABCD 内一点，记a ＝S △APB ＋S △CPD ，b ＝P A ＋PB ＋PC ＋PD ，则a ＋b 的最小值为________．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M ，N 分别为BC ，CD 边上的动点，则△AMN 周长的最小值为________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，点D 为边BC 上的动点，点E 为边AB 的中点，连接DE ，DA ，则线段DE ＋DA 的最小值为________．第3题图4. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22 ，∠A ＝90°，点P 是△ABC 内部一点，且满足S △BCP ＝12S △ABC ，则PB ＋PC 的最小值为________．第4题图5. 如图，二次函数y ＝－23 x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一点，连接PB ，PC ，BC ，则△PBC 的周长最小为________．第5题图类型三利用“二次函数性质”解决最值问题（2021.9）1. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c, 记p ＝a ＋b ＋c 2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( )A. 5B. 4C. 25D. 52. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是BC 上的任意一点(P 与B ，C 不重合)，过点P 作AP ⊥PE ，垂足为P ，PE 交CD 于点E ，连接AE ，在点P 的运动过程中，线段CE 的最大值为________．第2题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠C ＝120°，点P 是AC 上一动点，PD ∥AB ，交BC 于点D ，连接AD ，则点P 在运动过程中，△APD 的面积的最大值为________．第3题图4. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE＝CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG.(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是________；(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是________．第4题图类型四利用“辅助圆”解决最值问题（8年3考：2021.10、17，2020.17）1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝25，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE 折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG长的最大值为________．第1题图2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点(不与正方形的顶点重合)，且AE＝BF，CE，DF交于点M，连接BM，若AB＝2，则BM的最小值为________．第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，E，F分别是AC，BC边上的动点，且EF＝AC，P是EF的中点，连接AP，BP，则△APB面积的最小值为________．第3题图4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜120°)，得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC＝3＋1，P为边AB上一动点，过点P 作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，则DE的最小值为________．第5题图题型四几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题 1. 853【解析】如解图，设DE 与AB 交于点O ，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴OB ＝OA ，DE ＝2OD ，∴当OD ⊥AC 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则∠BHD ＝∠EDH ＝90°，易知AD ∥BE ，即AC ∥BE ，∴∠EBH ＝90°，∴四边形BHDE 是矩形，∴DE ＝BH ，∵AC ＝BC ＝6，AB ＝8，∴设CH ＝x ，则AH ＝6－x ，∵BA 2－AH 2＝BH 2＝BC 2－CH 2，即82－(6－x )2＝62－x 2，解得x ＝23 ，∴CH ＝23，∴DE ＝BH ＝BC 2－CH 2 ＝853 .∴DE 的最小值为853.第1题解图2. 4 【解析】如解图，作点N 关于DC 的对称点N ′.∵AC ＝BC ，点D 为AB 的中点，∴点N ′在AC 上，连接MN ′，BN ′，∴BM ＋MN ＝BM ＋MN ′≥BN ′，∴当B ，M ，N ′三点共线，且BN ′⊥AC 时，BM ＋MN 取得最小值．∵AC ＝6，S △ABC ＝12，∴△ABC 中AC 边上的高为4，∴BM ＋MN 的最小值是4.第2题解图3. 33 【解析】如解图，作点E 关于BD 的对称点E ′，连接PE ′，∵四边形ABCD 是菱形，∴BA 与BC 关于BD 对称，∴点E ′位于BA 上，由对称的性质可知，PE ＝PE ′，∴当C ，P ，E ′三点重合，且CE ′⊥BA 时，PC ＋PE 的值最小，即为CE ′的长，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝12 AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝33 ，AC ⊥BD ，AB ＝BC ，∴在Rt △BOC 中，BC ＝BO 2＋CO 2 ＝6，tan ∠BCO ＝BO CO＝3 ，∴∠BCO ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CE ′＝BC ·sin 60°＝33 ，∴PC ＋PE 的最小值为33 .第3题解图 4. 33 【解析】如解图，作点P 关于OA 的对称点P ′，连接OP ′，过点P ′作OB 的垂线交OA 于点M ，交OB 于点N ，此时PM ＋MN 的值最小，最小值为线段P ′N 的长．∵∠AOB ＝35°，∠BOP ＝10°，点P ′与点P 关于OA 对称，∴∠POA ＝∠P ′OA ＝25°，∴∠BOP ′＝60°，OP ′＝OP ＝6，在Rt △P ′ON 中，P ′N ＝OP ′·sin 60°＝6×32＝33 ，∴PM ＋MN 的最小值为33 .第4题解图类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 44 【解析】如解图，过点P 作EF ⊥AB ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AC ，BD ，则EF ＝AD ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴AC＝AB 2＋BC 2 ＝62＋82 ＝10，∴BD ＝AC ＝10，∵S △APB ＋S △CPD ＝12 AB ·PE ＋12 CD ·PF ＝12AB ·EF ＝12×6×8＝24，P A ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴当A ，P ，C 三点共线，B ，P ，D 三点也共线时，P A ＋PB ＋PC ＋PD 有最小值，最小值为AC ＋BD ＝20，∴a ＋b 的最小值为24＋20＝44.第1题解图2. 27 【解析】如解图，分别作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值，作A ′H ⊥DA 交DA 的延长线于点H ，∴AA ′＝2AB ＝2，AA ″＝2AD ＝4，∵∠BAD ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∴在Rt △A ′HA 中，AH ＝12 AA ′＝1，∴A ′H ＝22－12 ＝3 ，A ″H ＝AH ＋AA ″＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝A ′H 2＋A ″H 2 ＝27 ，∴△AMN 的周长最小值为27 .第2题解图3. 43 【解析】如解图，作点E 关于BC 的对称点E ′，连接EE ′，交BC 于点F ，连接DE ′，AE ′，过点E ′作E ′G ⊥AC 交AC 的延长线于点G ，则DE ＝DE ′，EF ＝E ′F ，DE ＋DA ＝DE ′＋DA ≥AE ′，∴当A ，D ，E ′在同一直线上时，DE ＋DA 的值最小，最小值为AE ′的长，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，∴AC ＝33 BC ＝33×43 ＝4，∵点E 为边AB 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝12 AC ＝2，CF ＝12BC ＝23 ，∴E ′F ＝EF ＝2＝CG ，E ′G ＝CF ＝23 ，∴AG ＝AC ＋CG ＝4＋2＝6，∴AE ′＝E ′G 2＋AG 2 ＝（23）2＋62 ＝43 ，∴DE ＋DA 的最小值为43 .第3题解图4. 25 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝22 ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝2，BC ＝4，∵S △BCP ＝12S △ABC ，∴点P 到BC 的距离为1，即点P 在AD 的垂直平分线l 上运动，作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接B ′C 交直线l 于点P ′，连接BP ′，B ′P ，则BB ′⊥BC ，BP ′＝B ′P ′，BP ＝B ′P ，∴BP ＋PC ＝B ′P ＋PC ≥B ′C ，当B ′，P ，C 三点共线，即点P 与点P ′重合时，BP ＋PC 的值最小，为B ′C 的长．在Rt △B ′BC 中，BB ′＝2，BC ＝4，∴B ′C ＝BB ′2＋BC 2 ＝25 ，∴PB ＋PC 的最小值为25 .第4题解图5. 13 ＋5 【解析】如解图，连接AC ，AP ，令y ＝0，得x ＝－3或1，∴点A (－3，0)，点B (1，0)，∴抛物线的对称轴是直线x ＝－1，OA ＝3，OB ＝1，令x ＝0，得y ＝2，∴点C (0，2)，∴OC ＝2，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5 ，AC ＝OA 2＋OC 2 ＝13 ，∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴要使△PBC 的周长最小，则PB ＋PC 最小即可，∵点A 与点B 关于对称轴对称，∴P A ＝PB ，∴PB ＋PC ＝P A ＋PC ≥AC ，∴PB ＋PC 的最小值为AC 的长，∴△PBC 的周长最小值＝AC ＋BC ＝13 ＋5 .第5题解图类型三利用“二次函数性质”解决最值问题1. C 【解析】∵p ＝5，c ＝4，∴S ＝5（5－a ）（5－b ）（5－4）＝5（5－a ）（5－b ），∵p ＝a ＋b ＋c 2 ，∴a ＋b ＝2p －c ＝6，∴b ＝6－a ，∴S ＝5（5－a ）[5－（6－a ）] ＝5（5－a ）（a －1）＝－5（a －3）2＋20 ，∵－5＜0，∴当a ＝3时，S 有最大值为20 ＝25 .2. 98【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∵AP ⊥PE ，∴∠APB ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠PEC ＝90°，∴∠APB ＝∠PEC ，∴△ABP ∽△PCE ，∴AB PC ＝BP CE，设BP ＝x ，CE ＝y ，则PC ＝3－x ，即23－x ＝x y，∴y ＝－12 x 2＋32 x ＝－12 (x －32 )2＋98 ，∵－12 ＜0，∴当x ＝32 时，y 有最大值，最大值是98 ，∴线段CE 的最大值为98 . 3. 3 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，设AP ＝x ，则CP ＝4－x ，∵AC ＝BC ，∠C ＝120°，∴∠BAC ＝∠B ＝30°，AE ＝BE ，∴CE ＝12AC ＝2，PF ＝12 AP ＝12x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得AE ＝42－22 ＝23 ，∴AB ＝2AE ＝43 ，∵PD ∥AB ，∴△PCD ∽△ACB ，∴PC AC ＝PD AB ，∴4－x 4 ＝PD 43，解得PD ＝3 (4－x )，∴S △APD ＝12 PD ·PF ＝12 ×3 (4－x )×12 x ＝－34 (x －2)2＋3 ，∵－34<0，∴当x ＝2时，S △APD 有最大值，最大值为3 .第3题解图4. (1)1 【解析】∵点E 为AB 的中点，AE ＝CF ，∴点F 为CD 的中点，∴EF ＝FG ＝4，此时F ，D ，G 三点共线，∴DG ＝FG －FD ＝1； (2)255 【解析】如解图，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点G 作IG ⊥CD 于点I ，则∠EHF ＝∠GIF ＝90°，由题意可知∠EFG ＝90°，EF ＝GF ，∴∠EFH ＋∠EFI ＝∠EFI ＋∠GFI ＝90°，∴∠EFH ＝∠GFI ，∴△EFH ≌△GFI (AAS)，∴EH ＝GI ，设AE ＝a ，①当0＜a ＜3时，如解图①，GI ＝EH ＝6－2a ，ID ＝FD －FI ＝FD －FH ＝6－a －4＝2－a ，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(2－a )2＋(6－2a )2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145 )2＋45 ，∵5＞0，∴当a ＝145 时，DG 2取最小值45，∴DG ＝255；②当3≤a ＜6时，如解图②，GI ＝EH ＝2a －6，ID ＝FI －FD ＝FH －AE ＋EH ＝4－a ＋2a －6＝a －2，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(a －2)2＋(2a －6)2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145)2＋45 ，∵5＞0，3≤a ＜6，∴当a ＝3时，DG 2取最小值1，∴DG ＝1，∵1＞255，∴DG 的最小值为255.第4题解图类型四利用“辅助圆”解决最值问题1. 2 【解析】如解图，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，过点B 作弧的切线交CD 于点G ，切点为F ，此时点E 和点G 重合，DG 的最大值即为DE 的长，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝25 ，AB ＝CD ＝6，由折叠的性质可知，DE ＝EF ，AF ＝AD ＝25 ，设DE ＝EF ＝x ，则CE ＝CD －DE ＝6－x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝AB 2－AF 2 ＝4，则BE ＝BF ＋EF ＝4＋x ，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE 2＝CE 2＋BC 2，即(4＋x )2＝(6－x )2＋(25 )2 ，解得x ＝2，即DG 的最大值为2.第1题解图 2. 5 －1 【解析】如解图，取CD 的中点O ，连接BO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠EBC ＝∠FCD ＝90°，∵AE ＝BF ，∴AE ＋BE ＝BF ＋CF ，∴BE ＝CF ，∴△EBC ≌△FCD (SAS)，∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE ＋∠DCE ＝∠BCD ＝90°，∴∠CDF ＋∠ECD ＝90°，∴∠CMD ＝90°，当点E ，F 分别在AB 和BC 上移动时，点M 在以CD 的中点O 为圆心，OC 长为半径的半圆上运动，要使BM 取得最小值，则需点B ，M ，O 在同一条直线上．∵AB ＝2，∴CO ＝1，∴BO ＝5 ，∴此时BM ＝5 －1，即BM 的最小值为5 －1.第2题解图3. 9 【解析】如解图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则S △ABP ＝12AB ·PH ＝5PH ，∴当PH 最小时，△ABP 的面积最小．∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2 ＝6.∴EF＝AC ＝6.连接CP ，则CP ＝12EF ＝3.∴点P 在以点C 为圆心，3为半径的圆弧上，过点C 作CH ′⊥AB 于点H ′，交⊙C 于点P ′，∵P ′H ′＝CH ′－CP ′＝CH ′－CP ≤CP ＋PH －CP ＝PH ，∴当点P 与点P ′重合，点H 与点H ′重合时，PH 最小，最小值为P ′H ′的长．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12 AB ·CH ′，∴CH ′＝AC ·BC AB ＝245 ，∴P ′H ′＝CH ′－CP ′＝245 －3＝95 ，∴PH 的最小值是95 ，此时S △ABP ＝5PH ＝9，即△ABP 面积的最小值为9.第3题解图4. 27 －2 【解析】如解图，过点E 作EH ∥AD ，交AC 于点H ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝6，由旋转的性质得AD ＝AB ，∴AD ＝AC ，∴∠D ＝∠ACD ，∵DE ＝2CE ，∴CE CD ＝CH CA ＝13 ，∠CEH ＝∠D ＝∠ACD ，∴CH ＝EH ，∵AC ＝6，∴CH ＝EH ＝2，取AH 的中点P ，连接EP ，则PH ＝EH ，∴∠EPH ＝∠PEH ，∵∠EPH ＋∠CEP ＋∠ACD ＝180°，∴2∠PEH ＋2∠CEH ＝180°，∴∠CEP ＝90°，∴点E 在以点H 为圆心，CP 为直径的圆弧上运动，连接BH ，∵EH 为定值2，∴当B ，E ，H 三点共线时，BE 的长最小，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，则CQ ＝12AC ＝3，∴QH ＝CQ －CH ＝1，BQ ＝BC 2－CQ 2 ＝62－32 ＝33 ，∴BH ＝BQ 2＋QH 2 ＝（33）2＋12 ＝27 ，∴BE 的最小值为27 －2.第4题解图5. 32＋64【解析】如解图，连接CP ，∵∠PDC ＝∠PEC ＝90°，∴∠PDC ＋∠PEC ＝180°，∴C ，D ，P ，E 四点共圆，圆心为点O ，且直径为CP ，∵BC ＝3 ＋1，∠ACB ＝45°，∠B ＝60°是定值，∴直径CP 最小时，∠DCE 所对的弦DE 最小，即CP ⊥AB 时，DE 的值最小，连接OD ，OE ，∵∠B ＝60°，CP ⊥AB ，BC ＝3 ＋1，∴∠BCP ＝30°，∴BP ＝12BC ＝3＋12 ，CP ＝3 BP ＝3＋32 ，∴OD ＝OE ＝12 CP ＝3＋34，∵∠ACB ＝45°，∴∠DOE ＝2∠ACB ＝90°，∴△ODE 是等腰直角三角形，∴DE ＝2 OD ＝32＋64，即DE 的最小值为32＋64.第5题解图。

初中数学动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题

动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。

其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。

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1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。

中考数学中关于动点的最值问题

中考数学中关于动点的最值问题作者：邓昌滨来源：《中学数学杂志(初中版)》2008年第05期在平面几何问题中，当某点在给定条件运动时，求某几何量的最大值或最小值问题，即最值问题. 这类题综合性强，能力要求高. 它能全面的考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，对培养学生的思维品质和各种能力有更大的促进作用，本文仅以2008年江苏中考压轴题为例进行分析，供参考.1 利用函数的性质求最值图1例1 （2008年连云港）如图1，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ、Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2. 将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上. 一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动. 当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H.（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由.解（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知A，C两点的坐标分别为（1，2），（2，1）. 易得直线AC所对应的函数关系式为y=-x+3.①点M到x轴的距离h与线段BH的长总相等. 因为点C的坐标为（2，1），所以，直线OC所对应的函数关系式为y=12x. 又因为点P在直线AC上，所以可设点P的坐标为（a,3-a). 过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK=h. 因为点M在直线OC上，所以有M(2h,h). 因为纸板为平行移动，易得Rt△PHG∽△Rt△PFE,有GHPH=EFPF=12. 故GH=12PH=12(3-a). 所以OG=OH-GH=a-12(3-a)=32(a-1). 故G点坐标为(32(a-1),0). 又点P的坐标为(a,3-a),可得直线PG所对的函数关系式为y=2x+(3-3a). 将点M的坐标代入，得h=4h+(3-3a).解得h=a-1. 而BH=OH-OB=a-1，从而总有h=BH.②由①知，点M的坐标为(2a-2,a-1)，点N的坐标为(a,12a).△-△-12OG×h=12×12a×a-12×3a-32×(a-1)=--34=-12(a-当a=32时，S有最大值，最大值为38.取最大值时点P的坐标为(32,32).评注解此类题的关键是分析运动变化的过程，用点P的横坐标a的代数式表示描述点的运动过程，把动点视为静点参与运算，列出关于a的函数关系式，证明线段相等，再根据二次函数的增减性求得最值问题.2 利用轴对称变换求最值图2例2 （2008年南通）如图2，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D 作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm,BC=9cm，P是射线DE上的动点. 设DP=xcm(x>0),四边形BCDP 的面积为①求y关于x的函数的关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.证明（1）因为AD=CD，DE⊥AC，所以DE垂直平分AC，所以AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF. 因为∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°，所以∠DCF=∠DAF=∠B,易得△DCF∽△ABC,所以CDAB=CFCB,即CDAB=AFCB. 所以AB•AF=CB•CD.解（2）①因为AB=15，BC=9，∠ACB=90°，所以--所以CF=AF=6，所以y=12(x+9)×6=3x+27(x>0).②因为BC=9（定值），所以△PBC的周长最小，就是PB+PC最小. 由（1）可知，点C 关于直线DE的对称点是点A，所以PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小. 显然当P、A、B 三点共线时PB+PA最小. 此时DP=DE，PB+PA=AB. 由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC,得AE=BE=12AB=152,EF=92，所以AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15，所以AD=10. Rt△ADF中，AD=10，AF=6，所以DF=8. 所以DE=DF+FE=8+92=252.所以当x=252时，△PBC的周长最小，此时y=1292.评注本题可转化为直线上一点到直线同侧两点的距离和最小问题，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，然后根据“两点之间的线段最短”，从而找到所需的最短路线.3 利用动点的范围求最值例3 （2008年徐州）如图，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°.操作将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q.探究1 在旋转过程中：（1）如图，当CEEA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.（2）如图，当CEEA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是（直接写出结论，不必证明）.图图图探究2 若CEEA=2,AC=30cm,连结PQ，设△EPQ的面积为在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？求出相应S的取值范围.解探究（1）作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，连结BE，因为∠ABC=90°,所以∠MEN=90°. 因为AB=BC，CE=EA，所以BE为∠ABC的平分线，所以EM=EN. ①若点M、P重合，显然EP=EQ. ②若点M、P不重合，因为∠MEP=∠NEQ=90°-∠PEN，所以Rt△EMP≌Rt△ENQ. 所以（2）作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，因为∠ABC=90°，所以EM∥BC，所以△EMP∽△ENQ,所以EMBC=AEAC=13. 同理ENAB=23. 因为AB=BC，所以EMEN=12. ①若点M、P重合，显然EPEQ=EMEN=12. ②若点M、P不重合，因为∠MEP=∠NEQ=90°-∠PEN，所以△EMP∽△ENQ,所以EPEQ=EMEN=12. 综上，EPEQ=12. 由上可得EPEQ=1m,设EF=x，则DE=AC=3x,当E在边AC上由C向A移动时，要确保EF与BC有交点Q，EQ最大时，EQ⊥BC，此时EQ=EF=x,EC=2x,EA=AC-EC=3x-2x,所以此时m=CEEA=2x3x-2x=6+2,故0探究（1）设EQ=x，则△其中102≤x≤103.故如图，当x=EN=102cm时，△取得最小值如图，当x=EF=103cm时，△取得最大值（2）如图，当x=EB=510cm时，△；故当50时图时图时图评注本题以学生熟悉的三角板为背景，通过学生观察、动手操作、猜想、验证等数学活动过程，激发了学生的学习兴趣，此题的关键是将所求问题转化为动点Q在BC上时EQ的最值问题，渗透了化归、分类、数形结合、特殊化诸多数学思想方法，全面考查了学生的空间想象能力，几何变换，探索问题和解决问题的能力.。

中考数学热点专题训练冲刺4动态探究含解析

冲刺4 动态探究考向1 动点与最值1．如图，在Rt△ABO中,∠OBA=90°，A（4，4），点C在边AB上，且ACCB =13,点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．（52，52）C．(83，83）D．（3，3)【答案】C【解析】由题可知：A(4，4），D（2，0),C(4,3），点D关于AO 的对称点D’(0，2），设l D’C：y=kx+b,将D'（0,2），C(4，3)代入，可得y=14x+2，与y=x联立，得，x=83，y=83，∴P（83,83）故选C．2.如图，在平面直角坐标系中,点A，B在反比例函数()0ky kx=≠的图像上运动，且始终保持线段AB=M为线段AB 的中点，连接OM。

则线段OM的长度的最小值是(用含k的代数式表示）。

A作x轴⊥AC,过点B作y轴⊥BD,垂足为C，D，AC与BD相交于点F，连接OF.当点O、F、M在同一直线上时OM最短。

即OM垂直平分AB．设点A坐标为（a，a ＋4），则点B坐标为（a ＋4，a)，点F坐标为（a，a）。

由题意可知△AFB为等腰直角三角形，∵AB=∴AF=BF=4.∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a (a＋4)=k，解得a =42k+-.在Rt△OCF中2)=∴OM=OF＋FM=3．图，在菱形ABCD中，连接BD，AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证:DC是O的切线；(2）若AC=4MC且AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值。

解：(1）过点O 作OG ⊥CD 于点G ，菱形ABCD 中，AC 是对角线， ∴AC 平分∠BCD, ∵OH ⊥BC ， ∴OH=OG ， ∵OH 是O 的半径，∴OG 等于O 的半径, ∴CD 是O 的切线.①(2)∵AC=4MC ，AC=8，∴OC=2MC=4，MC=OM=2，∴OH=OM=2，在Rt △OHC 中,OH=2，OC=4，∴=tan ∠HOC=3HCOH,∴∠HOC=60°, ∴S阴影=S △OCH －S扇形OHM=216022360CH OH =23.（3）作点M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，此时PH+PM的值最小.∵ON=OM=OH,∠MOH=60°, ∴∠MNH=30°，∠MNH=∠HCM,PH+PM的最小值为。

2021年中考一轮复习数学热点问题《二次函数压轴题的突破与提升》六大必考模型专题练习

中考数学热点问题《二次函数压轴题的突破与提升》六大必考模型专题练习题型一：求图形面积类问题1. 如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD 的最大面积是 .2. 如图,抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C,点D(0,1),点P 是抛物线上的动点.若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形,此时△PCD 的面积为________.3.如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,则b 的值为( )A.-5B.4或-4C. 4D.-4 4.如图,抛物线经过A (-2,0),B ,C (0,2)三点. (1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC 下方的抛物线上有一点D ,使得△DCA 的面积最大,求点D 的坐标.题型二：参数求值类问题1. 若函数y=(m-1)x |m|+1是二次函数,则m 的值为____.2. 抛物线y=x 2-2x+m 2+2(m 是常数)的顶点在 ( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知二次函数y=-x 2+2x+m.(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点,求m 的取值范围.4. 当a ≤x ≤a+1时,函数y=x 2-2x+1的最小值为1求a 的值.5. 已知二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围.题型三：利用图像分析类问题1. 下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )2. 如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量x 的取值范围是 ( )A.x<-2B.-2<x<4C.x>0D.x>43.已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（）．Ａ．0>ac Ｂ．0>b Ｃ．04ac -2<bＤ．4. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(-2,-9a),下列结论:①4a+2b+c>0;②5a -b+c=0;③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x 1和x 2,且x 1<x 2,则-5<x 1<x 2<1;④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为-4.其中正确的结论有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如图所示是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，图象过A 点（3,0），二次函数图象对称轴为1=x ，给出四个结论：①ac b 42>；②0<bc ；③02=+b a ；④0=++c b a ，其中正确结论是（）A.②④B.①③C.②③D.①④ 题型四：动点求最值类问题2y ax bx c =++1x=20a b +=1. 若二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,3),则函数y的最小值是.2. 如图是函数y=x2-2x-3(0≤x≤4)的图象,直线l∥x轴且过点(0,m),将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线l下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是 .3. 如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为________.4. 如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.5. 若二次函数y=ax2+b的最大值为4,且该函数的图象经过点A(1,3).(1)a=________,b=________,顶点D的坐标为________;(2)求这个抛物线关于x轴对称后所得的新函数表达式;(3)是否在抛物线上存在点B,使得S△DOB =2S△AOD?若存在,请求出B的坐标;若不存在,请说明理由.6. 已知m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D 的坐标,并判断△BCD的形状.(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合),过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,点Q在直线BC上,距离点P为√2个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.题型五：实际应用类问题1. 图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-1(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴.若OA=10m, 400则桥面离水面的高度AC为( )A.16940mB.174mC.16740mD.154m2. 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,售后经过统计得到此商品单价在第x 天(x 为正整数)销售的相关信息,如表所示:(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数表达式. (3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?3. 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x 棵橙子树.(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x 之间的关系. (2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?4. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．题型六：综合应用类问题1. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.(3)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图,抛物线y=-23x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式.(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形时,请写出点F的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD的面积为812，求点D的坐标；(3)在y轴上是否存在一点P，使∠APC＝45°？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图1,抛物线y=-3[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A在5点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC. (1)求m,n的值.(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC 面积的最大值.(3)如图3,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。

中考数学动点最值问题归纳及解法

中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。

④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。

①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

2024年中考数学重难点《几何最值问题》题型及答案解析

重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。

考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。

1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。

中考数学之动点与最短路径、图形长度最值问题(解析版)

专题动点与最短路径、图形长度最值问题大视野最短路径原理1：两点之间线段最短；原理2：垂线段最短（1）二维平面内前提：A点B点是固定点，点P是x轴上一动点。

当P A+PB最小时，在图中作出P点位置；当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；当P A+PB最小时，在图中作出P点位置；当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；（2）立体图形中常见的有立方体、长方体、楼梯、树木绕绳问题解决方法：将立体图形曲面展开成平面图形，标出起始位置，借助勾股定理求解。

题型一、线段最值问题例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（）A．5B．4C．1.5D．3【答案】D．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，OA＝OC，∴当OE取最小值时，线段EF最短，此时OE⊥AB，即OE是△ABC的中位线，∴OE＝12BC＝1.5，∴EF＝2OE＝3，即EF的最小值是3．故答案为：D．例2. 【2019·宿迁市期末】在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为______cm．【答案】24 5.【解析】解：∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF=AP，当AP⊥BC时，AP的值最小，此时AP=245，∴EF的最小值为245．例3. 【2019·宜昌市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2B．6C．﹣2D．4【答案】A．【解析】解：由题意知，点B’的轨迹是以E为圆心，BE的长为半径的圆弧，当B’、E、D共线时，B’D的值最小，最小值为：DE-BE2，故答案为：A.例4. 【2109·福州市期中】如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC 为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是.【答案】2【解析】解：将△BAD绕点D顺时针旋转90°，得到△DCM，易证，△ADM是等腰直角三角形，AD=AM，2当A、C、M共线时，且C在A、M之间时，AM的长度最大，最大为7，∴AD.例5. 【2019·厦门大学附中期末】如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A．3B．5C．7D【答案】B.【解析】解：如图，点P 的轨迹为以A 为圆心，以OA 为半径的圆，点M 的轨迹为以点O ’为圆心以EF 的长为直径的圆，∴O ′（72）， ∴AO ′＝3，当点M 在AO ′的延长线上时，AM 的值最大，最大值为3+2＝5，故答案为：B ．题型二、最短路径问题例1.【2019·十堰市外国语期末】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC =8，BD =6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是（）A .3B .4C .5D .6【答案】C .【解析】解：设AC 交BD 于O ，作E 关于AC 的对称点N ，连接NF ，交AC 于P ，则此时EP +FP 的值最小，∴PN =PE ，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，∴AN=CF，∴△ANP≌△CFP，∴AP=CP，即P为AC中点，∵O为AC中点，∴P、O重合，即NF过O点，∵AN∥BF，AN=BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF=AB，∵AC⊥BD，OA=12AC=4，BO=12BD=3，由勾股定理得：AB=2+BO2=5，故答案为：C．例2. 【2019·厦门市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点之间的距离之和P A+PB的最小值是【答案】【解析】解：设△ABP边BA上的高为h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴h=2，即动点P的运动轨迹是与AB平行，且与AB距离为2的直线，不妨设这条直线为l，作A点关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长度即为所求的最短距离，由勾股定理，得：BE=即P A+PB的最小值是故答案为：例3. 【2019·遵义市期中】如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．B．C D．6【答案】B．【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．由题意得：AB＝3cm，BC＝BC′＝3cm，∴AC＝cm，这圈金属丝的周长最小值为：2AC＝cm．故答案为：B．例4. 【2019·北京101中学期末】如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为______．【答案】【解析】解：命题：在直角三角形中，若一条直角边是斜边长的一半，则该直角边所对的角为30°（证明略）；如图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于H，∵AB=CB=4，S△ABC=，∴AH=，∴∠HAB=30°，∠ABH=60°，∴∠ABC=120°，∵∠BAC=∠C=30°，作点P关于直线AC的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，则P′Q的长度=PK+QK的最小值，∴∠P′AK=∠BAC=30°，∴∠HAP′=90°，∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q=AH=即PK+QK的最小值为，故答案为：【刻意练习】1. 【2019·抚顺市期中】如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【答案】125．【解析】连接BP∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，∴AC＝5，∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，∴四边形PEBF是矩形；∴EF＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，1 2BC•AB＝12AC•CP，即12×4×3＝12×5•CP，CP＝125．故答案为：125．2. 【2019·鞍山市期末】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．+5D．35【答案】B．【解析】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB＝25．（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB＝（3）如图：BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，由勾股定理得：AB＝由于25＜故答案为：B．3. 【2019·临洮县期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F 是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．【解析】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE，所以当点F运动到点M时，取等号，△ABD是等边三角形，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴AE ＝12AD ＝1，DE∴EF +BF4. 【2019·成都市期末】如图，△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，若AD =3，AB =7，则线段MN 的取值范围是______．【答案】MN ≤≤【解析】解：∵点P ，M 分别是CD ，DE 的中点，∴PM =12CE ，PM ∥CE ，同理，PN =12BD ，PN ∥BD ，∵△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD =CE ，∴PM =PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵PM ∥CE ，PN ∥BD ，∴∠DPM =∠DCE ，∠PNC =∠DBC ，∵∠DPN =∠DCB +∠PNC =∠DCB +∠DBC ，∴∠MPN =∠DPM +∠DPN=∠DCE +∠DCB +∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴PM=PN=12 BD，∴MN=2BD，∴点D在线段AB上时，BD最小，最小值为4，MN的最小值点D在BA延长线上时，BD最大，最大值为10，MN的最大值为，故答案为：MN≤≤5. 【2019·武汉市期末】如图，在菱形ABCD中，E为AB中点，P是BD上一个动点，则下列线段的长度等于P A+PE最小值的是（）A.BCB.CEC.DED.AC【答案】B.【解析】解：在菱形ABCD中，A与C关于直线BD对称，连接EC，与BD交于点P，此时P A+PE=CP+EP=CE值最小，故答案为：B．6. 【2019·固始县期末】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A.3√1+πB.3√2D.3√1+π2C.3√4+π22【答案】C.【解析】解：（1）蚂蚁可以沿A-B-C的路线爬行，AB+BC=6，（2）把圆柱侧面展开，展开图如图所示，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD=1.5π，AC=√AD2+CD2=3√4+π2＜6，2故答案为：C．7. 【2019·黄石期中】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE的最小值为（）B.√2C.2√2D.3√2A.2【答案】A.【解析】解：如图，作EH⊥x轴于H，连接CE，∵∠AOD=∠ADE=∠EHD=90°，∴∠ADO+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∴∠ADO=∠DEH，∵AD=DE，∴△ADO≌△DEH（AAS），∴OA=DH=OC，OD=EH，∴OD=CH=EH，∴∠ECH=45°，过点O作OE′⊥CE，则△OCE′是等腰直角三角形，∵OC=3，∴OE′=由垂线段最短，知OE故答案为：A．8.【2019·广州市番禺区期末】如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行______cm．【解析】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：∵底面圆的周长为10cm，∴AC=5cm，∵高BC=4cm，∴AB=√AC2+BC2=√41cm．故答案为：√41．9. 【2019·桑植县期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）①联立y=-2x+12，y=x，解得：x=y=4，即点C的坐标为（4，4）；②在y=-2x+12中，当x=0时，y=12，当y=0时，-2x+12=0，x=6，∴点B（0，12），A（6，0），则△OAC的面积为：12×6×4=12；（2）∵ON平分∠AOC，AB⊥ON，∴ON是线段AC的垂直平分线，∴AQ=CQ，∴AQ+PQ=CQ+PQ，当C、Q、P共线，且CP⊥OA时，AQ+PQ取最小值，最小值为△OAC边OA上的高，∵△OAC的面积为6，OA=4，∴△OAC边OA上的高=2×6÷4=3.∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．10.【2019·泉州市期末】已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．①求证：△PBE是等边三角形；②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，∵AC=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC等边三角形，∴∠ABC=60°，由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，∴△PBE是等边三角形；②由①知AB=BC=5，由旋转知△ABP≌△CBE，∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，∵AP2+PC2=42+32=25=AC2，∴△ACP是直角三角形，∴∠APC=90°，∴∠APB+∠BPC=270°，∵∠APB=∠CEB，∴∠CEB+∠BPC=270°，∴∠PBE+∠PCE=90°，∵∠PBE=∠ABC=60°，∴∠PCE=90°-60°=30°；（2）如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，由旋转知△ADG≌△A'DG'，∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，∵∠G'DG=60°，G'D=GD，∴△G'DG是等边三角形，∴GG'=DG，∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，即AG+EG+DG的值最小，∵∠A'DA=60°，∠ADE=12∠ADC=30°，∴∠A'DE=90°，∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E=5，∴AG+EG+DG的最小值为5．11.【2019·宿迁市期末】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的格点图中，点A、B、C都是格点．（1）点A坐标为______；点B坐标为______；点C坐标为______；（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（3）已知M（1，4），在x轴上找一点P，使|PM-PB|的值最大（写出过程，保留作图痕迹），并写出点P 的坐标______．【答案】（1）（-1，0）；（-2，-2）；（-4，-1）；（2）见解析；（3）（-5，0）.【解析】解：（1）由图象可知点A（-1，0），点B（-2，-2），点C（-4，-1）；（2）如图所示：（3）作点B关于x轴的对称点F（-2，2），连接MF交x轴于P，点P就是所求的点，理由：在x轴上任意取一点P1，∵|P1M-P1B|=|P1M-P1F|≤FM，∴|PM-PB|的最大值为线段FM的长度，设直线FM解析式为：y=kx+b，把F、M两点坐标代入，得：k+b=1，-2k+b=2，解得：23103kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线FM解析式为：y=210 33x+，当y=0时，x=-5，即点P坐标为（-5，0）．故答案为:（-5，0）．。

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9. (2019·长沙)如图，在△ ABC 中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC
于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD＋
5 5
BD 的最小值是
( B) A．2 5 B．4 5
C．5 3
D．10
10. 如图，AC 是⊙O 的弦，AC＝5，点 B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC
3. (2020·宿迁)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝ 3 ，P 为 AD 上一个动点，连接 BP，线段 BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称，连接 PQ，当点 P 从点 A 运动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫过的面积为____3__－__π3__________．
2．运用代数性质： (1)运用配方法求二次三项式的最值； (2)运用一元二次方程根的判别式．
8. (2020·常州)如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A， B重合)，CH⊥AB，垂足为点H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是( A ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. (2019·宁波)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，点 D 在边 BC 上，CD＝5，BD＝13.点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的⊙P 与△ ABC 的一边相切时，AP 的长为_6_._5_或___3__1_3______.
7. (2020·龙东地区)如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动(不与点 A，B 重合)，∠DAM＝45°，点 F 在射线 AM 上，且 AF＝ 2 BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG.则下列结论：
1. 如图，在△ ABC 中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.点 D 是 BC 上的中点．点 P 是边 AB 上的动点，若要使△ BPD 为直角三角形，则 BP＝_5_或__1_56_____
2. 如图，正方形 ABCD 边长为 2，F 为 BC 上一动点，作 DE⊥AF 于点 E，连接 CE.当△ CDE 是以 CD 为腰的等腰三角形时，DE 的长为___4_5_5__或___2__________．
4. (2019·常州)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3AB＝3 10 ，点 P 是 AD 的中点，点 E 在 BC 上，CE＝2BE，点 M，N 在线段 BD 上．若 △ PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则 MN 的长为_6_或__1_85____．
5. 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 1，点 E 是 CD 边上的中点．P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动点 P 从 A 点出发，沿 A→B→C→E 运动，到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x.△ APE 的面积为因变量 y，则当 y＝15 时，x 的值等于_25__或__21_10________．
数学
人教版
题型四动点与最值问题
类型一动点问题探究题
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 6，BC＝8，点 F 在边 AC 上，并且 CF＝2，点 E 为边 BC 上的动点，将△ CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 的距离的最小值是( D )
4
5
6
A. 3
B. 1 C. 6
D. 5
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝ FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当 FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
动点问题探究题 1．明确与动点有关的图形、位置发生的变化以及运动过程中产生的特殊图形的时刻． 2．用点运动的时间表示线段，并得到图形面积、周长等关于时间的函数关系． 3．点运动过程中，产生特殊位置时，注意对运动时间进行分类讨论．
＝45°，若点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是_5__2_． 2
11. (2020·扬州)如图，在▱ABCD 中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DF＝14 DE，以 EC，EF 为邻边构造▱EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为_9__．3
12. (2019·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3，4)，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切．点 A，B 在 x 轴上，且 OA＝OB. 点 P 为⊙C 上的动点，∠APB＝90°，则 AB 长度的最大值为__1_6_．
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E，过点O作OF⊥BC于点F，交CD于点G，则OM＋ME≥OF.求出OM， OF即可解决问题．
解决最值问题的两种方法 1．应用几何性质： (1)三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(2)两点间线段最短；(3)连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；(4)定圆中的所有弦中，直径最长；(5)利用对称的性质作已知点的对称点，结合对称的性质将两条线段的和转化为一条线段的长，进而在直角三角形中利用勾股定理进行求解．
①∠ECF＝45°；
②△AEG 的周长为(1＋
2 2)a；Fra bibliotek③BE2＋DG2＝EG2；
④△EAF 的面积的最大值是18 a2；
⑤当 BE＝13 a 时，G 是线段 AD 的中点．其中正确的结论是_①__④__⑤__________．
类型二最值问题探究题
例 2 (2020·绵阳)如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝60°， AD＝BC＝CD＝4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点 M 到直线 BC 的距离的最小值为__3__3__－__2________．