专题三中考数学动点最值
专题三、动点最值定值问题
类型一：两定一动
图1 图2
图1，同侧求和，有最小值，原理：两点之间线段最短；AC+BC最短；
图2，异侧求差，有最大值，原理：三角形的两边之差小于第三边；AP-BP最长。
例：如图，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一
动点，则的最小值是。
练习：1、如图，已知：抛物线的对称轴为，与轴交
于、两点，与轴交于点，其中，。
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。
2、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为（3,4）,D是OA的中点，点E在AB上,
当△CDE的周长最小时,点E的坐标为（）
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）
2T 3T
3、小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点F是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
4、如图,在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（3,
），点C
的坐标为（0.5,0）,点P 为斜边OB 上的一个动点,则PA+PC 的最小值为（ ）
A. B. C. D.2
5、已知抛物线
2
1y=x bx 2
+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为_ _． 6、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于
点M ．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使|AP-PC |的值最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
类型二、两动一定（三条或四条线段和最短，四条中会有一条定长） 双对称，作定点的两个对称点； 原理两点间线段最短；
例1：如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．
A
B
P 1P 2
P
N
O M
图1
Q'
Q
P'P M
O
N
B
A
图2
例2：如图，点P，Q为MON
内的两点，分别在OM，ON上作点A、B，使四边形PAQB的周长最小．
练习：1、如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
2、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，
连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为( )
A.10cm
B.15cm
C.20cm
D.40cm
3、如图，圆柱底面周长为4cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一
母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为cm.
4、已知∠AOB=30°,点P、Q分别是边OA、OB上的定点,OP=3,OQ=4,点M、N是分别是边OA、OB上
的动点,则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是．
5、恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图建立直角坐标系。
著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，，到直线的距离为，到直线和的距离分别为和。
请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
类型三、两动一定（求两条动线段的和最值） 原理垂线段距离最短
如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．
如图，点A 是MON ∠内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小． 练习：1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P ，E 分别在AC ，AD 上，则PE ＋PD 的最小值是 ( )
A.2
B.23
C.4
D.
33
8
2、如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，以A 为圆心，1为半径画圆，E 是⊙A 上一动点，P 是BC 上
的一动点，则PE+PD 的最小值是 ．
3、如图，△ABC 中，AB=17，BC=10，CA=21，AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，则
BD ＋DE 的最小值是 ．
4、若<ACB=30°，AC=8，点Q 以一个单位长度从A 点出发，到达BC 上，然后沿BC 以2个单位长度出发到C 点，求最短时间，
M
O
N
A
P
B
图1
A B
P
A'
N
O
M
图2
类型四：两动两定（作对称、平行，利用平行四边形对边相等性质）
AB异侧B l2 l 1
N M
A'
A
AB同侧
例：在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。
若，为边上的两个动点，且，当四边形
的周长最小时，求点，的坐标。
初中数学动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题
动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。
其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。
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1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。
中考数学专题讲练03 几何最值类问题综合(原卷版)
培优冲刺03 几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。
（2022年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH ⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH （AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。
初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。
而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。
这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。
本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。
中考数学中关于动点的最值问题
中考数学中关于动点的最值问题作者：邓昌滨来源：《中学数学杂志(初中版)》2008年第05期在平面几何问题中，当某点在给定条件运动时，求某几何量的最大值或最小值问题，即最值问题. 这类题综合性强，能力要求高. 它能全面的考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，对培养学生的思维品质和各种能力有更大的促进作用，本文仅以2008年江苏中考压轴题为例进行分析，供参考.1 利用函数的性质求最值图1例1 （2008年连云港）如图1，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ、Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2. 将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上. 一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动. 当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H.（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由.解（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知A，C两点的坐标分别为（1，2），（2，1）. 易得直线AC所对应的函数关系式为y=-x+3.①点M到x轴的距离h与线段BH的长总相等. 因为点C的坐标为（2，1），所以，直线OC所对应的函数关系式为y=12x. 又因为点P在直线AC上，所以可设点P的坐标为（a,3-a). 过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK=h. 因为点M在直线OC上，所以有M(2h,h). 因为纸板为平行移动，易得Rt△PHG∽△Rt△PFE,有GHPH=EFPF=12. 故GH=12PH=12(3-a). 所以OG=OH-GH=a-12(3-a)=32(a-1). 故G点坐标为(32(a-1),0). 又点P的坐标为(a,3-a),可得直线PG所对的函数关系式为y=2x+(3-3a). 将点M的坐标代入，得h=4h+(3-3a).解得h=a-1. 而BH=OH-OB=a-1，从而总有h=BH.②由①知，点M的坐标为(2a-2,a-1)，点N的坐标为(a,12a).△-△-12OG×h=12×12a×a-12×3a-32×(a-1)=--34=-12(a-当a=32时，S有最大值，最大值为38.取最大值时点P的坐标为(32,32).评注解此类题的关键是分析运动变化的过程，用点P的横坐标a的代数式表示描述点的运动过程，把动点视为静点参与运算，列出关于a的函数关系式，证明线段相等，再根据二次函数的增减性求得最值问题.2 利用轴对称变换求最值图2例2 （2008年南通）如图2，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D 作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm,BC=9cm，P是射线DE上的动点. 设DP=xcm(x>0),四边形BCDP 的面积为①求y关于x的函数的关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.证明（1）因为AD=CD，DE⊥AC，所以DE垂直平分AC，所以AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF. 因为∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°，所以∠DCF=∠DAF=∠B,易得△DCF∽△ABC,所以CDAB=CFCB,即CDAB=AFCB. 所以AB•AF=CB•CD.解（2）①因为AB=15，BC=9，∠ACB=90°，所以--所以CF=AF=6，所以y=12(x+9)×6=3x+27(x>0).②因为BC=9（定值），所以△PBC的周长最小，就是PB+PC最小. 由（1）可知，点C 关于直线DE的对称点是点A，所以PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小. 显然当P、A、B 三点共线时PB+PA最小. 此时DP=DE，PB+PA=AB. 由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC,得AE=BE=12AB=152,EF=92，所以AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15，所以AD=10. Rt△ADF中，AD=10，AF=6，所以DF=8. 所以DE=DF+FE=8+92=252.所以当x=252时，△PBC的周长最小，此时y=1292.评注本题可转化为直线上一点到直线同侧两点的距离和最小问题，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，然后根据“两点之间的线段最短”，从而找到所需的最短路线.3 利用动点的范围求最值例3 （2008年徐州）如图，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°.操作将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q.探究1 在旋转过程中：（1）如图，当CEEA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.（2）如图，当CEEA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是（直接写出结论，不必证明）.图图图探究2 若CEEA=2,AC=30cm,连结PQ，设△EPQ的面积为在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？求出相应S的取值范围.解探究（1）作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，连结BE，因为∠ABC=90°,所以∠MEN=90°. 因为AB=BC，CE=EA，所以BE为∠ABC的平分线，所以EM=EN. ①若点M、P重合，显然EP=EQ. ②若点M、P不重合，因为∠MEP=∠NEQ=90°-∠PEN，所以Rt△EMP≌Rt△ENQ. 所以（2）作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，因为∠ABC=90°，所以EM∥BC，所以△EMP∽△ENQ,所以EMBC=AEAC=13. 同理ENAB=23. 因为AB=BC，所以EMEN=12. ①若点M、P重合，显然EPEQ=EMEN=12. ②若点M、P不重合，因为∠MEP=∠NEQ=90°-∠PEN，所以△EMP∽△ENQ,所以EPEQ=EMEN=12. 综上，EPEQ=12. 由上可得EPEQ=1m,设EF=x，则DE=AC=3x,当E在边AC上由C向A移动时，要确保EF与BC有交点Q，EQ最大时，EQ⊥BC，此时EQ=EF=x,EC=2x,EA=AC-EC=3x-2x,所以此时m=CEEA=2x3x-2x=6+2,故0探究（1）设EQ=x，则△其中102≤x≤103.故如图，当x=EN=102cm时，△取得最小值如图，当x=EF=103cm时，△取得最大值（2）如图，当x=EB=510cm时，△；故当50时图时图时图评注本题以学生熟悉的三角板为背景，通过学生观察、动手操作、猜想、验证等数学活动过程，激发了学生的学习兴趣，此题的关键是将所求问题转化为动点Q在BC上时EQ的最值问题，渗透了化归、分类、数形结合、特殊化诸多数学思想方法，全面考查了学生的空间想象能力，几何变换，探索问题和解决问题的能力.。
中考数学中关于动点的最值问题
９ ｍ， 射线 Ｄ ｃ Ｐ是 Ｅ上 的动点 ．设 Ｄ ＝ｘｍ（ Ｐ ｃ ｘ＞０ ， ）
四边形 Ｂ Ｄ Ｃ Ｐ的面 积为 ｙ ｍ ． ｃ
① 求 Ｙ关 于 的函数 的关 系式 ； ② 当 为 何值时 ， Ｂ ＡＰ Ｃ的周长最 小 ， 并求 出此
时 Ｙ的值． 证 明 （ ）因为 Ａ ＝Ｃ Ｄ 上 Ａ ， 以 Ｄ １ Ｄ Ｄ， Ｅ Ｃ所 Ｅ
ＣＤ ；
二
图２
所 以可设 点 Ｐ的坐标 为（ ， ｎ３一ａ ．过 点 作 轴 的 ） 垂 线 ， 垂足 为点 ， 设 则有 ＭＫ ＝ｈ ．因为点 在直线
Ｏ Ｃ上 ， 以有 （ ｈ ｈ ．因 为纸 板 为平 行 移 动 ， 所 ２ ，） 易
（ ）已知 Ａ ＝ １ ｃ ＢＣ ＝ ２ Ｂ ５ ｍ，
平 面 直 角 坐 标 系 中 的 ＡＡ Ｂ， Ｏ Ｏ ＡＣ Ｄ处 ， 角 边 直 Ｏ Ｏ Ｂ，Ｄ在 轴 上．一直 尺 从上方 紧靠两纸 板放 置 ， 图１
Ｓ Ｓ０ 一 △ ｃ ＋ ｎ Ｏ 一 Ｇ ＝ ： △Ⅳ Ｓ０ ＝ Ｎ × Ｈ ＋ｏ ｈ ｘ
让 纸板 Ｉ沿直 尺边缘 平行 移动．当纸板 Ｉ移动 至
探 究 １ 在旋转 过程 中 ： （ ）如图 ３２ 当 ＝ｌ ， １ －， 时 Ｐ与 Ｅ Ｑ满 足怎样 的数 量关 系？ 给 出证 明． 并 （ ）如图 ３３ 当 ＝２时 ２ －， Ｃ Ｅ
，
垂直 平 分 Ａ 所 以 Ａ ： Ｃ ／ Ｆ ＝ Ｄ Ｃ ＝ Ｃ， Ｆ Ｆ， ＿Ｄ Ａ Ｆ
Ｏ —Ｏ ＝ ａ一１ 从而 总有 ｈ ＝Ｂ ． Ｈ Ｂ ， Ｈ
港 ）如 图 １现 有 两块 全 等 ， 的直角 三角 形纸 板 Ｉ、 Ⅱ， 它们两 直 角 边 的长 分 别 为
② 由 ① 知 ， Ｍ的坐 标为 （ａ一２ａ一１ ， Ⅳ 点 ２ ， ）点
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
中考数学动点最值问题
动点最值问题【考查知识点】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.平面上最短路径问题：(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”。
凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
(3)平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。
【方法归纳】在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点之间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P 到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.【典型例题】一、将军饮马基础1．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，则线段EP ＋FP 的长最短为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，MN 是等边三角形ABC 的一条对称轴，D 为AC 的中点，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD 的度数是( )A ．30°B ．15°C ．20°D ．35°3. 如图：等腰△ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为( )A ．6B ．8C ．9D ．104．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积为12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一点，则△BDM 的周长最小值为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm二、平面直角坐标系中的最值1．如图，在R t A B O 中，90O B A ∠=︒，()4,4A ，点C 在边A B 上，且13A CC B =，点D 为O B 的中点，点P 为边O A 上的动点，当点P 在O A 上移动时，使四边形P D B C 周长最小的点P 的坐标为( )A ．()2,2B ．55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,32．在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，OA=3，OB=4．把△AOB 绕点A 顺时针旋转120°，得到△ADC ．边OB 上的一点M 旋转后的对应点为M′，当AM′+DM 取得最小值时，点M 的坐标为( )A ．(0，335 ) B ．(0，34) C ．(0，35) D ．(0，3)3．直线y ＝x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( ).A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－，0)D ．(－，0)三、双动点最值问题1. 如图，A B C ∆是等边三角形，13A D A B =，点E 、F 分别为边A C 、B C 上的动点，当D E F ∆的周长最小时，F D E ∠的度数是______________.2. 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O 的动点，则△PMN周长的最小值是()A．362B．332C．6 D．33．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )A．130°B．120°C．110°D．100°4．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )．A．50°B．60°C．70°D．80°四、与圆有关的最值1. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD 的最大值为___．2．如图，已知点A 是以MN 为直径的半圆上一个三等分点，点B 是弧A N 的中点，点P 是半径ON 上的点．若⊙O 的半径为l ，则AP+BP 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2D ．1 3．如图，A C 是O 的弦，5A C ＝，点B 是O 上的一个动点，且45A B C ∠︒＝，若点,M N 分别是,A C B C 的中点，则M N 的最大值是_____．五、角平分线有关的最值1．如图，∠AOB ＝60°，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，OP ＝8，当△PMN 周长取最小值时，△OMN 的面积为_____．2．如图，在R t A B C ∆中，90A C B ∠=︒，3A C =，4B C =，A D 是B A C ∠的平分线.若P ，Q 分别是A D 和A C 上的动点，则P C P Q +的最小值是__________.3．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．六、最值与特殊角1．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(3，0)是OB上的一定点，点M 是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．。
中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转及动点最值问题
C DEB A 图② 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题一、折叠、剪切类问题1、折叠后求度数〔1〕将一长方形纸片按如下图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，那么∠CBD 的度数为〔 〕A ．600B ．750C ．900D ．950〔2〕如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，假设∠EFB ＝65°，那么∠AED′等于〔 〕A ．50° B．55° C ．60° D．65°〔3〕用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.2、折叠后求长度〔1〕将矩形纸片ABCD 按如下图的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．那么BC 的长为〔 〕．A 、3B 、2C 、3D 、32〔2〕如图，边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，那么CE 的长是〔 〕 〔A 〕10315- 〔B 〕1053-〔C 〕535- 〔D 〕20103-图① ABEF〔3〕如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，那么线段的长是〔 〕 A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm〔4〕如图，将矩形纸ABCD 的四个角向折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，假设EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，那么边AD 的长是___________厘米. 〔5〕如图，是一矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，假设将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，假设BE =6cm ，那么CD =〔6〕如图〔1〕，把一个长为m 、宽为n 的长方形〔m n >〕沿虚线剪开，拼接成图〔2〕，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，那么去掉的小正方形的边长为〔 〕A ．2m n-B ．m n -C ．2m D ．2n3、折叠后求面积〔1〕如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，那么△CEF 的面积为〔 〕 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10〔2〕如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，假设沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅〞，那么图中阴影局部的面积是〔 〕 NM F E DC B Amn n n〔2〕〔1〕A ．2B ．4C ．8D ．10〔3〕如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
初中数学动点最值问题19大模型+例题详解
初中数学动点最值问题19⼤模型+例题详解
动点最值问题是中考最难的压轴类题⽬，很多同学都反应不知道该怎么下⼿。
其实这类题⽬的题型有限，总结归纳有19种，希望同学们对每⼀种都能掌握技巧。
1、对称点模型
2、利⽤三⾓形两边差求最值
3、⼿拉⼿全等取最值
4、⼿拉⼿相似取最值
5、平移构造平⾏四边形求最⼩
6、两点对称勺⼦型连接两端求最⼩
7、两点对称折线连两端求最⼩
8、时钟模型，中点两定边求最⼩值
9、时钟模型，相似两定边求最⼩值
10、转化构造两定边求最值
11、⾯积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化⼀法求最值
14、三⾓函数化⼀求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三⾓形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定⾓动弦
19、隐圆最值-动⾓定弦。
中考压轴题动点形成的最值问题
中考压轴题动点形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写双（多）形成的最值问题模拟题．在中考压轴题中，双（多）形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．原创模拟预测题1．如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．【答案】3． 【解析】试题分析：∵ED=EM ，MF=FN ，∴EF=12DN ，∴DN 最大时，EF 最大，∵N 与B 重合时DN 最大，此时22AD AB ，∴EF 的最大值为3．故答案为：3．考点：三角形中位线定理；勾股定理；动点型．原创模拟预测题2．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD=4cm ，DC=5cm ，AB=8cm ．如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ，当P 点到达C 点时，两点同时停止运动，连接PQ ，设运动时间为t s ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？（2）设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值； （3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）5；（2）当t=4时，S 的最大值是325；（3）t=4011秒或t=4811秒或t=4秒．【解析】（2）由题意知，AQ=BP=t ，∴QB=8﹣t ，作PF ⊥QB 于F ，则△BPF ～△BCE ，∴PF BPCE BC =，即45PF t =，∴PF=45t，∴S=12QB•PF=14(8)25t t ⨯-=221655t t -+=2232(4)55t --+（0＜t≤5），∵25-＜0，∴S 有最大值，当t=4时，S 的最大值是325；（3）∵cos ∠B=35BE FB BC BP ==，∴BF=35t ，∴QF=AB ﹣AQ ﹣BF=885t-，∴22QF PF +2284(8)()55t t -+2184455t t -+①当PQ=PB 时，∵PF ⊥QB ，∴BF=QF ，∴BQ=2BF ，即：3825t t-=⨯，解得t=4011； ②当PQ=BQ 时，即218455t t -+﹣t ，即：211480t t -=，解得：10t =（舍去），24811t =；③当QB=BP ，即8﹣t=t ，解得：t=4．综上所述：当t=4011秒或t=4811秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．考点：四边形综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．原创模拟预测题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，动点M、N相遇；（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．【答案】（1）2.5；（2）S=22275156(0 1.4)4860100(1.4 2.5)386010010(2.5)33t ttt ttt tt⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；（3）在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．【解析】（3）分两种情况讨论，①当P 在BC 上运动时，如图4，当P 与C 重合时，ΔKACS 最小，当t=0是，M 与A 重合，N 与B 重合，如图5，此时三角形ΔKACS 最大；②当P 在CA 上运动时，如图6，过K 作KE ⊥AC 于E ，过M 作MF ⊥AC 于F ，可以得到ΔKAC S =65t，而101.43t ≤≤，故当 1.4t =时，ΔKAC S 的最小值=6 1.4 1.685⨯=，当103t =时，ΔKAC S 的最大值=610453⨯=．综合①②可得到结论．试题解析：（1）∵∠ACB ＝900，AC=6，BC=8，∴AB=10，当M 、N 相遇时，有310t t +=，∴ 2.5t =；（2）∵N 比M 运动的速度快，∴P 先在BC 上运动，然后在CA 上运动．当P 与C 重合时，∵ΔABC S=12AC •BC=12AB •GC ，∴GC=6×8÷10=4.8，∴226 4.8-，∴BG=10－3.6=6.4，∵AM=t ，BN=3t ，∴MN=10－4t ，MG=GN=12MN=1(104)2t -=52t -，∴52 3.6t t +-=，∴ 1.4t =．①当0 1.4t≤≤时，M在N的左边，P先在BC上向C靠近，如图1，∵AM=t，BN=3t，∴MN=10－4t，MG=GN=12MN=1(104)2t-=52t-，∴GB=GN+NB=523t t-+=5t+，∵tanB=PG ACGB BC=，∴658PGt=+，∴PG=3(5)4t+，∴S=ΔPMNS=12MN•PG= GN•PG=3(52)(5)4t t-⨯+=2751564t t--；②当1.4 2.5t<≤时，M在N的左边，在AC上逐渐远离C，如图2，由①可知，GN=MG=52t-，AM=t，∴AG=MG+AM=5t-，tanA=PG BCAG AC=，∴856PGt=-，∴PG=4(5)3t-，∴S=ΔPMNS=12MN•PG= GN•PG=4(52)(5)3t t-⨯-=28601003t t-+；③当102.53t<≤时，M在N的右边，在AC上逐渐远离C，如图3．MN=NB+AM－AB=310t t+-=410t-，GN=MG=25t-，AM=t，∴AG= AM－MG =(25)t t--=5t-，tanA=PG BCAG AC=，∴856PGt=-，∴PG=4(5)3t-，∴S=ΔPMNS=12MN •PG= GN•PG=4(25)(5)3t t-⨯-=28601003t t-+-；∴S=22275156(0 1.4)4860100(1.4 2.5)386010010(2.5)33t ttt ttt tt⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；②当P在CA上运动时，如图6，过K作KE⊥AC于E，过M作MF⊥AC于F，∴EK∥FM，∵K为PM的中点，∴EK=12FM，∵FM⊥AC，CB⊥AC，∴FM∥CB，∴FM AMBC AB=，∴810FM t=，∴FM=45t，∴EK=12FM=25t，∴ΔKACS=12AC•EK=12625t⨯⨯=65t，∵101.43t≤≤，∴当 1.4t=时，ΔKACS的最小值=61.4 1.685⨯=，当103t=时，ΔKACS的最大值=610453⨯=．∴当P在CA上运动时，△KAC面积的最小值为1.68，最大值为4．综合①②可得：在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．考点：三角形综合题；动点型；分类讨论；最值问题；分段函数；压轴题．原创模拟预测题4．如图，二次函数cxaxy++=22的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； ②动点M 以每秒1个单位的速度沿线段AD 从点A 向点D 运动，同时，动点N以每秒513个单位的速度沿线段DB 从点D 向点B 运动，问：在运动过程中，当运动时间t 为何值时，△DMN 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）322++-=x x y ；（2）1y x =--；（3）①P （35，0）或P （﹣4.5，0）；②当225=t 时，MDN S ∆的最大值为25．【解析】②过点B 作BF ⊥AD 于F ，过点N 作NE ⊥AD 于E ，在Rt △AFB 中，∠BAF=45°，于是可求得BF ，BD 的长，进而求得sin ∠ADB ，由于DM=t -25，DN=t513，于是得到NE DM S MDN ⋅=∆21=t t 52)25(21⋅-=，整理配方即可得到结果． 试题解析：（1）由题意知：023a c c =-+⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为322++-=x x y ；（2）在322++-=x x y 中，令y=0，则2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴B （3，0），由已知条件得直线BC 的解析式为3y x =-+，∵AD ∥BC ，∴设直线AD 的解析式为y x b =-+，∴0=1+b ，∴b=﹣1，∴直线AD 的解析式为1y x =--；（3）①∵BC ∥AD ，∴∠DAB=∠CBA ，∴只要当：AB PB AD BC =或AD PBAB BC =时，△PBC ∽△ABD ，解：2231x y y x x ⎧⎨=-+-=-+⎩，得D （4，﹣5），∴AD=25，AB=4，BC=23，设P 的坐标为（x ，0），即432523x -=或253423x -=，解得53=x 或5.4-=x ，∴P （35，0）或P （﹣4.5，0），②过点B 作BF ⊥AD 于F ，过点N 作NE ⊥AD 于E ， 在Rt △AFB 中，∠BAF=45°，∴AB BFBAF =∠sin ，∴BF=22224=⨯，BD=26，∴131322622sin ===∠BD BF ADB ， ∵DM=t -25，DN=t513，又∵DN NE ADB =∠sin ，NE=t 513t5213132=⋅， ∴NE DM S MDN ⋅=∆21=t t 52)25(21⋅-=)25(5125122t t t t --=+-=25)225(512+--=t ，∴当225=t 时，MDN S ∆的最大值为25．考点：二次函数综合题；分类讨论；相似三角形的判定与性质；最值问题；二次函数的最值；动点型；压轴题．原创模拟预测题5．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD=3． （1）求MP 的值；（2）在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合．当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？（3）若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）【答案】（1）5；（2）1611；（3）755+．【解析】 试题分析：（1）由折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可计算出MP 的长；（2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E 交AB 于点F ，利用两点之间线段最短可得点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，则AM=AD ﹣MP ﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，利用勾股定理计算出MN=3，NM′=11，得出△AFM′∽△NEM′，利用相似比即可计算出AF；（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R 交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理计算出M′R得出，从而得到四边形MEQG的最小周长值．（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R 交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ 是平行四边形，∴QE=GR，∵G M=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R=22112+=55，∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQG的最小周长值是755+．考点：几何变换综合题；动点型；最值问题；翻折变换（折叠问题）；综合题；压轴题．原创模拟预测题6．抛物线213242y x x=-+与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E 作x 轴的平行线，与BC 相交于点D （如图所示），当t 为何值时，11OP ED +的值最小，求出这个最小值并写出此时点E ，P 的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） A （2，0），B （4，0），C （0，2）；（2）①t=1时，11OP ED +有最小值1，此时OP=2，OE=1， E （0，1），P （2，0）；②F （3，2），（3，7）．【解析】 试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果； （2）①由题意得：OP=2t ，OE=t ，通过△CDE ∽△CBO 得到CE ED CO OB =，即224t DE -=，求得11OP ED +有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F （3，m ），当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即2132042x x -+=，解得：12x =，24x =，∵OA ＜OB ，∴A （2，0），B （4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C （0，2）；（2）①由题意得：OP=2t ，OE=t ，∵DE ∥OB ，∴△CDE ∽△CBO ，∴CE ED CO OB =，即224t DE -=，∴DE=4﹣2t ， ∴11OP ED +=11242t t +-=212t t -+=211(1)t --，∵0＜t ＜2，21(1)t --始终为正数，且t=1时，21(1)t --有最大值1，∴t=1时，211(1)t --有最小值1，即t=1时，11OP ED +有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E （0，1），P （2，0）； ②存在，∵抛物线213242y x x =-+的对称轴方程为x=3，设F （3，m ），∴25EP =，2PF =22(32)m -+，2EF =22(1)3m -+，当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，222EPPF EF +=，即22225(32)(1)3m m +-+=-+，解得：m=2， ②当∠EFP=90°时，222EF PF EP +=，即2222(1)3(32)5m m -++-+=，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，222EF PE PF +=，即2222(1)35(32)m m -++=-+，解得：m=7， 综上所述，F （3，2），（3，7）．考点：二次函数综合题；动点型；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；压轴题．原创模拟预测题7．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=9，ΔABC 272S =，动点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正方形PQEF （P 、Q 、E 、F 按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH ．（1）求tanA 的值；（2）设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．【答案】（1）34；（2）8110；（3）t 的值为：914或911或1或97．【解析】试题分析：（1）如图1，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，利用面积法求得BM 的长度，利用勾股定理得到AM 的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；（2）如图2，过点P 作PN ⊥AC 于点N ．利用（1）中的结论和勾股定理得到222PN NQ PQ +=，所以由正方形的面积公式得到S 关于t 的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；（3）需要分类讨论：当点E在边HG上、点F在边HG上、点P边QH（或点E在QC上）、点F边C上时相对应的t的值．（3）分四种情况讨论：①如图3，当点E在边HG上时，t=9 14；②如图4，当点F在边HG上时，t=9 11；③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t=1；④如图6，当点F边C上时，t=9 7；综上所述：t的值为：914或911或1或97．考点：四边形综合题；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；动点型；存在型；综合题；压轴题．。
中考数学复习：专题三：动点或最值问题
点拨：在 Rt△AOB 中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO ＝ 22－12＝ 3，①当点 P 从 O→B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的 路程为 3；②当点 P 从 B→C 时，如图 3 所示，这时 QC⊥AB，则∠ACQ ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝ 30°，∴cos30°＝ACQQ，∴AQ＝cosC3Q0°＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点 Q 运动的路程为 QO＝1；③当点 P 从 C→A 时，如图 3 所示，点 Q 运动的 路程为 QQ′＝2－ 3；④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO＝1， ∴点 Q 运动的总路程为 3＋1＋2－ 3＋1＝4，故答案为 4
【点评】 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利 用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)
解决最值问题的两种方法： (1)应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆的所有弦中，直径最长. (2)运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式．
【例 2】 (2016·雅安)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AE⊥BD， 垂足为 E，ED＝3BE，点 P，Q 分别在 BD，AD 上，则 AP＋PQ 的最小 值为( D )