3.第7课时 一元二次方程及其应用
一元二次方程课件ppt
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
• 练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试 说明理由。
3x25x3 不是
x2 4
是
x 2 x2 x 1
不是
根公式，得出方程的根 x b b2 4ac 2a
注意:
• ①当时 b24ac0，方程无解；
• ②公式法是解一元二次方程的万能方法；
• ③利用
的值，可以不解方程
就能判断b方2 程4a根c 的情况；
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判
别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ • 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
一元二次方程的简单应用
课题一元二次方程的简单应用教学目标1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．重点了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想难点经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力考点讲解：1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=(b2－4ac≥0)⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．一元二次方程的简单应用1．若关于x的方程(k＋1)x2－(k－2)x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的解为______．2．如果(m－2)x|m｜＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )．A．2或－2 B．2 C．－2 D．以上都不正确3．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．4．三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，k cm ，且k 满足一元二次方程2k 2－9k －5=0，求此三角形的周长．5．解关于x 的方程：x 2＋mx ＋2=mx 2＋3x ．(其中m ≠1)6．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?7．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．8．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．9．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-m x m x 都有两个不相等的实根．10．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．11．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根．12．如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值．13．已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实根．14．若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．15．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根；(2)若此方程有两个整数根，求m 的值．16．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx y x +-的值．17．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)18．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________________．19．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________．20．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为,24,221aac b b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________．并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______．(3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值： ①;1121x x + ②;2221x x + ③｜x 1－x 2｜； ④;221221x x x x + ⑤(x 1－2)(x 2－2)．21、若方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，不解方程求x 41＋x 42的值；22、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2-=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（）A △=MB △＞MC △＜MD 大小关系不能确定23、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______24、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______25、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________26、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________27、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________28、已知,)21(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 29、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？30、关于x 的方程032)4()16(22=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。
苏科版九年级数学上册23章一元二次方程第7课时
初中数学试卷第7课时一元二次方程的解法(六)1．如图，用一块长80cm、宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图所示的底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，如果设截去的小正方形的边长为x cm，那么长方体盒子底面的长为，底面的宽为，为了求出x的值，可列出方程．2．四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18rn2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为m．根据题意，可得方程．3．在一幅长90cm、宽40cm、的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72％，那么金边的宽应该是多少?4．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为l米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元?5．如图，要在长32m、宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570 m2，问道路宽应为多少?6．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2︰1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元，如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．7．某中学有一块长am、宽bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2m的两条互相垂直的道路，余下的4块矩形小场地建成草坪．(1)如图，请分别写出每条道路的面积；(2)已知a︰b＝2︰1，并且4块草坪的面积之和为312 m2，试求原来矩形场地的长与宽各是多少?(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同时符合下述两个条件)：①在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃，花圃各边必须分别与所在的草坪的对角线平行，并且其中有两个花圃的面积之差为13m2；②整个矩形场地(包括道路、草坪、花圃)为轴对称图形。
第七讲--一元二次方程的性质
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
例2、填空
4(x 1 2 )(x 1 2 )
（1）分解因式4x2-4x-1=______2________2____
(2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=_4___,另一根_-_3__
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是______X__2-_9_x+12=0
； 宠物DR https:///a/360133199_120472838 宠物DR
；
文章要坚决抵制。 （2）立意：勤奋不一定能成功，但不勤奋就一定不能成功； 勤奋＋思考＝成功 2．阅读下面的材料，作文。 从前，有一对仙人夫妻常在山顶下围棋。旁边有一棵树，树上住了一只金丝猴。它长年累月地躲在树上观看这对仙人下围棋，终于练就了非凡的棋艺。不久 这只猴子下山了。它到处找人挑战，未逢敌手。最后，竟连一流的高手也成为他的手下败将。后来一位大臣自告奋勇要求应战，宣称自己有绝对的取胜把握。比赛那一天，大臣在桌子上放了一盘鲜艳的水蜜桃。比赛中猴子始终盯着桃子，结果它输了。 要求全面的理解材料，可以选择一 个侧面、一个角度构思作文。自主确定立意，确定标题，写一篇议；不要脱离材料的含义作文，不要套作，不得抄袭，不少于800字。 【写作指
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。
例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。
在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。
在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。
总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。
中考数学总复习第7课 一元二次方程
5．(2013·浙江衢州)如图 7－1，在长和宽分别是 a，b 的矩形纸片的四个 角都剪去一个边长为 x 的正方形． (1)用含 a，b，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当 a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方 形的边长．
图 7－1 【解析】 (1)面积＝ab－4x2. (2)根据题意，得 ab－4x2＝4x2(或 4x2＝1ab龙江牡丹江)若关于 x 的一元二次方
程为 ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是 x＝1，则 2013－a－b 的
值是
()
A．2018
B．2008
C ．2014
D．2012
点评：(1)本题主要考查一元二次方程的解的概念，难度较小．
(2)解题的关键是把已知方程的解直接代入方程得到待定系数
3．解一元二次方程时，方程两边不能同时约去一个相同 的式子，因为这个式子可能为 0，如果约去，会造成漏 解．
【精选考题 2】 (2013·江苏无锡)解方程：x2－3x＋2＝0.
点评：(1)本题考查一元二次方程的解法，难度较小． (2)求解本题的关键是根据题目特征选择最适合的方法(因 式分解法)求解． 解析：x 2－3x ＋2＝0，(x －1)(x －2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝2.
3．配方法：解一元二次方程时，先把方程的常数项移到方程的右边，再在方程两边同时 加上某一常数，使得左边刚好能配成一个完全平方式，即将方程化为(x＋a)2＝b 的形式， 如果 b≥0，就可以用直接开平方法来求出它的解，这种解一元二次方程的方法叫做配 方法．
4．公式法：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝－b± b2－4ac(b2－4ac≥0)． 2a
拓展提高
1．(2012·山东泰安)方程 2x2＋5x－3＝0 的解是
2013年中考数学复习 第二章方程与不等式 第7课 一元二次方程课件
(3)(2010· 广州)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两
ab2 个相等的实数根，求 的值． 2 2 a－2 ＋b －4
分析：对于(3)，由于这个方程有两个相等的实数根，因此△＝b2
(2)已知a是方程x2－2009x＋1＝0的一个根，试求a2－2008a ＋ 2009 值． a2＋1 解：∵x＝a，∴a2－2009a＋1＝0，
∴a2－2008a＝a－1，a2＋1＝2009a， 2009 ＝ 2009 ＝1 . a2＋1 2009a a 1 a2－a＋1 a2＋1－a ∴原式＝a－1＋ ＝ ＝ a a a ＝ 2009a－a ＝ 2008a ＝2008. a a
∴x2＋x－2＝0，x1＝1，x2＝－2，另一个根是－2.
4．(2011· 大理)三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程 x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( C ) A．9 C．13 B．11 D．11或13
解析：方程x2－6x＋8＝0的根为x＝2或4，而第三边3<x<9，
故x＝4，三角形周长为3＋6＋4＝13.
的说法？说明你的理由． 解：不同意小聪的说法． 理由如下：x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝(x－5)2＋11≥11， 当x＝5时，x2－10x＋36有最小值11.
题型三
应用方程根的定义解题
【例 3】(1)(2010· 绵阳)若实数m是方程x2－ 10 x＋1＝0的一个根， 则m4＋m－4＝________. 62 解析： ∵x＝m, ∴m2－ 10 m＋1＝0， 1 ∴m2＋1＝ 10m，m＋ ＝ 10 ， m 1 1 两边平方，得m2＋2＋ 2 ＝10，m2＋ 2＝8， m m 再平方，得m4＋2＋ 14＝64，m4＋ 14 ＝62， m m 即m4＋m－4＝62.
2019-2020年中考数学复习考点精练：第7课时 一元二次方程及其应用
2019-2020年中考数学复习考点精练：第7课时一元二次方程及其应用命题点1 解一元二次方程（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查3次，2013 年考查3次）1. （2015徐州20（1）题5分）解方程：x2-2x-3=0.2. （2014徐州20（1）题5分）解方程：x2+4x-1=0.3. （2014泰州17（2）题6分）解方程：2x2-4x-1=0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（近3年39套卷，2015年考查6次，2014年考查6次，2013年考查5次）1. （2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是()A.x2-x+1=0B.x2+x+1=0C. (x-1)(x+2)=0D. (x-1)2+1=02. （2015连云港6题3分）已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k<13B.k>-13C. k<13且k≠0 D. k>-13且k≠03. （2013镇江8题2分）写一个你喜欢的实数m的值_______，使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.4. （2015南通12题3分）已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于_______.5. （2015南京12题2分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是________.6. （2015镇江9题2分）关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是________.7. （2015徐州13题3分）已知关于x的方程x2x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为_________.8. （2014扬州17题3分）已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为.9. （2015泰州18题8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值.命题点3 一元二次方程的应用（近3年39套卷，2015年考查2次，2014年考查1次， 2013年考查3次）1. （2013南京14题2分）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：__________.第1题图2. （2014南京22题8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为_______万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本．．．．为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.3. （2013连云港23题10分）小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能．．．等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由.4. （2015淮安26题10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售. （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售是_______斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】命题点1 解一元二次方程 1. 解：因式分解得：(x +1)(x -3)=0，…………………………………………………………（3分）即x +1=0或x -3=0，…………………………………………………………………………（4分）解得：x 1=-1 ,x 2=3.……………………………………………………………………………（5分）2. 解：原式可化为（x 2+4x +4-4）-1=0，即（x +2）2=5，…………………………………（3分）两边开方得，x +2=4分）解得x 1x 2.…………………………………………………………………（5分）3. 解：这里a =2，b =-4，c =-1，……………………………………………………………（2分）∵b 2-4ac =16+8=24，…………………………………………………………………………（4分）∴x =424b a -±±=.即x 1,x 2=22-.…………………………………………………………………（6分）命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. C 【解析】A .b 2-4ac =(-1)2-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B .b 2-4ac =12-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C .x -1=0或x +2=0，则x 1=1,x 2=-2,所以C 选项正确；D .(x -1)2+1=0，方程左边为正数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误.2. A 【解析】∵方程x 2-2x +3k =0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac >0，即（-2）2-4×3k >0,解得k <13. 3. 0（答案不唯一）【解析】根据题意得：b 2-4ac =1-4m ＞0，解得：m ＜14，则m 可以为0，答案不唯一. 4. -2【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，∵a ＝2，b ＝4，c ＝-3，∴x 1+x 2＝ba＝-2. 5. 3，-4【解析】由题意及一元二次方程根与系数的关系知x 1x 2=3，得另一根为3，再由x 1＋x 2=-m ，得m =-4.6. a >0【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，本题中的判别式b 2-4ac =-4a ，∵方程没有实数根，则-4a <0，∴a >0.7. -3【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由于方程有两个相等的实数根，则)2-4×1×(-k )=0，解得k =-3.8. 23【解析】∵a ，b 是方程x 2-x -3=0的两个根，∴a 2-a -3=0，b 2-b -3=0，即a 2=a +3，b 2=b +3，∴2a 3+b 2+3a 2-11a -b +5=2a （a +3）+b +3+3（a +3）-11a -b +5=2a 2-2a +17=2（a +3）-2a +17=2a +6- 2a +17=23. 9. 解：（1）∵a =1,b =2m ,c =m 2-1,……………………………………………………………（1分）∴b 2-4ac =(2m )2-4×1×(m 2-1)=4＞0，………………………………………………………（3分）∴方程x 2+2mx +m 2-1=0有两个不相等的实数根;…………………………………………（4分）（2）∵x 2+2mx +m 2-1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2-1=0,…………………………………………………………………………（6分）解得，m =-4或m =-2.…………………………………………………………………………（8分）命题点3 一元二次方程的应用1. (x +1)2=25(本题答案不唯一)【解析】解法一：分割法，如解图①，将图形分割成两个长方形，由题意，x (x +1)+x ×1=24即x 2+2x =24，∴x 2+2x -24=0.解法二：补图法，如解图②，将图形补成一个正方形，由题意，(x +1)2-1=24,∴(x +1)2=25.第1题解图2.4分）（2）【思路分析】由题意，等量关系为第三年养殖成本4+2.6(1+x )2万元等于7.146万元，可解方程得结论.解：根据题意，得4+2.6(1+x )2=7.146.解方程，得x 1=0.1,x 2=-2.1(不合题意，舍去). 答：可变成本平均每年增长的百分率是10％.……………………………………………（8分）3. （1）【思路分析】设剪成的较短的一段为x cm ，较长的一段就为（40-x ）cm .就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可.解：设剪成的较短的一段为xcm ，较长的一段则为（40-x ） cm ，由题意，得：(4x ）2+(404x -)2=58, ………………………………………………………………………………………………（2分）解得：x 1=12，x 2=28，当x =12时，较长的为40-12=28 cm ，………………………………………………………（3分）当x =28时，较长的为40-28=12＜28（舍去），…………………………………………（4分）∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .……………………………………………（5分）（2）【思路分析】设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段则为（40-m ） cm .就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确.解：设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段则为（40-m ） cm ，由题意，得： (4m ）2+(404m -)2=48，……………………………………………………………………（7分）变形为：m 2-40m +416=0， ∵b 2-4ac =（-40）2-4×416=-64＜0， ∴原方程无实数根，…………………………………………………………………………（9分）∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.……………………（10分）4. （1）【思路分析】因为售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，售价降低x 元，每天可多售出20×0.1x 斤，每天销售量为100+20×0.1x =（200x +100）（斤）. 解：200x +100；………………………………………………………………………………（2分）（2）【思路分析】根据：每天销售利润=（原销售价-成本价-销售价降低部分）×每天销售量，建立方程求解.解：根据题意，得（200x+100）（4-2-x）=300，………………………………………………………………（4分）整理，得2x2-3x+1=0，………………………………………………………………………（6分）(x-1)(2x-1)=0,解得x1=1,x2=0.5，…………………………………………………………………………（8分）当x=0.5时，每天销售量为200×0.5+100=200<260，不合题意，舍去.………………（9分）答：销售这种水果要想每天销售盈利300元，张阿姨需将每斤销售价降低1元.……（10分）2019-2020年中考数学复习考点精练：第8课时分式方程及其应用命题点1 解分式方程（近3年39套卷，2015年考查5次，2014年考查7次，2013年考查9次）解分式方程考查的题型有选择题、填空题和解答题，其中以解答题为主，所给的分式方程有3种形式：①等号两边均为分式；②等号左边为分式，等号右边为常数项或分式与常数项的和或差；③等号左边为两个分式或常数项与分式，等号右边为常数项.1. （2015淮安9题3分）方程1x-3=0的解是__________.2. （2015宿迁12题3分）方程3x-22x-=0的解为________.3. （2015镇江19（1）题5分）解方程：3+4xx-=12.4. （2015南通19（2）题5分）解方程12x=1+5x.5. （2014苏州22题6分）解分式方程：2311xx x+=--.6. （2014连云港19题6分）解方程21322x x x-+=--.7. （2013泰州18题8分）解方程：22 222222x x xx x x x++--=--.命题点2 分式方程的应用（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查2次，2013年考查2次）1. （2015苏州22题6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？2. （2015扬州24题10分）扬州建城2500年之际，为了加速美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20％，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？3. （2013扬州24题10分）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况.（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总额为1200元，我们班人数比你们班多8人.”（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20％.”请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数.4. （2015连云港23题10分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.【答案】命题点1 解分式方程1. x=13【解析】去分母得1-3x=0，移项得-3x=-1，系数化成1得x=13，因为x=13≠0，所以x =13是方程1x-3=0的解. 2. x =6【解析】给分式方程两边同时乘以x (x -2)，得3（x -2）-2x =0，解得x =6，经检验x =6是原分式方程的根.3. 解：去分母，得6+2x =4-x ，……………………………………………………………（2分）解得x =-23,……………………………………………………………………………………（4分） 经检验，x =-23是原方程的解.所以，原方程的解为x =-23.………………………………………………………………（5分）4. 解：方程两边同时乘以2x （x +5）,得x +5=6x ，………………………………………（2分） 解得x =1，……………………………………………………………………………………（3分） 检验：当x =1时，2x (x +5)≠0，……………………………………………………………（4分） 所以，原分式方程的解为x =1.………………………………………………………………（5分）5. 解：去分母得：x -2=3x -3, ………………………………………………………………（2分）解得：x =12，…………………………………………………………………………………（4分） 经检验x =12是分式方程的解.∴原分式方程的解为x =21. ………………………………………………………………（6分）6. 【思路分析】按照解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 化为1求解.在去分母时，不要漏掉乘常数项，最后检验.解：去分母，得 2+3（x -2）=-(1-x )，……………………………………………………（2分） 去括号，得2+3x -6=-1+x ， 移项，得3x -x ＝-1+6-2， 合并同类项，得2x =3，系数化为1，得x =32.………………………………………………………………………（4分） 检验：将x =32代入公分母x -2中，得x -2＝32-2＝-12≠0，……………………………（5分）∴原分式方程的解为x =32.…………………………………………………………………（6分）7. 解：方程两边同时乘以x （x -2）得：（2x +2）（x -2）-x （x +2）=x 2-2，……………（2分） 化简得：-4x =2，解得：x＝-12，………………………………………………………………………………（4分）检验：把x＝-12代入x（x-2）＝54≠0，…………………………………………………（6分）故方程的解是：x＝-12 .……………………………………………………………………（8分）命题点2 分式方程的应用1. 【思路分析】根据相等关系“甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等”列出方程求解，注意不能忘记检验.解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，…………………………（1分）根据题意，得6050x+=50x，………………………………………………………………（3分）解方程，得x=25，…………………………………………………………………………（4分）经检验，x=25是分式方程的解，∴x+5=30.……………………………………………………………………………………（5分）答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗.……………………………………（6分）2. 【思路分析】本题基本的关系是工作量除以工作效率即为工作的时间，关键的等量关系就是实际比原计划提前两天完成，理顺这两个关系即可，但注意解出分式方程的根后要进行验根.解：设原计划每天栽树x棵.………………………………………………………………（1分）根据题意，得1200x-(1120)20%x+=2，……………………………………………………（5分）解得x=100，………………………………………………………………………………（7分）经检验，x=100是原方程的解，…………………………………………………………（9分）答：原计划每天栽树100棵.………………………………………………………………（10分）3. 【思路分析】首先设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，然后根据九（1）班人数比九（2）班多8人，即可得方程：1200x-(1120)20%x+=8，解此方程即可求得答案.解：设九（1）班人均捐款数为x元，则九（2）班人均捐款数为（1+20%）x元，…（1分）由题意，得1200x-(1120)20%x+=8，………………………………………………………（5分）解得x =25，…………………………………………………………………………………（7分） 经检验，x =25是原分式方程的解，………………………………………………………（8分） 九（2）班的人均捐款数为：（1+20%）x =30.……………………………………………（9分） 答：九（1）班人均捐款为25元，九（2）班人均捐款为30元.………………………（10分）4.（1）【信息梳理】设每张门票的原定票价为x 元，解：设每张门票的原定票价为x 元.……………………………………………………（1分） 由题意得：6000480080x x =-, 解得：x=400，经检验，x =400是原方程的解.答：每张门票的原定票价为400元.………………………………………………………（5分）（2）【信息梳理】设平均每次降价的百分率为y ，由（1）知原定票价为400元.解：设平均每次降价的百分率为y .由题意得：400（1-y ）2＝324，解得：y 1＝0.1，y 2=1.9（不合题意，舍去），答：平均每次降价10％.……………………………………………………………………（10分）。
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第二章方程（组）与不等式第7课时一元二次方程及其应用(建议时间：分钟)基础过关1. (2019山西)一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为()A. (x＋2)2＝3B. (x＋2)2＝5C. (x－2)2＝3D. (x－2)2＝52. (2019怀化)一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是()A. x1＝1，x2＝－1B. x1＝x2＝1C. x1＝x2＝－1D. x1＝－1，x2＝23. (苏科九上P29习题第3题改编)某农场的粮食产量在两年内从3000 t增加到3630 t，设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是()A. 3000(1＋x)＝3630B. 3000(1＋2x)＝3630C. 3000(1＋x)2＝3630D. 3000(1＋x)＋3000(1＋x)2＝36304. (2019自贡)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是()A. m<1B. m≥1C. m≤1D. m>15. (2019遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为()A. 0B. ±1C. 1D. －16. (2019河南)一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根7. (2019新疆)在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为( )A. 12x (x －1)＝36B. 12x (x ＋1)＝36 C. x (x －1)＝36 D. x (x ＋1)＝368. (2019哈尔滨)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为( )A. 20%B. 40%C. 18%D. 36%9. 若关于x 的一元二次方程(m －6)x 2－2x ＋3＝0有两个实数根，则整数m 的最大值是( )A. 4B. 5C. 6D. 710. (2019广西北部湾经济区)扬帆中学有一块长30 m ，宽20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花.小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为x m ，则可列方程为( )第10题图A. (30－x )(20－x )＝34×20×30 B. (30－2x )(20－x )＝14×20×30 C. 30x ＋2×20x ＝14×20×30 D. (30－2x )(20－x )＝34×20×30 11. (2019桂林)一元二次方程(x －3)(x －2)＝0的根是 .12. (2019县区二模)若x＝a是方程x2＋2x－2＝0的其中一个根，则2a2＋4a－1＝.13. (2019济宁)已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是.14. (2019吉林省卷)若关于x的一元二次方程(x＋3)2＝c有实数根，则c的值可以为(写出一个即可).15. (2019江西)设x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两根，则x1＋x2＋x1x2＝.16. (2019安徽)解方程(x－1)2＝4.17. (2018徐州黑白卷)解方程：x2－3x＝4.18. (2019呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16的实数根.19. 解方程：3x(x－4)＝4x(x－4).20. (2019随州)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根.21. (2019襄阳)改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长(AD)16 m，宽(AB) 9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2.则小路的宽应为多少？第21题图满分冲关1. (2019龙东地区)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )A. 4B. 5C. 6D. 72. (2019威海)已知a ，b 是方程x 2＋x －3＝0的两个实数根，则a 2－b ＋2019的值是( )A. 2023B. 2021C. 2020D. 20193. (2019连云港)已知关于x 的一元二次方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0有两个相等的实数根，则1a＋c 的值等于 .4. (2019长沙)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导.某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导.据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？5. (2019东营)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？参考答案第7课时 一元二次方程及其应用基础过关1. D2. C3. C4. D 【解析】∵一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4m <0，解得m ＞1.5. D 【解析】把x ＝0代入方程(a －1)x 2－2x ＋a 2－1＝0中，可得a 2－1＝0，∵a －1≠0，∴a ＝－1，故选择D .6. A 【解析】将一元二次方程(x ＋1)(x －1)＝2x ＋3转化为一般式为x 2－2x －4＝0，∵b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－4)＝20＞0，∴该方程有两个不相等的实数根.7. A8. A 【解析】设降价的百分率为x ，根据题意可列方程为25(1－x )2＝16，解方程得x 1＝15，x 2＝95(舍)，∴每次降价得百分率为20%.故选A .9. B 【解析】根据题意得m －6≠0且b 2－4ac ＝(－2)2－4·(m －6)·3≥0，解得m ≤193且m ≠6，∴整数m 的最大值为5.10. D 【解析】花带宽度是x m ，∴去掉花带后余下矩形的长是(30－2x )m ，宽是(20－x )m ，∵花带部分占原矩形面积的四分之一，∴余下矩形的面积是原矩形面积的四分之三，列方程为(30－2x )(20－x )＝34×20×30.11. x 1＝2，x 2＝3 【解析】由(x －3)(x －2)＝0得：x －3＝0或x －2＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.12. 3 【解析】将x ＝a 代入x 2＋2x －2＝0中得a 2＋2a ＝2，∴2a 2＋4a ＝4.∴2a 2＋4a －1＝4－1＝3.13. －2 【解析】解法一：∵x ＝1是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，∴将x ＝1代入方程x 2＋bx －2＝0得1＋b －2＝0，∴b ＝1，∴原方程为x 2＋x －2＝0，∴解得x 1＝1，x 2＝－2.∴方程的另一个根为－2.解法二：设方程的另一个根为a ，∵x ＝1是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，∴1×a ＝－21＝－2，∴a ＝－2.14. 任意一个非负数皆可 【解析】∵一元二次方程(x ＋3)2＝c 有实数根，(x ＋3)2≥0，∴c ≥0.15. 0 【解析】由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝1，x 1·x 2 ＝－1，则x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1＋(－1)＝0.16. 解：由题得：x －1＝±2，∴x 1＝－1，x 2＝3.17. 解：移项得x 2－3x －4＝0，a ＝1，b ＝－3，c ＝－4，b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－4)＝25＞0，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝3±252×1＝3±52， ∴x 1＝－1，x 2＝4，∴原方程的解为－1或4；【一题多解】将方程变形为x 2－3x －4＝0，分解因式得(x ＋1)(x －4)＝0，∴x ＋1＝0或x －4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4.∴原方程的解为－1或4.18. 解：(2x ＋3)(x －6)＝162x 2－9x －18＝16∴x 2－92x ＝17.∴(x －94)2＝17＋(94)2.∴x －94＝±3534.解得x 1＝9＋3534，x 2＝9－3534.19. 解：3x (x －4)＝4x (x －4).原方程可化为：(x －4)(3x －4x )＝0.∴x －4＝0或3x －4x ＝0.∴x 1＝4，x 2＝0.20. 解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，∴(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＞0，整理得，4k －3＞0，解得k ＞34， 故实数k 的取值范围为k ＞34；(2)∵方程的两个根分别为x 1、x 2，∴x 1＋x 2＝2k ＋1＝3，解得k ＝1，∴原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.21. 解：设小路的宽为xm ，则草坪的总长度为(16－2x )m ，总高度为(9－x )m ，根据题意得，(16－2x )(9－x )＝112，解得x 1＝1，x 2＝16(舍去).答：小路的宽应为1 m .满分冲关1. C 【解析】设每个支干长出的小分支个数是x 个，根据题意可列方程x 2＋x ＋1＝43，解得x ＝6或x ＝－7(舍)，∴每个支干长出的小分支个数是6个.2. A 【解析】∵a ，b 是方程x 2＋x －3＝0的两个实数根，∴a ＋b ＝－1，a 2＋a －3＝0，∴a 2＋a ＝3，∴a 2－b ＋2019＝a 2＋a －a －b ＋2019＝3－(－1)＋2019＝2023.3. 2 【解析】∵方程有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝4－4a (2－c )＝0，∴2a －ac ＝1，∴1a＋c ＝2. 4. 解：(1)设增长率为x ，由题意可得，2(1＋x )2＝2.42，解得x 1＝－2.1(舍)，x 2＝0.1，答：增长率为10%；(2)2.42×(1＋0.1)＝2.662(万人)，答：按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.5. 解：设降价后的销售单价为x 元，根据题意得：(x －100)[300＋5(200－x )]＝32000.整理得：(x －100)(1300－5x )＝32000.即：x 2－360x ＋32400＝0.解得x 1＝x 2＝180.x ＝180<200，符合题意.答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元.。