重心与形心一
华南理工-理论力学(静力学)随堂练习
理论力学(静力学)一基本概念1.一物体是否被看作刚体，取决于。
（A）变形是否微小（B）变形不起决定因素（C）物体是否坚硬（D是否研究物体的变形答案：B2.平衡是指。
（A）物体相对任何参考体静止不动（B）物体相对任何参考体作匀速直线运动（C）物体只相对地球作匀速直线运动（D物体相对地球静止不动或作匀速直线运动答案：D3.参考答案：BC4.力有两种作用效果：力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。
答案：√5.悬挂的小球静止不动是因为小球对绳向下的拉力和绳对小球向上的拉力相互抵消的缘故。
答案：×6.在任何情况下，体内任意两点的距离保持不变的物体叫刚体。
√7.凡是合力都大于分力。
（）答案：×8.二力平衡条件中的两个力作用在同一物体上；作用力和反作用力分别作用在两个物体上。
（）答案：√9.理论力学的任务是研究物体作机械运动一般规律的科学。
（）答案：√·1.2 静力学公理。
1.参考答案：B2.参考答案：A3.三力平衡定理是。
（A）共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点（B）共面三力若平衡，必汇交于一点（C）三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。
（D）此三个力必定互相平行答案：A4.作用和反作用定律的适用范围是。
（A）只适用于刚体（B）只适用于变形体（C）只适用于处于平衡状态的物体（D）适用于任何物体答案：D5.力的可传性原理。
（A）适用于刚体（B）适用于刚体和弹性体（C）适用于所有物体（D）只适用于平衡的刚体答案：A6.如图所示的三铰刚架，支座A、B处的约束力一定通过。
(A) C 点(B) D点(C) E点(D) F点答案：C7.下列说法正确的是。
(A) 作用力反作用力既可以作用于同一物体，也可以作用于两个不同物体(B) 作用力反作用力肯定作用于两个不同物体(C) 作用反作用定律只适用于平衡刚体(D)作用反作用定律适用于所有刚体答案：BD8.刚体受汇交于一点的三个力作用，肯定能平衡。
三角形的中心与重心定理
三角形的中心与重心定理三角形是几何学中最基本的图形之一。
在研究三角形的性质时，中心与重心定理是一个重要的定理。
本文将通过对该定理的详细论述，展示三角形的特性以及定理的证明。
一、中心与重心在介绍中心与重心定理之前，我们首先需要了解三角形的中心与重心的概念。
1.1 中心三角形的中心是指一个点，该点与三角形的三个顶点之间距离的平均数相等。
根据这个定义，我们可以得到三个中心：外心、内心和垂心。
- 外心是指可以将三角形的三个顶点作为圆心的圆完全包围住三角形的圆心。
- 内心是指与三角形的三边相切的圆的圆心。
- 垂心是指三角形的三条高线交于一点的点。
1.2 重心三角形的重心是指三角形的三条中线的交点。
中线是指三角形的每条边的中点与对向顶点之间的线段。
二、中心与重心定理中心与重心定理是中心和重心之间的一个重要关系。
该定理可以表述如下：对于任意一个三角形，它的重心到三个中心的距离是三条中线长的两倍。
证明过程如下：假设三角形的三个中心分别为O1、O2、O3，重心为G。
首先，我们可以得到以下结论：1. 三个中线的中点分别为M1、M2、M3。
2. 三角形的任意一边长的一半等于该边上中线的长度。
接下来，我们证明OG = 2GM1。
根据中心的定义，我们知道GO1 = GO2 = GO3。
由此可得GO1 + GO2 + GO3 = 3GO1。
同样地，我们知道GM1 = GM2 = GM3。
由此可得GM1 + GM2 + GM3 = 3GM1。
由于GM1 = 1/2MO1，GO1 = 1/2OO1，所以3GO1 = 3GM1。
由此可得GO1 = 2GM1。
同理可得GO2 = 2GM2，GO3 = 2GM3。
综上所述，OG = 2GM1 = 2GM2 = 2GM3，即重心到三个中心的距离是三条中线长的两倍。
三、应用与拓展中心与重心定理的应用和拓展广泛。
以下是一些常见的应用：3.1 三角形形心的性质通过中心与重心定理，我们可以得到三角形形心之间的关系。
《重心和形心》课件
重心在实际生活中的应用
平衡与稳定性
在建筑、机械、交通等领域中，重心位置的计算对于保证物体的稳定性和安全性至关重要 。例如，在桥梁设计中，需要计算桥墩的重心位置，以确保桥墩心位置的计算对于分析物体的运动规律和受力情况非常重要。例 如，在研究物体的平动和转动时，需要计算物体的重心位置。
03
重心和形心都是物体质量的中心点。
重心是物体质量分布的等效点，而形心是物体几何形 状的中心点。
在形状规则、质量分布均匀的物体中，重心和形心通 常是重合的。
区别
重心是质量分布的等效点，其 位置取决于物体的质量分布， 而形心是几何形状的中心点， 其位置取决于物体的几何形状 。
重心的质量分布是均匀的，而 形心的质量分布不一定均匀。
质量分布
在生产制造和质量控制中，通过测量和计算物体的重心位置，可以了解物体的质量分布情 况，从而对产品质量进行控制和检测。例如，在制造汽车时，需要测量和计算车身的重心 位置，以确保车辆的稳定性和安全性。
03
形心
定义与性质
定义
形心是二维封闭图形或三维封闭物体 上所有点组成的集合的重心。
性质
形心是唯一的，且只与图形的形状和 大小有关，与图形的位置无关。
为什么学习重心和形心
实际应用
重心和形心在日常生活和工程中有着 广泛的应用，例如建筑结构的稳定性 分析、物体的平衡和稳定性研究等。
理论意义
重心和形心是数学中重要的概念，对 于理解力学、几何学等领域的基础理 论具有重要意义。
02
重心
定义与性质
定义
物体的重心是物体各部分所受重力的合力的作用点。在质量分布均匀、形状规 则的物体中，重心就是其几何中心。
结构分析
在建筑和机械设计中，形心对 于分析结构的强度、刚度和稳 定性非常重要。例如，在分析 梁的弯曲时，需要考虑梁的形 心位置和截面的惯性矩。
(完整版)第四章物体的重心与形心
制作 郭智勇
第四章 物体的重心与形心
第一节 重心的概念及其坐标
一、重心的概念
重力的作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置都是固定不变的。 二、重心的坐标公式 确定重心的方法有两种：1、为实验法，2、为微分法 对于对称的物体其重心在其对称轴上。 实验法确定物体重心的方法为悬挂法。
制作：郭智勇
z
O
x
yi
yc
对于均质物体
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
xi xc
物体重心的坐标为
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
y
zc
Pi zi P
对于连续物体
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
xc
xdV
V
yc
ydV V
zc
zdV
V
重心的坐标公式
5
例3 求图示T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2, y1 2.46m;
A2 0.48m2 , y2 1.2m;
yc
A1 y1 A2 y2 A1 A2
0.072 2.46 0.481.2 1.36m; 0.072 0.48
例1 试确定下图的形心坐标。解 ： 1.用分割法求解，图形分割
10
及坐标如图(a)
120 10
y
C2
C1 80
C1(0,0) C2(-35,60)
x
xi Ai
x 1
形心、质心与重心
1、形心
形心是几何构形的中心，没有物理含义，是对几何构形上所有点的位置的一种等
效，设形心位置为c r r ，则计算公式如下
c rdv r V =⎰
r r 或i
ci x dv x V
=⎰
2、质心
质心是用来等效物体质量分布的一个几何点，由计算物体动量引出，这里假设物体密度为常数
m m d d d vdv rdv m r V r dt dt dt
ρρρ====⎰⎰p r r r r m rdv r V ⇒=⎰r r 或i mi x dv x V
=⎰ 可见，当物体质量分布均匀时质心与形心重合。
若物体密度并非常数，则 m rdv r dv
ρρ⇒=⎰⎰r r 3、重心
重心是用来等效物体重力作用的一个几何点，由计算物体对坐标原点的重力矩引出，这里假设物体密度为常数
()o g g g g M g r i dv g rdv i gVr i ρρρ=⨯=⨯=⨯⎰⎰r r r r r r
g rdv r V ⇒=⎰r r
可见在重力场中，对于质量分布均匀的物体，重心、质心、形心三者重合。
《重心和形心》课件
在这份PPT课件中，我们将探讨重心和形心的概念、计算方法以及应用。这 两个概念不仅在物理领域中扮演关键角色，也在各个设计和优化领域中发挥 作用。
什么是重心和形心？
1 重心
物体所受重力的集中点，也是物体平衡的关键点。
2 形心
物体所有小部分形状、质量加权后得到的点，也是物体对应的简化物体的重心。
形心
• 物体质心位移估计 • 物流、仓储布局优化 • 结构设计优化
总结
1 重心和形心的重要
性
重心和形心都是描述物 体重量分布的重要点。
2 计算重心和形心要
考虑的因素
计算重心和形心需要应用
范围
重心和形心的应用涉及 到各个领域的设计和优 化。
如何计算重心和形心？
1 重心
2 形心
若物体均匀，则重心位于物体中心。若物 体不均匀，则可以通过挂钟实验或测量法 计算重心位置。
若物体有规则形状，则可以使用公式计算 形心位置。若物体没有规则形状，则可以 通过分割成若干个规则形状再计算每个形 状的形心位置后加权平均得到。
重心和形心的应用
重心
• 汽车平衡设计 • 物体挂钩位置确定 • 反击点位置确定
第5章重心和形心
h
h/3
x
A
O
C
a
Ayd 0 hA 2 a h 2 a y h y a 2 a 2yd x0 hy d ( y a hya )d y1 6a2h
yC
A
ydA
1h,
A3
xC 0
（1）组合法
y 50
当物体或平面图形由几个基本部分组
成时，而每个组成部分的重心或形心 10 的位置已知，可用组合法求整个物体 的重心（形心）。
Ai xi 或 A xC 称为图形对y轴的静矩；用符号Ｓx表示 Ai yi 或 A yC 称为图形对x轴的静矩；用符号Ｓy表示
§5-2 确定重心和形心位置的方法
一．对称图形 对称图形，形心在对称轴上．
三角形
y轴为对称轴，重心（形心） 在y轴上，
xc 0
yc ?
对质量均匀的物体，其重心和形心是重 合的．
在工程中，确定物体重心的位置有非常 重要的意义．
§5-1 重心和形心的坐标公式
一．重心坐标的一般公式
z
取固连在物体上的空间直
角坐标系Ｏxyz，以坐标
Ｃ1 △P1
O
Ｃi P
△Pi
y1 yC
x1 xC
yi
xi
xC， yC ，表示物体重心 Ｃ的位置．物体每个小块 所受的地心引力(分力） y 用△P1， △P２，﹒﹒﹒，
Ai A
yi
3.14 120 2 0 1 180 90 30
2
3.14 120 2 1 180 90
2
6.55
yC 0
y
x O
rr xC P P ixi V V ixi V V ixi
重心和形心
重心和形心
1.1 平行力系的中心
平行力系是工程实际中较常见的一种力系，如风对建筑 物的压力，物体受到的地球引力，水对堤坝的压力等。在研 究这类问题时需要确定力系的合力及其作用点的位置。
在力学中，平行力系合力的作用点称为平行力系的中心。 可以证明，平行力系的中心的位置只与力系中各力的大小和 作用点的位置有关，与各力的方向无关，因此，当保持各力 的大小和作用点不变时，各力绕其作用点往相同的方向转过 相同的角度，力系的中心位置不变。
重心和形心
重心和形心
重心和形心
【例2-4】
图2-12
重心和形心
【解】图2-12中的阴影部分是一个比较复杂的图形， 为了计算的方便，可将其看成是由两个半圆形图形组合后 再从中挖掉一个圆。建立图示的坐标系，利用组合法求出 形心。
（1）分别确定三部分的形心在对应坐标系中的坐标 及图形的面积。
重心和形心
重心和形心
2. 组合法（分割法
）
当均质物体是由几个简单规则形状 的物体组合而成的，而且这几个简单形 状的物体的重心已知或容易确定，就可 将物体看成是由这几个规则形状的物体 构成，直接应用1.2和1.3中的公式求出 物体的重心或形心。
3. 实验法
重心和形心
在实际问题中，有许多物体的形状不规则或是非均质的， 用上述方法求重心非常麻烦或无法确定，就只有采用实验的 方法来确定其重心。
（2）求出截面形心位置坐标。
工程力学
重心和形心
如图2-11所示，设某物体总重为G，将其分成若干个 小微元体，第i个微元体的重力为ΔGi，在直角坐标系中其 重心位置坐标为Cixi，yi，zi，而该物体的重心坐标为CxC， yC，zC，分别将物体的总重G及微元体的重力ΔGi对坐标轴 取矩，根据合力矩定理，导出重心坐标公式为
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F
z
0
N BZ N AZ G o N BZ G N AZ 5(kN)
xy面有
m
B
(F ) 0
N AX AB P BE 0 BE 20 N AX P 5 1.67(kN) AB 60
F
R=F1+F2+F3+ ... +Fn=∑F
将上式向x、y、z三个坐标轴投影得
Rx Fx , Ry Fy , Rz Fz
表明合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。 如已知合力在三个坐标轴上的投影，则合力的大小和方向为
F ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 cos Fx F , cos Fy F , cos Fz F
例3-2 起重机铰车的鼓轮如图。 已知：G=10kN,手柄半径R=20cm，E点有水平力P作用，鼓轮半径r=10cm ,A、B处为向心轴承，其 余尺寸如图，单位均为cm。 求：手柄上的作用力P及A、B两处的径向反力。
解：1、取轮轴为研究对象，画出它的分离体在三个坐标平面上的受力图投影。 2、对符合可解条件的先行求解。先从xz平面开始。 xz面有
mz (F ) mz (Fxy ) mO (Fxy ) Fxy d
正负规定：从z轴的正向看，若力F对z轴之矩做逆时针转动，取 正号，反之，取负号。 注：若力F与轴平行或相交，则该力对该轴之矩均等于零，即力F与轴共面时对该轴无矩。
二、合力矩定理
设有一空间汇交力系F1、F2、F3、... 、Fn，其合力为R，则合力对某轴之矩等于各分力对同 一轴之矩的代数和。
mz ( R) mz (F )
例3-1 计算如图所示手柄上的力P对x、y、z轴之矩。 已知：P=100N,AB=20cm,BC=40cm,CD=15cm,A、B、C、D处于同一水平面上。
解： 做如图三个投影图 在yz面有
mx ( P ) mA ( P ) P( AB CD) 3500N m
R F
其值为
R
F F F
2 2 x y z
2
主矩为原力系中各力对简化中心O之矩的矢量和，其值随简化中心位置不同而改变。主矩为
MO MO (F )
主矩之值为
MO mx (F ) mz F my F
2 2
2
二、空间力系的平衡条件与平衡方程
空间力系平衡的充分与必要条件为：空间力系向任一点佳话简化得到的主矢、主矩都为零。 其平衡方程为
Fx 0 R F 0..................... Fy 0 F 0 z mz ( F ) 0 M O M O (F ) 0.......... my ( F ) 0 m ( F ) 0 x
m
A
(F ) 0
PR Gr 0 r 10 P G 10 5(kN) R 20
yz面有
m
B
(F ) 0
N AZ AB G BD 0 BD 30 N AZ G 10 5(kN) AB 60
第三章 空间力系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 空间汇交力系 力对轴之矩 空间力系的平衡条件及及平衡方程 重心与形心 问题说明与讨论——空间约束简介
第一节 空间汇交力系
一、力在空间直角坐标轴上的投影
1、直接投影法
已知空间力与三个坐标轴的夹角，则空间力F在三个 坐标轴的投影为
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
x
0
P N AX N BX 0 N BX P N AX 6.67(kN)
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第四节 重心与形心
一、平行力系中心与重心的概念
空间平行力系是工程及生活实践中经常遇到的一种力系，物体的重量可近似地看做平行分布于物 体的每一质点上。而其合力作用点称为平行力系中心。对物体来说，它就是物体的重心。 作为平行力系中心，不仅是力系合力的作用点，而且还具有一个特性，即这个中心不会因为物体 与平行力的相对方向改变而改变。如下图
若已知Fx、Fy、Fz，则合力F的大小、方向为
F Fx2 Fy2 Fz2 cos Fx F , cos Fy F , cos Fz F
二、空间汇交力系的合成与平衡的解析法
1、空间汇交力系的合成 设物体某点作用一空间汇交力系F1、F2、F3、... 、Fn，其合力为
2、空间汇交力系的平衡条件及平衡方程 空间汇交力系平衡的充分与必要条件：合力为零。即
R F 0
其平衡方程为
Fx 0 Fy 0 Fz 0
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第二节 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
力F对z轴之矩的定义：如右图，做垂直于z轴的确xy面，垂足为 O，则力F在Oxy面上的投影Fxy对O点之矩即为力F对z轴之矩mz(F)。
2、二次投影法
已知力F与某一轴（如z轴）的夹角及力F在此轴垂直平 面内的分量与另一坐标轴的夹角，则力F在三个坐标轴的投 影为
Fz F cos F Fxy F sin
Fx Fxy cos Fy Fxy sin
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
在xz面有
my ( P) mA ( P) P BC 4000N m
Hale Waihona Puke 在xy面有mz ( P ) mA ( P ) 0
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第三节 空间力系的平衡条件及及平衡方程
一、空间力系的简化
空间力系向任一点简化，可得一个空间汇交力系与一组空间力偶系，前者可合成为主矢，后者可合 成为主矩。 主矢为原力系各力的矢量和，其值与简化中心位置选择无关，主矢为