形心重心的理论计算公式
材料力学形心计算公式
材料力学形心计算公式材料力学是研究物质的内部结构和性质以及物质受力和变形规律的一门学科。
在材料力学中，形心是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解物体的受力和变形情况。
在本文中，我们将介绍材料力学中形心的概念以及形心计算公式。
首先，让我们来了解一下形心的概念。
形心是一个物体几何形状的特征点，它可以用来描述物体的质量分布情况。
对于一个平面图形而言，形心通常是指该图形在均匀质量分布下的质心位置。
而对于一个立体物体而言，形心则是指该物体在均匀质量分布下的重心位置。
形心的计算可以帮助我们分析物体受力和变形的情况，对于工程设计和科学研究具有重要意义。
接下来，让我们来介绍一些常见图形的形心计算公式。
对于一个平面图形而言，常见的形心计算公式包括矩形、三角形、梯形和圆形等。
以矩形为例，其形心的计算公式为：\[ X = \frac{b}{2} \]\[ Y = \frac{h}{2} \]其中，\( X \) 和 \( Y \) 分别表示矩形的形心坐标，\( b \) 和 \( h \) 分别表示矩形的宽度和高度。
对于三角形而言，其形心的计算公式为：\[ X = \frac{a}{3} \]\[ Y = \frac{h}{3} \]其中，\( X \) 和 \( Y \) 分别表示三角形的形心坐标，\( a \) 和 \( h \) 分别表示三角形的底边长和高度。
对于梯形和圆形，其形心的计算公式也可以通过数学推导得出。
这些形心计算公式可以帮助我们在工程设计和科学研究中更好地分析和应用形心的概念。
除了平面图形外，对于立体物体而言，形心的计算也具有重要意义。
常见的立体物体包括长方体、圆柱体和球体等。
这些立体物体的形心计算公式可以通过积分或几何推导得出，它们可以帮助我们更好地理解立体物体的质量分布情况。
在工程设计中，形心的计算可以帮助我们确定物体的受力和变形情况，从而指导工程设计和结构分析。
在科学研究中，形心的计算也可以帮助我们深入理解物体的内部结构和性质，为科学研究提供重要参考。
形心重心的理论计算公式
形心重心的理论计算公式式中V=∑Vi。
在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y；∑A i.y i＝A.y c＝S x则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。
六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：1、对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用见下图。
2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。
（1）、悬挂法利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。
悬挂法确定物体的重心方法见图(2）、称重法对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。
例如，用称重法来测定连杆重心位置。
如图。
设连杆的重力为G ,重心C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F B,则由∑M A(F)=0 F B.L－G.x c＝0x c＝F B.L/G(3)、分割法：工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。
此法称为分割法。
下面是平面图形的形心坐标公式：(4)、负面积法：仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。
3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。
下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。
四、求平面图形的形心举例例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。
解:方法一（分割法）：根据图形的组合情况，可将该截面分割成两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形的形心。
形心、质心与重心
1、形心
形心是几何构形的中心，没有物理含义，是对几何构形上所有点的位置的一种等
效，设形心位置为c r r ，则计算公式如下
c rdv r V =⎰
r r 或i
ci x dv x V
=⎰
2、质心
质心是用来等效物体质量分布的一个几何点，由计算物体动量引出，这里假设物体密度为常数
m m d d d vdv rdv m r V r dt dt dt
ρρρ====⎰⎰p r r r r m rdv r V ⇒=⎰r r 或i mi x dv x V
=⎰ 可见，当物体质量分布均匀时质心与形心重合。
若物体密度并非常数，则 m rdv r dv
ρρ⇒=⎰⎰r r 3、重心
重心是用来等效物体重力作用的一个几何点，由计算物体对坐标原点的重力矩引出，这里假设物体密度为常数
()o g g g g M g r i dv g rdv i gVr i ρρρ=⨯=⨯=⨯⎰⎰r r r r r r
g rdv r V ⇒=⎰r r
可见在重力场中，对于质量分布均匀的物体，重心、质心、形心三者重合。
工程力学形心计算公式
工程力学形心计算公式工程力学形心计算公式是工程力学中的一个重要概念，用来描述物体的形状和质量分布对于力的作用点的影响。
在工程中，形心计算公式被广泛应用于各种结构物和力学系统的分析与设计中。
形心，也被称为重心或质心，是一个物体所有质点所在位置的平均值，可以看作是物体的几何中心。
形心计算公式通过将物体划分为无限小的质点，然后计算这些质点的位置和质量对形心的贡献，从而得到整个物体的形心位置。
对于一个均匀物体，其形心可以通过几何的方法求解。
比如，对于一个均匀的平面图形，其形心可以通过对图形进行分割，然后计算每个小区域的形心位置，并根据每个小区域的面积加权平均得到。
同样地，对于一个均匀的立体物体，可以将其分割为无数个小体积，并根据每个小体积的位置和体积加权平均求得形心位置。
然而，在大多数实际工程问题中，物体的形状和质量分布往往并不均匀，因此需要使用形心计算公式来求解。
形心计算公式根据物体的几何形状和质量分布提供了计算形心位置的方法。
常见的形心计算公式包括：1. 平面图形的形心计算：对于一个平面图形，可以使用一些特定的公式来计算其形心位置。
比如，对于一个矩形，其形心位于中心点；对于一个三角形，其形心位于三条边的交点的重心位置。
2. 立体物体的形心计算：对于一个立体物体，可以将其分割为无数个小体积，并根据每个小体积的位置和体积加权平均求得形心位置。
具体的计算方法可以根据物体的几何形状和质量分布的特点来确定。
形心计算公式的应用非常广泛。
在建筑工程中，形心计算公式可以用来确定建筑结构的荷载传递和受力分析。
在机械工程中，形心计算公式可以用来确定机械零件的平衡位置和稳定性。
在航空航天工程中，形心计算公式可以用来确定飞行器的姿态控制和稳定性。
形心计算公式是工程力学中一个重要的概念，可以用来描述物体的形状和质量分布对于力的作用点的影响。
通过使用形心计算公式，工程师可以准确地计算物体的形心位置，为工程设计和分析提供有效的方法和工具。
形心积分公式
形心积分公式形心积分公式是数学中的一个重要概念，它在曲线的弧长、曲线的面积等问题中有着广泛的应用。
本文将介绍形心积分公式的定义和应用，并结合具体例子进行解析，帮助读者更好地理解和应用这一公式。
形心积分公式是指通过对曲线上的点进行加权求和，得到曲线的形心坐标的一种数学方法。
形心坐标即曲线所围成的图形的中心位置，也称为质心或重心。
形心积分公式的一般形式为：\[ X = \frac{\int_{a}^{b} x \cdot ds}{\int_{a}^{b} ds} \]\[ Y = \frac{\int_{a}^{b} y \cdot ds}{\int_{a}^{b} ds} \]其中，\( (x, y) \) 表示曲线上的点的坐标，\( ds \) 表示曲线上的一个微小线段，\( a \) 和 \( b \) 表示曲线上的起点和终点。
形心积分公式的意义在于，通过对曲线上的每个点进行加权求和，可以得到曲线形状的中心位置。
在计算形心时，我们通常将曲线分成无数个微小线段，在每个微小线段上取一点，然后对这些点进行加权求和，最终得到形心坐标。
下面我们通过一个具体的例子来说明形心积分公式的应用。
假设有一段曲线，其方程为 \( y = x^2 \)，我们希望计算这段曲线的形心坐标。
我们需要对曲线进行参数化，以便进行积分计算。
令 \( x = t \)，则\( y = t^2 \)，其中 \( t \) 的取值范围为 \( [0, 1] \)。
将 \( x \) 和\( y \) 分别代入形心积分公式中，得到：\[ X = \frac{\int_{0}^{1} t \cdot \sqrt{1 + (dx/dt)^2} \cdot dt}{\int_{0}^{1} \sqrt{1 + (dx/dt)^2} \cdot dt} \]\[ Y = \frac{\int_{0}^{1} t^2 \cdot \sqrt{1 + (dx/dt)^2} \cdot dt}{\int_{0}^{1} \sqrt{1 + (dx/dt)^2} \cdot dt} \]其中，\( dx/dt = 1 \)。
高等数学形心计算公式(一)
高等数学形心计算公式(一)高等数学形心计算公式在数学中，形心（也称质心或几何中心）是一个重要的概念，它可以用来确定一个形状在平面或空间中的几何中心位置。
在高等数学中，我们可以利用一些计算公式来求解形心，以下是一些相关的计算公式及其解释：1. 定义形心是一个形状的所有质量分布（或者密度分布）对于某一轴的“平均值”所确定的点。
2. 计算公式•平面图形形心计算公式：对于一个平面图形，可以用以下公式来计算其形心位置：1.长方形或正方形的形心计算公式：–x坐标：x‾=a2–y坐标：y‾=b2其中，a是长方形的长，b是长方形的宽。
例如，对于一个边长为6cm的正方形，其形心位置为(3,3)。
2.三角形的形心计算公式：–x坐标：x‾=x1+x2+x33–y坐标：y‾=y1+y2+y33其中，(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)分别是三角形的三个顶点的坐标。
例如，对于一个三角形，其三个顶点坐标分别为(1,1)、(4,3)和(2,5)，则形心位置为(,3)。
•立体图形形心计算公式：对于一个立体图形，可以用以下公式来计算其形心位置：1.长方体或正方体的形心计算公式：–x坐标：x‾=a2–y坐标：y‾=b2–z坐标：z‾=c2其中，a是长方体的长，b是长方体的宽，c是长方体的高。
例如，对于一个长为6cm，宽为4cm，高为5cm的长方体，其形心位置为(3,2,)。
2.圆柱体的形心计算公式：–x坐标：x‾=x1+x22–y坐标：y‾=y1+y22–z坐标：z‾=ℎ2其中，(x1,y1)和(x2,y2)分别是圆柱体底面圆的两个圆心坐标，h是圆柱体的高。
例如，对于一个底面圆心坐标分别为(1,1)和(4,3)，高为6cm的圆柱体，其形心位置为(,2,3)。
总结形心计算公式是求解形状的几何中心位置的重要工具。
本文列举了平面图形和立体图形的形心计算公式，并通过具体例子进行了解释和说明。
形心的求解对于解决一些与形状几何相关的问题具有重要意义。
帕普斯定理求重心证明
帕普斯定理求重心证明帕普斯定理是指一个平面图形D的重心就是形心，即D的重心与形心重合。
以下是帕普斯定理的证明过程：首先，对于一个二维平面上的连续函数f(x,y)，其定义域为D，我们可以将其表示为一个密度函数，即：
f(x,y) = ρ(x,y)
其中，ρ(x,y)表示在点(x,y)处的密度。
接下来，我们可以将D分成很多个小矩形，每个小矩形的面积为ΔS，其中心点为(x,y)，则该矩形上的质量（即密度乘以面积）为：
m = ρ(x,y)ΔS
我们可以用一个质点来代替每个小矩形上的质量，则所有小矩形上的质量就被分配到了相应的质点上。
然后，我们将这些质点按照其位置进行排序，并计算它们的重心坐标。
假设有n个质点，其坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，则这些质点的重心坐标为：
(x-bar, y-bar) = (1/n)(x1 + x2 + ... + xn), (1/n)(y1 + y2 + ... + yn)
其中，x-bar和y-bar分别表示所有质点在x轴和y轴上的平均坐标。
现在，我们将这些质点的质量按照它们到重心距离的平方进行分配，即每个质点分配给它的质量与它到重心距离的平方成正比。
这样，每个质点上的质量就被分配到了它所在的矩形上，而每个矩形上的质量就被分配到了它的中心点上。
因此，我们得到了一个密度函数f' (x,y)，该函数的定义域为D，且其重心坐标为(x-bar, y-bar)。
由于f' (x,y)与D的重心坐标相同，因此我们证明了帕普斯定理成立。
综上所述，帕普斯定理的证明过程是通过将一个平面图形的质量分配到它的重心上，从而证明了该图形的重心就是其形心。
形心坐标计算公式
形心坐标计算公式形心坐标也被称为重心坐标或差比坐标，是一种描述平面上点与三角形之间关系的方法。
形心坐标可以帮助我们确定一个点在三角形内部的位置，从而应用于多个领域，如计算机图形学、三角网格生成、有限元分析等。
本文将介绍形心坐标的计算公式以及应用。
形心坐标的定义是指一个点与三角形的顶点之间的比例。
对于一个给定的三角形ABC，形心坐标由三条线段所决定。
假设P是三角形内部的一个点，我们用α、β、γ分别表示AP、BP、CP与三角形边长a、b、c的比例。
形心坐标α、β、γ有如下性质：1.α+β+γ=12.0≤α,β,γ≤1接下来，我们将介绍三种计算形心坐标的方法。
方法一：使用向量法在向量法中，我们可以使用向量的线性组合来表示形心坐标。
假设三点A、B、C的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，要求点P(x,y)的形心坐标。
首先，我们可以得到向量AP、BP、CP的坐标表示：AP=(x-x1,y-y1)BP=(x-x2,y-y2)CP=(x-x3,y-y3)然后，我们计算向量AP、BP、CP的长度，分别表示为a,b,c。
根据形心坐标的定义，我们有：α=b*c/(a*b*c)β=a*c/(a*b*c)γ=a*b/(a*b*c)方法二：使用面积法在面积法中，我们可以使用三个子三角形的面积比例来表示形心坐标。
假设三点A、B、C的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，要求点P(x,y)的形心坐标。
首先，我们计算整个三角形ABC的面积S。
然后，我们计算点P与三个子三角形（以边AB、BC、CA为底）所形成的三个三角形的面积Sp、Sq、Sr。
根据形心坐标的定义，我们有：α=Sp/Sβ=Sq/Sγ=Sr/S方法三：使用坐标法在坐标法中，我们可以使用三个点与目标点所构成的向量坐标比例来表示形心坐标。
假设三点A、B、C的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，要求点P(x,y)的形心坐标。
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§3-4 重心和形心
一、重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。
2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。
3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。
二、重心座标的公式：
(1)、重心座标的公式
三、物体质心的坐标公式
在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：
四、均质物体的形心坐标公式
若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：
式中V=∑Vi。
在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：
令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y；
∑A i.y i＝A.y c＝S x
则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。
六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：
1、对称法
凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用见下图。
2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，
常用的试验法有悬挂法和称重法。
（1）、悬挂法
利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。
悬挂法确定物体的重心方法见图
(2）、称重法
对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定
其重心的位置。
例如，用称重法来测定连杆重心位置。
如图。
设连杆的重力为G ,重心 C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F B,
则由∑M A(F)=0 F B.L－G.x c＝0
x c＝F B.L/G
(3)、分割法：
工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。
此法称为分割法。
下面是平面图形的形心坐标公式：
(4)、负面积法：
仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。
3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。
下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。
四、求平面图形的形心举例
例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。
解:
方法一（分割法）：
根据图形的组合情况，可将该截面分割成
两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形
的形心。
取坐标系Oxy如图所示，则矩形Ⅰ，
Ⅱ的面积和形心坐标分别为
A1=120mm×12mm＝1440mm2
x1＝6mm
y1＝60mm
A2＝（80-12）mm×12mm＝816mm2
x2＝12mm＋（80-12）/20=46mm
y2＝6mm
即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）
方法二(负面积法)：
用负面积法求形心。
计算简图如图。
A1＝80mm×120mm＝9600mm2
x1＝40mm y1＝60mm
A2=－108mm×68mm＝－7344mm2
x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mm
y1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm
由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。
例2 试求如图所示图形的形心。
已知R＝100mm，r2＝30mm，r3＝17mm。
解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出x c，将图形看成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为
（1）、半径为R的半圆面：
A1＝πR2/2＝π×(100mm)2/2＝
15700mm2
y1＝4R/(3π)＝4×100mm/(3π)＝
42.4mm
(2）、半径为r2的半圆面
A2＝π(r2)2/2＝π×(30mm)2/2＝
1400mm2
y2＝－4r2/(3π)＝－4×30mm/(3π)
＝－12.7mm
（3）、被挖掉的半径为r3的圆面：
A3＝－π(r3)2＝－π(17mm)2＝910mm2
y3＝0
(4）、求图形的形心坐标。
由式形心公式可求得
即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）
. .。