物体的重心及形心教案
物体的重心及形心教案
解： xC =0
y
10 10
5 2.5
2.5
=4.75cm
着重说明 组合法求 形心位置
说明：1、辅助坐标的建立 2、负面积法
例 2、求图示 T 形形心的位置。
解： xC =0
yc
10 60 5 40 20 30 10 6 40 20
19.3cm
10 60 0 40 20 25 yc 10 60 40 20 14.3cm
yc
40 20 20 6010 45 10 60 40 20
30.7cm
zc
FGi zi FG
FGi zi FGi
物体连同坐标轴转 90 度，而使坐标面 oxz 成为水平面，由重心的概念
知，此物体重心的位置不变，再对 x 轴应用合力矩定理求 Zc。
体积为 V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi，每个微小体积所受的
重力为ΔFGi=γΔVi，其作用点坐标为（xi，yi，zi）。整个物体所受的重力
点上；
（3）中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。
2、积分法
若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下用积分公式
3、组合法
工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，这种图形
称为组合图形，这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般 是已知的，因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
为 FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式
2、均质物体重心（形心）坐标公式
对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为
常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为 V1 V2 Vn ， 整个物体的体积为V
高中物理重心教案
高中物理重心教案
一、教学目标：
1. 理解重心的概念。
2. 掌握计算物体重心的方法。
3. 能够解决相关物理问题。
二、教学重点：
1. 了解重心的定义和特点。
2. 掌握计算物体重心的方法。
三、教学难点：
1. 理解重心在物体平衡时的作用。
2. 掌握如何计算复杂物体的重心位置。
四、教学方法：
1. 讲解结合示例进行讲解。
2. 进行实验观察和操作演示。
3. 学生互动答疑。
4. 小组讨论解决问题。
五、教学过程：
1. 导入（5分钟）
教师简要介绍重心的概念，并与学生讨论实际生活中的重心应用情况。
2. 讲解（15分钟）
讲解重心的定义、重心的计算方法以及重心在物体平衡中的作用，同时通过示例让学生更好地理解。
3. 实验演示（20分钟）
通过实验演示，让学生亲自操作，观察不同形状的物体，找出其重心位置，并讨论实验结果。
4. 练习（10分钟）
让学生在小组内讨论，解决一些计算重心位置的问题，并进行互相交流。
5. 总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，并强调学生需掌握的知识点。
六、作业布置
布置相关作业，让学生在家中巩固学习内容，并明确下节课的预习内容。
七、板书设计：
1. 重心的定义
2. 计算重心的方法
3. 重心在物体平衡中的作用
八、教学反思：
本节课通过理论讲解、实验演示和练习让学生更好地理解了重心的概念和计算方法，但在实验环节中，学生的操作能力和观察力有待提高。
下节课需要加强实践环节，提高学生的动手能力。
1-3重心和形心
§1-3 重心和形心课时计划：讲授2学时教学目标：1.理解重心和形心的概念；2.掌握重心位置的坐标公式；3.掌握形心位置的坐标公式。
教材分析:1.重点为重心和形心的概念；2.难点为重心和形心的坐标公式。
教学设计：本节课的主要内容是讲解物体重心和形心的概念,在此基础上通过微分的方法介绍物体重心和形心的位置坐标公式,然后通过讲解教材的例题让学生更进一步理解坐标公式的应用。
教学过程：第1学时教学内容：本节课的主要内容：通过实例引出重心和形心的概念，并且推导物体重心位置的坐标公式。
一、重心和形心的概念1.重心在地球附近的物体都受到地球对它的作用力，即物体的重力。
重力作用于物体内每一微小部分，是一个平行分布力系。
将不变形的物体在地表面无论怎样放置，其平行分布的重力的合力作用线，都通过此物体上一个确定的点，这一点称为物体的重心。
2.形心由同一种材料组成的匀质物体，重心位置就在物体形状的中心，称为形心。
特别是当这种物体具有对称面、对称轴或对称中心时，形心或重心就在其上。
二、物体重心位置的坐标公式为了描述物体重心的位置，建立空间直角坐标系Oxyz （图1-20a），x、y、z三个坐标轴相互垂直，Oxy平面是水平面。
第2学时教学内容：本节课的主要内容是推导平面图形放热形心坐标公式。
并通过教材例题讲解重心和形心坐标公式的坐标公式的应用。
三、平面图形的形心坐标公式如图1-21所示长度为l的一段角钢，重心一定位于距端部为l/2的中间剖面上，只需要计算剖面图形形心的两个坐标，就可以确定其重心位置。
对于杆件、柱状和平板状的零件，重心位置都有这样的特点。
所以，平面图形形心（图1-22b）的坐标公式是：教学反思：本节课的主要内容是讲解物体重心和形心的概念,在此基础上通过微分的方法介绍物体重心和形心的位置坐标公式,然后通过讲解教材的例题让学生更进一步理解坐标公式的应用。
工程力学 第三章 重心和形心
第三章 重心和形心
第十讲 重心和形心
《工程力学》
第十讲
重心和形心
目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。
教学重点：分割法和负面积法计算形心。 教学难点：对计算形心公式的理解。
《工程力学》
§3-4 重心和形心
一、重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的， 必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为 物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心 的位置保持不变。
《工程力学》
方法二(负面积法)：
用负面积法求形心。计算简图如图。 A1＝80mm×120mm＝9600mm2 x1＝40mm y1＝60mm A2=－108mm×68mm＝－7344mm2 x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mm y1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm
《工程力学》
《工程力学》
式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体 的重心、质心和形心的位置重合。
《工程力学》
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：
令式中的∑Ai.xi＝A.xc＝Sy；
∑Ai.yi＝A.yc＝Sx 则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一 次矩。
《工程力学》
六、物体重心位置的求法 ：
1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简 单形状的均质物体，其重心一定在它的对称 面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的 应用见下图。
《工程力学》
《工程力学》
2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计
算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常 用的试验法有悬挂法和称重法。 （1）、悬挂法 利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次， 重心必定在两次绳延长线的交点上。 悬挂法 确定物体的重心方法见图
(完整版)第四章物体的重心与形心
制作 郭智勇
第四章 物体的重心与形心
第一节 重心的概念及其坐标
一、重心的概念
重力的作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置都是固定不变的。 二、重心的坐标公式 确定重心的方法有两种：1、为实验法，2、为微分法 对于对称的物体其重心在其对称轴上。 实验法确定物体重心的方法为悬挂法。
制作：郭智勇
z
O
x
yi
yc
对于均质物体
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
xi xc
物体重心的坐标为
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
y
zc
Pi zi P
对于连续物体
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
xc
xdV
V
yc
ydV V
zc
zdV
V
重心的坐标公式
5
例3 求图示T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2, y1 2.46m;
A2 0.48m2 , y2 1.2m;
yc
A1 y1 A2 y2 A1 A2
0.072 2.46 0.481.2 1.36m; 0.072 0.48
例1 试确定下图的形心坐标。解 ： 1.用分割法求解，图形分割
10
及坐标如图(a)
120 10
y
C2
C1 80
C1(0,0) C2(-35,60)
x
xi Ai
x 1
重心教案
19．4 课题学习重心学习目标1，通过寻找常见的几何图形重心的数学活动，经历探究物体与图形的重心的过程，了解规则几何图形的重心就是它的几何中心。
2，在探索线段、特殊平行四边形、三角形、任意多边形的重心等活动过程中，经历观察，实验、猜想等过程，发展几何直觉。
3，了解重心的物理意义，体会数学与物理学之间的联系，能用实验的方法寻找任意多边形的重心4，使学生乐于参与数学活动的探究，在动手的过程中感受数学活动的乐趣。
过程与方法：经历寻找几何图形的重心的过程，领会物体重心的内在含义，提高操作应用能力．发展几何识图意识．重难点、关键重点：寻找几何图形的重心，感受直觉意识．难点：实验活动的规范操作，以及寻找三角形的重心。
．关键：把观察、猜想、操作、作图融合在一起，激发学生的直觉意识．教学准备教师准备：尺规、教具：木条、四边形木板，平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形硬纸片．学生准备：预习本节课内容，准备与教师准备同样的学具．学法解析1．认知题点：学习了三角形、平行四边形、矩形、菱形、•正方形等几何图形，积累一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：几何图形→发现→探究→确定重心．3．学习方式：采用操作感知的方式来发现、寻找、重心．教学过程一、操作感知，寻求方法【引入概念】教师操作：拿出一块准备好的木板（四边形）找到一点，用一个手指顶住这一点，木板会保持平衡，告诉学生这一点就是这个几何图形的重心．教师活动：提出一些常见的几何图形，如：线段、三角形、四边形等的重心在哪个位置上呢？大家一起来探讨．教师教具：均匀的木条、规则四边形：正方形、长方形、菱形、一般平行四边形等硬纸片；三角形、五边形硬纸片；钉子，细绳，小重物，刻度尺等．【活动方略】问题1：寻找线段的重心．学生活动：出示学具：一根均匀的木条，去找这条木条的平衡点．（分四人小组讨论）．小组活动：（1）用刻度尺量出平衡点的位置，相互比较．（2）从相互比较中得出线段的重心：线段的重心就是线段的中点．教师活动：巡视，并和学生共同试验，发现问题，最后归纳．问题2：寻找平行四边形的重心．学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索，相互比较．小组活动：（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片，寻找平衡点；（2）互相交流后，找到平行四边形重心是对角线的交点O．（如图）（3）由于矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，•可以发现它们的重心也都在它们对角线的交点上．归纳小结：平行四边形的重心是它的两条对角线的交点．问题3：寻找三角形的重心．学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索、发现问题．小组活动：（1）在一块质地均匀的三角形硬纸板的每一个顶点处钉一个小钉作为悬挂点．（2）用下端系有小锤的细线缠绕在一个小钉上，然后吊起硬纸片，•记录垂线的“痕迹”；（3）在另一个小钉上重复（2）的活动，找到两条铅垂线的交点（记为O）（4）在第三个小钉上重复（2）的活动，观察第三条铅垂线经过点O，•三条铅垂线和对边的交点D、E、F分别在对边中点，点O就是三角形的重心．（如图）．归纳小结：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心．问题4：寻找任意多边形的重心．学生活动：拓展，应用上面的问题3的方法去找任意五边形的重心．教师活动：对本节课寻找重心的问题进行归纳．二、课堂总结，发展潜能通过本节课内容的学习，得到下面的结论：1．线段的重心点在这条线段的中点上；2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的重心是在它们对角线交点上；3．三角形的重心是在这个三角形三条中线的交点上．三、拓展思维，继续发现问题1：请你画出下面三角形的重心，•然后用刻度尺量一量这个重心到顶点与这个顶点对边的中点的关系，与同伴交流．学生活动：分四人小组进行探索、得到规律是它们的关系是2：1，•（可多画几块三角形探究）．四、达标试题基础知识1线段的重心就是线段的．2三角形的重心为三条的交点。
人教版八年级下册19.4：重心(1)教学设计
人教版八年级下册19.4：重心（1）教学设计一、教学目标1.知道什么是物体的重心，理解重心的作用。
2.掌握如何求解简单物体的重心，了解重心所在位置与物体形状、密度等因素有关。
3.能够综合运用相关知识分析和解决实际问题。
二、教学重点和难点重点1.重心的概念及作用。
2.重心位置的求解。
难点1.理解重心的概念。
2.在求解重心位置时，需要对物体形状和密度进行综合考虑。
三、教学内容与步骤1. 重心的概念课堂讲解1.老师通过实物或视频，引导学生理解重心的概念。
2.通过拍照或画图等方式，让学生感受重心是物体的一个属性，与物体所处的位置无关，而且对物体的特殊运动有重要作用。
课堂练习1.通过自己站立或跳跃等方式，让学生体验重心的变化对身体的影响。
2.让学生从生活中寻找简单物体的重心。
2. 重心位置的求解课堂讲解1.老师通过实物或图片等方式，引导学生理解重心位置的表示方法。
2.通过简单实例，讲解如何确定物体的重心位置。
课堂练习1.老师出示不同形状的物体，引导学生计算其重心位置。
2.让学生自己制作简单的模型，体验重心位置的变化。
3. 综合应用课堂练习1.老师出示一些实际问题，让学生对其进行分析和解答，如平衡木的平衡问题、建筑物的结构问题等。
2.让学生自己选一个实际问题，进行分析和解答。
四、教学方法1.针对不同教学内容，采取不同的教学方法，如课堂讲解、小组讨论、实验操作等。
2.让学生在实际操作中感受重心的变化，提高学习的趣味性和灵活性。
五、教学评估1.通过课堂讨论、提问等方式，了解学生对重心概念和求解方法的掌握情况。
2.对学生自己选取的实际问题，进行课堂展示和点评。
初中物理重心教案
初中物理重心教案教学目标：1. 了解重心的概念，知道重心的位置与物体的形状和质量分布有关。
2. 能够通过实验观察和分析物体的重心位置，并理解重心的作用。
3. 能够运用重心的知识解决实际问题，如保持物体的平衡。
教学重点：1. 重心的概念和位置。
2. 重心的作用和应用。
教学难点：1. 重心的位置与物体形状和质量分布的关系。
2. 重心的应用。
教学准备：1. 实验器材：悬挂物体所需的绳子、平衡木、不同形状和质量分布的物体。
2. 教学工具：PPT、黑板、粉笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT展示一些图片，如苹果、锤子、篮球等，引导学生观察这些物体的共同特点。
2. 提问：这些物体有什么共同的特点？它们为什么会下落？3. 引出本节课的主题——重心。
二、讲解重心概念（10分钟）1. 讲解重心的定义：重心是物体受到的重力作用的集中点，是物体平衡的关键。
2. 讲解重心的位置与物体的形状和质量分布有关，可以通过悬挂法来确定重心的位置。
三、实验演示（15分钟）1. 演示如何利用悬挂法确定物体的重心位置，引导学生观察和记录实验结果。
2. 让学生亲自动手进行实验，观察和记录不同形状和质量分布物体的重心位置。
3. 引导学生分析实验结果，得出重心的位置与物体形状和质量分布的关系。
四、重心作用和应用（10分钟）1. 讲解重心的作用：保持物体的平衡，使物体在受到外力作用时能够保持稳定的状态。
2. 讲解重心的应用：如在制作杠杆、桥梁等结构时，需要考虑重心的位置，以保证结构的稳定。
3. 引导学生思考如何在实际生活中应用重心的知识，如保持物体的平衡、设计稳定的结构等。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生回答一些关于重心的问题，巩固对重心的理解和掌握。
2. 让学生进行一些关于重心的练习题，提高对重心的应用能力。
六、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结重心的概念、位置、作用和应用。
2. 强调重心的重要性，鼓励学生在日常生活中运用重心的知识解决问题。
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合。
3、均质薄壳重心（形心）坐标公式
由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计，
则 V1 A1t V2 A t Vn Ant
Vi Ait
故形心公式为
xc
Vi xi V
Ait xi Ai t
Ai xi Ai
yc
Vi yi V
Ait yi Ai t
A yi Ai
性等概念
将物体分成许多微小部分 n 份
要阐述清
各微小部分所受到的地球引力（重力）以 FG1 FG2 FGn 表示
楚
各微小部分作用点坐标为 (x1 y1z1 ) (x2 y2 z2 ) (xn yn zn )
n
则物体的重量为 FG FGi FGi n1
重心的坐标用（xC，yC，zC）表示，根据空间力系的合力矩定理，对 x
点上；
（3）中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。
2、积分法
若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下用积分公式
3、组合法
工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，这种图形
称为组合图形，这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般 是已知的，因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
2、积分法
若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下，上式写成：
xdA xC A dA
A
3、组合法
ydA yC A dA
A
工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，例如梯形
可以认为是由两个三角形（或一个矩形、一个三角形）组成的，T 形截面是
由两个矩形组成的，这种图形称为组合图形，这些截面称为组合截面。由
布置作业
4-11（a）(b)
装
教学内容与方法步骤
附记
．．．．．．．．．．．．．
§4 物体的重心 一、重心概念
订
平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。
本节重点 掌握组合
．．．．．．．．．．
二、物体重心坐标公式 1、重心坐标的一般公式
截面形心 的计算
线
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2、均质物体重心（形心）坐标公式
3、均质薄壳重心（形心）坐标公式
xc
Ai xi Ai
yc
A yi Ai
三、物体重心与形心的计算
根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位置。
1、对称法
（1）具有一根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上；
（2）具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的交
物体的重心及形心教案
授 课 日 期 年 月日节
年月 日 节
年月日 节
授课班级
课 题 与 主 要 物体的重心及形心
内
容
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
教 学 目 的 了解物体重心坐标的一般公式及均质物体、平面图形的形心坐标公
与 要 求 式。学会计算平面组合图形的形心。
教学重、难点 积分法求解形心位置（难点）
于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此计算组合截面的形心时可以
利用这些已知结果。
n
xC
A1 x1 A2 x2 An xn A1 A2 An
Ai xi
i 1 n
Ai
i 1
n
yC
A1 y1 A2 y2 An yn A1 A2 An
Ai yi
i 1 n
Ai
i 1
例 1：求图示槽形形心的位置。
zc
FGi zi FG
FGi zi FGi
物体连同坐标轴转 90 度，而使坐标面 oxz 成为水平面，由重心的概念
知，此物体重心的位置不变，再对 x 轴应用合力矩定理求 Zc。
体积为 V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi，每个微小体积所受的
重力为ΔFGi=γΔVi，其作用点坐标为（xi，yi，zi）。整个物体所受的重力
三、物体重心与形心的计算 根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位
置。 1、对称法 对于形状比较规则的物体及图形，其重心及形心可根据对称性直接判
断。 （1）具有一根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上； （2）具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的交
点上； （3）中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。
教学内容
教学方法
与手段
§4 物体的重心
在工程中，物体重心的位置具有重要意义。例如挡土墙、重力坝、起
重机的抗倾覆稳定性问题，都与它们的重心位置有关，高速运转部件的重
心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和
重心位置的求法。
一、重心概念
在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些 平行力系
轴取矩，则
M x ( FG ) FG1 y1 FG2 y2 FGn yn FGi yi
M x (FG ) FG yc FG yc
因
Fc yc FGi yi
则
yc
FGi yi FG
FGi yi FGi
同理
xc
FGi xi FG
FGi xi FGi
引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物 重心、形
体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力 心、重心
系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合 对于物体
力的作用点即为物体的重心。
的相对位
二、物体重心坐标公式
置的不变
1、重心坐标的一般公式
解： xC =0
y
C
=
15
7.5 3.75 15 7.5
10 10
5 2.5
2.5
=4.75cm
着重说明 组合法求 形心位置
说明：1、辅助坐标的建立 2、负面积法
例 2、求图示 T 形形心的位置。
解： xC =0
yc
10 60 5 40 20 30 10 6 40 20
19.3cm
10 60 0 40 20 25 yc 10 60 40 20 14.3cm
yc
40 20 20 6010 45 10 60 40 20
30.7cm
为 FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式
2、均质物体重心（形心）坐标公式
对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为
常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为 V1 V2 Vn ， 整个物体的体积为V
则有
FG1 V1 FC2 V FGn Vn
FG
F V Gi
得
xc
Vi xi Vi
Vi xi V
yc
Vi yi Vi
Vi yi V
zc
Vi zi Vi
Vi zi V
由上可知：①均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的
重量无关。②由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形
心，上式也是物体形心的坐标公式。③对于均质物体来说，形心与重心重