信息论与编码(傅祖云_讲义)第三章(谷风校园)
信息论与编码答案傅祖芸
信息论与编码答案傅祖芸【篇一：信息论与编码课程设计报告】t>设计题目：统计信源熵与香农编码专业班级学号学生姓名指导教师教师评分2014年3月24日目录一、设计任务与要求................................................. 2 二、设计思路....................................................... 2 三、设计流程图..................................................... 3 四、程序运行及结果................................................. 5 五、心得体会....................................................... 6 参考文献 .......................................................... 6 附录：源程序.. (7)一、设计任务与要求1、统计信源熵要求：统计任意文本文件中各字符（不区分大小写）数量，计算字符概率，并计算信源熵。
2、香农编码要求：任意输入消息概率，利用香农编码方法进行编码，并计算信源熵和编码效率。
二、设计思路1、统计信源熵：统计信源熵就是对一篇英文文章（英文字母数为n），通过对其中的a,b,c,d/a,b,c,d.....(不区分大小写)统计每个字母的个数n，有这个公式p=n/n可得每个字母的概率，最后又信源熵计算公式h（x）=??p(xi)logp(xi)i?1n，可计算出信源熵h,所以整体步骤就是先统计出英文段落的总字符数，在统计每个字符的个数，即每遇到同一个字符就++1，直到算出每个字符的个数，进而算出每个字符的概率，再由信源熵计算公式计算出信源熵。
2、香农编码：香农编码主要通过一系列步骤支出平均码长与信源之间的关系，同时使平均码长达到极限值，即选择的每个码字的长度ki满足下式：i(xi)?ki?i(xi)?1,?i具体步骤如下：a、将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列为：p1?p2?......?pn b、确定满足下列不等式的整数码长ki为：?lb(pi)?ki??lb(pi)?1 c、为了编成唯一可译码，计算第i个消息的累加概率：pi??p(ak)k?1i?1d、将累加概率pi变换成二进制数。
精品课课件信息论与编码(全套讲义)
跨学科交叉融合
信息论将与更多学科进行交叉融合，如物理学、 化学、社会学等，共同推动信息科学的发展。
编码技术的发展趋势
高效编码算法
随着计算能力的提升，更高效的编码算法将不断涌现，以提高数据 传输和存储的效率。
智能化编码
借助人工智能和机器学习技术，编码将实现智能化，自适应地调整 编码参数以优化性能。
跨平台兼容性
未来的编码技术将更加注重跨平台兼容性，以适应不同设备和网络环 境的多样性。
信息论与编码的交叉融合
理论与应用相互促进
信息论为编码技术提供理论支持， 而编码技术的发展又反过来推动 信息论的深入研究。
共同应对挑战
精品课课件信息论与编码(全套 讲义)
目
CONTENCT
录
• 信息论基础 • 编码理论 • 信道编码 • 信源编码 • 信息论与编码的应用 • 信息论与编码的发展趋势
01
信息论基础
信息论概述
信息论的研究对象
研究信息的传输、存储、处理和变换规律的科学。
信息论的发展历程
从通信领域起源，逐渐渗透到计算机科学、控制论、 统计学等多个学科。
卷积编码器将输入的信息序列按位输入到一个移位寄存器中，同时根据生成函数将移位寄存 器中的信息与编码器中的冲激响应进行卷积运算，生成输出序列。
卷积码的译码方法
卷积码的译码方法主要有代数译码和概率译码两种。代数译码方法基于最大似然译码准则， 通过寻找与接收序列汉明距离最小的合法码字进行译码。概率译码方法则基于贝叶斯准则， 通过计算每个合法码字的后验概率进行译码。
04
信息论及编码理论基础(第三章)讲诉
2018/11/16
9
§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
（9）在无错编码的前提下，编码的最低代价 当R≥logK时，能够实现无错编码。 （DN≥KL） 当R<H(U1)时，无论怎样编码都是有错编码。这是因为 R<H(U1)≤logK。 （DN<KL） （如果H(U1)=logK，则以上两种情形已经概括了全部情形。 但如果H(U1)<logK，则还有一种情形） 当logK>R>H(U1)时，虽然无论怎样编码都是有错编码， 但可以适当地编码和译码使译码错误的概率pe任意小。这 就是所谓“渐进无错编码”。
EV1 qk loga
k 1
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qk
H (U1 )
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§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
取IL是(V1V2…VL)的如下函数： I L
1 L Vl L l 1
则 ① IL最终是(U1U2…UL)的函数； ② 1 L 1 L 1 EI L EVl H (U1 ) DI L D Vl 2 L l 1 L l 1 L
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§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
设…U-2U-1U0U1U2…是离散无记忆（简单）信源的输出随机变 量序列。设U1的概率分布为
a1 a2 aK U1 ~ q q q K 1 2
取Vl是Ul的如下函数：当Ul=ak时， Vl=loga(1/qk)。则 ①随机变量序列…V-2V-1V0V1V2…相互独立，具有相同的概率 分布； K ② 1
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§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
例：离散无记忆简单信源发出的随机变量序列为：…U-2U1U0U1U2…。其中U1的事件有3个：{晴, 云, 阴}。 (U1U2)有9个事件 {（晴晴），（晴云），（晴阴），（云晴），（云云）， （云阴），（阴晴），（阴云）， （阴阴）}。 用字母表{0, 1}对(U1U2)的事件进行2元编码如下： （晴晴）→0000，（晴云）→0001，（晴阴）→0011， （云晴）→0100，（云云）→0101，（云阴）→0111， （阴晴）→1100，（阴云）→1101，（阴阴）→1111。
信息论-复习资料(傅祖芸版本)
P(aik)是符号集A的一维
概率分布
23
3）离散无记忆信源的N次扩展信源
若X为离散无记忆信源：
X P(x)
a1 P(a1
)
a2 P(a2 )
a3 P(a3 )
... ... ... ...
aq P(aq )
信源X的各输出Xi间统计独立、且取值同一符号集A。该信源 输出的N维随机矢量X为离散无记忆信源X的N次扩展信源。
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信息的度量
要点：
信息的度量（信息量）和不确定性消除的程度有关，消除的不 确定性＝获得的信息量；
不确定性就是随机性，可以用概率论和随机过程来测度；
推论：
概率小－>信息量大，即信息量是概率的单调递减函数； 信息量应该具有可加性； 信息量的计算公式为（香农（自）信息量的度量）：
I (ak )
33
3.3 信息熵的基本性质
信息熵是信源概率空间的一种特殊函数。这个函数的取 值大小，与信源的符号数及其概率分布有关。
用概率矢量P来表示概率分布P(x)：
（下标1-N为时间标志）
N
P(X) P( X1X 2 X N ) P( Xi )
i 1
若各随机变量Xi取值同样符号集A:{a1,a2,…,aq}，则
N
P(x i ) P(ai1ai2 ,..., aiN ) P(aik ), ik (1,2,..., q) k 1
N维随机矢量的一个取值， i＝(ai1 ai2…aiN)
信道编码的主要方法 增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信源 编码相反。
信道译码器的作用 具有检错或纠错的功能,它能将落在其检错或纠错范围 内的错传码元检出或纠正,以提高传输消息的可靠性。
信息论与编码课件第三章
利用信息论中的信号分析原理，检 测网络中的异常流量和行为，及时 发现和防范网络攻击。
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解码卷积码的方法包括最大似然解码、维特比解 码等，其中维特比解码算法具有较低的复杂度。
03 第三章 加密编码
加密编码的基本概念
加密编码是信息隐藏的一种形式， 通过将信息转化为难以理解的形 式，保护信息的机密性和完整性。
加密编码的基本要素包括明文、 密文、加密算法和解密算法。
加密编码的目标是确保只有授权 用户能够解密和读取密文，而未 经授权的用户无法获取明文信息。
离散无记忆信源的熵计算公式为$H(X) = - sum p(x) log_2 p(x)$，其中 $p(x)$表示输出符号$x$的概率。
离散无记忆信源的熵
离散无记忆信源的熵是用来度量其信 息量的一个重要参数，它表示在给定 概率分布下，输出符号所包含的平均 信息量。
离散有记忆信源的熵
离散有记忆信源的定义
信息论与编码课件第三章
contents
目录
• 第三章 信源编码 • 第三章 信道编码 • 第三章 加密编码 • 第三章 信息论与编码的应用
01 第三章 信源编码
信源编码的基本概念
01
信源编码的定义
信源编码是对信源输出的符号序列进行变换，使其满足某种特定规则的
过程。
02
信源编码的目的
信源编码的主要目的是在保证通信质量的前提下，尽可能地压缩信源输
对称密钥密码体制
对称密钥密码体制是指加密和 解密使用相同密钥的密码体制。
对称密钥密码体制的优点是加 密和解密速度快，适合于大量 数据的加密。
常见的对称密钥密码体制包括 AES（高级加密标准）和DES （数据加密标准）。
信息论与编码讲义第十讲
§3.4 最佳不等长编码
补充引理3 补充引理 设信源随机变量U的2元异字头码S。对码S进行如下 的变换： （1）取出一个概率最小的事件a；在剩下的事件中取出一个概 率最小的事件b。 （2）找出一个最长的码字，将该码字与事件a的码字交换位置。 此时事件a的码字就是一个最长的码字。 （3）在事件a的码字之外找出一个最长的码字，将该码字与事 件b的码字交换位置。此时事件b的码字就是一个除了事件a的 码字之外最长的码字。 对码S进行如上的变换后变成了码T。则码T是2元异字头码，且 码T的平均码长≤码S的平均码长。 证明 补充引理3是补充引理2的简单推论。
2 − m1 + 2 − m2 + L + 2 − mK ≤ 1
码字长度依次为m1、m2、…、mK的2元不等长码的平均码长 =码字长度依次为m1、m2、…、mK的2元异字头码的平均码长 ≥码字长度依次为n1、n2、…、nK的2元异字头码的平均码长。 得证。
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§3.4 最佳不等长编码
补充引理2 补充引理 设信源随机变量U的2元异字头码S 。设 事件a的概率qa ≤事件b的概率qb ； 事件a的码字长度na ≤事件b的码字长度nb 。 将事件a与事件b交换码字，则平均码长不增加。 证明 （1）交换码字前，两个码字对平均码长的贡献为qana+qbnb； （2）交换码字后，两个码字对平均码长的贡献为qanb+qbna。 (qana+qbnb)-(qanb+qbna)=(qa-qb)(na-nb)≥0。 这就是说， 交换码字前两个码字的贡献≥交换码字后两个码字的贡献； 因此，交换码字使平均码长不增加。
2010-10-31 12
§3.4 最佳不等长编码
信息论与编码理论-第三章
03 信源编码理论
离散无记忆信源的编码定理
香农第一定理
对于离散无记忆信源，存在一种码字， 使得码字的平均长度等于信源熵，且 可以无失真地恢复原始信源。
香农第二定理
对于离散有记忆信源，当码长趋于无 穷时，最理想的无失真编码方法的码 字平均长度趋近于信源熵。
连续信源的编码定理
连续信源熵的定义
连续信源熵是描述连续随机变量不确定性的量度，其值等于该随机变量取值范围所占据的微分体积。
信道编码
通过在信息中加入冗余，以降低 信息传输过程中的误码率，提高 通信的可靠性。
在数据压缩中的应用
无损压缩
利用信息论中的熵概念，将数据压缩至其理 论最小值，同时保持数据的完整性。
有损压缩
通过去除数据中的冗余和无关信息，实现数 据的较大程度压缩，常见于图像、音频和视
频压缩。
在网络安全中的应用
要点一
连续信源的编码定理
对于连续信源，存在一种码字，使得码字的平均长度等于连续信源熵，且可以无失真地恢复原始信源 。
预测编码与变换编码
预测编码
预测编码是根据原始信号的过去值来预测当前值，然后对预测误差进行编码。这种方法 常用于消除时间相关性，减少数据冗余。
变换编码
变换编码是将信号从时域变换到频域进行编码，通过去除信号中的冗余成分来压缩数据。 常见的变换编码方法包括离散余弦变换（DCT）和快速傅里叶变换（FFT）。
3
信道编码是一种主动的错误控制方法，它通过在 信息中添加冗余信息，使得接收端能够检测和纠 正传输过程中的错误。
线性码与循环码
线性码是一类特殊的码，它的编 码规则满足线性性质，即对于任 意两个码字进行线性运算，其结
果仍然是码字。
循环码是线性码的一种，它的码 字具有循环移位的性质，即一个
信息论与编码答案傅祖芸
信息论与编码答案傅祖芸【篇一：信息论与编码课程设计报告】t>设计题目：统计信源熵与香农编码专业班级学号学生姓名指导教师教师评分2014年3月24日目录一、设计任务与要求................................................. 2 二、设计思路....................................................... 2 三、设计流程图..................................................... 3 四、程序运行及结果................................................. 5 五、心得体会....................................................... 6 参考文献 .......................................................... 6 附录：源程序.. (7)一、设计任务与要求1、统计信源熵要求：统计任意文本文件中各字符（不区分大小写）数量，计算字符概率，并计算信源熵。
2、香农编码要求：任意输入消息概率，利用香农编码方法进行编码，并计算信源熵和编码效率。
二、设计思路1、统计信源熵：统计信源熵就是对一篇英文文章（英文字母数为n），通过对其中的a,b,c,d/a,b,c,d.....(不区分大小写)统计每个字母的个数n，有这个公式p=n/n可得每个字母的概率，最后又信源熵计算公式h（x）=??p(xi)logp(xi)i?1n，可计算出信源熵h,所以整体步骤就是先统计出英文段落的总字符数，在统计每个字符的个数，即每遇到同一个字符就++1，直到算出每个字符的个数，进而算出每个字符的概率，再由信源熵计算公式计算出信源熵。
2、香农编码：香农编码主要通过一系列步骤支出平均码长与信源之间的关系，同时使平均码长达到极限值，即选择的每个码字的长度ki满足下式：i(xi)?ki?i(xi)?1,?i具体步骤如下：a、将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列为：p1?p2?......?pn b、确定满足下列不等式的整数码长ki为：?lb(pi)?ki??lb(pi)?1 c、为了编成唯一可译码，计算第i个消息的累加概率：pi??p(ak)k?1i?1d、将累加概率pi变换成二进制数。
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于｛0，1｝；输出符号取值于｛0，2，1｝。
0
p 0
1-p
2 1-q
1
q
1
信道传递矩阵：
02 1
0 p 1 p 0
1
0
1沐风教q资 q
9
二元删除信道BEC的说明
这种信道实际是存在的，当信号波形传输中失真 较大时，我们在接收端不是对接收信号硬性判为 0和1，而是根据最佳接收机额外给出的信道失真 信息增加一个中间状态2（称为删除符号），采 用特定的纠删编码，可有效的恢复出这个中间状 态的正确取值。
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2
3.1信道的数学模型及分类
在广义的通信系统中，信道是很重要的一部分。
信道的任务是以信号方式传输信息和存储信息。
研究信道的目的就是研究信道中能够传送或存储 的最大信息量，即信道容量问题。
本章首先讨论离散信道的统计特性和数学模型， 然后定量地研究信道传输的平均互信息及其性质 ，并导出信道容量及其计算方法。
p
(b1
a2
)
p(b2 a1) p(b2 a2 )
ar p(b1 ar ) p(b2 ar )
关于信道矩阵的几点说明：
bs
p(bs a1) p(bs a2 ) P
p(bs ar )
1、输入和输出符号的联合概率为
p(aibj ) p(ai ) p(b沐j风a教i资) p(bj ) p(ai bj )
根据信道的统计特性即条件概率 P( y x)的不同，离
散信道又可分成三种情况。
沐风教资
5
离散信道的数学模型
无干扰（无噪）信道
y f (x)
1 y f (x) P( y x) 0 y f (x)
有干扰无记忆信道：离散无记忆信道的充要条件 N P( y x) P( y1 y2...yN x1x2...xN ) P( yi xi )
；输出变量为Y，取值于b1,b2,...,bs 。并有条件概
率 P( y x) P( y bj x ai ) P(bj ai ) 这一组条件概率称为信道的传递概率或转移概率
一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率
空间[X,p(y|x),Y]来描述。
a1
a2
X. .P(bFra bibliotekj ai )11
单符号离散信道的数学模型
其中p(bj ai )是信道传递概率，通常称为前向概率， 它是由于噪声引起的，描述了信道噪声的特性。 而 p(ai称bj )为后向概率。也把 p(称ai )为先验概率， 而把 p(ai b称j ) 为后验概率。
2、根据联合概率可得输出符号的概率 r P(bj ) p(ai ) p(bj / ai )
b1
b2
. .
Y
.
.
ar
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bs
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两种重要的二元信道BSC和BEC
例3.1 二元对称信道BSC（Binary Symmetric Channel） 这是很重要的一种特殊信道。输入符号X取值于 ｛0，1｝；输出符号也取值于｛0，1｝。
X a1=0
1-p p
Y b1=0
p
a2=1
1-p
b2=1
沐风教资 波形信道
4
3.1.2离散信道的数学模型
离散信道的数学模型如下图所示
X
信道
Y
X ( X1,..., X 2,..., X N ) P( y x) Y (Y1,...,Yi ,...,YN )
X : a1,..., ar
Y : b1,...,bs
P(y x) 1
y
图3.1 离散信道数学模型
3、根据贝叶斯公式得后i验1 概率
上式说明P，(ai /在bj )信 PP道((abibj输)j ) 出端接收ir1到P(任ai / 一bj ) 符 1 号bj
一定是输入符号 a1 ,… ar 沐中风教的资 一个输入信道。 12
3.2平均互信息及平均条件互信息
3.2.1信道疑义度
信源输入信道的熵—先验熵H(X)
第三章 离散信道及其信道容量
本章主要内容： 3.1 信道的数学模型及分类 3.2 平均互信息及平均条件互信息 3.3 平均互信息的特征 3.4 信道容量及其一般计算方法 3.9 信源与信道的匹配 小结
沐风教资
1
第三章 离散信道及其信道容量
本章的重、难点内容： 了解信道的分类及基本数学模型 掌握平均互信息和平均条件互信息的概念 和意义 知道平均互信息的特征 掌握信道容量及其一般计算方法*
对任意N值和任意x、y的取值，i1上式都成立。
有干扰有记忆信道：即有干扰（噪声）又有记忆
，实际信道往往是这种类型。信道输出不但与输
入有关，还与其它时刻的输入和输出有关，这样
的信道称为有记忆信道。
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6
3.1.3单符号离散信道的数学模型
单符号离散信道的输入变量为X，取值于a1, a2,..., ar
如果信道干扰不是很严重的话，1 0和 0 1的可能 性要比0 2和1 2的可能性小得多，所以，假设
p( y 1 x 0) p( y 0 x 1) 0 是较合理的。
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10
单符号离散信道的数学模型
由此可见，一般单符号离散信道的转移概率可用
信道转移矩阵P来表示：
b1
b2
a1 a2
p(b1 a1)
本章只限于研究一个输入端和一个输出端即单用
户信道，以无记忆、无反馈、恒参离散信道为重
点。
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3
3.1.1 信道的分类
两端（单用户）信道
根据信道的用户多少 多端（多用户）信道
无反馈信道
根据信道输入输出的关联 反馈信道
固定参数信道
根据信道参数与时间的关系 时变参数信道
离散信道
根据输入输出信号的特点 连续信道 半离散或半连续信道
意义：后验熵是当信道接收端接收到输出
H (X )
r i 1
p(ai ) log
1 p(ai )
X
p(x) log p(x)
信道中有干扰(噪声)存在，接收到符号b j 后输入的
是什么符号仍存在有不确定性— 后验熵。
r
H ( X bj ) p(ai bj ) log
i 1
1 p(ai bj )
X
p(x bj ) log
1 p(x bj )
传递概率：
传递矩阵：
P(b1 a1) P(0 0) 1 p p
01
P(b2 a2 ) P(11) 1 p p
0 1 p p
P(b1 a2 ) P(01) p P(b2 a1) P(10) p
1 沐风教资
p
1 p
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两种重要的二元信道BSC和BEC
例3.2 二元删除信道BEC（Binary Erasure Channel） 这也是很重要的一种特殊信道。输入符号X取值