推理与证明 课件(新人教A版选修1-2)【thancy3】
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + 1 1 1 b c c a a b = + + . < + + 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
例：已知a > 5，求证 ：
证明: 要证 只需证 只需证 只需证 只需证 因为 所以
二.分析法
a -5 - a -3 <
a - 2 - a.
a -5 - a -3 < a -2 - a a -5 a < a -2 + a -3
a(a - 5)< (a - 2)(a - 3) a(a - 5)<(a - 2)(a - 3)
0<6 0<6
成立.
成立.
a -5 - a -3 < a -2 - a
问题一:
三:反Байду номын сангаас法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________ 个区域. 2k
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.
C D
L1
a
L2
A
B
五.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
一.综合法
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c = a + b + c.
2
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ： a + b + c < + + . a b c
第二章 推理与证 明复习小结
知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ： a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
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2019秋新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章推理与证明2.1.1
特 征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
-5-
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目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
仅供学习交流！！！
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-21-
-22-
-23-
题型一
题型二
题型三
题型四
答案:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的 三分-29-
谢谢观看！
-31-
2.1
合情推理与演绎推理
2.1.1
合情推理
-3-
1.归纳推理和类比推理
归纳推理 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征,推出另一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理(简称 类比) 类比推理是由特殊到特殊的推理
定 义
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)
高中数学第二章推理与证明本章整合课件新人教A版选修1_2
第二章 推理与证明 本 章 整 合
专题1
专题2
专题3
专题一 合情推理和演绎推理在解题中的应用 1.合情推理的应用 归纳推理和类比推理是常用的合情推理,都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的 推理.从推理形式上看,归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性 的结论的推理方法,它在科学研究或数学学习中有着重要的作用, 有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论,或预测答案、探索 解题思路等;类比推理是由特殊到特殊的推理,它以比较为基础,有 助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等.合情推理的结 论不一定正确,有待于演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是 通过合情推理获得的,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
专题1
专题2
专题3
通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相 应的四个相邻的数有关.具体关系可以从上表看出,如果用an表示第 四行的第n个数,那么an=8n+4. 现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数. 注意到第四行中最大的数是7 980<999×8,所以k=4. 由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3 996,它是第四 行的第(3 996-4)÷8=499(项),即a499=3 996就是第四行中能被999整 除的数.
������1 ������2 ������3 = = ; sin������ sin������ sin������
2 2 2 ������1 = ������2 + ������3 − 2S2S3cos α, 2 2 2 ������2 = ������1 + ������3 − 2S1S3cos β, 2 2 2 ������3 = ������1 + ������2 − 2S1S2cos γ. 下面给出证明.
专题1
专题2
专题3
专题一 合情推理和演绎推理在解题中的应用 1.合情推理的应用 归纳推理和类比推理是常用的合情推理,都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的 推理.从推理形式上看,归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性 的结论的推理方法,它在科学研究或数学学习中有着重要的作用, 有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论,或预测答案、探索 解题思路等;类比推理是由特殊到特殊的推理,它以比较为基础,有 助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等.合情推理的结 论不一定正确,有待于演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是 通过合情推理获得的,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
专题1
专题2
专题3
通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相 应的四个相邻的数有关.具体关系可以从上表看出,如果用an表示第 四行的第n个数,那么an=8n+4. 现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数. 注意到第四行中最大的数是7 980<999×8,所以k=4. 由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3 996,它是第四 行的第(3 996-4)÷8=499(项),即a499=3 996就是第四行中能被999整 除的数.
������1 ������2 ������3 = = ; sin������ sin������ sin������
2 2 2 ������1 = ������2 + ������3 − 2S2S3cos α, 2 2 2 ������2 = ������1 + ������3 − 2S1S3cos β, 2 2 2 ������3 = ������1 + ������2 − 2S1S2cos γ. 下面给出证明.
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明
专题一
专题二
专题二 直接证明与间接证明
1.综合法证明数学问题是“执因索果”,而分析法则是“执果索因”,二者一正一反,各有特点,综合法的特点是表述 简单条理清楚,分析法则便于解题思路的探寻.
2.分析法与综合法往往结合起来使用,即用分析法探寻解题思路,而用综合法书写过程,即“两头凑”,可使问题便 于解决.
专题一
专题二
【例1】 已知数列 归纳出Sn的计算公式.
8× 1 12 × 32
,
8× 32×
252,…,(2…������,-S1n为)82其×(2前������������n+项1的)2和, ,计算S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并
思路分析:通过计算S1,S2,S3,S4的取值,发现它们的共同点有:都是分数,分母为奇数的平方,分子比分母少1,据
ABCD
中,������������������������'
+
������������ ������������'
+
������������ ������������'
+
������������������������' =4-������������-������������������+������������-������������������������������-+������������������������������-������������������ +������������-������������������ =4-������������������������--������������������������������������ =3.
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2
• [问题1] 我们熟知的三国演义第34回草船借箭中诸 葛亮“先生”的推理过程是怎样的呢？
[提示 1] 诸葛亮“先生”的推理过程是
1.今夜恰有大雾 2.曹操生性多疑 3.北军不善水战 ⇨草船借箭必将成功
弓弩利于远战 4.今夜恰有东风
• [问题2] 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海 龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼， 海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用 肺,21，…这些数叫作三角形数，如图 所示，则第七个三角形数是( )
• A．27 • C．29 D．30
B．28
解析： 第一个三角形数是 1， 第二个三角形数是 1＋2＝3， 第三个三角形数是 1＋2＋3＝6， 第四个三角形数是 1＋2＋3＋4＝10. 因此，归纳推理得第 n 个三角形点数是 1＋2＋3＋4＋…＋ n＝1＋2nn.由此可以得出第七个三角形数是 28.
合作探究•课堂互动
图形中的归纳推理
•
如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两
部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆
最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9
条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此
最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
• (1)在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线段？ 将圆最多分割成多少部分？
• (2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现 某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明 确表述的一般性命题(猜想)．
• 一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性， 那么推广的一般性命题就可能为真．
• 2．类比推理的特点
• (1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推 测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结 果具有猜测性，不一定可靠．
新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.2.1
证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所 在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
典例透析
(1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离. (1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.
−
1)(������∈N*,n≥2),求证: 1 为等差数列.
������������
分析:(1)类比题目所给等式得到 Sn+1 与 an+1 之间的关系式→两式相减→说明{an}是等比数列
(2)利用(1)中的公比
q
得到
f(m)→化简式子
bn=
3 2
������
(bn-1)→证明
1 ������������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所 在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
典例透析
(1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离. (1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.
−
1)(������∈N*,n≥2),求证: 1 为等差数列.
������������
分析:(1)类比题目所给等式得到 Sn+1 与 an+1 之间的关系式→两式相减→说明{an}是等比数列
(2)利用(1)中的公比
q
得到
f(m)→化简式子
bn=
3 2
������
(bn-1)→证明
1 ������������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
人教A版高中数学选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.1.1.1
∵S1=a1=1,∴2Sn+1=Sn+2.
令 n=1,得 2S2=S1+2=1+2=3,∴S2=32.
同理,分别令 n=2,n=3,可求得 S3=74,S4=185.
由 S1=1=2210-1,S2=32 = 2221-1,S3=74 = 2232-1,S4=185 = 2243-1, 猜想 Sn=22������������--11.
这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示正整数,则可用关
于n的等式表示为
.
解析:由已知,得32-12=2×4,42-22=3×4,52-32=4×4,62-42=5×4,
……猜想(n+2)2-n2=4(n+1).
答案:(n+2)2-n2=4n+4
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
不等式中的归纳推理问题
由此可以归纳得到数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
反思感悟在数列问题中,常常用归纳推理来求数列的通项公式与 前n项和公式,其一般步骤是:
(1)根据给出的第1项(或其他几项)的值,利用递推关系式求出数 列的前几项或前几项和;
(2)观察数列的前几项或前几项和的结果,从中寻找与项数n的关 系;
当 n=2 时,���1���2=-2-S1=-3, 所以 S2=-13; 当 n=3 时,���1���3=-2-S2=-53,所以 S3=-35; 当 n=4 时,���1���4=-2-S3=-75,所以 S4=-57. 猜想 Sn=-22������������--31(n∈N*).
探究一
探究二
探究三
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 科学发现中的推理》精品课件_2
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不 是犯罪呢？
情景创设2：完成下列填空并观察下列推理有什么特点？
1.马有四条腿, 因为白马是马,
所以 白马有四条腿
一般性原理 特殊情况
结论
2.学生要遵守校规校纪, 因为小刚是学生, 所以 小刚要遵守校规校纪
3.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数,
ACD BCD
四、合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由特殊到一般的 由特殊到特殊的 由一般到特殊的形式 推理推理 Nhomakorabea推理
区
别 推理 结论不一定正确，有待进一 结论 步证明
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
（2)推理的结论正确吗？为什么？
推理形式正确，但推理结论错误，因为 大前提错误。
观察：下面是某同学的证明过程，你认为对吗？
如图，在△ABC 中，AC > BC , CD是AB上的高，求证： ∠ACD > ∠BCD.
C
证明：在△ABC 中，因为 CD AB ,
AC > BC, 所以AD > BD，
证明:(1)因为有一个内角是直角
的三角形是直角三角形,
大前提 E C D
在△ABC中,AD⊥BC,∠ADB=900, 小前提
所以△ADB是直角三角形.
结论
同理△AEB是直角三角形.
A
M
B
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提
M是Rt△ADB斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, 小前提 注意D：M（1）12书A写B 时，若大前提是显然的，可以省略，因为大结前论提 一般同都理是D定E理、1公AB理、所性以质等DM=EM.
情景创设2：完成下列填空并观察下列推理有什么特点？
1.马有四条腿, 因为白马是马,
所以 白马有四条腿
一般性原理 特殊情况
结论
2.学生要遵守校规校纪, 因为小刚是学生, 所以 小刚要遵守校规校纪
3.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数,
ACD BCD
四、合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由特殊到一般的 由特殊到特殊的 由一般到特殊的形式 推理推理 Nhomakorabea推理
区
别 推理 结论不一定正确，有待进一 结论 步证明
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
（2)推理的结论正确吗？为什么？
推理形式正确，但推理结论错误，因为 大前提错误。
观察：下面是某同学的证明过程，你认为对吗？
如图，在△ABC 中，AC > BC , CD是AB上的高，求证： ∠ACD > ∠BCD.
C
证明：在△ABC 中，因为 CD AB ,
AC > BC, 所以AD > BD，
证明:(1)因为有一个内角是直角
的三角形是直角三角形,
大前提 E C D
在△ABC中,AD⊥BC,∠ADB=900, 小前提
所以△ADB是直角三角形.
结论
同理△AEB是直角三角形.
A
M
B
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提
M是Rt△ADB斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, 小前提 注意D：M（1）12书A写B 时，若大前提是显然的，可以省略，因为大结前论提 一般同都理是D定E理、1公AB理、所性以质等DM=EM.
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章推理与证明
[解析] 任取 x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设 x1<x2，则 x2 －x1>0，
∵a>1，∴ax2－x1>1，且 ax1>0， ∴ax2－ax1＝(ax2－x1－1)ax1>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0. ∴xx22－ ＋21－xx11－＋21＝x2－2x1x＋1＋11－x2x＋1－12 x2＋1 ＝x13＋x12－xx2＋1 1>0.
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高二数学人教A版选修1-2 课件：第二章推理与证明
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因为 4>π 是成立的，所以 π2Lπ2>L42 成立，从而圆的面积 大于正方形的面积.
第二章 章末归纳总结
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题型 4 综合法证明不等式 [例 4] 已知 a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
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[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. 由于 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数．于是猜 想当 n 取任何非负整数时 f(n)＝n2＋n＋41 的值为质数． 因为当 n＝40 时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以 f(40) 为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确.
∵a>1，∴ax2－x1>1，且 ax1>0， ∴ax2－ax1＝(ax2－x1－1)ax1>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0. ∴xx22－ ＋21－xx11－＋21＝x2－2x1x＋1＋11－x2x＋1－12 x2＋1 ＝x13＋x12－xx2＋1 1>0.
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高二数学人教A版选修1-2 课件：第二章推理与证明
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因为 4>π 是成立的，所以 π2Lπ2>L42 成立，从而圆的面积 大于正方形的面积.
第二章 章末归纳总结
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题型 4 综合法证明不等式 [例 4] 已知 a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
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[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. 由于 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数．于是猜 想当 n 取任何非负整数时 f(n)＝n2＋n＋41 的值为质数． 因为当 n＝40 时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以 f(40) 为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确.
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第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过 程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修 饰，反思总结解题方法的选取．
2．综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和 已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
①a2≥0(a∈R)． ②(a － b)2≥0(a 、 b∈R) ， 其 变 形 有 a2 ＋ b2≥2ab ， (a＋2 b)2≥ab，a2＋b2≥(a＋2b)2.
2．分析法的特点 从“未知”看“需知”，再逐步靠近“已知”． 3．分析法与综合法的区别与联系 (1) 区 别 ： 综 合 法 是 “ 由 因 导 果 ” ， 而 分 析 法 则 是 “执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法 便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方 法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会 更好．
[点评] (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基 本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发， 逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已 知(或已证)的不等式；
(3) 用 分 析 法 证 明 数 学 命 题 时 ， 一 定 要 恰 当 地 用 好 “要证”、“只需证”、“即证”等词语．
人教版高中数学选修1-2-直接证 明与间接证明-课件1
一、综合法 1．对综合法的理解 简言之，综合法是一种由因导果的证明方法，其逻 辑依据是三段论式的演绎推理方法． 由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件 出发，推导出所要证明的结论成立． 2．综合法的特点 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐 步推理，实际上是寻找“已知”的必要条件．
只需证 (a＋1)(a－2)＜ a(a－1)， 只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)， 即证－2＜0，而－2＜0 显然成立， 所以 a＋1－ a＜ a－1－ a－2成立．
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=2ab(p-q)2. 因为a,b同号,所以2ab(p-q)2≥0. 所以原不等式成立.
【方法技巧】转化与化归思想的内涵与应用 (1)内涵:转化与化归的思想就是在处理问题时,通过某 种转化过程,化归为一类已经解决或比较容易解决的问 题,最终使问题化繁为简、化难为易.
(2)应用:本章内容中转化与化归思想主要应用于以下 几个方面:归纳推理中特殊到一般的转化;演绎推理中 一般到特殊的转化;分析法中结论与条件的转化;反证 法中正难则反的转化;数学归纳法中无限与有限的转化 等.
【方法技巧】 1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
【变式训练】对命题“正三角形的内切圆切于三边的 中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各 正三角形的位置是 ( ) A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点
2.反证法的证题思想 否定结论,提出假设 ↓ 逻辑推理,导出矛盾 ↓ 否定假设,肯定结论
【变式训练】已知直线a与b不共面,c∩a=M,b∩c=N,a∩ 面α=A,b∩面α=B,c∩面α=C. 求证:A,B,C三点不共线. 【证明】假设A,B,C三点共线于直线l,
因为A,B,C∈α,所以l⊂α. 因为c∩l=C,所以c与l确定一平面β. 因为c∩a=M,所以M∈β.又A∈l, 所以a⊂β,同理b⊂β, 所以a,b共面,与已知a,b不共面矛盾, 故A,B,C三点不共线.
课 推理与证明
【网络体系】
【核心速填】 1.合情推理 (1)归纳推理:由_____到_____、由_____到_____的推理.
部分 整体 个别 一般 (2)类比推理:由_____到_____的推理. (3)合情推理:归纳特推殊理和特类殊比推理都是根据已有的事 实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.