椭圆函数滤波器响应
椭圆滤波器(考尔滤波器)
椭圆滤波器（考尔滤波器）
特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的，其振幅平方函数为
式中，RN（Ω，L）为雅可比椭圆函数，L是一个表示波纹性质的参量。
由图可见，在归一化通带内（-1≤Ω≤1），在（0，1）间振荡，而超过ΩL后，在L2和间振荡。
L越大，ΩL也变大。
这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。
下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数：
图中ε和A的定义与切比雪夫滤波器相同。
当Ωc、Ωs、ε和A确定后，阶次N的确定方法为：
上面讨论了三种最常用模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。
一般，椭圆滤波器的阶次可最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。
椭圆滤波器(考尔滤波器)
椭圆滤波器（考尔滤波器）
特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的，其振幅平方函数为
式中，RN（Ω，L）为雅可比椭圆函数，L是一个表示波纹性质的参量。
由图可见，在归一化通带内（-1≤Ω≤1），在（0，1）间振荡，而超过ΩL后，在L2和间振荡。
L越大，ΩL也变大。
这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。
下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数：
图中ε和A的定义与切比雪夫滤波器相同。
当Ωc、Ωs、ε和A确定后，阶次N的确定方法为：
上面讨论了三种最常用模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。
一般，椭圆滤波器的阶次可最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。
归一化椭圆函数滤波器的正元件值全解及其cad
归一化椭圆函数滤波器的正元件值全解及其
cad
归一化椭圆函数滤波器是一种带有优良频率响应的滤波器。
根据其滤波器结构，其正元件值可分为4组满组件，每组有2个元件，它们分别是抗输入电感（L1，L2，L7，L8），抗源电容（C2，C3，C6，C7），抗源抗输出电容（C1，C4，C5，C8）和抗输出电感（L3，L4，L5，L6）。
传统的椭圆滤波器设计方法是根据不同的阶数，定义不同的椭圆常数（K）值，然后利用大量的数学公式来求出滤波器的正元件的值。
而归一化椭圆函数滤波器利用椭圆函数滤波器的正电容值实现元件值一次性全解，可以有效节省计算时间。
为了开发基于归一化椭圆函数滤波器的CAD，首先需要利用椭圆函数滤波器的正元件值，按照以下步骤计算归一化在特定频率表示的椭圆函数滤波器。
其次，利用椭圆函数滤波器的归一化元件值建立归一化椭圆函数滤波器的模型，并实现归一化椭圆函数滤波器的设计、仿真和电路分析。
最后，根据所需频率参数，通过仿真和计算获得归一化椭圆函数滤波器的最佳设计参数。
通过归一化椭圆函数滤波器的正元件值全解及其cad，可以实现更节省时间、更简便的椭圆滤波器设计。
此外，它还可以确保滤波器的性能，实现优异的频率响应，有效提高滤波器的性能。
毕业论文-基于椭圆函数的微波带通滤波器的设计(含外文翻译)
毕业论文-基于椭圆函数的微波带通滤波器的设计（含外文翻译）摘要近年来,由于无线通信技术的飞速发展,使电磁波频谱变得越来越拥挤，而在无线通信系统中，尤其是在接收机前端，带通滤波器性能的优劣直接影响到整个接收机性能的好坏。
因此，发展高性能，研究小型化的微波滤波器是当前非常受关注的议题。
本次基于椭圆函数的微波带通滤波器设计，首先，由要求的技术指标确定滤波器阶数；其次，通过已成熟的滤波器理论查表确定相应低通原型滤波器各元件的参数，并根据频率变换得到所需带通滤波器的电路模型；然后，借助微波电路设计的首选工程软件ADS2008对其原理图进行仿真，得到所设计的椭圆函数微波带通滤波器的21S 和11S 的数据显示图；最后通过分析数据图并不断优化设计方案以达到所设计的技术指标要求，并综合比较得到最佳的原理图及相应的元件值。
分析数据结果可得到所设计的滤波器达到了设计指标要求，表明设计设计方案可行。
关键词：椭圆函数；微波滤波器；ADSAbstractIn recent years, due to the rapid development of wireless communication technology, the electromagnetic spectrum is becoming increasingly congested. In the wireless communication system, especially in the front-end of the receiver band-pass, the performance quality of band-pass filter directly affect the performance of the receiver. Therefore, research for high-performance and miniaturized microwave filter is very popular currently.This article designs a microwave band-pass filter based on elliptic functions. Firstly, the filter order number are determined by the requirements of the technical indicators; Secondly, we look-up table to determine the parameters of the corresponding low-pass prototype filter through the mature theory of filter and according to the frequency conversion we get the circuit model of band-pass filter; Then, we simulate for its schematic by means of a microwave circuit design preferred engineering software ADS2008 and data 21S and 11S the elliptic function of the microwave band-pass filter design are shown in Figure; Finally, we analyze the data graph and optimize the design to meet the technical requirements of the design, and compare to get the best integrated schematic and the corresponding component values. The results obtained by analyzing data achieve the design requirements of designed filters and show that the design is feasible.Keywords: elliptic function; microwave filters; ADS目录第1章概论 (1)1.1 微波滤波器的研究意义 (1)1.2 微波滤波器的进展 (1)1.3 本文内容的安排 (3)第2章现代微波滤波器的设计基础 (4)2.1 基本的概念与技术指标 (4)2.2 微波网络的基本理论 (6)2.3 微波网络的参量 (6)2.3.1 转移参量（A参量） (7)2.3.2 阻抗参量（Z参量）和导纳参量（Y参量） (7)2.3.3 散射参量（S参量） (8)第3章椭圆函数滤波器综合 (10)3.1 椭圆函数滤波器的基本概念 (10)3.1.1 椭圆函数的定义 (10)3.1.2 椭圆函数滤波器的定义 (11)3.2 微波滤波器的设计方法概述 (11)3.3 归一化低通原型滤波器的一般概念 (11)3.3.1 一般低通原型滤波器的结构 (12)3.3.2 椭圆函数低通原型滤波器的结构 (12)3.4 频率变换 (14)3.4.1 由低通到高通的频率变换 (14)3.4.2 由低通到带阻的频率变换 (15)3.4.3 由低通到带通的频率变换 (15)3.5 耦合谐振器滤波器常用耦合矩阵 (16)3.5.1 环路方程 (17)3.5.2 节点方程 (19)第4章椭圆函数滤波器的设计及仿真 (21)4.1 椭圆函数带通滤波器的设计流程 (21)4.2 采用传统方法设计椭圆函数带通滤波器 (22)4.2.1 椭圆函数滤波器低通原型的确定 (22)4.2.2 椭圆函数带通滤波器电路的设计 (23)4.3 传统算法与ADS相结合设计 (26)4.3.1 椭圆函数带通滤波器阶数的确定 (26)4.3.2 椭圆函数带通滤波器电路图的设计 (26)4.4 扩大滤波器的阶数设计 (28)4.4.1 五阶椭圆带通滤波器的设计 (28)4.4.2 五阶椭圆函数带通滤波器的微调设计 (29)总结 (32)参考文献 (33)附录外文原文及翻译 (34)致谢 (69)第1章概论1.1 微波滤波器的研究意义在无线通信技术飞速发展的近几年来，滤波器作为一种二端口网络,具有让某些频率的信号顺利通过,而对另外一些频率的信号加以阻隔和衰减的频率选择特性，而目前在通信、雷达、广播、微波等领域，多频率工作应用越来越普遍,对分隔频率的要求也相应地提高了。
常见的滤波器函数
附件9-2-1 常见的滤波器函数由于理想滤波器的特性不可能实现，因而在实际滤波器的设计中通常采用某个函数来逼近。
根据逼近函数有很多种，以下介绍根据常用的逼近函数所设计的巴特沃兹滤波器（Butterworth filter ）、切比雪夫滤波器（Chebyshev filter ）和椭圆函数滤波器（elliptic filter ）。
由这些函数所决定的实际滤波器特性各有其突出特点，有的衰减特性在过渡区很陡峭，有的相位特性（即延时特性）较为规律，应用中要根据实际需要来选用。
一、巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器的特点是通带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻带则逐渐下降为零。
巴特沃兹滤波器的时域特性也比较好，其脉冲响应具有适当的过冲及振铃。
R p =3dB 的巴特沃兹滤波器幅频特性的数学表达式为：()nn f f H 22c 1lg 101lg 10lg 20Ω+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=式中f c 是截止频率，Ω=f /f c 是归一化频率，n 是其阶数。
这个响应在Ω=0处有20lg|H |=0dB ，其后随Ω增大而单调增大，在Ω<1即f <f c 的通带内，曲线增长极其缓慢，比较平稳；在Ω>1即f >f c 的阻带内，曲线增长甚快，比较陡峭。
因为函数Ω2n 在Ω=0处的一阶、二阶直至2n -1阶导数均为0，反映了函数的变化率极小，所以巴特沃兹响应也称为最平坦响应。
阻带曲线增长的速率由n 来决定，n 越大，增长越快。
一阶巴特沃兹滤波器的衰减率为每倍频6分贝。
二阶巴特沃兹滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶巴特沃兹滤波器的衰减率为每倍频18分贝，如此类推。
图1所示为一阶至五阶巴特沃兹低通滤波器的幅频特性。
f20lg|H |/dB图1 一阶至五阶巴特沃兹低通滤波器二、切比雪夫滤波器在巴特沃兹滤波器中，幅度响应在通带内是最平坦且没有起伏的，在阻带内是单调下降的，然而衰减速度相对较为缓慢。
椭圆函数低通滤波器
GOAL
Goal OptimGoal2 Expr="dB(S(2,1))" SimInstanceName="SP1" Min= Max=-65 Weight= RangeVar[1]="freq" RangeMin[1]=240MHz RangeMax[1]=250MHz
0 -20
dB(S(2,1)) dB(S(1,1))
（七）低通滤波器的设计步骤
根据设计指标在ADS设计向导中建模仿真； ADS设计向导中建模仿真 1、根据设计指标在ADS设计向导中建模仿真； 对电路进行优化； 2、对电路进行优化； 电容换成标称值，对电感进行优化； 3、电容换成标称值，对电感进行优化； 最后对电感用专门软件计算； 4、最后对电感用专门软件计算； 画版图加工； 5、画版图加工； 安装调试； 5、安装调试；
几种常见滤波器的比较
滤波器 类型 LC滤波 器 微带滤 波器 腔体滤 波 适用频率 插损 3GHz以 下 3～ 30GHz 3～ 30GHz 较小 较大 很小 体积 接口 小 小 SMA SMA
较大 波导
（六）低通滤波器的设计指标
1、工作频率：DC～200MHz 工作频率：DC～ 2、插损 ≤1.5dB 纹波≤ 3、纹波≤1dB 带外抑制：@250MHz衰减 衰减≥ 4、带外抑制：@250MHz衰减≥60dB 5、驻波≤1.5 驻波≤ 接头：SMA-506、接头：SMA-50-K
-40 -60 -80 -100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
freq, GHz
低通滤波器电路版图
（八）低通滤波器的调试步骤 1、根据指标要求对网络分析仪校准； 根据指标要求对网络分析仪校准； 2、对电感进行调试； 对电感进行调试； 3、改变电感线圈间距来微调电感，间距变大，电感变小； 改变电感线圈间距来微调电感，间距变大，电感变小； 4、重点调试滤波器通带内的驻波比。 重点调试滤波器通带内的驻波比。 特别注意： 特别注意： 线圈要绕正确； 1、线圈要绕正确； 2、装配要规范； 装配要规范； 3、主要的问题是电容和电感值偏离仿真值。 主要的问题是电容和电感值偏离仿真值。
椭圆函数LC带通滤波器的应用设计
椭圆函数LC带通滤波器的应用设计
滤波器类型的选择可根据滤波器设计的带宽等指标和具体的应用场合来选择。
相对带宽在20%以下的为窄带滤波器，应选用窄带滤波器的设计方法来设计；相对带宽在40%以上的为宽带滤波器，应选用宽带滤波器的设计方法来设计；而介于两者之间的为中等带宽滤波器。
由上面的指标可以看出本滤波器是窄带带通滤波器。
采用巴特沃斯滤波器来设计可以使通带内具有最大平坦的幅频响应；而切比雪夫滤波器的好处是：带外抑制好，但是带内有一定的波动；本文设计的滤波器要求带外近端抑制良好（可以用切比雪夫滤波器或椭圆函数滤波器来实现，但是从后面的分析看要使用LC滤波器，而用LC滤波器的话，使用切比雪夫形式电路元件的值过于小，很难实现，这个可以用软件仿真来说明），以此可以看出，用椭圆函数滤波器更适合。
微带滤波器通过采用不同的衬底材料可以在很大的频率范围内应用（从几百MHz到几十GHz）；同轴滤波器由于其微小的尺寸，制作精度很难达到；波导滤波器在小信号电平上，它的频率基本是8~100 GHz;陶瓷介质滤波器体积大，形状因子与品质因数较小；LC滤波器适用于本滤波器频段，且较容易制作和调试。
椭圆函数低通滤波器设计
椭圆函数低通滤波器设计引言椭圆函数低通滤波器是一种常用的滤波器，在信号处理中起着重要的作用。
它具有较为复杂的设计和计算方法，但可以实现较为精确的滤波效果。
本文将介绍椭圆函数低通滤波器的设计原理和步骤，并给出具体的实例。
设计原理椭圆函数低通滤波器的设计基于椭圆函数（或称Chebyshev函数）的性质。
椭圆函数具有特殊的振幅响应特性，可以实现更为陡峭的滤波特性。
在椭圆函数低通滤波器设计中，需要指定截止频率、通带波纹和阻带衰减等参数。
通过调整这些参数，可以灵活地设计出满足特定需求的低通滤波器。
设计步骤椭圆函数低通滤波器的设计步骤如下：1.确定滤波器的截止频率。
根据具体应用需求，选择适当的截止频率。
截止频率是指滤波器开始对信号进行衰减的频率。
2.确定通带波纹和阻带衰减。
通带波纹是指通过滤波器的信号波形的最大波动幅度，阻带衰减是指滤波器对截止频率之后的频率的衰减程度。
3.根据截止频率、通带波纹和阻带衰减等参数，计算滤波器的阶数。
阶数是指滤波器的阶数，即滤波器的复杂度。
较高的阶数可以实现更陡峭的滤波特性，但也会增加滤波器的计算和设计难度。
4.根据计算的阶数，使用椭圆函数逼近方法计算椭圆函数的极点和零点。
极点和零点是滤波器设计中重要的参数，它们的位置决定了滤波器的频率响应特性。
5.根据计算得到的极点和零点，构造椭圆函数低通滤波器的传递函数。
传递函数描述了滤波器的输入输出关系。
6.对传递函数进行归一化处理，以确保滤波器的增益在通带为1。
7.根据得到的传递函数，设计数字滤波器的巴特沃斯原型。
8.使用数字滤波器设计中的双线性变换方法将巴特沃斯原型转换为数字滤波器。
实例演示以一个实例来演示椭圆函数低通滤波器的设计过程。
假设我们需要设计一个截止频率为1 kHz，通带波纹为0.5 dB，阻带衰减为40 dB的椭圆函数低通滤波器。
根据设计步骤，首先确定截止频率为1 kHz。
然后根据通带波纹和阻带衰减，选择滤波器的阶数为4。
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无穷衰减频率的个数相等。
这种衰减特性与契比雪夫滤波器衰减特性相比，有如下特点： （1）通带内仍有契比雪夫滤波器响应的等波纹特性； （2）阻带内增加了有
限频率上的极点，也呈现等波纹特性；（3）过渡段区域的斜率更为陡峭。
~
C2=g2
Cn=gn
rL=gN＋1＝1
series inductance shunt capacitance
图中器件的编号从信号源端的g0一直到负载端的 gN+1. 两个电路同一编号的器件取值相同，给出同样 的频响。因此它们互为对偶电路。
低通原型滤波器器件参数的确定
原则上，可求任意N阶低通原型滤波器的器件参数 值。但工程应用时，N过大不实际。对于最平坦响应 的低通原型滤波器。前人将至10阶滤波器的参数值列 表如下：
with ripple of 0.25dB
60
T( 0.5, 5, ) ): attennuation response of 5-order chebysT(h1e 7v -t)ype 70
with ripple of 0.5dB
80
T(1, 7, ) ): attennuation response of 7-order chebyshev-type 90
式中N是滤波器阶数， ωc )，通带边缘损耗为 1
ω＋c是k2截，止常频选率为，-3通dB带，为故(0，
k＝1。 带外衰减随频率增加而单调增加， ω>>ωc
时速,率L上≈升( ω。/ωc )2N, 所以衰减以每10倍频 20N dB的
典型滤波器响应
等波纹响应(Chebyshev响应)
L ＝ 1 ＋ k2 [ TN( ω /ωc ) ]2
BW
IL dB
fLx fLp
fo
fHp fUx
Rejection
IL: RF insertion loss Rp: Ripple in the passband BW: Difference between upper and
lower freqencies at which the attenuation is 3 dB SF: Describing the sharpness of the response with the ratio between the Ax dB and the 3 dB bandwiths
Chebyshev Low-Pass Filters Response
Comparison between Butterworht and Chebyshev Filters
00 0.25
0.5
B(3 )
0.75
1
T( 0.25 3 ) 1.25
1.5
T( 0.5 5 ) 1.75
with ripple of 1dB
100 100
1
10
1
10
Comparison of Frequency response between Butterworht and Chebyshev Filters
典型滤波器响应
椭圆滤波器（elliptic filter）是利用椭圆函数（elliptic function） 的双周期函数性质设计的。
Maximun Passband Attenuation = 3dB
Minimum Stopband Attenuation = Ax
Center Frequency = fo = fHp fLp
Lower passband edge = fLp Upper passband edge = fHp Lower stopband edge = fLx Upper stopband edge = fUx Stopband Bandwidth = fUx - fLx Passband Ripple = Rp dB
2
T( 1 7 ) 2.25
2.5
where
2.75 33
0.1 0.1
0
0 1
101
20
B(3 )
B(3, ): attennuation response of 3-order butterworth-type
30
T( 0.25 3 ) 40
T( 0.25, 3, ) ): attennuation response of 3-order chebyTs(0h.5e 5v -t)ype50
• 一般先设计低通原型滤波器，实际的低通高 通带通带阻滤波器可由低通原型变换得到。
• 微波网络综合法设计滤波器时，将整个滤波 器看成是多级二端口网络的级联，实际中这 些二端口网络是串连电感并联电容。
微波网络综合法设计滤波器
• 由转移参量可以得到整个滤波器的频率响应特性。
A C
B D
1 0
式中TN(x)是Chebyshev函数，其多项式表示 为 T1(x) ＝x T2(x) ＝2x2－1 T3(x) ＝4x3－3x
T4(x) ＝8x4－ 8x2 ＋1 • • •
因为x<1时, |TN(x)|<1故通带内波纹为 1 ＋ k2，常 选为-3 dB，故 k＝1。 带外衰减随频率增加而单调 增加， ω>>ωc 时, 由TN(x)函数性质得到 L ≈ k2/4 ( 2ω /ωc )2N, 所以衰减也以每10倍频 20N dB的速率 上升。但其衰减比最平坦响应大 22N/4
7 0.7969 1.3924 1.7481 1.6331 1.7481 1.3924 0.7969 1.0000
8 0.8072 1.4130 1.7824 1.6833 1.8529 1.6193 1.5554 0.7333 1.1007
9 0.8144 1.4270 1.8043 1.7125 1.9057 1.7125 1.8043 1.4270 0.8144 1.0000
Maximun Passband Attenuation = 3dB
Minimum Stopband Attenuation = Ax
Center Frequency = fo = fHp fLp
Technical Parameters of Filter
0dB -3dB
-Ax dB
Rp dB
2 0.4488 0.4077 1.1007
3 0.6291 0.9702 0.6291 1.0000
4 0.7128 1.2003 1.3212 0.6476 1.1007
5 0.7563 1.3049 1.5773 1.3049 0.7563 1.0000
6 0.7813 1.3600 1.6896 1.5350 1.4970 0.7098 1.1007
RG 1
1
0
R 1
1
j
C
0 1 1 1/ RL
0 1
1
R
RG j C
j C 1
1 RL
RL
RG RL
1
S21= 2 / ( a + b + c + d ) 或 L ＝ 10 log 1 / |S21|2 ＝ 10 log |( a+b+c+d )/2|2
低通原型滤波器器件参数的确定
最平坦响应的低通原型滤波器至15阶时的衰减曲线如 下：
低通原型滤波器器件参数的确定
对于等波纹响应的低通原型滤波器，至10阶的滤波 器参数值列表如下(带内波纹0.01dB)：
LAr = 0.01dB
n g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
g9
g10
g11
1 0.0960 1.0000
k=1 ω=1时衰减3dB
等波纹响应为 L=1+ k2(2ω 2－1)2 k=1 波纹3dB 得到 R=5.81, L=3.1 C = 0.53
低通原型滤波器器件参数的确定
一般低通原型滤波器的两种结构如下图所示。
rG=g0＝1
L2=g2
Ln=gn
~
C1=g1 C3=g3
rL=gN＋1＝1
shunt capacitance series inductance rG=g0＝1 L1=g1 L3=g3
复杂的过程。在低通原型滤波器中，一般取g0＝1，
ωc＝1。
1L
对于N＝2的低通原型，
其结构图如右图所示：
~
C
R
由微波网络级联可得此电路的响应为 L=1+[(1-R)2+(C2R2+ L2- 2LCR2)ω2 +L2C2R2ω4]/4R
最平坦响应为 L=1+ k2ω4 得到 R=1, L = C = 21/2
Rejection: it is parameter according to the specification of a filter
Qulity factor Q: Another parameter describing filter selectivity
Q = f0 / BW
微波网络综合法设计滤波器
10 0.8196 1.4369 1.8192 1.7311 1.9362 1.7590 1.9055 1.6527 1.5817 0.7446 1.1007
低通原型滤波器器件参数的确定
典型滤波器响应
椭圆函数滤波器的衰减特性为：
LA 10 lg 1 2Cn()
其中，Cn()为 的分式有理多项式，其零点全部在通带 <1内，极点全部落 在阻带 >1内，具有如下形式