一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文
常微分论文关于一阶微分方程的解的存在的探讨
常微分方程论文学院：数学科学学院班级：12级统计班指导教师：宋旭霞小组成员：张维萍付佳奇张韦丽张萍日期：2014.06.06关于一阶微分方程的解的存在的探讨摘要：分析了解的存在唯一性定理，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，并且对此加以证明。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义。
如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
关键词：微分方程 连续 可微 近似计算 误差估计 一、存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dxdy= （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。
（一）、定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ϕ= （3.3） 其中,min(,),max (,)x y R bh a M f x y M∈==,L 称为Lipschitz 常数.解题思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的y ，得到 0100()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到 0201()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到 001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰（3.4）于是得到函数序列{()}n x ϕ.3） 函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即 lim ()()n n x x ϕϕ→∞=存在，对(3.4)取极限,得到00010lim ()lim (,()) =(,())xn n x n n xx x y f x x dxy f x x dx ϕϕϕ-→∞→∞=++⎰⎰，即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰.4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解.（二）、五个命题这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.命题 1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ=（3.3）的解,则()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰00x x x h ≤≤+(3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.证明 因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边取0x 到x 的积分得到0()()(,())xx x x f x x dx ϕϕϕ-=⎰00x x x h ≤≤+即有00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰00x x x h ≤≤+所以()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ （3.6）由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得()(,())d x f x x dxϕϕ= 而且 00()x y ϕ=,故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n = （3.7）命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式 0|()|n x y b ϕ-≤ （3.8） 证明 用数学归纳法证明当1n =时，0100()(,)xx x y f y d ϕξξ=+⎰，显然1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有10000|()||(,)||(,)|()x xx x x y f y d f y d M x x Mh b ϕξξξξ-=≤≤-≤≤⎰⎰即命题成立.假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ϕ-≤当1n k =+时，10()(,())xk k x x y f dx ϕξϕξ+=+⎰由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ϕ+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有100|()||(,())|()xk k x x y f d M x x Mh b ϕξϕξξ+-≤≤-≤≤⎰即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+证明 构造函数项级数 011()[()()]kk k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑ 00x x x h ≤≤+ (3.9)它的部分和为011()()[()()]()nn kk n k S x x x x x ϕϕϕϕ-==+-=∑于是{()}n x ϕ的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.1000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕϕξϕξξ-≤≤-⎰ (3.10)2110|()()||(,())(,())|xx x x f f d ϕϕξϕξξϕξξ-≤-⎰由Lipschitz 条件得知2110020|()()||()()|ξ() ()2!xx xx x x L d L M x d MLx x ϕϕϕξϕξξξ-≤-≤-≤-⎰⎰设对于正整数n ,有不等式110|()()|() !n n n n ML x x x x n ϕϕ---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有0111010|()()||(,())(,())| |()()|ξ() ! ()(+1)!xn n n n x xn n x n x nx nn x x f f d L d ML x d n ML x x n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-⎰⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有1110|()()|() !!k k kk k k ML ML x x x x h k k ϕϕ----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11)由正项级数11!kK k h MLk ∞-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+ 上一致收敛.因而序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,则()x ϕ也在00x x x h ≤≤+上连续,且0|()|x y b ϕ-≤命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.证明 由Lipschitz 条件 |(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ϕϕϕϕ-≤-以及{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ϕ,可知(,())n f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ.因此000101lim ()lim (,())=lim (,())xn n x n n xn x n x y f d y f d ϕξϕξξξϕξξ-→∞→∞-→∞=++⎰⎰即 00()(,()) xn x x y f d ϕξϕξξ=+⎰故()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+.证明 设()|()()|g x x x ϕψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 00()(,()) xx x y f d ϕξϕξξ=+⎰0()(,()) xx x y f d ψξψξξ=+⎰而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得()|()()||[(,())(,())]||(,())(,())| |()()|()xx xx xxx x g x x x f f d f f d L d L g d ϕψξϕξξψξξξϕξξψξξϕξψξξξξ=-=-≤-≤-=⎰⎰⎰⎰令0()()xx u x Lg d ξξ=⎰,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.（三）、对定理说明附注:1、存在唯一性定理中min(,)bh a M=的几何意义.在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ϕ=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.当b M a ≤时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ϕ=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥时,即b a M≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b x x x M M-≤≤+才能保证解()y x ϕ=在R 内，故要求解的存在范围是0||x x h -≤.2、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上212121212(,())|(,)(,)|||||||f x y y y f x y f x y y y y L y y θ∂+--=-∂≤-这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任 何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. 3、设方程(3.1)是线性的,即方程为()()dyP x y Q x dx=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ϕ时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.4、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程0 =0ln || 0 y dy y y dx y ≠⎧=⎨⎩经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由ln ||dyy y dx= 可得方程的通解为xce y e=±,其中xce y e=为上半平面的通解,xce y e=-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -==因为0lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程(,,)0F x y y '= (3.12)由隐函数存在定理,若在000(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0Fy ∂≠'∂,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数(,)y f x y '= (3.13)并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足000(,)y f x y '=如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且/f F F y y y ∂∂∂=-'∂∂∂ (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点000(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；ⅱ）000(,,)0F x y y '= ⅲ）000(,,)0F x y y y '∂≠'∂ 则方程（3.12）存在唯一的解0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数）满足初始条件0000(), ()y x y y x y ''== （3.15） （四）、近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式1|()()|(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ （3.16）此式可用数学归纳法证明.000|()()||(,())|()xx x x f d M x x Mh ϕϕξϕξξ-≤≤-≤⎰设有不等式1110|()()|() !!n n nn n ML ML x x x x h n n ϕϕ----≤-≤成立,则0110110|()()||(,())(,())| |()()|ξ()! ()(+1)!(+1)!xn n x xn x n x nx n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x hn n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤⎰⎰⎰ 例1 讨论初值问题22dyx y dx=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,:11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y Rb M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)11|()()|0.05(1)!(1)!n n n ML x x h n n ϕϕ+-≤=<++可知3n =.于是0()0x ϕ=322100()[()]3xx x x x dx ϕϕ=+=⎰3722210()[()]363xx x x x x dx ϕϕ=+=+⎰37111522320()[()]363207959535xx x x x x x x dx ϕϕ=+=+++⎰3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05. 1、求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(2y yx dx dy 的第三次近似解；解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在)0,0(，)0,1(的邻域内存在且唯一。
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
一阶线性常微分方程的解法及其应用探究
一阶线性常微分方程的解法及其应用探究一阶线性常微分方程是微积分中的重要内容，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍一阶线性常微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来了解一下什么是一阶线性常微分方程。
一阶线性常微分方程是指形如dy/dt + p(t)y = q(t)的微分方程，其中p(t)和q(t)是给定的连续函数。
解一阶线性常微分方程的方法之一是分离变量法。
首先将方程变形为dy/y = -p(t)dt，然后对两边同时积分，得到ln|y| = -∫p(t)dt + C，其中C为常数。
再通过对数的性质，得到y = Ce^(-∫p(t)dt)，其中C为任意常数。
另一种解一阶线性常微分方程的方法是常数变易法。
假设方程的解为y =u(t)e^(∫p(t)dt)，将其代入原方程后化简可以得到对于函数u(t)的一个关系式，通过求解这个函数关系式可以得到原方程的解。
除了以上两种方法外，还有一种更一般的解法，即利用积分因子法。
积分因子的定义为μ(t) = e^∫p(t)dt，将方程两边同时乘以积分因子，可以将原方程化为d(μ(t)y)/dt = μ(t)q(t)，然后对方程两边同时积分，最后可以得到y =(1/μ(t))(∫μ(t)q(t)dt + C)，其中C为常数。
除了以上介绍的解法，还有一些特殊类型的一阶线性常微分方程可以通过其他方法解决，比如可分离变量、恰当微分方程等。
在具体问题中，我们可以根据方程的形式选择适当的解法。
一阶线性常微分方程的应用非常广泛。
在物理学中，一阶线性常微分方程经常被用于描述一些物理过程，比如弹簧振动、电路中的电流变化等。
在经济学中，一阶线性常微分方程也被广泛用于建模，比如描述投资增长、人口增长等经济现象。
此外，在工程学、生物学等领域中，一阶线性常微分方程也有许多应用。
例如，在电路中，根据基尔霍夫定律可以得到电路中的电流满足一阶线性常微分方程。
通过解这个微分方程，可以得到电路中电流的变化规律，进而帮助工程师设计电路、解决电路中的问题。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
常微分方程小论文-一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用...(...计算机学院，...1201)摘要：学习数学知识最重要的一点就是应用，文章通过对一阶微分方程的典型例题的讲解总结出解决一阶微分方程应用的一般方法。
关键词：一阶微分方程；应用；方法1 引言在学习微分方程的过程中，我们通常把自己的注意力集中到了怎么去解那些微分方程，而有意无意地忽略了一些微分方程的应用。
的确，复杂多变的微分方程的解法是学习微分方程的一个重要点，但是，我们不能忘了，任何数学知识的学习都是为了应用，虽然一些常微分方程的应用可能解起来比较简单，但是，构造模型的第一步却是对于一些人来说比较困难的。
有一些人对于解各种微分方程得心应手，但是一遇到常微分方程的应用就不知道从哪里下手。
下面，我们通过几个常微分方程的经典应用题来总结一下解决常微分方程应用的一般方法。
2 几个常微分方程应用的典型例题2.1容易建模，但是需要我们知道些基本的其它科目的知识(书本P94 第六题)一个质量为m的物体，在介质中静止下落。
设介质阻力与运动速度成正比，并且介质的比重是物体的比重的,落体的极限速度是24m/s.试求该物体3s末的速度和运动过的距离。
分析：这种类型的题目在高中的物理里面经常接触过，所以建立模型比较简单。
解: 由于介质阻力与速度呈正比，所以，设阻力f = kv。
由ma = F可知，.因为极限速度为24m/s，此时加速度为0，即，所以,物体静止下落，我们又可以得到初始条件，。
所以，我们可以得到：到现在，条件足够了，显然，这是一个变量可分离的方程，代入数据我们可最终求得：，.小结：这类题目是我们所接触的最简单的常微分方程应用的一种类型，因为这些题目很容易让我们抓住关系，因为以前高中的时候做的多了，唯一需要注意的是这类题目一般要求一些简单的物理知识，比如说F = ma,由比如说在介质中重力加速度的变化，如果这类额外的知识我们能够掌握了，那解题就不在话下了。
2.2题目中会告诉我们模型的建立方法物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例，假设室温为20时，一物体由100冷却到60需经过20分钟，试问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始的100降低到30？分析：题目简单，因为题目的第一句话已经告诉了我们模型的建立方法。
一阶线性微分方程的解与应用
一阶线性微分方程的解与应用一阶线性微分方程是微积分学中的重要内容，广泛应用于各个科学领域，特别是物理学和工程学。
它们的解法相对简单，且具有丰富的实际应用价值。
本文将介绍一阶线性微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知函数。
我们的目标是找到其解y(x)。
首先，我们可以将这个方程变形为dy/dx = -P(x)y + Q(x)。
接下来，我们使用一个重要的积分技巧——乘积法则。
将方程两边同时乘以一个称为积分因子的函数μ(x)，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
为了使得左边能够变成一个恰当微分，我们需要选择一个适当的积分因子μ(x)。
一种常见的选择是μ(x) = exp[∫P(x)dx]，即取积分因子为P(x)的指数函数形式。
这样，原方程变为d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)。
对上述方程两边同时积分，我们得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常量。
最后，我们将μ(x)代回方程中，得到y(x) = exp[-∫P(x)dx] [∫μ(x)Q(x)dx + C]。
至此，我们已经得到了一阶线性微分方程的解的通解形式。
通过选取不同的积分因子和积分常数C，我们可以得到不同的特解，满足具体条件的问题。
二、一阶线性微分方程的应用一阶线性微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用实例：1.增长与衰减问题：对于一些与时间有关的增长或衰减过程，可以建立一阶线性微分方程描述其变化规律。
比如，放射性元素的衰变过程、细胞的增殖过程等。
2.电路问题：电路中的电流、电压的变化可以用一阶线性微分方程来描述。
对电路中的各个元件进行建模时，可以利用该方程求解电流或电压的变化。
3.人口动态问题：人口学中的人口增长与迁移等问题，可以通过建立一阶线性微分方程来研究。
一阶微分方程的初等解法学士学位论文
提供全套，各专业毕业设计目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1 变量分离微分方程与变量代换 (1)1.1 变量分离方程 (1)1.2 可化为变量分离方程的类型 (2)2 线性微分方程与常数变易法 (5)3 恰当微分方程与积分因子 (8)3.1 恰当微分方程 (8)3.2 积分因子 (10)4 可解出y（或x）的方程的解法 (11)结论 (14)致谢 (14)参考文献 (14)一阶微分方程的初等解法数学与应用数学专业学生指导教师摘要：主要对一阶微分方程的初等解法及其与若干应用进行了研究，把微分方程的求解问题化为积分问题，应用到实际中，用理论指导实践，由抽象总结出具体规律，加深对所学知识的理解.对于一般的一阶微分方程没有通用的初等解法，仅对若干能有初等解法的方程类型及求解的一般方法进行了调查，这是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果.讨论的主要类型有：变量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程；在解决这些类型的一阶常微分方程时，用到的方法有：变量分离法和一阶线性方程的常数变易法．关键词：变量微分方程恰当微分方程常数变易法积分因子.The Elementary Solution of First-order Differential EquationsStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Xiao ShanshanTutor Fen GuanghuiAbstract：Some related solutions of the first-order differential equations and its several applications are mainly discussed, through different methods to solve this important technology for the application of integration. Theories to guide practice, from the abstract into concrete laws, so as to enhance the understanding of the knowledge.In most of the first order differential equations,there are not general elementary methods. Firstly the basic concept of differential equations are introduced .on such a basis,the solutions of the first-order differential equations are introduced including the main types such as variable and separable equations,the equations which can be translated into the variable and separable equations, homogeneous equations and the first-order linear differential equations.To solve such types of first-order differential equations, the methods can be used: variable separation and the constant variation of first-order linear differential equations ．Key words:separable equations；exact equations；constant variation；integrating factors引言一阶微分方程的解法有很多，而且技巧性也很强，仅对一些简单的方法和其应用惊醒了研究.如变量变换法，常数变易法，恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.1 变量微分方程与变量代换变量分离微分方程是一种最简单也是最基本的可用初等方法求解的微分方程类型，对一般的微分方程总是设法寻求适当的变量代换，将其化为变量分离微分方程来求解1.1 变量分离微分方程形如)()(y h x f dxdy= （1.1） 的方程，称为变量分离微分方程，其中)(),(y h x f 分别是y x ,的连续函数.如果0)(≠y h ，方程改写为：dx x f y h dy)()(= （1.2） 如果)(x y ϕ=是方程的解，且0))((≠x h ϕ，则在解的定义域内满足dx x f x h x d )())(()(≡ϕϕ （1.3）两边积分得C dx x f x h x d +≡⎰⎰)())(()(ϕϕ （1.4）则)(x y ϕ=是由隐函数方程C dx x f y h dy+=⎰⎰)()( （1.5） 所确定的函数，对一切允许值C ，),(C x y ϕ=都将是方程的解，即（1.5）实际给出了方程的通解公式.如果0)(=y h 有实根k y y =（k=1,2,3，…,m ）,则可以验证k y y =（k=1，2,3，…，m ）也能是方程的解.有时可以通过扩大常数C 的取值范围，使其包含于通解表达式中. 例 1 求微分方程xy dxdy2= 的通解.解： 方程是可分离变量的，分离变量后得xdx ydy2= 两端积分 ,2⎰⎰=xdx y dy得 ,ln 12C x y += 从而 2112x C C xe e e y ±=±=+又因为1C e ±仍是任意常数，把它记作C 便得到方程的通解2x Ce y =1.2可化为变量分离方程的类型对于方程),(y x f dxdy=（1）如果 )(),(xyy x f ϕ= ， 则称为齐次微分方程作变量代换 xyu =，则ux y =，于是.u dx du x dx dy += 从而 )(u u dxdux ϕ=+， x u u dx du -=)(ϕ， 分离变量得x dxu u du =-)(ϕ两端积分得 ⎰⎰=-xdxu u du )(ϕ求出积分后，再用xy代替u ，便得所给齐次方程的通解. 例2)ln ln 1('x y y xy -+=.解： 原式可化为)ln 1(xyx y dx dy +=， 令u =x y ，则u dxdux dx dy +=， 于是)ln 1(u u u dx dux+=+ 分离变量 xdxu u du =ln 两端积分得 C u u ln ln ln ln +=Cx u =ln即 Cx e u = 故方程通解为 Cx xe y = （2）形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=（1.6） 的方程称为线性分式方程，这里222111,,,,,c b a c b a 均为常数.当021==c c 时，方程（1.6）是齐次方程，当21c c 和不全为零时，如何化为某种已知的可解类型？① 当21212211,0b b a a b a b a ==即的情形 设k b b a a ==2121，则方程可以写成222122)(c y b x a c y b x a k dx dy ++++=（1.7） 令y b x a u 22+=，方程就化为变量分离微分方程2122c u c ku b a dx du+++= （1.8） ② 当02211≠b a b a 时 解方程组⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a （1.9）设所求得的解为 ηξ==y x , 作坐标平移变换⎩⎨⎧+=+=ηξY y X x （1.10）将方程（1.6）变成齐次方程Yb X a Yb X a dX dY 2211++=（1.11） 经过变换XYu =将方程（1.11）化为变量微分方程.求解所得变量微分方程后，逐步代回原来的变量，求得原方程的解例3求解方程13dy x y dx x y -+=+- （1） 解 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程（1），则有 dY X YdX X Y-=+ （2）再令Yu X= 即 Y uX = 则（2）化为2112dX udu X u u +=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c =-+-+ 因此22(21)c X u u e +-=± 记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2）的解.因此方程（1）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.2 线性微分方程与常数变易法我们把一阶线性方程通常写成其标准形式：),()(x Q y x P dx dy+= （2.1）其中，)(),(x Q x P 为连续函数，当0)(≡x Q 时，方程成为：,)(y x P dx dy= （2.2）称方程（2.2）为方程（2.1）对应的齐次线性方程，而称（2.1）为非齐次线性方程. 齐次线性方程（2.2）是变量分离微分方程，可求其通解为： dxx P Ce y ⎰=)( （2.3）为了求（2.1）的解，设想用两个新的未知函数)()(x v x u 和 的乘积表示原来的未知函数，即：)()(x v x u y = （2.4） 代入方程得 )()()()()()()()(x Q x v x u x P dxx dv x u x v dx x du +=+ （2.5） 将其整理得： )()()()()()()(x Q x u x P dx x du x v dx x dv x u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ （2.6） 设)(x u 为齐次方程0)()()(=-x u x P dxx du 的解⎰=dx x P e x u )()(，则方程变成)()()(x Q edxx dv dxx P =⎰（2.7）这是一个变量分离微分方程，很容易求得其通解为;⎰+⎰=-C e x Q x v dxx P )()()( (2.8) 最后得到非齐次线性方程的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰C e x Q e y dx x P dxx P )()()( （2.9）以上这种方法被称为常数变易法 例 4 求方程25)1(12'+=+-x x yy 的通解.解: 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次方程的通解012=+-x y dx dy ， (1)12+=x dx y dy ， （2） C x y ln )1ln(2ln ++=， （3）2)1(+=x C y用常数变易法.把C 换成)(x u ，即令2)1(+=x u y ， （4）则有 )1(2)1('2+++=x u x u dxdy， 代入（1）式中得21)1('+=x u ，两端积分，得 C x u ++=23)1(32.再代入（4）式即得所求方程通解])1(32[)1(232C x x y +++=.另解 我们可以直接应用（2.9）式))(()()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-得到方程的通解，其中，12)(+-=x x P ， 25)1()(+=x x Q代入积分同样可得方程通解])1(32[)1(232C x x y +++=，此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（2.9）式求解 形如1,0,)()(≠+=n y x Q y x P dxdyn （2.10）的方程称为伯努利方程，将方程（2.10）两边同时除以n y ，方程变成).()(1x Q y x P dx dy y n n +=--由于,)1(1dy dy yn nn--=- 即n y -1关于y 的导数恰好为n y -的1-n （常数）倍，于是,111111dxdy n dx dy dy dy n dx dy ynn n----=-= 方程化为).()1()()1(11x Q n y x P n dxdy n n-+-=-- 令,1n y z -=伯努利方程化为了线性方程).()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-= 求得此线性方程的通解，代回原变量，就可得到伯努利方程的通解.此外，如果n>0，则y=0显然也是伯努利方程的解 例5解： 33dxyx y x dy=+这是n=3时的伯努利方程. 两边同除以3x 得3321dx yy x dy x=+ 令2x z -=32dz dxx dy dy-=-3222dz yy dy x=--=322yz y -- y y P 2)(-= 32)(y y Q -= 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydyydyz e y e dy c ---⎰⎰=-+⎰=223(2)y y e y e dy c --+⎰331dy dx xy x y =+=221y y ce --++222(1)1y x y ce--++=22222(1)y y y x e y ce e --++= 22222(1)y e x x y cx -+=3 恰当微分方程与常数变易法恰当微分方程是另一种既简单又基本的可积方程类型，一般的方程可以通过求得其积分因子，乘以积分因子而化成全微分方程求解，这是一阶微分方程初等积分方法的第二种有效途径.3．1 恰当微分方程我们讨论一阶对称形方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P (3.1)而且约定),(y x P ,),(y x Q 在所考虑的单连通区域G 都具有一阶连续偏导数.如果其左端恰好是一个恰当微分，即存在一个可微的二元函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P du ),(),(+=, （3.2）则称这个方程为恰当微分方程，),(y x u 称为左端恰当微分的一个原函数.根据数学分析中关于线积分dy y x Q dx y x P L⎰+),(),(与路径无关的几个等价命题及全微分方程的定义，方程（3.1）为恰当微分方程的充分必要条件是：在所考虑的单连通区域G 内有.),(),(xy x Q y y x P ∂∂≡∂∂ （3.3） 如果方程（3.2）是恰当微分方程，设),(y x u 是使得条件（3.3）成立的可微函数，则方程（3.2）就成为0),(=y x du .设函数y=ϕ(x)是方程（3.2）的解， 则.0))(,()())(,())(,(≡=+x x du x d x x N dx x x M ϕϕϕϕ (3.4)从而,))(,(C x x u ≡ϕ (3.5)这里C 是某个常数.这表明，恰当微分方程（3.2）的解)(x y ϕ=是由隐方程C y x u =),( (3.6)所确定的隐函数.反之，对于保证隐方程（3.6）有解的任意常数C ，方程（3.6）确定的隐函数是),,(C x y ϕ=则C C x x u ≡)),(,(ϕ，于是.0),()),(,()),(,()),(,(≡+=C x d C x x Q dx C x x P C x x du ϕϕϕϕ (3.7)这表明),(C x y ϕ=是恰当微分方程（3.2）的解.总而言之，恰当微分方程(3.2)的解是由隐函数方程（3.6）所确定的隐函数，反之由方程（3.6）所确定的隐函数也是必然是恰当微分方程(3.2)的解.求出方程(3.2)左端微分式的原函数),(y x u 成为解恰当微分方程的关键.利用与路径无关的线积分化为定积分求这个原函数的方法，不失一般性，取G y x ∈),(00，有⎰⎰+=yy x x dy y x N dx y x M y x u 000,),(),(),( （3.8） 最后得到恰当微分方程(3.2)的通解为C y x u =),(，这里C 为任意常数.例 6求解 0)33()35(222324=+-+-+dy y xy y x dx y xy x解： 令 =P 32435y xy x -+，22233y xy y x Q +-=则 xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236 此方程为恰当微分方程.于是 332250203243123 )35(),(y xy y x x dy y dx y xy x y x u y x +-+=+-+=⎰⎰通解为 C y xy y x x =+-+332253123 3．2积分因子 下面我们看这样一个简单的方程0=-xdy ydx 它显然不是恰当微分方程，但只要分别乘以下列因子⋯⋯+,1,1,1,12222yx xy x y 方程就分别化为⋯⋯=+-=-=-=-,0,0,0,02222yx xdy ydx xy xdy ydx x xdy ydx y xdy ydx 这些都是恰当微分方程，相应得到方程的通解分别为⋯⋯====,arctan ,ln ,,C yx C y x C x y C y x 由此可见，非恰当微分方程可以通过乘以某个非零因子而化为全微分方程，并且这样的因子还不是唯一的，相应于方程乘以不同的这样的因子化成的全微分方程所得到的通解在形式上还可以是多样的.如果存在连续可微的函数,0),(≠=y x μμ使得0),(),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M y x μμ （3.9）成为一个恰当微分方程，则称),(y x μ为方程(3.2)的一个积分因子.显然，方程（3.9）与方程(3.2)是同解的.为了求方程(3.2)的积分因子，首先需了解),(y x μ作为方程(3.2)的因子所具备的条件.根据积分因子的定义及恰当微分方程的充要条件（3.3），),(y x μ为方程(3.2)的积分因子当且仅当,)()(xN y M ∂∂=∂∂μμ 即 .)(μμμxN y M y M x N ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ （3.10） 这意味着要求一般方程(3.2)的积分因子，需要一个一阶线性偏微分方程（3.10），这比解方程(3.2)本身反而困难得多.尽管如此，我们可以考虑求某些特殊形式的积分因子，以简化条件（3.10）使其求解成为可能.例7()()o dy x x x y dx x x x y =+++cos sin sin cos解：这里x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-= xN y M ∂∂≠∂∂ 1=-∂∂-∂∂Mx N y M 方程有积分因子：y dy e e =⎰=μ 两边乘以μ得： 方程()()0cos sin sin cos =++-dy x x x y e dx x x x y e y y 为恰当方程故通解为 ：()()c dy dx x x x y e y N dx x x x y e y y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-+-⎰⎰⎰sin cos sin cos4可解出y 或x 的方程的解法接着我们讨论一阶隐方程0),,(,=y y x F .如果可以将,y 从方程中解出，求解方程就归结到一个或几个显示微分方程的求解问题1.首先讨论形如 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy x f y , （4.1） 的方程的解法，这里假设函数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy x f ,有连续的偏导数. 引进参数p dxdy =，则（4.1）变为 ),(p x f y = （4.2） 将（4.2）两边对x 求导数，并以p dx dy =代入，得到 dxdp p f x f p ∂∂+∂∂= （4.3） 方程（4.3）是关于p x ,的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是我们可以按照前面的方法给出解.若已求得（4.3）的通解的形式为：),(c x p ϕ=， （4.4） 代入（4.2）得()),,(c x x f y ϕ= （4.5）若已求得（4.3）的通解的形式为：()c p x ,φ= （4.6）则得到（4.1）的参数形式的通解为()()()⎩⎨⎧==p c p f y c p x ,,,φφ （4.7）其中p 为参数，c 为任意常数.若已求得（4.3）的通解的形式为：0),,(=Φc p x （4.8）则得到（4.1）的参数形式的通解为：()⎩⎨⎧==Φpx f y c p x ,0),,( （4.9） 其中p 为参数，c 为任意常数.例8y e y y ''=2 解：令p y dxdy ='=，则p e p y 2=， 从而()c e p d px p +=⎰21 ()c dp e p pe p p p ++=⎰221 =()⎰++c dp pe e p p 2()c e p p ++=1，于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p p ey y c e p x 21, 另外，y=0也是方程的解.2.形如： ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy y f x , （4.10） 的方程的求解方法与方程（4.1）的求解方法完全类似，这里假设函数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y f ,有连续偏导数.引进参数p dxdy =则（4.10）变为： ),(p y f x = （4.11）将式（4.11）两边对y 求导数，然后以pdy dx 1=代入，得到 dydp p f y f p ∂∂+∂∂=1 （4.12） 方程（1.44）是关于p y ,的一阶微分方程，但是它的导数dydp 已解出，可按照之前的方法求解.设求得通解为：0,,=Φ）（c p y （4.13）则（4.10）的通解为：()⎩⎨⎧=Φ=0,,),(c p y p y f x （4.14） 例9y y x '+='13 解：令t p y dx dy 1=='=，则23311t t t t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 从而()()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰223231223， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩⎪⎨⎧++=+=c t t y t t x 223223结论一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果.对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型致谢本论文完成之际，我要由衷感谢刘爱晶老师在课题设计和论文写作上的悉心指导，同时对所有帮助过我们的老师和同学致以谢忱.参考文献：[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2007:30-67.[2] 杨继明.常系数线性微分方程组的解法[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版）,2001.[3] 石瑞青,闫晓红.常微分方程全程导学及习题全解[M].3版.北京:中国时代经济出版社,2007:12-27.[4] 伍卓群，李勇.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社，2004.[5] 杨继明,蔡炯辉.常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版）,2001（1）.[6] 丁同仁.常微分方程教程[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法在数学的领域中，一阶线性微分方程是一类非常重要的方程，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下一阶线性微分方程及其解法。
首先，我们来明确一下一阶线性微分方程的定义。
一阶线性微分方程的一般形式是：＼y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼其中，＼（P(x)＼）和\（Q(x)＼）是已知的关于\（x\）的函数，＼（y'＼）表示\（y\）对\（x\）的导数。
为了求解一阶线性微分方程，我们需要用到一个重要的工具——积分因子。
积分因子的作用就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开求解方程的大门。
那么，什么是积分因子呢？积分因子\（＼mu(x)＼）是一个函数，使得方程两边同乘以\（＼mu(x)＼）后，方程左边可以化为某个函数的全导数。
对于一阶线性微分方程\（y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼），其积分因子为\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＼）。
接下来，我们看看具体的求解步骤。
第一步，先计算出积分因子\（＼mu(x)＼）。
第二步，将原方程两边同时乘以积分因子\（＼mu(x)＼），得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ e^｛＼int P(x)dx}P(x)y ＝ e^｛＼intP(x)dx}Q(x)＼这时，方程左边可以化为\（（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＼）。
第三步，对等式两边进行积分，得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C\第四步，最后解出\（y\）：＼y ＝ e^｛＼int P(x)dx}（＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C)＼为了更好地理解这个求解过程，我们通过一个具体的例子来演示一下。
假设我们要求解方程\（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）。
首先，＼（P(x) ＝ 2x\），所以积分因子\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int2xdx} ＝ e^｛x^2}＼）。
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阶线性微分方程的研究与应用
摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程
引言
对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。
微分方程
微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如
般)”
的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法
形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1・1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1・1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy)
(1-2)
其中c任意常数。
例1求方程
£=pa)y
的通解，其中P(X)是X的连续函数。
解将变量分离，得到
—=p(x)dx y
两边积分，即得
In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有
lyl y=
g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx
求解方程生一¥ dx y
将变量分离，得到
y d y=・x d x,
两边积分，即得
因而，通解为
这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解
y=
dy y | . y
例3求解方程〒=-+tan- dx X X
y dy du
解这是齐次微分方程，以・二u及子二X —+U代入，则原方程变为
K dx dx
du I
A+u=u+anu
du tan u
dx X
将上式分离变量，即有
cot udu =—
x
两边积分，得到
n I sm U1 = n I xl +c,
这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为
例4 求方程X+2jxy=y (x<0)
y 以一P及二曙X半+ (LI代入，则原方程变为dx
临甥P
(1-3)
分离变量，
du dx
两边积分，得到(1-3)的通解
Jp- = In(-x) + c 于是
p = In(-x) + c .2
(In (・x)+c>0)
其中c是任意常数。
即得原方程的通解
y = X In C-x) + c 12
(ln(=x) + c > 0)
及解
y=0 (in (=x) + c < 0
解将方程改写为半
dx
2、常数变易法
例
1求方程空二丄访的通解。
dx 2x=y A
解 原方程不是未知函数y 的线性微分方程，但我们可将它改写为
dx 2x - y2
dy y dx2
把x 看作未知函数，y 看作自变量，首先，求出齐次线性微分方程
dx2
爲二尹
的通解为
其次，利用常数变易法求非齐次线性微分方程(1)的通解。
把
c 看成cCy ), 微分⑵'得到
代入(1)，得到
dy
积分之，即可求得
从而，原方程的通解为
X 于 2(E - In II y II)
这里的c 为任意常数。
3、 积分因子法
例1 求解方程y d x+(y ・x)d y=0.
A A JV nil
dx dy
y2 + 2c(y)y,
----- ,N=y-x,—— 1, — = — 1，方程不是恰当的°
3yox
___ 3N_
因为a y#dx二一■只与y有尖，故方程有只与y有尖的积分因子y
J（-訓y
以p = w乘方程两边，得到
Ydx—xdy dy
因而，通解为
一阶微分方程的应用
一般来说，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤：l、建立方程对所研究的问题，根据已知定律或公式以及某些等量尖系列出微分方程和相应的初值条件
n、求解方程
m、分析问题
通过已求得的解的性质，分析实际问题。
应用一：等角轨线
求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度. 这样的曲线称为己知曲线的等角轨线•当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线•等角轨线在其它很多学科（如天文、气象等）中都有应用•下面就来介绍求等角轨线的方法.
应用二：动力学问题
前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律fsa,这也是用微分方程来解决动力学的基本矢系式，的右端明显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数•列出微分方程的矢键就在于找到外力f和位移及对时间的导数一一速度的尖系•只要找到这个尖系，就可以由f=ma列出微分方程了・
在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解
条件，如初值条件等.
例2物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况下(低于音速的4/5),空气阻力可看做与速度的平方成正比•试证明在这种情况下，落体存在极限速度
V_1。
解设物体质量为m空气阻力系数为k，又设在t时刻物体的下落速度为V，于是在时刻物体所受的合外力为
f=mg-k
这里，建立的坐标系，使得重力m前向向下，与运动方向一致，空气阻力方向向上，与
运动方向相反。
从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程
唸F ■加
因为是自由落体，所以有
v(0)= 0
解得上式得
积分得
即可求出V的大小。
应用三：光学问题
例1抛物线的光学性质车灯的反射镜面一■旋转抛物面解如图设旋转轴0X轴光源在(0,0)
In 11+11= In 心
,
V/ OMNHNMR,
.巾 n/OMN 二伽厶MR ‘ tanZQMH=
= r
1—— xy tan/MMR 二亠
i y
得微分方程yy+2xyLy=0,即
分离变量
dx
tl+d 町士血帝一 I
tdt djc
z
积分得
L:y=y(x)设M(x, y )为上任一点,MT 为切线，MN 为法线,
平方化简得
所求旋转轴为0X轴的旋转抛物面方程为
以上我们逐一分析、归纳出了一阶微分方程的初等解法，通过总结，我们会发现这几种类型的方程可以借助变量变换或积分因子联系起来，最终都可以化为变量分离方程或恰当方程。
这样，我们以后遇到类似的方程时，利用上面总结的方法就能迎刃而解了。