简单的幂函数及函数的奇偶性
高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性
高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性一、幂函数的定义例1、已知函数是幂函数，求m的值。
分析：由幂函数的定义可知，只有形如的函数才是幂函数，故本题前的系数且，由此可解。
解：令及，可解得：m=2。
例2、当时，幂函数是减函数，则实数m的值为。
解答：依题意，。
又因为函数在时为减函数，故，故m=-1应舍去，从而m=2。
二、判断函数的奇偶性一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。
也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。
例3、判断函数的奇偶性。
解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。
若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。
例4、判断函数的奇偶性。
解答：分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。
三、复合函数的奇偶性复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。
例5、判断函数的奇偶性。
解答：设，则g（x）是偶函数；又因为可视为的复合函数，故为偶函数。
四、利用函数的奇偶性解题例6、已知函数是奇函数，当x>0时，；求当x<0时的解析式。
解答：例7、试探究是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求出实数，并证明函数是奇函数；若不存在，请说明理由。
解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解得，易证这是一个奇函数。
若奇函数在x=0时有意义，则必有f（0）=0。
五、幂函数的图像例8、函数的图像是（）解答：由是偶函数，排除B、C；又当0<x<1时，>x，故选D。
幂函数知识总结
幂函数知识总结幂函数知识总结幂函数复习y某(R)的函数称为幂函数，其中某是自变量，是一、幂函数定义：形如常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．观察图：归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质归纳：幂函数在第一象限的性质：0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（0,）上单调递增。
0，图像过定点（1,1），在区间（0,）上单调递减。
探究：整数m,n的奇偶与幂函数y某(m,nZ,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？结果：形如y某(m,nZ,且m,n互质)的幂函数的奇偶性（1）当m，n都为奇数时，f（某）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（某）为偶函数，图象关于y轴对称；（3）当m为偶数n为奇数时，f（某）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结：y某(0,1)的图像：1、幂函数mnmny某(q,p,qZ,p,q互质)p的图像：2、幂函数3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．题型一：幂函数解析式特征例1.下列函数是幂函数的是（）A．y=某某B.y=3某C.y=某+1D.y=某m2m1y(mm1)某练习1：已知函数是幂函数，求此函数的解析式．2a9f(某)(a9a19)某练习2：若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．题型二：幂函数性质例2：下列命题中正确的是（）A．当0时，函数y某的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的y某图象不可能在第四象限内3D．若幂函数y某为奇函数，则在定义域内是增函数练习3：如图，曲线c1,c2分别是函数y＝某m和y＝某n在第一象限的图象，那么一定有（）A．n0yc1练习4：．（1）函数y＝某的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）（2）．函数y＝某（3）．幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是．题型三：比较大小.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）2.3，2.4;（2）0.31，0.35；（3）(2)，(3)；（4）1.1，0.9．.经典例题：例1、已知函数f(某)某2mm3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(某)的解析式．例2、若(m1)1(32m)1，试求实数m的取值范围．例3、若(m1)3(32m)3，试求实数m的取值范围．例4、若(m1)4(32m)4，试求实数m的取值范围．例5、函数y(m某4某m2)(m2m某1)的定义域是全体实数，求m的c20某34在区间上是减函数．13434取值范围。
幂函数的特点与变化规律
幂函数的特点与变化规律幂函数是高中数学中常见的一类函数，它的数学表达式为y=x^n，其中x代表自变量，n代表指数。
在本文中，我们将探讨幂函数的特点以及其在图像上的变化规律。
一、幂函数的特点：1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集，值域则取决于指数n 的奇偶性。
当指数n为奇数时，幂函数的值域也是实数集；当指数n 为偶数且大于0时，幂函数的值域是非负实数集[0,+∞)。
2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；而当指数n为偶数时，幂函数关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。
3. 单调性：当指数n大于0时，幂函数为严格递增函数或严格递减函数，具体取决于n的正负性。
当n大于0时，幂函数递增；当n小于0时，幂函数递减。
4. 零点与渐近线：幂函数的零点为x=0，当n大于0时，幂函数图像与x轴交于(0, 0)点；当n小于0时，幂函数图像不与x轴交于任何点。
当n大于0时，幂函数没有水平渐近线；当n小于0时，幂函数有y=0作为水平渐近线。
5. 二次导数：幂函数的二次导数为f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。
根据二次导数的正负性，可以进一步研究幂函数的凹凸性。
二、幂函数在图像上的变化规律：1. 当n为正偶数时，幂函数的图像呈现开口向上的U形曲线。
随着指数n的增大，曲线越陡峭。
2. 当n为负偶数时，幂函数的图像呈现开口向下的倒U形曲线。
随着指数n的增大，曲线越平缓。
3. 当n为正奇数时，幂函数的图像从第三象限穿过原点，向第一象限递增。
曲线整体呈现右上方倾斜的趋势。
4. 当n为负奇数时，幂函数的图像从第二象限穿过原点，向第四象限递减。
曲线整体呈现左下方倾斜的趋势。
总结：通过对幂函数的特点和变化规律的探讨，我们可以清楚地看到幂函数图像的特征。
幂函数的指数n决定了函数的奇偶性、单调性、零点和渐近线等属性。
同时，幂函数在图像上的变化规律也随指数n的不同而有所差异。
第二章-4.2-简单幂函数的图象和性质高中数学必修第一册北师大版
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
教材帮|必备知识解读
知识点1 幂函数的概念
例1-1 在函数 = −4 , = 3 2 , = 2 + 2, = 1中,幂函数的个数为( B
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】函数 = −4 为幂函数;
函数 = 3 2 中 2 的系数不是1,所以它不是幂函数;
的增大而减小；
当 = −3时，2 − 2 − 3 = 12, = 12 是幂函数，但不满足当 ∈ 0, +∞ 时，
随的增大而减小，故舍去.
∴ 实数的值为2.
【学会了吗|变式题】
2.(2024·广东省汕头市期末)已知函数 = 2 − 2 − 2 ⋅ −2 是幂函数，且在
故A正确；
幂函数 = 的图象只在第一象限内和原点，故B不正确；
当 > 0时， > 0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故C不正确；
幂函数 = 与 = 3 的图象的交点为 −1, −1 ， 0,0 ， 1,1 ，共三个，故D不正确.
方法帮|关键能力构建
题型1 幂函数的定义域和值域
0, +∞ 上单调递增，则实数 =( C
A.−1
B.−1或3
)
C.3
D.2
【解析】由题意知,2 − 2 − 2 = 1，即 + 1 − 3 = 0，
解得 = −1或 = 3，
∴ 当 = −1时， − 2 = −3，则 = −3 在 0, +∞ 上单调递减，不合题意；
当 = 3时， − 2 = 1，则 = 在 0, +∞ 上单调递增，符合题意，∴ = 3，
北师大版高中数学必修第一册《函数的奇偶性与简单的幂函数》说课稿
北师大版高中数学必修第一册《函数的奇偶性与简单的幂函数》说课稿一、教材内容概述《函数的奇偶性与简单的幂函数》是北师大版高中数学必修第一册的一章内容。
该章主要介绍了函数的奇偶性及简单的幂函数的相关概念和性质。
通过学习本章内容，学生能够理解函数奇偶和幂函数的特点，并能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学目标1.了解函数的奇偶性的概念和判断方法；2.掌握简单的幂函数及其图象的性质；3.能够应用函数的奇偶性及简单的幂函数解决实际问题。
三、教学重点1.函数的奇偶性的概念和判断方法；2.简单的幂函数的图象和性质。
四、教学难点1.如何准确地判断函数的奇偶性；2.理解和应用幂函数的图象和性质。
五、教学内容及方法5.1 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图象关于坐标原点的对称性。
奇函数关于坐标原点对称，即f(−x)=−f(x)；偶函数关于坐标原点对称，即f(−x)=f(x)。
如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为一般函数。
教学方法：通过举例、图表和实际问题引出函数奇偶性的概念，引导学生进行讨论和总结，然后讲解函数奇偶性的判断方法，并进行练习。
5.2 简单的幂函数幂函数是指以变量的某个整数次幂为自变量的函数。
本章主要讲解一次幂函数和二次幂函数的性质。
1.一次幂函数：y=ax+b。
其中a为常数，a eq0。
一次幂函数的图象是一条直线，斜率为a，在坐标平面上表现为直线的斜率性质。
教学方法：通过具体的实例和图象，引导学生理解一次幂函数的特点并进行练习。
2.二次幂函数：y=ax2+b。
其中a和b为常数，a eq0。
二次幂函数的图象是一个开口向上或向下的抛物线，通过分析二次函数的系数a和b的正负关系，引出图象和性质的讨论。
教学方法：通过图象、实例和推导，引导学生掌握二次幂函数的图象和性质。
5.3 函数应用问题教学方法：通过实际问题的引入，结合函数的奇偶性和幂函数的性质，引导学生分析问题，建立方程并解决问题。
六、教学过程1.导入：引出函数的奇偶性的概念，并让学生观察、分析一些函数的图象，引导学生发现函数奇偶性的特点。
新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数 简单幂函数的图象和性质课件北师大版必修第一册
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 幂函数的概念 一般地,形如_____y_＝__x_α_(α_为__常__数__)___的函数,即底数是自变量、指数
是常数的函数称为幂函数． 思考1：幂函数的解析式有什么特征？ 提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．
y＝x2 __偶___函数
_[_0_,＋__∞__)
y＝x3 _奇___函数 ___R___
y＝1x
1
y＝x2
__奇___函数
_非__奇__非__偶__ 函数
无
_[_0_,_＋__∞_)__
减区间
无
__(－__∞__,0_)_
无
_(－__∞__,0_)_,_(0_, ＋__∞__) ____
无
定点
___(_1_,_1_) ___
思考2：在区间(0,＋∞)上,幂函数有怎样的单调性？ 提示：幂函数在区间(0,＋∞)上,当α＞0,y＝xα是增函数；当α＜0时,y ＝xα是减函数．
基础自测
1．下列函数为幂函数的是
( D)
A．y＝2x4
B．y＝2x3－1
C．y＝2x
D．y＝x2
[解析] y＝2x4 中，x4 的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝2x3－1 不
第二章 函 数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质
【素养目标】 1．通过具体实例,理解幂的概念．(数学抽象) 2．会画简单幂函数的图象,并能根据图象得出这些函数的性质．(直 观想象) 3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)
【学法解读】 以五种常见的幂函数为载体,学生应自己动手在同一个平面直角坐标 系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研 究一般幂函数的图象和性质．
北师大版高中数学必修一第二章 函数第五节简单的幂函数之函数的奇偶性说课课件(共22张PPT)
教材分析 教学重点、难点
教法、学法
学情分析 教学目标
教学过程
教学反思
板书设计
教材分析
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学 生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到 抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍 了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数 概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、 对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此， 本节课起着承上启下的重要作用
指导观察、形成概念
考察下列函数：
f (x) x2
思考1:观察这个函数的图象，并讨论有何特征？
思考2:对于上述函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)有什么
关系？ 12
f(a)与f1(0 -a)f呢x =？x2
8
思考3:怎样定义偶函数？ 6
思考4:函数 f (x) x2 , x [3, 2] 偶函数吗？ 4
f(x)≠0
若f(-x)/f(x)=-1，则f(x)为奇函数；
若f(-x)/f(x)=1，则f(x)为偶函数。
完成“函数奇偶性”概念的第三 个层次。
讲练结合，巩固新知
例. 利用定义判断下列函数的奇偶性
f (x) x3 2x
练习：利用定义判断下列函数的奇偶性
(1)f (x) x 1 (2)f (x) x2 -1
f (x) x -2
(1)f (x) x3 , x [1,1]
(2)f (x) x3 , x [1,1) -4
(3)f (x) x3, x [2,1) [1,2]-6
-8
强化定义，深化内涵
对奇函数、偶函数定义的说明: (1)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么
我们就说函数f(x) 具有奇偶性。 (2)函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。 (3)若f(x)为奇函数, 则对于定义域中的任意x,
函数简单的幂函数课件
函数简单的幂函数课件pptxx年xx月xx日contents •幂函数概述•幂函数的图象和性质•幂函数的应用•幂函数的拓展•总结与反思目录01幂函数概述幂函数定义：形如y=x^a的函数，其中a为常数。
幂函数在高等数学中占有重要地位，其性质和应用有着广泛的应用。
0102非零的常数次幂函数$y=x^a$，当a>0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递增；当a<0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递减。
幂函数的图象幂函数的图象由点$(1,1)$出发，在$y$轴右侧的图象是上升的，在$y$轴左侧的图象是下降的，并且图象过点$(0,0)$。
幂函数的奇偶性当$a$为整数时，幂函数为奇函数；当$a$为偶数时，幂函数为偶函数。
当$a$为负奇数时，幂函数为既奇又偶函数；当$a$为负偶数时，幂函数为非奇非偶函数。
幂函数的对称性$y=x^a$的图象关于原点对称；$y=x^{-a}=1/x^a$的图象关于$y$轴对称。
幂函数的扩展在实际应用中，可以将幂函数扩展到多个变量的情形，如二元三次幂函数等。
03040502幂函数的图象和性质幂函数图象的绘制步骤、要点、注意事项总结词步骤要点注意事项1.定义域，2.函数式，3.图象1.定义域的确定，2.函数式的变换，3.图象的绘制1.定义域的边界值的处理，2.函数式变换的准确性，3.图象的精确度幂函数性质的运用基本性质、应用、实例总结词1.单调性，2.奇偶性，3.周期性基本性质1.函数的单调性，2.函数的奇偶性，3.函数的周期性应用 1.幂函数的单调递增区间，2.幂函数的奇偶性判断，3.幂函数的周期求解实例03幂函数的应用总结词了解幂函数与方程根的关系，掌握利用幂函数求解方程的方法。
利用幂函数求解方程通过对幂函数的性质和图像的掌握，利用幂函数求解方程的解，特别注意在特定区间求解方程时需要注意的问题。
幂函数与方程根的关系幂函数在方程中的应用，主要是指利用幂函数的性质和图像特点，通过观察幂函数的图像来确定方程的根。
幂函数解析
专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性【知识回顾】一、简单的幂函数1．幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x ， 是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。
2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。
【典例应用】考点1 幂函数的概念例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）.①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =-【答案】①【解析】【分析】由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项【详解】根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数①中，3x 的系数不为1；①中，=-3α的幂函数；①中，3x 的系数不为1；①中，3x 之后不能加常数项；故答案为①【点睛】本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题.练习：已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.【解析】【分析】由幂函数的概念求解．【详解】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．考点2 幂函数的图像例2 如图，给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）① ① ① ①A ．①12y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x -=B ．①3y x =；①12y x =；①2y x ；①1y x -=C ．①2y x ；①3y x =；①12y x =；①1y x -=D ．①3y x =；①2y x ；①12y x =；①1y x -= 【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性、定义域等来分析判断图象得解.【详解】3y x =是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；2y x 是偶函数，对应题图①；12y x =的定义域为[)0,+∞，对应题图①；1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，对应题图①．故选D ．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域、单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习：幂函数24m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，当0m =时，240m m -=，不合题意；当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意．①m 的值为2．故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 考点3 利用幂函数的特点求参数的值例3 已知幂函数()()23m f x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】 根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.练习：若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3 【答案】A【解析】【分析】 根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可．【详解】解：函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，是基础题．考点4：函数奇偶性例4.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．练习：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f (3)＝0，则使f (x )<0的x 的范围为________．【等级过关练】1．幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13 D2．已知幂函数223()m m f x x --=（m ∈Z ）是偶函数，且112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，则m 的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（ ）A ．21x y = B ．4x y = C ．1y x -= D ．3y x =4．已知一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则m n +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．25．判断下列函数的奇偶性; (1)1()f x x x=+;(2)()2||f x x =-;(3)()1x f x x =-. 参考答案1．A【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.【详解】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42， 所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.2．C【解析】【分析】 先化简112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 得到实数m 的范围，再检验即得解. 【详解】 因为112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以2230211(),31()230,122m m m m m -->-=-∴-<∴<<. 因为m ∈Z ，所以0,1,2m =.经检验，当1m =时，函数是偶函数，当0,2m =时，函数是奇函数.故选：C【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【解析】试题分析：根据幂函数nx y =的性质，当0>n 时，图象过)1,1()0,0(、点，在第一象限部分图象为增函数；当0<n 时，图象过点)1,1(，在第一象限部分图象为减函数；排除C ，而D B A 、、中只有B 是偶函数，因此选B .考点：1.幂函数图象和性质;2.函数的奇偶性；4．B【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得结果．【详解】解：如果一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则210m n -+++=，得1m n +=，故选：B ．【点睛】本题考查奇偶函数的性质，奇偶函数的图像不仅自身具有对称性，定义域也必须要关于原点对称，本题难度不大．5．(1)奇函数.(2)偶函数.(3)非奇非偶函数.【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义判断得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域是{|R x x ∈且0x ≠},关于原点对称,11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭,()f x ∴为奇函数. (2)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,()2||2||()f x x x f x -=--=-=,()f x ∴为偶函数.(3)①函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},显然不关于原点对称, ()f x ∴为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
北师大版高中数学必修第一册 第二章 4-2《简单幂函数的图象和性质》课件PPT
1
∵点 −2, 4 在幂函数g(x)的图象上,∴4=(-2)b,解得b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练
如果幂函数 = 2 − 3 + 3
2 −−2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
典例剖析
例1
幂函数的概念
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性
奇函数
偶函数
奇函数
奇偶性
单调性
公共点
在R上是 增函数
在[0,+∞)上单调递增 ,
在(-∞,0]上 单调递减
在R上是 增函数
(0,0), (1,1)
=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)上是增函数
= −
奇函数
在(0,+∞)上 单调递减 ,
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（2）判断函数奇偶性的方法和步骤
（3） 奇(偶)函数图像特点 作业： 课本
补充练习
（1）f ( x) 是偶函数，且在区间[0，7]上是减函数， 增 则在区间[-7，0]上是 函数 （2）一次函数 f ( x) = ax + b 为奇函数，则 b = 0 。
分析： f ( x)是奇函数 ∴f( －x) = －f ( x)
观察，从形式上找下列三个函数的特点。
y=x
概念:形如 y
=x
1 －1 y = (y = x ) x
y=x
2
(是常量)的函数叫作幂函数。
特点:①底数是自变量 x ②指数是常量 ③ x 的
系数是1。
④⑤ 练习：下列函数中，是幂函数的有③ ______ 2 2 ②y= x +x ① y = 2x
y=x 3 ⑤y = x
(2) f ( x) = x4 + 2 的定义域是 R f( －x) = ( －x)4 + 2 = x4 + 2 ∴f( －x) = f ( x) 故 f ( x) 是偶函数 (3) y = x 2 , x ∈( －3， 3] ，其定义域不关于原点对称 ∴ y x2 , x ∈ －3， 3是非奇非偶函数
说明: (1)当函数 f ( x) 是奇函数或偶函数时称 函数具有奇偶性。 （2）由定义可知奇函数和偶函数的定义 域一定关于原点对称。 判断函数的奇偶性的步骤： 第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不 对称，则该函数不具有奇偶性；若对称，则进 行第二步的判断。 第二步：法一、求出f (－x) ，若f (－x) = －f ( x)则该 函数是奇函数；若 f (－x) = f ( x) ，则该函数是偶函 数；否则函数是非奇非偶函数。 法二、对于容易画图象的函数也可利用 图象进行判断。
o
问题3 f ( x) = x 的 图象关于原点 对称。 定义1：像这样 图象关于原点 对称的函数叫 做奇函数。
3
•
••
f( －x) = ( －x) = －x = －f ( x)
x
？
探索 f (－x) 与 f ( x) 的关系
3 3
• 定义2：如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个x， f 叫奇函数。 ( x) f( －x) = －f,(那么函数 x) 都有
判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) =－2 x5 (2) f ( x) = x4 + 2
5 ( 1 ) f ( x ) = － 2 x 解： 的定义域是 R 5 5 2 x － 2 ( －x ) = f( －x) =
(3) y = x 2 , x ∈( －3， 3]
∴f( －x) =－f ( x) 故 f ( x) 是奇函数
③
－4
④
1 y= 2 x
二、观察 f ( x) = x 的图象
2 f ( x ) = x 问题1 的图象关于 Y轴 对称
2
y
o x 定义1：像这种图像关于Y轴对称的函数叫偶函数 问题2
？
f (1) = 1 f( －1) = 1 f (2) = 4 f( －2) = 4 f (3) = 9 f( －3) = 9 －x) 与 f ( x) 的关系 探索 f (
f( －x) = ( －x) = x = f ( x)
2
2
定义2：如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 －x) = f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫偶函数。 都有 f (
x
画出函数 f ( x) = x
x 的图象
3
… -2 -1 0 1 2 … f ( x) … -8 -1 0 1 8 … y •
即a(－x) + b = －ax－b
∴ b = －b
2b = 0
•故b Βιβλιοθήκη 0练一练画出下列函数的图象,判断其奇偶性. 3 2 (1) y (2) y x , x (3,3] x 2 2 (3) y x 3 (4) y 2( x 1) 1
y o y x -3 o
3
y x o -3 x
y
1 -1 o
x
小结：这节课我们主要学习了
（1） 简单幂函数的概念和特点