湖北省八市2013年高三年级三月调考数学(文科)试题

湖北省八市2013年高三年级三月调考数学（文科）试题

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上.

２.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效.

３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效.

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若，是虚数单位，且，则的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

2.已知命题，那么命题为

A．B．

C．D．

3.已知直线，若直线，则直线的倾斜角为

A. B. C. D.

4.平面向量与的夹角为，，，则

A．B．C．4 D．12

5.不等式组表示的平面区域是

A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形

6.设，函数的导函数是，且是奇函数，则的值为

A．B．C．D．

7.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生

参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的

茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85，

乙班学生成绩的中位数是83，则的值为

A．B．

C．D．

8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的份为

A．B．C．D．

9. 从（其中）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在轴上的双曲线方程的概率为（）

A．B．C．D．

10.已知函数，,则函数的零点个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的

位置上)

11.已知集合，，则▲．

12.已知，且，则▲．

13.某高三年级有名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），若用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为▲.

14.某地区恩格尔系数与年份的统计数据如下表:

年份

2004 2005 2006 2007

恩格尔系数(%)

47 45.5 43.5 41

从散点图可以看出与线性相关，且可得回归直线方程为，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数(%)为▲．

15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为▲.

16.已知实数，若执行如下左图所示的程序框图，则输出的不小于47的概率为▲.

17.右下表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为，则：

（Ⅰ）▲；（Ⅱ）表中数共出现▲次．

三、解答题(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.（本小题满分12分）已知A、B、C为的三个内角且向量

共线。

（Ⅰ）求角C的大小：

（Ⅱ）设角的对边分别是，且满足，试判断的形状．

19．（本小题满分12分）在等差数列中，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．

20.（本小题满分13分）如图所示，四棱锥中，

底面是边长为2的菱形，是棱上的动点．

（Ⅰ）若是的中点，求证：//平面；

（Ⅱ）若，求证：；

（III）在（Ⅱ）的条件下，若

，

求四棱锥的体积．

21．（本大题满分14分）

已知△的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于．

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；

（Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为( 不重合)．求证直线与轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．

22．（本小题满分14分）已知函数，其中

（Ⅰ）求在上的单调区间；

（Ⅱ）求在（为自然对数的底数）上的最大值；

（III）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是

以原点为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？

2013年湖北省八市高三三月联考

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）

1.D

2.C

3.D

4.B

5.D

6.C

7.B

8.A

9.B 10.A

二、填空题：（每小题5分，满35分）

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17.（Ⅰ）,（Ⅱ）

三．解答题(本大题共5小题, 共65分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（Ⅰ）（Ⅰ）∵与共线

∴

…………………………3分

得…………………………4分

∴C= ……………………………6分

（Ⅱ）方法1：由已知（1）

根据余弦定理可得：（2）……………………8分

（1）、（2）联立解得：……………………………10分

为等边三角形，……………………………12分

方法2：

由正弦定理得：

……………………8分

∴，∴在△中∠. ……………………………10分

为等边三角形……………………………12分

方法3：由（Ⅰ）知C= ，又由题设得：，

在中根据射影定理得：

……………………8分

……………………………10分

又. C= ，所以△为等边三角形，……………………………12分

19.（Ⅰ）设等差数列的公差是．

依题意，从而．………………2分

所以，解得．………………4分

所以数列的通项公式为．………………6分

（Ⅱ）由数列是首项为，公比为的等比数列，

得，即，