甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合和集合，则A ．B ．C ．D ．2.设命题，则为（）A ．B ．C ．D ．3.已知向量，若，则A ．B ．C ．D ．4.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A ．B ．-1C ．1D ．5.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知数列{a n }是等差数列,其前 项和为S n ,若S 2017="4" 034,则a 3+ a 1 009+ a 2 015=A ．2B ．4C ．6D ．87.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度,则所得图象的一个对称中心是 A ．(0,0)B ．C ．D ．8.在△ABC 中, BC =3,C =90°,且，则（ ）A ．2B ．3C ．4D ．69.已知是定义在上的偶函数，则下列不等关系正确的是A ．B ．C ．D ．10.已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为A．(0,1)B．C．D．11.已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点个数为()A．5B．6C．7D．812.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是A．(0,e)B．(0, )C．(,e)D．(e,+∞)二、填空题1.等比数列的各项均为正数，且，则 .2.函数的最小正周期为．3.直线与函数的图象有三个相异的公共点，则的取值范围是__________．4.已知函数，若，则的取值范围是________.三、解答题1.已知命题，命题。
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是()A．B．C．D．2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()A．B．C．D．3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120B．720C．1440D．50404.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．B．C．D．5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=()A．B．C．D．6.下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A．B．C．2D．38.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．-40B．-20C．20D．409.由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()A．B．C．D．2ln210.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是()A．B．C．D．11.设函数的最小正周期为，且，则()A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增12.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.二、填空题1.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于() A．2B．4C．6D．82.若变量满足约束条件则的最小值为 .3.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于的周长为16，那么的方程为 .两点，且△ABF24.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 .5.在△ABC中，，则的最大值为 .三、解答题1.（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比．（I）为的前n项和，证明：（II）设，求数列的通项公式2.(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.3.（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望.4.（本题满分为12分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为．（I）求椭圆方程；（II）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．5.（本题满分为12分）已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线的斜率是．（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值；6.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数,其中.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值.甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的共轭复数是()A．B．C．D．【答案】C【解析】,所以其共轭复数为-i.2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数y=|x|+1为偶函数,并且当x>0时,y=x+1在单调递增,所以应选B.3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120B．720C．1440D．5040【答案】B【解析】因为退出循环体时k=6,所以.4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知.6.下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β,那么只有在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β.并不是所有的直线都垂直于平面β.7.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A．B．C．2D．3【答案】B【解析】由题意得.8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．-40B．-20C．20D．40【答案】A【解析】令x=1则，,所以当r=3时展开式的项为常数项，常数项为.9.由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()A．B．C．D．2ln2【答案】D【解析】.10.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是()A．B．C．D．【答案】A【解析】p:因为,正确.1:,故正确的有.P411.设函数的最小正周期为，且，则() A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】,又因为f(x)为偶函数，所以,又因为,所以,由f(x)的周期可知,因为当时，,所以在单调递减.12.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求.【答案】（I ）（为参数）； （Ⅱ）.【解析】(I)本小题属于相关点法求P 点的轨迹方程.设P(x ，y)，则由条件知M().由于M 点在C 1上，可得到点P 的轨迹方程.(II)解本小题的关键是先确定的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．然后根据求值即可.解：（I ）设P(x ，y)，则由条件知M().由于M 点在C 1上，所以即从而的参数方程为（为参数）……………… 5分 （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为．所以.……………… 10分二、填空题1.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】函数的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图 当时，y 1＜0;而函数y 2在（1，4）上出现1.5个周期的图象， 在和上是减函数;在和上是增函数.函数y 2在(1,4)上函数值为负数，且与y 1的图像有四个交点E 、F 、G 、H ，相应地，y 2在(-2,1)上函数值为正数，且与y 1的图像有四个交点A 、B 、C 、D ，且,故所求的横坐标之和为8. 2.若变量满足约束条件则的最小值为 .【答案】 【解析】当直线经过直线2x+y=3和x-y=9的交点M(4,-5)时，z 最小，最小值为.3.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于两点，且△ABF的周长为16，那么的方程为 .2【答案】【解析】由椭圆的定义可知椭圆C的方程为.4.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 .【答案】【解析】设AC的中点为M，则AC=，.5.在△ABC中，，则的最大值为 .【答案】【解析】由得,当时，取得最大值.三、解答题1.（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比．（I）为的前n项和，证明：（II）设，求数列的通项公式【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）。
甘肃省靖远县2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含答案
高考模拟金典卷·数学（答案在最后）（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若3z z ⋅=，则z =（）A. B.3C.D.322.已知命题:p x ∀∈N N ；命题:q x ∃∈Z ，3x x <，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.在等差数列{}n a 中，388a a +=，则其前10项和10S =（）A.72B.80C.36D.404.已知向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，若a在b 上的投影向量为，则,a b = （）A.5π6B.3π4C.2π3D.7π125.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥6.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.270C.300D.3307.已知1sin 22cos 2αα+=，则tan 2α=（）A.3- B.43-C.13D.348.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是双曲线C 右支上一点，若222F B F A =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=，且2F B a =，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3C.12 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x ，2x ，L ，10x 是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小10.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，则（）A.(0)1f =B.()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上有3个极值点D.将()f x 的图象向左平移5π12个单位长度，所得函数图象关于原点O 对称11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，当0x >时，()0f x >，则（）A.(0)0f = B.3(2)4f -=-C.()f x 在(0,)+∞上单调递增D.101()2024i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()2211x my m +=>的离心率为2，则m =_______.13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.14.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中最小的数.设0x >，0y >，则11min 2,,x y y x ⎧⎫+⎨⎩⎭中的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，sin 2cos 3B B =.（1）求A .（2）若5b c a +=，求ABC V 的面积.16.已知函数()2()e xf x x ax b =++的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为21x y +-0=.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极值.17.激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.原始信息的单光子的偏振状态012解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.（1）证明：1A B CP ⊥.（2）求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.（3）设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值.19.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,1)的距离，记动点P 的轨迹为E .（1）求E 的方程.（2）设*n ∈N ，(),n n n A x y ，(),n n n B u v 是E 上不同的两点，且1n n x u ⋅=-，记n C 为曲线E 上分别以n A ，n B 为切点的两条切线的交点.（i ）证明：存在定点F ，使得n n n A B FC ⊥.（ii ）取2nn x =，记n n n n C A B α=∠，n n n n C B A β=∠，求111tan tan ni n n αβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.高考模拟金典卷·数学（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】4【13题答案】【答案】①.31π②.125π【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）3π；（2）20.【16题答案】【答案】（1）3a =-，1b =（2）增区间为(,1)∞--和(2,)+∞，减区间为(1,2)-，极大值为5e，极小值为2e -【17题答案】【答案】（1）23（2）分布列见解析，()1E X =【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3（3）14【19题答案】【答案】（1）2122x y =+（2）（i ）证明见解析；（ii ）1221n n +---。
甘肃省天水市2023-2024学年高三上学期第三次月考试题 数学含解析
天水2023-2024学年第一学期第三次月考《高三数学》试卷（答案在最后）时长：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.设集合{}128x A x =<<，{}13B x x =+≥，则A B = （）A.(]0,2 B.[)2,3 C.(]2,3 D.()0,32.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A.0.34B.0.37C.0.42D.0.434.若8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中6x 的系数是16-，则实数a 的值是（）A.2- B.1- C.1D.25.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:cm ）,现在向这个空石瓢壶中加入391πcm （约3285.9cm ）的矿泉水后,问石瓢壶内水深约（）cmA.2.8B.2.9C.3.0D.3.16.已知等边ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE AC ⊥，垂足为E ，当23PB PC ⋅=- 时，PE =（）A.1233AB AC-+B.1136AB AC-+C.1163AB AC-+D.2133AB AC-+uu ur uuu r7.若51e ln 5100a b c ===，，（e 2.71828= ）试比较,,a b c 的大小关系（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.b c a>>8.已知三棱锥-P ABC ，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]π,2π二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知,A B 为圆22:1O x y +=上的两点，P 为直线:20+-=l x y 上一动点，则（）A.直线l 与圆O 相离B.当,A B 为两定点时，满足π2APB ∠=的点P 有2个C.当AB =时，PA PB +的最大值是1+D.当,PA PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭10.定义运算m p mn pq qn=-．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足301a b c a c b++=+-，则下列结论正确的是（）A .sin sin 2sin A C B+= B.:1:2A C =C.角B 的最大值为π3D.若sin 4sin a A c C =，则ABC 为钝角三角形11.已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =，且1F 到l 的距离为点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0，PQ 为12F PF ∠的平分线．则下列正确的是（）A.双曲线的方程为221927x y -= B.123PF PF =C.OP =D.点P 到x 轴的距离为212.已知函数()()sin (0,02π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A.4π3ϕ=B.()f x 在区间5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增C.将函数cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度，可得函数()f x 的图象D.函数()4y f x =+的零点个数为7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.13.已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为___________.14.给出下列命题：①由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程ˆ:ˆˆl y bx a =+，则l 一定经过点()P x y ；②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；④在回归直线方程 0.510y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 增加0.5个单位.其中真命题的序号是______．15.若函数()x f x e x =-图象在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b -的最小值为__________.16.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，11，3443，94249等，显然2位回文数有9个：11，22，33，L ，99，3位回文数有90个：101，111，121，L ，191，202，L ，999．（1）4位回文数有__________个．（2）21()n n ++∈N 位回文数有__________个．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan (2)tan a B c a A =-.（1）求B ；（2）若4A π=，b =ABC 的面积.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，当2n ≥时，12n n n a S -=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b S =，设n n n c b S =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．19.党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分2；道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为45，乙回答正确的概率为35，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．（1）求乙同学得100分的概率；（2）记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望．20.如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，12AD CD AB ==，平面PAD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AB D --的余弦值为33，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．21.已知圆2217x y +=与抛物线()2:20C y px p =>在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C 的准线在x 轴上方的交点为B ，且点A ，B 关于直线y x =对称．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标．22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--．（1）已知()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程是21y x =-，求实数a ，b 的值；（2）在第（1）问的条件下，若方程()()20xf x λλ=>有唯一实数解，求实数λ的值．天水2023-2024学年第一学期第三次月考《高三数学》试卷时长：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.设集合{}128x A x =<<，{}13B x x =+≥，则A B = （）A.(]0,2 B.[)2,3 C.(]2,3 D.()0,3【答案】B 【解析】【分析】根据题意将集合,A B 化简，然后结合交集的运算，即可得到结果.【详解】因为03128222x x <<⇒<<，所以03x <<，即()0,3A =，且1313x x +≥⇒+≥或13x +≤-，所以2x ≥或4x ≤-，即(][),42,B ∞∞=--⋃+，所以A B = [)2,3.故选:B2.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .3.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43【答案】C 【解析】【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A 表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则223124C 0.80.32C P =⨯=,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则1113224C C 0.80.250.1C P =⨯⨯=，故12()0.320.10.42P A P P =+=+=,故选：C4.若8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中6x 的系数是16-，则实数a 的值是（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】原式利用二次展开通项公式化简，根据6x 的系数是16-，求出a 的值即可.【详解】根据8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开通项公式882188()rrr r r r r a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.令826r -=，得到1r =，由6x 的系数是16-，得到181(6)C a =--，解得：2a =，故选：D ·5.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:cm ）,现在向这个空石瓢壶中加入391πcm （约3285.9cm ）的矿泉水后,问石瓢壶内水深约（）cmA.2.8B.2.9C.3.0D.3.1【答案】C 【解析】【分析】取圆台的中轴面,补全为一个三角形,根据三角形相似,找到加入矿泉水后水面的半径和水深的关系,根据圆台体积为391πcm ,列出等式,解出即可.【详解】解:由题知矿泉水的体积为391πcm ,将圆台的中轴面拿出,补全为一个三角形如图所示:加入矿泉水后,记石瓢壶内水深为h ,水平面半径为r ,由图可知ABC AFG ,所以有,AB BCAF FG=即466AB AB =+,解得12AB =,由ABC ADE ,得AB BCAD DE =,即12418h r=-,解得:183h r =-,故加入矿泉水后圆台的体积为:()()221π1836691π3V r r r =-++=,解得5r ==,所以183 3.0h r =-=.故选:C6.已知等边ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE AC ⊥，垂足为E ，当23PB PC ⋅=- 时，PE =（）A.1233AB AC -+ B.1136AB AC-+C.1163AB AC-+D.2133AB AC-+uu ur uuu r 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，先分别表示出PB，PC ，再由向量的数量积运算得到PB PC ⋅，从而得到P 为ABC 的重心，即可得到结果.【详解】设(01)AP AD λλ=<< ，则PC AC AP AC AD λ=-=- ，PB AB AD λ=- ，∴22()()PC PB AC AD AB AD AC AB AC AD AB AD AD λλλλλ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=22222233623λλλλ-⨯+=-+=-，291880λλ∴-+=，23λ∴=或43λ=（舍去），P ∴为ABC 的重心，PE AC ⊥ ，E ∴为AC 的中点，∴1212111()2323236PE AE AP AC AD AC AB AC AB AC =-=-=-⨯+=-+，故选：B ．7.若51e ln 5100a b c ===，，（e 2.71828= ）试比较,,a b c 的大小关系（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b>>D.b c a >>【答案】D 【解析】【分析】先估算出5e ，进而求出a 的范围，再由21.64e <求出b 的范围，最后构造函数估算出c 即可求解.【详解】由e 2.71828= 得2e 7.5<，故5e 7.57.5 2.72153<⨯⨯=，又1.64 1.64 2.6896e ⨯=<，故51e 1.6100<<，由常用数据得ln 5 1.609≈，下面说明ln 5 1.609≈，令()()26ln 146x xf x x x +=+-+，()()()()()()()232226464614146146x x x x x f x x x x x ++-+-'=-=++++，当()1,0x ∈-时，()0f x ¢>，()f x 单增，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单减，则()()max 00f x f ==，则()26ln 146x xx x ++≤+，则5ln 52ln 2ln 4=+，11121320111ln 2ln ln 1ln 1ln 110111219101119⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，令()2646x xg x x +=+，则111ln 20.6932101119g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈+++≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，591011lnln ln 1ln 148989⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，511ln0.2232489g g ⎛⎫⎛⎫≈+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5ln 52ln 2ln 20.69320.2232 1.60964=+≈⨯+≈，综上，b c a >>.故选：D.【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出ln 5的范围，放缩得到()26ln 146x xx x ++≤+，再由111ln 2ln 1ln 1ln 1101119⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 和511ln ln 1ln 1489⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合5ln 52ln 2ln4=+即可求解.8.已知三棱锥-P ABC ，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]π,2π【答案】A 【解析】【分析】连接PQ ，QA ，OA ，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，设过点Q 的平面为α，则当OQ α⊥时，此时所得截面的面积最小，当点Q 在以O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接PQ ，QA ，由2PB PC AB BC AC =====，可知：ABC 和PBC 是等边三角形，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，所以球心O 到平面ABC 和平面PBC 的射影是ABC 和PBC 的中心F ，E ，PBC 是等边三角形，Q 为BC 中点，所以PQ BC ⊥，又因为侧面PBC⊥底面ABC ，侧面PBC ⋂底面ABC BC =，所以PQ ⊥底面ABC ，而AQ ⊂底面ABC ，因此PQ AQ ⊥，所以OFQE 是矩形,ABC 和PBC 是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高h ==在矩形OFQE 中，132233333OE FQ h AE h =====，连接OA ，所以3OA ===，设过点Q 的平面为α，当OQ α⊥时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，333OQ h =====，因此圆Q 1==，所以此时面积为2π·1π=，当点Q 在以O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：25ππ33⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，所以截面的面积范围为5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A ．【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知,A B 为圆22:1O x y +=上的两点，P 为直线:20+-=l x y 上一动点，则（）A.直线l 与圆O 相离B.当,A B 为两定点时，满足π2APB ∠=的点P 有2个C.当AB =时，PA PB +的最大值是1+D.当,PA PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】利用点到直线的距离判断A ；确定APB ∠最大时的情况判断B ；取AB 中点D ，由线段PD 长判断C ；求出直线AB 的方程判断D 作答.【详解】对于A ，因为O 到直线l的距离1d ==>，即直线l 与圆O 相离，A 正确；对于B ，当A ，B 为过点P 的圆O 的切线的切点时，APB ∠最大，而2PAB OPA ∠=∠，显然OPA ∠是锐角，正弦函数在π(0,)2上单调递增，1sin OA OPA OP OP∠==，因此APB ∠最大，当且仅当OPA ∠最大，当且仅当OP 最小，则有PO l ⊥，此时π2APB ∠=，所以当,A B 为两定点时，满足π2APB ∠=的点P 只有1个，B 错误；对于C ，令AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2211()22OD OA AB =-=，点D 在以O 为圆心，12为半径的圆上，|||2|2||PA PB PD PD +==，显然当P 在l 上运动时，||PD 无最大值，C 不正确；对于D ，设(),2P a a -，当,PA PB 为切线时，,PA OA PB OB ⊥⊥，点,A B 在以OP 为直径的圆上，此圆的方程为()(2)0x x a y y a -+-+=，于是直线AB 为()21ax a y +-=，即()210a x y y -+-=，所以直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD 10.定义运算m p mn pq qn=-．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足301a b c a c b++=+-，则下列结论正确的是（）A.sin sin 2sin A C B +=B.:1:2A C =C.角B 的最大值为π3D.若sin 4sin a A c C =，则ABC 为钝角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】由新定义运算得2a c b +=，对于选项A ：由正弦定理边化角后知sin sin 2sin A C B +=正确；对于选项B ：可举反例进行判断；对于选项C ：结合余弦定理及基本不等式，可求得1cos 2B ≥，可知C 正确；对于选项D ：结合条件可得24,,33c b a b ==计算cos A 即可判断出A 为钝角.【详解】由301a b c a c b++=+-可知()3()0a b c a c b ++-+-=，整理可知2a c b +=，由正弦定理可知，sin sin 2sin A C B +=，从而可知A 正确；因为π3A B C ===满足2a c b +=，但不满足:1:2A C =，故B 不正确；B 错误；2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===()2232621882a c ac ac ac ac ac +--≥=a c =时取“=”），又0πB <<，∴B 的最大值为π3，故C 正确；由sin 4sin a A c C =可得224a c =，解得2a c =，又2a c b +=，从而可得24,,33c b a b a ==为最大边，22222224133cos 0,(0,π)22423b b b b c a A A bc b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-<∈⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，角A 为钝角，故D 正确．故选：ACD ．11.已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =，且1F 到l的距离为点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0，PQ 为12F PF ∠的平分线．则下列正确的是（）A.双曲线的方程为221927x y -= B.123PF PF =C.OP =D.点P 到x轴的距离为2【答案】ACD 【解析】【分析】由1F 到l的距离为y =可求得3,6a b c ===，即可得出方程，判断A ；由1122PF QF PF QF =可求出判断B ；结合双曲线定义可求得1212,6PF PF ==，求出12cos F PF ∠，即可求出12PF PF +，判断C ；利用等面积法可求得点P 到x 轴的距离，判断D.【详解】()10F c -，到y =的距离为2=，解得6c =，又渐近线方程为y =，则ba=222+=a b c 可解得3a =，b =，则双曲线的方程为221927x y -=，故A 正确；PQ 为12F PF ∠的平分线，1122824PF QF PF QF ===，故B 错误；由双曲线定义可得126PF PF -=，则可得112PF =，26PF =，则在12PF F △中，22212126121cos 21264F PF ∠+-==⨯⨯，则222221211221||212212662164PF PF PF PF PF PF +=+⋅+=+⨯⨯⨯+= ，则122PF PF PO +==，即OP =C 正确；在12PF F △中，12sin 4F PF ∠==，设点P 到x 轴的距离为d ，则1212121211sin 22PF F S F F d PF PF F PF ∠=⨯⨯=⨯⨯△，即111512126224d ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得3152d =，故D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.12.已知函数()()sin (0,02π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A.4π3ϕ=B.()f x 在区间5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增C.将函数cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度，可得函数()f x 的图象D.函数()4y f x =+的零点个数为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数()f x 的解析式，再分析判断ABC ；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D 作答.【详解】观察图象知，函数()f x 的周期5ππ2(π63T =-=，则2π2T ω==，而π()03f =，即有π2π,Z 3k k ϕ⋅+=∈，由sin 0,02πϕϕ<<<知，π2πϕ<<，因此4π2,3k ϕ==，A 正确；显然4π()sin(2)3f x x =+，当5ππ[,62x ∈--时，4πππ2[,]333x +∈-，因此()f x 单调递增，B 正确；将cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12得cos2y x =，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得πcos(2)6y x =-，而π3ππ4πcos(2)sin(2)sin(2)6263y x x x =-=-+-=-+，C 错误；由4()0f x =，得π4sin(2)3x +=，令π23x t +=，则4sin t =，令()4sin g x x =16x >时，4sin 4x ≤>，即恒有()0g x <，函数()g x 在(16,)+∞上无零点，当01x <<时，()4cosg x x '=()4cos h x x =-()4sin h x x '=-+，函数3214sin ,4y x y x -=-=在(0,1)上都递减，即有()h x '在(0,1)上递减，11(4sin1601616h '=-+>，1π11(1)4sin14sin 204644h '=-+<-+=-+<，因此存在0(0,1)x ∈，0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，当01x x <<时，()0h x '<，有()()g x h x ='在0(0,)x 上递增，在0(),1x 递减，01π1()(1)4cos14cos 0232g x g ''>=->->，11()4cos 406464g '=-<，于是存在101(,)64x x ∈，1()0g x '=，当10x x <<时，()0g x '<，当11x x <<时，()0g x '>，则函数()g x 在1(0,)x 上递减，在1(,1)x 递增，1()(0)0g x g <=，π(1)4sin114sin 106g =->->，从而函数()g x 在(0,1)上存在唯一零点，而函数4sin y x =周期为2π，y =在(0,)+∞上单调递增，如图，π()402g =>，5π()402g =>，9π()402g =->，从而函数()g x 在(0,π),(2π,3π),(4π,5π)上各有一个零点，又0是()g x 的零点，即函数()g x 在定义域上共有7个零点，所以函数()4y f x =+的零点个数为7，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.13.已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为___________.【答案】0.7【解析】【分析】根据条件概率公式进行求解即可.【详解】设一个这种元件使用1年的事件为A ，使用2年的事件为B ，则()0.63()0.7()0.9P AB P BA P A ===∣.故答案为：0.714.给出下列命题：①由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程ˆ:ˆˆl y bx a =+，则l 一定经过点()P x y ；②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；④在回归直线方程 0.510y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 增加0.5个单位.其中真命题的序号是______．【答案】①②【解析】【分析】利用回归直线方程的特征以及两个变量之间的关系逐一判断四个选项的正误即可.【详解】回归直线一定过样本中心点(),P x y ，故①正确；残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故②正确；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故③错误；在回归直线方程 0.510y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 减少0.5个单位，故④错误.故答案为：①②.15.若函数()x f x e x =-图象在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b -的最小值为__________.【答案】11e--【解析】【分析】先求出函数的导数，表示出切线方程，得k ﹣b ＝0e x •x 0﹣1，令()g x ＝xe x ﹣1，根据函数()g x 的单调性求出k ﹣b 的最小值即可．【详解】已知()x f x e x =-，得f ′（x ）＝e x ﹣1，设切点为（x 0，f （x 0）），故f ′（x 0）＝01x e -，故f （x ）＝e x ﹣x 图象在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为：k ＝01x e -，所求切线方程为y ＝（0e x ﹣1）（x ﹣x 0）+0e x ﹣x 0，即y ＝（0e x ﹣1）x ﹣0x e ⋅x 00x e +，则k ＝0e x ﹣1，b ＝﹣0e x •x 00x e +，则k ﹣b ＝0e x •x 0﹣1，令()g x ＝xe x ﹣1，()'g x ＝e x （x +1），当x ＜﹣1时，()'g x ＜0，当x ＞﹣1时，()'g x ＞0，所以()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增，故()g x ＝xe x ﹣1在x ＝﹣1处取得最小值，则k ﹣b 的最小值是﹣1﹣1e.故答案为：11e--.【点睛】思路点睛：首先，求出函数的导数，设切点（x 0，f （x 0）），得切线的斜率，进而得切线方程，最后，得出k b -＝0e x •x 0﹣1，令()g x ＝xe x ﹣1，求导得出()g x 的单调性及最值.16.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，11，3443，94249等，显然2位回文数有9个：11，22，33，L ，99，3位回文数有90个：101，111，121，L ，191，202，L ，999．（1）4位回文数有__________个．（2）21()n n ++∈N 位回文数有__________个．【答案】①.90②.910n⨯【解析】【详解】（1）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法，第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位回文数有91090⨯=个．（2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法，第二步，分别选左边第2、3、4、L 、n 、1n +个数字，共有1010101010n ⨯⨯⨯⨯= 种选法，故21()n n ++∈N 位回文数有910n ⨯个.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan (2)tan a B c a A =-.（1）求B ；（2）若4A π=，b =ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）3【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系及正弦定理化简tan (2)tan a B c a A =-求B ；由题意结合正弦定理求得a 边，余弦定理求得c 边，最后根据面积公式求解即可.【详解】（1）因为tan (2)tan a B c a A =-，所以()sin sin sin 2sin sin cos cos B AA C AB A⋅=-⋅.又sin 0A ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B A C B A B =-，即sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=，即sin()sin 2sin cos A B C C B +==.又sin 0C ≠，所以1cos 2B =，则由0πB <<，得3B π=.（2）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 2sin 2b A a B ==，则由余弦定理得22221cos 22a cb B ac +-===，解得c =(负值舍去)，所以11sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=+△.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，当2n ≥时，12n n n a S -=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b S =，设n n n c b S =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．【答案】（1）12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）()1212n n T n +=-+【解析】【分析】（1）当2n ≥时，12n n n a S -=-，可得112nn n a S ++=-，两式相减即可求解；（2）由（1）可求得n S ，进而可得n b ，n c ，利用乘公比错位相减求和即可求解.【详解】（1）当2n ≥时，12n n n a S -=-，112nn n a S ++=-，两式相减可得：11122nn n n n n a S a S -++--+=-，即1112n n n n a a a -++=--，所以12n n a -=，12a =不满足12n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）当2n ≥时，由12n n n a S -=-，12n n a -=，可得1112222n n n n n n S a ---=+=+=，112S a ==，满足2n n S =，所以2n n S =，可得22log log 2nn n b S n ===，2nn n n c b S n =⋅=⋅，()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，两式相减可得：123111222222n n n n T n -+-=⋅++++-⋅()()11212221212n n n n n ++-=-⋅=---，所以()1212n n T n +=-+.19.党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分2；道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为45，乙回答正确的概率为35，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．（1）求乙同学得100分的概率；（2）记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）37100（2）分布列见解析；期望为100【解析】【分析】（1）根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式综合运算求解即可；（2）由题意，X 可能值为0，50，100，150，200，根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式分别求出对应取值的概率，即可得到离散型随机变量的分布列，再由期望定义及公式求其期望值．【小问1详解】由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，所以乙同学得100分的概率为1312141311113722252525252525100p =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=【小问2详解】由题意，甲同学的累计得分X 可能值为0，50，100，150，200，1111111313134(0)+225252525252525P X ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，121112134(50)222525252525P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，1212111414139(100)+2225252525252525P X ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，14124(150)2252525P X ==⨯⨯⨯⨯=，14144(200)252525P X ==⨯⨯⨯=，分布列如下：X50100150200()P X 425425925425425所以期望44944()0501001502001002525252525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20.如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，12AD CD AB ==，平面PAD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AB D --的余弦值为3，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得到PB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定即可证明；（2）过D 作DH PA ⊥，⊥DO AB ，垂足分别为H ，O ，连接HO ，由几何法可证DOH ∠即为二面角P AB D --的平面角，过O 作OM ⊥平面PAB ，以{},,OA OH OM为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设4AB =，再由向量法求出直线PD 与平面PBC 所成角即可．【小问1详解】（1）因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ⋂平面PAB PA =，PA PB ⊥，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面PAD ，又因为PB ⊂平面PBC ，所以平面PAD ⊥平面PBC ．【小问2详解】过D 作DH PA ⊥，⊥DO AB ，垂足分别为H ，O ，连接HO ，因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ⋂平面PAB PA =，DH PA ⊥，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以DH AB ⊥，又⊥DO AB ，且DO DH D = ，DO ，DH ⊂平面DHO ，所以AB ⊥平面DHO ，因为HO ⊂平面DHO ，所以AB HO ⊥，即DOH ∠即为二面角P AB D --的平面角，不妨设4AB =，则可知2AD CD BC ===，且1AO =，OD =因为cos 3DOH ∠=，所以1OH =，所以π4BAP ∠=，过O 作OM ⊥平面PAB ，以{},,OA OH OM为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(D ，()1,2,0P -，()3,0,0B -，(C -，所以(1,PD =-，()2,2,0BP =，(1,1,CP = ，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则2200m BP x y m CP x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则1y =-，0z =，所以()1,1,0m =-u r，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，则2sin 2m PD m PDθ⋅==⋅ ，直线PD 与平面PBC所成角的正弦值为221.已知圆2217x y +=与抛物线()2:20C y px p =>在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C 的准线在x 轴上方的交点为B ，且点A ，B 关于直线y x =对称．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）216y x =；（2）存在；定点坐标为()17,4．【解析】【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B 的坐标，再根据点A 和点B 关于y x =对称获得点A 的坐标，最后根据点A 在抛物线上，列方程求得8p =，最后求得抛物线的方程;（2）设211,16y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,16y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为x my n =+，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知1216y y m +=，1216y y n =-，因为AM AN ⊥，所以0AM AN →→⋅=，整理化简得到417n m =-+，最后得到直线MN 过定点()17,4.【详解】（1）解：将2p x =-代入2217x y +=，得y =，所以2p B ⎛- ⎝，由点A ，B 关于直线y x =对称，可得2p A ⎫-⎪⎪⎭，将A 的坐标代入抛物线C 的方程得224p =8p =，所以抛物线C 的方程为216y x =．（2）证明：由（1）得()1,4A -，设211,16y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,16y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线MN 的方程为x my n =+．将直线MN 的方程代入216y =得，所以216160y my n --=，所以1216y y m +=，1216y y n =-．因为AM AN ⊥，所以()()()()22221212121216161,41,44401616256y y y y AM AN y y y y →→--⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意可知14y ≠-，24y ≠-，所以()()12440y y ++≠．所以()()124410256y y --+=，即()121242720y yy y -++=，所以16642720n m --+=，即417n m =-+，所以直线MN 的方程为()417x m y =-+，直线MN 过定点，定点坐标为()17,4．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--．（1）已知()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程是21y x =-，求实数a ，b 的值；（2）在第（1）问的条件下，若方程()()20x f x λλ=>有唯一实数解，求实数λ的值．【答案】（1）0a =，1b =-；（2）1．【解析】【分析】（1）当1x =时，求得()1112b f a =--=，得到22a b +=-，再由()112b f a =--='，联立方程组即可求解；（2）根据题意转化为2ln 0x x x λ--=有唯一实数解，设()2ln x x g x x λ--=，求得()221x x g x xλ'--=，令2210x x λ--=，利用二次函数的性质，得到函数()g x 单调性与最值，进而得到()20g x =，结合()2ln 1h x x x =+-的单调性，求得方程的解为21x =，代入，即可求解.【详解】（1）当1x =时，可得2111y =⨯-=，所以()1112b f a =--=，即22a b +=-，因为()1f x ax b x-'=-，即()112b f a =--='，即1a b +=-联立方程组221a b a b +=-⎧⎨+=-⎩，解得0a =，1b =-．（2）由方程()2f x x λ=有唯一实数解，即2ln 0x x x λ--=有唯一实数解，设()2ln x x g x x λ--=，则()221,0x x g x x xλ'--=>，令2210,0x x x λ--=>，因为0λ>，所以180λ∆=+>，且12102x x λ=-<，所以方程有两异号根，设10x <，20x >，因为0x >，所以1x 应舍去，当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增．当2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x ，因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =，则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即2222222ln 0210x x x x x λλ⎧--=⎨--=⎩，因为0λ>，所以222ln 10x x +-=．（*）设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，将21x =代入222210x x λ--=，可得1λ=．【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：f x中分离1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.。
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.复数满足，则（）A．B．C．D．3.设，向量，，且，则（）A．B．C．D．4.已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（）A．B．C．D．5.函数的图象大致是（）6.设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与的图象所围成的阴影部分为，任取，，则点恰好落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．7.正项等比数列中的，是函数的极值点，则（）A．B．C．D．8.一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．9.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果（）A．B．C．D．10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11.体积为的球放置在棱长为4的正方体上，且与上表面相切，切点为该表面的中心，则四棱锥的外接球的半径为（）A．B．C．D．12.已知函数，若存在实数，，，，当时满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为．2.若实数，且，则当的最小值为，函数的零点个数为．3.已知不等式组所表示的区域为，是区域内的点，点，则的最大值为．4.方程的根称为函数的不动点，若函数有唯一不动点，且，，则．三、解答题1.已知中，，，分别是角，，的对边，且，是关于的一元二次方程的两根．（1）求角的大小；（2）若，设，的周长为，求的最大值．2.在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：学生数学（分）8991939597物理（分）（1）根据表中数据，求物理分对数学分的回归直线方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望附：回归方程，，，其中，为样本平均数．3.在三棱柱中，，侧棱平面，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．4.已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（3）记与的面积分别为和，求的最大值．5.选修4-1：几何证明选讲如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交圆和于点，，若．（1）求证：；（2）求·的值．6.选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线的参数方程为(为参数)，在直角坐标系中，以点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线截圆所得弦长为，求实数的值．7.选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为．（1）求集合；（2）若，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】∵，∴，∴，故选D．【考点】集合的运算．2.复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由题意得，，∴，故选A．【考点】复数的计算．3.设，向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】∵，∴，∴，故选B．【考点】平面向量的数量积．4.已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】∵，∴是真命题，取，满足，∴也是真命题，∴是假命题，故选B．【考点】命题真假判断．5.函数的图象大致是（）【答案】C．【解析】显然是偶函数，故排除A，B，又∵当时，，，∴，故排除D，故选C．【考点】函数的图象和性质．6.设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与的图象所围成的阴影部分为，任取，，则点恰好落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由二项展开的通项公式，令，∴，∴，∴所求概率，故选D．【考点】1．二项式定理；2．定积分计算曲边图形的面积；3．几何概型．7.正项等比数列中的，是函数的极值点，则（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】∵，∴，又∵正项等比数列，∴，∴，故选B．【考点】1．导数的运用；2．等比数列的性质．8.一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】分析三视图可知，该几何体为半个圆锥与四棱锥的组合，故其体积，故选A．【考点】1．三视图；2．空间几何体的体积．9.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】分析程序框图可知，，又∵，∴，故符合题意的最小奇数，故选B．【考点】程序框图．10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】如下图所示，，，过作准线的垂线，垂足是，由对称性，不妨令在第一象限，∴，∴问题等价于求的最小值，而，当且仅当时等号成立，此时，∴，故选C．【考点】1．抛物线的标准方程及其性质；2．基本不等式求最值；3．双曲线的标准方程及其性质．11.体积为的球放置在棱长为4的正方体上，且与上表面相切，切点为该表面的中心，则四棱锥的外接球的半径为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】如下图所示，四棱锥的高，设外接球球心为，底面中心为，，∴，在中，，故选B．【考点】空间几何体的性质．12.已知函数，若存在实数，，，，当时满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】如下图所示，设从左往右的零点依次为，，，，则，又∵，∴，，故选D．【考点】1．分段函数；2．函数与方程；3．数形结合的数学思想．二、填空题1.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为．【答案】．【解析】由题意得，∴，故填：．【考点】1．两直线的位置关系；2．三角恒等变形．2.若实数，且，则当的最小值为，函数的零点个数为．【答案】．【解析】，当且仅当时，等号成立，故，令，令，∴，∴在上单调递增，即，∴，∴在上无零点，在上有且仅有1个零点，∴的零点个数为，∴故填：．【考点】1．基本不等式求最值；2．函数的零点．3.已知不等式组所表示的区域为，是区域内的点，点，则的最大值为．【答案】．【解析】，作出不等式组所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，，故填：．【考点】1．线性规划；2．平面向量数量积．4.方程的根称为函数的不动点，若函数有唯一不动点，且，，则．【答案】．【解析】根据不动点的定义以及有唯一不动点，可知有唯一解，即有唯一解，∴，∴，∴数列是以1613为首项，为公差的等差数列，∴，故填：．【考点】1．新定义问题；2．数列的通项公式．三、解答题1.已知中，，，分别是角，，的对边，且，是关于的一元二次方程的两根．（1）求角的大小；（2）若，设，的周长为，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据韦达定理得到三边所满足的一个关系式，进而利用余弦定理的变式求解；（2）利用正弦定理得到的解析式，再利用三角恒等变形将其化简，利用三角函数的性质求其最值．试题解析：（1）在中，依题意有：，∴，又∵，∴；（2）由，及正弦定理得：，∴，，故，即，由得：，∴当，即时，．．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形；3．韦达定理；4．三角函数的性质．2.在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：数学（分）8991939597物理（分）（1）根据表中数据，求物理分对数学分的回归直线方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望附：回归方程，，，其中，为样本平均数．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】（1）根据表格当中数据以及附录的公式计算，的值即可求解；（2）离散型随机变量的所有可能取值为，，，再利用古典概型得到各个取值的概率求得其概率分布，进而即可求得其期望．试题解析：（1）∵，，∴，，∴，，故物理分对数学分的回归直线方程是；（2）离散型随机变量的所有可能取值为，，，，，，故的分布列为：∴．【考点】1．回归分析；2．离散型随机变量的概率分布及其期望．3.在三棱柱中，，侧棱平面，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）设为的中点，连结，根据条件首先证明四边形为平行四边形，即可得到，再根据线面平行的判定即可得证；（2）根据图形特点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解．试题解析：（1）设为的中点，连结，∵，为的中点，∴为的中点，又∵为的中点，∴，又∵为的中点，为的中点，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）建立如图所示的坐标系，∵，，分别为，的中点，，，，，，，设平面的法向量为，，，，，，不妨令，则，，∴，同理可得平面的一个法向量为，，∴二面角的余弦值为．【考点】1．线面平行的判定；2．空间向量求空间角．4.已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（3）记与的面积分别为和，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根据条件焦点坐标以及即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式即可求解；（3）对直线是否存在分类讨论，建立关于斜率的函数关系式，从而求解．试题解析：（1）∵为椭圆的焦点，∴，又∵，∴，∴椭圆方程为；（2）∵直线的倾斜角为，∴直线方程为，和椭圆方程联立得到,消掉，得到，∴，，，∴；（3）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，，，面积相等，，当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设，，和椭圆方程联立得到，消掉得，显然，方程有根，且，，此时，∵，上式，（时等号成立），∴的最大值为．【考点】1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．椭圆中的最值问题．5.选修4-1：几何证明选讲如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交圆和于点，，若．（1）求证：；（2）求·的值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）利用条件证明，再利用相似三角形的性质即可得证；（2）利用条件首先求得，的长度，再利用相交弦定理即可求解．试题解析：（1）∵是圆的切线，∴，且是公共角，∴，∴，∴；（2）由切割线定理得，∴，又∵，∴，又∵是的角平分线，∴，∴，∴，，∴由相交弦定理得．【考点】1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质；3．圆中的比例线段．6.选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线的参数方程为(为参数)，在直角坐标系中，以点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线截圆所得弦长为，求实数的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）利用，即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程化为普通方程，结合（1）中所得的圆的方程，再利用点到直线距离公式即可求解．试题解析：（1）∵，∴圆的直角坐标方程为；（2）把直线的参数方程(为参数)化为普通方程得：，∵直线截圆所得弦长为，且圆的圆心到直线的距离或，∴或．【考点】1．导数的运用；2．分类讨论的数学思想．7.选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为．（1）求集合；（2）若，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的取值情况分类讨论将绝对值号去掉，即可求解；（2）根据（1）中求得的，再结合问题，可知其等价于，再利用基本不等式求最值即可．试题解析：（1）若，则或或，解得，∴；（2）∵，，，∴，∵，∴，由题可知，，∴．【考点】1．绝对值不等式；2．基本不等式求最值；3．恒成立问题；4．分类讨论的数学思想．。
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.“”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要3.已知，则（）A．B．C．D．4.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．5.定义域为上的奇函数满足，且，则（）A．2B．1C．-1D．-26.已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.在中，，若，则面积的最大值是（）A．B．4C．D．8.已知函数，且，则（）A．B．C．D．9.函数的大致图像为()A．B．C．D．10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．二、填空题1.13．命题“，”的否定为___________．2.若点在直线上，则_______________．3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．三、解答题1.已知函数（1）求函数的解析式及其最小正周期；（2）当x∈时，求函数的值域和增区间．2.已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.3.在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若，的面积为，求.4.已知函数，（）.（1）若，恒成立，求实数的取值范围；（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,所以，又则2.“”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】A【解析】函数的对称轴为，则在上函数递增，若函数在区间上为增函数，所以,得.所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故选A.3.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】. 故选A.4.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,则，所以在点处切线的斜率为，所以切线方程为即故选A5.定义域为上的奇函数满足，且，则（）A．2B．1C．-1D．-2【答案】C【解析】 ,因此，选C.6.已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则函数为偶函数且在上单调递增，，，即，两边平方得，解得或，故选C.7.在中，，若，则面积的最大值是（）A．B．4C．D．【答案】D【解析】∵，由，，得，∴．又，∵，∴，∴当时，取得最大值，∴面积的最大值为，故选D．8.已知函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以函数的单调递减函数，又因为，即，所以由函数的单调性可得：，应选答案D。
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甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,,f：A→B是从A到B的一个映射，若f：x→2x－1，则B中的元素3的原象为（）A．－1B．1C．2D．32.已知集合，则集合＝（）A．B．C．D．3.下列选项错误的是（）A．命题“若，则．”的逆否命题为“若，则．”B．“”是“”的充分不必要条件C．命题：存在,使得，则：任意,都有D．若且为假命题，则、均为假命题4.函数f(x)＝的定义域是（）A．－∞，0]B．[0，＋∞C．（－∞，0）D．（－∞，＋∞）5.反函数是（）A．B．C．D．6.设a∈R，函数的导函数是，若是偶函数则曲线在原点处的切线方程为（）A．B．C．D．7.已知函数若，则的取值范围是（）A．B．或．C．．D．或．8.函数，已知在时取得极值，则= （）A．2B．3C．4D．59.设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能是 ( )10.对任意实数，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．11.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知函数在点处连续，则常数的值是（）2 3 4 5二、填空题1.=" " ．2.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为；3.函数的单调增区间是 .4.已知集合,且若则集合最多会有__ __个子集.三、解答题1.解不等式：2.关于的不等式在区间上有解，求的取值范围.3.已知函数 . (1) 求函数的定义域；(2) 求证在上是减函数；(3) 求函数的值域.4.袋中有个白球和个黑球，每次从中任取个球，每次取出黑球后不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数的分布列，并求出的期望值和方差.5.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式.6.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．（Ⅲ）求函数在上的最大值和最小值甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合,,f：A→B是从A到B的一个映射，若f：x→2x－1，则B中的元素3的原象为（）A．－1B．1C．2D．3【答案】C【解析】令故选C2.已知集合，则集合＝（）A．B．C．D．【解析】所以故选D3.下列选项错误的是（）A．命题“若，则．”的逆否命题为“若，则．”B．“”是“”的充分不必要条件C．命题：存在,使得，则：任意,都有D．若且为假命题，则、均为假命题【答案】D【解析】A、B、C正确。
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甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.“x＝3”是“x2＝9”的()．A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2.已知命题p：∃n∈N,2n＞1 000，则﹁p为()．A．∃n∈N,2n＜1 000B．∀n∈N,2n＞1 000C．∃n∈N,2n≤1 000D．∀n∈N,2n≤1 0003.函数的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称4.函数的单调递减区间是( )A．B．C．D．5.．函数的图象为()6.已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于 ()．A．B．2C．D．97.．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．8.．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()．A．是偶函数B．是奇函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数9.则a，b，c的大小关系是()．A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 10.．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为()．A．－1B．0C．1D．211.．已知是定义在R上的偶函数，且对于任意的R都有若当时，则有（）A．B．C．D．12.设奇函数在上是增函数，且，若对所有的都成立，当时，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.曲线y=x3在点（1，1）切线方程为___________________．2.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝____________________．3.若函数的零点个数为，则______．4.若函数定义域为R，则的取值范围是________．三、解答题1.(１０分)记f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)＝的定义域为集合N，求：(1)集合M、N；(2)集合M∩N，M∪N.2.(12分) 在区间[0,1]上的最大值为2，求的值．3.．(12分)飞机每飞行1小时的费用由两部分组成，固定部分为4900元，变动部分（元）与飞机飞行速度（千米∕小时）的函数关系式是，已知甲乙两地的距离为（千米）．（1）试写出飞机从甲地飞到乙地的总费用（元）关于速度（千米∕小时）的函数关系式；（2）当飞机飞行速度为多少时，所需费用最少？4.(12分)已知函数（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）求函数的单调区间与极值．5.(12分)已知函数（1）判断函数的奇偶性和单调性；（2）当时，有，求的取值范围．6.(12分)设函数．（1）求的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最小值．甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.“x＝3”是“x2＝9”的()．A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】因为“x＝3”是“x2＝9”的充分而不必要的条件，选A2.已知命题p：∃n∈N,2n＞1 000，则﹁p为()．A．∃n∈N,2n＜1 000B．∀n∈N,2n＞1 000C．∃n∈N,2n≤1 000D．∀n∈N,2n≤1 000【答案】D【解析】因为命题p：∃n∈N,2n＞1 000，则﹁p为∀n∈N,2n≤1 000选D3.函数的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称【答案】C【解析】因为，以—x,代x，-y代y，解析式不变，因此是关于原点对称，选C4.函数的单调递减区间是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数定义域为，然后结合复合函数内外单调性可知，单调递减区间为,选D5.．函数的图象为()【答案】B【解析】因为的图像关于直线x=1对称，因此可知排除,C，D，然后结合单调性，去掉绝对值可知选B 6.已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于 ()．A．B．2C．D．9【答案】B【解析】因为函数f(x)＝若f(f(0))＝4a=4+2a,2a=4,a=2,选B7.．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为，选A8.．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()．A．是偶函数B．是奇函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】因为点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是，那么函数是奇函数。
9.则a，b，c的大小关系是()．A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】因为选A10.．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为()．A．－1B．0C．1D．2【答案】C【解析】解：函数f（x）=-x2+4x+a=-（x-2）2+a+4∵x∈[0，1]，∴函数f（x）=-x2+4x+a在[0，1]上单调增∴当x=0时，f（x）有最小值f（0）=a=-2当x=1时，f（x）有最大值f（1）=3+a=3-2=1故选C．11.．已知是定义在R上的偶函数，且对于任意的R都有若当时，则有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因是定义在R上的偶函数，且对于任意的R都有，关于（1,0）对称，那么可知其周期为2，若当时，则有，选A12.设奇函数在上是增函数，且，若对所有的都成立，当时，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：若函数f（x）≤t2-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，由已知易得f（x）的最大值是1，∴1≤t2-2at+1⇔2at-t2≤0，设g（a）=2at-t2（-1≤a≤1），欲使2at-t2≤0恒成立，则g(-1)≤0,且g(1)≤0，所以t≥2或t=0或t≤-2．答案C二、填空题1.曲线y=x3在点（1，1）切线方程为___________________．【答案】【解析】因为曲线y=x3，则，故在点（1，1）切线方程的斜率为3，利用点斜式方程可知切线方程为2.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝____________________．【答案】[0,1)∪(3，＋∞)【解析】设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝[0,1)∪(3，＋∞)3.若函数的零点个数为，则______．【答案】4【解析】因为函数的零点个数为，则通过作图，利用图像y=a与图像的交点问题来分析得到 4.4.若函数定义域为R，则的取值范围是________．【答案】[－1,0]【解析】因为函数定义域为R，则，利用二次不等式的判别式可知，的取值范围是[－1,0]三、解答题1.(１０分)记f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)＝的定义域为集合N，求：(1)集合M、N；(2)集合M∩N，M∪N.【答案】(1)M＝{x|2x－3>0}＝{x|x≥3，或x<1}；(2)M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝或.【解析】本题考查对数函数、根式函数的定义域，交集、并集及其运算；是基础题．（1）对数的真数大于0求出集合M；开偶次方的被开方数非负且分母不等于0，求出集合N；（2）直接利用集合的运算求出集合M∪N，M∩N即可．解:(1)M＝{x|2x－3>0}＝{x|x≥3，或x<1}；(2)M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝或.2.(12分) 在区间[0,1]上的最大值为2，求的值．【答案】f(x)在区间[0,1]上的最大值为2时a＝或－6.【解析】本试题主要是考查了二次函数的在给定函数的区间上的最值。
需要对于函数对称轴与定义域的关系分类讨论得到结论。
分为三种情况来得到。
解:f(x)＝－2＋－＋.①当∈[0,1]，即0≤a≤2时，f(x)＝－＋＝2，max则a＝3或a＝－2，不合题意．②当＞1时，即a＞2时，f(x)＝f(1)＝2⇒a＝.max③当＜0时，即a＜0时，f(x)＝f(0)＝2⇒a＝－6.max综上，f(x)在区间[0,1]上的最大值为2时a＝或－6.3.．(12分)飞机每飞行1小时的费用由两部分组成，固定部分为4900元，变动部分（元）与飞机飞行速度（千米∕小时）的函数关系式是，已知甲乙两地的距离为（千米）．（1）试写出飞机从甲地飞到乙地的总费用（元）关于速度（千米∕小时）的函数关系式；（2）当飞机飞行速度为多少时，所需费用最少？【答案】(1)(2)当飞机的飞行速度为700千米/小时时费用最小.【解析】本题考查了由函数模型建立目标函数，利用基本不等式求函数最值的问题，属于中档题．（1）从甲地到乙地的飞行成本y（元）=每小时的燃料费用×时间+每小时其它费用×时间；（2）由（1）求得函数表达式，用基本不等式可求得最小值解：(1)每小时的费用为，飞行时间为小时所以总费用关于速度的函数关系为(2)当且仅当即时上式等号成立. 所以当飞机的飞行速度为700千米/小时时费用最小.4.(12分)已知函数（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）求函数的单调区间与极值．【答案】（1）,（2）函数在和上单调递增，在单调递减.函数的极大值为40,极小值为8.【解析】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的最值，应用导数的几何意义求切线时，注意点是否为切点。
（1）利用切点处得导数为切线的斜率，再根据过，从而可求切点的坐标，进一步可求切线的方程；（2）先确定函数的单调区间，再利用区间进行分类讨论，从而求出函数再区间上的极值．解：（1）而线在点处与直线相切，所以且由此得即,即（2）由（1）的所以随的变如下表：－↗极大值极小值↗又因为，所以函数在和上单调递增，在单调递减.函数的极大值为40,极小值为8.5.(12分)已知函数（1）判断函数的奇偶性和单调性；（2）当时，有，求的取值范围．【答案】解:(1)奇函数.增函数.（2）.【解析】本题主要考查了证明函数奇偶性的方法，利用函数单调性的定义证明函数单调性的方法步骤，代数变形能力和逻辑推理能力。
（1）先确定函数的定义域，再利用奇函数的定义，证明函数f（x）=-f（-x），从而函数为奇函数；（2）因为所以即,由(1)得为奇函数且是R上的增函数，进而解得。
解:(1)函数的定义域为R ,所以为奇函数.当时，单调递减所以单调递增;当时，单调递增所以单调递增.总上所述函数增函数.（2）因为所以即,由(1)得为奇函数且是R上的增函数所以由得即解得综上得所以的取值范围是.6.(12分)设函数．（1）求的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最小值．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）当时，；当时，【解析】本试题考查了函数的单调性和函数的最值的求解的综合运用。