随机过程(十四)-布朗运动共45页文档
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《随机过程》第5章-布朗运动
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随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例：设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������)，求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解： 景 由布朗运动定义可得：
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例：设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������)，求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解： 景 由布朗运动定义可得：
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
布朗运动
[ t / t ]
t 0
lim P{
X
i 1
i
c 2t
x}
x
1 2
e
x2 2
dx ( x )
即t0 时，X(t)~N(0，c2t)。 Brown 运动的定义是上述物理过程的数学描述。 在通常情况下， 可以仿照上述随机移动 模型对 Brown 运动进行计算机仿真。
第六章 Brown 运动、Wiener 过程、时间序列分析简介
Brown 运动、Wiener 过程简介
Brown 运动最初是由英国生物学家 Brown 于 1827 年根据观察花粉颗粒在液面上做“无 规则运动” 现象而提出的。 Brown 于 1905 年首次对这一现象的物理规律给出一种数学描述， 使这一课题有了长足的发展。在数学上的精确描述直到 1918 年才由 Wiener 给出。 Brown 运动作为具有连续参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最基本、最简单 同时又是最重要的随机过程，许多其他的随机过程可以看作是它的推广。
2 , 3 , )不存在直接的依存关系。显然，只要把 X t 对 X t 1 的直接依赖性，而 X t 与 X t j (j
X )自然就是独立的了。 X t 中依赖于 X t 1 的部分消除后，剩下的把部分 (X t 1 t 1
1.5 一阶自回归模型平稳性 首先, 为方便起见, 引进延迟算子的概念. 令
关性。 (5)普通回归模型，实质上是一种条件回归，而 AR(1)是无条件回归。 主要联系表现为： 固定时刻 t 1 ，且观察值 X t 1 已知时，AR(1)就是一个普通的一元线性回归模型了。
1.4 相关序列的独立化过程
这里 X t 是相关的，而我们所用的许多统计方法却都是以资料独立为基础的。如果我们直接 用以资料独立为基础的统计方法来处理相关的序列是不合理的。怎么办？我们来看式 (4.1.2)的另一种形式：
t 0
lim P{
X
i 1
i
c 2t
x}
x
1 2
e
x2 2
dx ( x )
即t0 时，X(t)~N(0，c2t)。 Brown 运动的定义是上述物理过程的数学描述。 在通常情况下， 可以仿照上述随机移动 模型对 Brown 运动进行计算机仿真。
第六章 Brown 运动、Wiener 过程、时间序列分析简介
Brown 运动、Wiener 过程简介
Brown 运动最初是由英国生物学家 Brown 于 1827 年根据观察花粉颗粒在液面上做“无 规则运动” 现象而提出的。 Brown 于 1905 年首次对这一现象的物理规律给出一种数学描述， 使这一课题有了长足的发展。在数学上的精确描述直到 1918 年才由 Wiener 给出。 Brown 运动作为具有连续参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最基本、最简单 同时又是最重要的随机过程，许多其他的随机过程可以看作是它的推广。
2 , 3 , )不存在直接的依存关系。显然，只要把 X t 对 X t 1 的直接依赖性，而 X t 与 X t j (j
X )自然就是独立的了。 X t 中依赖于 X t 1 的部分消除后，剩下的把部分 (X t 1 t 1
1.5 一阶自回归模型平稳性 首先, 为方便起见, 引进延迟算子的概念. 令
关性。 (5)普通回归模型，实质上是一种条件回归，而 AR(1)是无条件回归。 主要联系表现为： 固定时刻 t 1 ，且观察值 X t 1 已知时，AR(1)就是一个普通的一元线性回归模型了。
1.4 相关序列的独立化过程
这里 X t 是相关的，而我们所用的许多统计方法却都是以资料独立为基础的。如果我们直接 用以资料独立为基础的统计方法来处理相关的序列是不合理的。怎么办？我们来看式 (4.1.2)的另一种形式：
布朗运动课件课件
3、温度越高，越剧烈。微粒越小，越剧烈。
三、分子的热运动 由扩散现象、布朗运动
温度越高，分子运动越剧烈
热运动：分子的运动与温度有关，分子运动叫做热运动。
热运动 = 分子运动
布朗运动不 是一种热运动，它可以反映热运动。 四、分子的动能 所有运动的物体都具有 能不同
2019SUCCESS
THANK YOU
2019/5/24
9-2.分子的热运动
一、物体内的分子总是做永不停息的无规则运动。 例证一：扩散现象 例证二：布朗运动
二、布朗运动 现象：用显微镜观察到微粒（由大量分子组成） 在液体中做永不停息无规则运动。 成因：微粒在液体中受到分子对它不平衡的撞击力。 在这一无规则的作用力下，微粒作无规则运动。 特点：1、布朗运动本质上是一种微粒（不是分子）运动 它生动地反映了液体分子是运动的。 2、布朗运动是一种永不停息的无规运动。
平均动能
温度 决定 平均动能 温度是分子平均动能的标志
五、热力学第三定律： 在宇宙中温度的下限：—273.15℃
热力学温标: T= 273.15 + t (K)
热力学零度不可达到(热力学第三定律)
总结
铅
铅
几年后
金
金
固体的扩散
分子是运动的
2019SUCCESS
POWERPOINT
2019/5/24
三、分子的热运动 由扩散现象、布朗运动
温度越高，分子运动越剧烈
热运动：分子的运动与温度有关，分子运动叫做热运动。
热运动 = 分子运动
布朗运动不 是一种热运动，它可以反映热运动。 四、分子的动能 所有运动的物体都具有 能不同
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9-2.分子的热运动
一、物体内的分子总是做永不停息的无规则运动。 例证一：扩散现象 例证二：布朗运动
二、布朗运动 现象：用显微镜观察到微粒（由大量分子组成） 在液体中做永不停息无规则运动。 成因：微粒在液体中受到分子对它不平衡的撞击力。 在这一无规则的作用力下，微粒作无规则运动。 特点：1、布朗运动本质上是一种微粒（不是分子）运动 它生动地反映了液体分子是运动的。 2、布朗运动是一种永不停息的无规运动。
平均动能
温度 决定 平均动能 温度是分子平均动能的标志
五、热力学第三定律： 在宇宙中温度的下限：—273.15℃
热力学温标: T= 273.15 + t (K)
热力学零度不可达到(热力学第三定律)
总结
铅
铅
几年后
金
金
固体的扩散
分子是运动的
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2019/5/24
布朗运动的计算详细版.ppt
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
随机过程(十四)-布朗运动
如果＝1，则称为标准布朗运动。
注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为 始于x的布朗运动，记为Bx(t) 。
Brown运动的另一种定义
Brown运动是具有如下性质的随机过程 {B(t), t≥0}： （1）正态增量性：B(t ) B(s) ~ N (0, t s), t s （2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的 过去状态B(u), 0≤u≤s。 （3）路径的连续性: B(t)是t的连续函数。
( y x )2 2t
ft ( y x)
P{B(t1 ) x1 , , B(tn ) xn } P{B(tn ) xn | B(ti ) xi ,1 i n 1}P{B(ti ) xi ,1 i n 1} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(tn 2 ) xn 2 ) P{B(t2 ) x2 | B(t1 ) x1}P( B(t1 ) x1 ) pt1 (0, y1 )dy1 pt2 t1 ( x1 , y2 )dy2 ptn tn1 ( xn 1 , yn )dyn
Brown运动
随机游动
设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内 等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t) 记时刻t粒子的位置，则
X (t ) Dx( X1 X[t / Dt ] )
其中
1 如果第i步向右 Xi ， X i 相互独立 1 如果第i步向左 1 P( X i 1) P( X i 1) , E ( X i ) 0, var( X i ) 1 2
布朗运动理论简介
(12)
f (x1 , x2," , xn ) = ⎧ 1 ⎡x 2 (x − x )2 ⎫ (x − xn−1)2 ⎤ 1 ⎪ ⎪ ⎥ exp ⎨ − ⎢ 1+ 2 +" + n ⎬ (7) ⎢ ⎥ t t t t t 2 − − ⎭ n n−1 2 1 ⎩ ⎣ 1 ⎦ ⎪ ⎪ (2π)n / 2[t1(t2 − t1)"(tn − tn−1)]1/ 2
连续,在 t > 0 连续,
3 布朗运动的变形形式
O
X(t) 的任一样本函数 x(t) 在 t > 0 连续,但
却处处不可导(图 2).
t
布朗运动的变形可以导出其他的随机过程,他们 有各自特定的性质,在数学建模中也有广泛的应用,设
图 2 X(t) 的一个样本函数
X(t) 是标准的布朗运动,下面是布朗运动常用的一些
t > 0 时刻开始,每隔 ∆t 时间,粒子等概率的向左或者
向右移动大小为 ∆ x 距离 , 设 t 时 刻粒子的位置为 X(t) , 则 X(t) 可 以表示为
←⎯⎯⎯ → O
p = 1/ 2
x
图1
随机游走
X(t) =∆ x(X 1 + X 2 + " + X[t /∆ t ])
(1)
f (x, t) =
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
f (x1 , x2," , xn ) = ⎧ 1 ⎡x 2 (x − x )2 ⎫ (x − xn−1)2 ⎤ 1 ⎪ ⎪ ⎥ exp ⎨ − ⎢ 1+ 2 +" + n ⎬ (7) ⎢ ⎥ t t t t t 2 − − ⎭ n n−1 2 1 ⎩ ⎣ 1 ⎦ ⎪ ⎪ (2π)n / 2[t1(t2 − t1)"(tn − tn−1)]1/ 2
连续,在 t > 0 连续,
3 布朗运动的变形形式
O
X(t) 的任一样本函数 x(t) 在 t > 0 连续,但
却处处不可导(图 2).
t
布朗运动的变形可以导出其他的随机过程,他们 有各自特定的性质,在数学建模中也有广泛的应用,设
图 2 X(t) 的一个样本函数
X(t) 是标准的布朗运动,下面是布朗运动常用的一些
t > 0 时刻开始,每隔 ∆t 时间,粒子等概率的向左或者
向右移动大小为 ∆ x 距离 , 设 t 时 刻粒子的位置为 X(t) , 则 X(t) 可 以表示为
←⎯⎯⎯ → O
p = 1/ 2
x
图1
随机游走
X(t) =∆ x(X 1 + X 2 + " + X[t /∆ t ])
(1)
f (x, t) =
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
布朗运动的计算ppt课件
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
分数布朗运动
分数布朗运动分数布朗运动，又称分数阶布朗运动，是一种具有分数阶微积分的随机过程。
它与经典的布朗运动相比，具有更多的自由度和能够刻画更加复杂的现象。
在实际中，分数布朗运动被广泛应用于金融、物理、生物等领域，成为研究非平稳性现象的重要工具。
首先，我们来介绍一下经典的布朗运动。
布朗运动是一种随机过程，其特点在于其轨迹是随机的、连续的，但具有不可导的性质。
根据中心极限定理，对于布朗运动的任何时刻$t$，其增量 $\Delta B_t$ 满足正态分布，即 $\Delta B_t \sim N(0, \sqrt{t})$。
其中，$N$ 表示正态分布，$\sqrt{t}$ 表示时间步长。
布朗运动在物理、化学、金融等领域广泛应用，例如股票价格波动、大气颗粒的扩散以及分子的随机运动。
然而，经典的布朗运动假设了时间序列的增量是具有零均值和方差的正态分布，这远远不足以刻画很多实际现象的复杂性。
例如，金融市场中的波动往往包含许多长尾，这远远不符合正态分布的假设。
另一方面，物理、生物领域中，很多过程都表现出非稳定性的特点，例如非马尔可夫性和长记忆性，传统的布朗运动无法很好地刻画这些复杂特性。
分数布朗运动的出现，解决了以上问题。
其轨迹可以看作具有随机长程依赖的平稳过程，其增量可以写成如下形式：$\Delta B_t =\frac{1}{\Gamma(\alpha +\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{\infty}(B_{t+x}-B_t)\frac{dx}{|x|^{\alpha + \frac{3}{2}}}$。
其中，$\Gamma$ 表示欧拉-伽马函数，$\alpha$ 表示分数阶参数，$B_t$ 表示分数布朗运动的轨迹。
这个式子中的积分，描述了长时刻间的记忆和信号的依赖性。
分数布朗运动的一个重要特点，就是具有长记忆性和非马尔可夫性。
长记忆性表示，过去的状态会对当前的状态产生影响，这是由分数阶微积分导致的。