第3章 流体动力学(1.2.3)
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流体力学3章讲稿
Chapter 3 流体动力学积分形式的基本方程流体动力学用欧拉法研究流体运动与所受外力的关系，功能守衡关系。
§3.1 拉格朗日型基本方程（理论力学质点系基本方程）1) 连续方程：一个确定的质点系, 质量守恒。
数学表达式 0=dtdm2)动量方程：质点系动量对时间的变化率等于作用在该系统上的合外力数学表达式 F K∑=dtd ⎰⎰⎰⎰⎰+=ττρdA d A n p f3)动量矩方程：质点系对某点的动量矩对时间的变化率等于作用在系统上的所有外力对同一点的力矩代数和。
数学表达式 dtd oM ⎰⎰⎰⎰⎰⨯+⨯=ττρdA d A n p r f r4)能量方程：单位时间内由外界传给质点系的热量Q 与外力对质点系所作的功W 之和, 等于系统的总能量E 对于时间的变化率。
数学表达式 =+W Q dt dE ⎰⎰⎰+=ττρd V e dtd)2(2 因 ⎰⎰⎰+⎰⎰=τλτρd q dA q Q R A 传导热 辐射热 ⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⋅=A n dA d W V p V f τρτ 质量力功率 表面力功率即=⎰⎰⎰+ττρd V e dt d )2(2⎰⎰⎰+⎰⎰τλτρd q dA q R A ⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⋅+A n dA d V p V f τρτ 拉格朗日型积分形式的能量方程§3.2 欧拉型基本方程利用输运公式 ⎰⎰⎰0ττφd dt d ＝⎰⎰⎰∂∂ττφd t+dA A )(n V ⋅⎰⎰φ或⎰⎰⎰0ττφd dt d ＝⎰⎰⎰∂∂ττφd t-dA V n A 入入⎰⎰φ+dA V n A 出出⎰⎰φ和拉格朗日型的积分方程转换得到3.2.1 连续方程令输运公式中Φ＝ρ,代入拉氏型连续方程得dt dm =0⎰⎰⎰=0ττρd dt d＝⎰⎰⎰∂∂ττρd t +dA A )(n V ⋅⎰⎰ρ即 -=⎰⎰⎰∂∂ττρd t dA A )(n V ⋅⎰⎰ρ 欧拉型连续方程或 =⎰⎰⎰∂∂ττρd tdA V n A 入入⎰⎰ρdA V n A 出出⎰⎰-ρ物理意义：控制体内质量的增加速率, 等于通过控制面A 流入的质量(流入-流出)的代数和。
第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
第三章一元流体动力学基础
2
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
工程流体力学 - 第3章 - M
2 、 水力半径 Rh ：在总流的过流断面上与流
体相接触的固体边壁周长称为湿周，用χ表 示。总流过流断面面积与湿周χ之比称为水 力半径R，即
R
A
3、当量直径de=4Rh
五、流量与平均流速
1、流量
单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。 流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量 分别是体积流量qv (m3/s)、质量流量qm (kg/s)和重量 流量Qg(N/s)。
v1 A1 v 2 A 2 q v
上式为一维流动连续性方程。
§3.6理想流体一维稳定流动的伯努里方程 一、欧拉方程
如图,在微元流管中 取一圆柱流体微团, 考察理想流体在重 力场中的一维流动。
轴向长度：δs,
端面面积：δA,
端面⊥轴线,
侧面∥轴线。
流体微团受力分析： 方向：垂直向下
质量力：重力，大小：ρgδAδs 表面力：
一.拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个 流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质 点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。 设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。 流体质点的空间位置、密度、压强和温度 可表示为： r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
第三章 流体动力学
流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动 规律，是流体力学的一个组成部分。 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉
法），结合迹线，流线，流体线等显示流动特性 的曲线图谱研究流动特性。
掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程， 能量守恒方程动量定理，动量矩定理，重点是关 于控制体的欧拉型方程。
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
工程流体力学
§1.1 流体的定义
一、流体特征（续）
液体与气体的区别 液体的流动性小于气体； 液体具有一定的体积，并取容器的形状； 气体充满任何容器，而无一定体积。
流体的定义
流体是一种受任何微小的剪切力作用时，都 会产生连续变形的物质。 流动性是流体的主要特征。
§1.2 连续介质假说
微观：流体是由大量作无规则热运动的分子所组成， 分子间存有空隙，在空间上是不连续的。
在通常情况下，一个很小的体积内流体的分子数量极多；
例如，在标准状态下，1mm3体积内含有2.69×1016个气体分 子，分子之间在10-6s内碰撞1020次。
宏观：流体力学研究流体的宏观机械运动，研究的是 流体的宏观特性，即大量分子的平均统计特性。 结论：不考虑流体分子间的间隙，把流体视为由无 数连续分布的流体微团组成的连续介质。
1686年牛顿（Newton,I.）发表了名著《自然哲学的数学原理》 对普通流体的黏性性状作了描述，即现代表达为黏性切应力 与速度梯度成正比—牛顿内摩擦定律。为了纪念牛顿，将黏 性切应力与速度梯度成正比的流体称为牛顿流体。 18世纪～ 19世纪，流体力学得到了较大的发展，成为独立的一门学科。 古典流体力学的奠基人是瑞士数学家伯努利(Bernoulli，D．) 和他的亲密朋友欧拉(Euler，L.)。1738年，伯努利推导出了 著名的伯努利方程，欧拉于17 55年建立了理想流体运动微分 方程，以后纳维(Navier,C .-L.-M.-H.)和斯托克斯(Stokes， G．G．)建立了黏性流体运动微分方程。拉格朗（Lagrange）、 拉普拉斯(Laplace)和高斯(Gosse)等人，将欧拉和伯努利所 开创的新兴的流体动力学推向完美的分析高度。但当时由于 理论的假设与实际不尽相符或数学上的求解困难，有很多疑 不能从理论上给予解决。
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标（a,b,c）
运动要素 为流体质点标志和时间的函数
拉氏法的运动描述
流体质点坐标： x x(a,b, c,t)
y
y(a,
b,
c,
t)
z z(a,b, c,t)
流体质点速度：
vx
ddxt ，vy
dy dt
，vz
dz dt
流体质点加速度： ax
d2 dt
x
2
，a
y
d2 dt
y
2
，az
d2z dt 2
2. 研究流体运动的两种方法
（2）欧拉法——站岗法
方法概要 考察空间每一点上的物理量及其变化，通过 综合流场中所有空间点上流体质点的运动变 化规律，来获得整个流场的运动特性的方法
研究对象
流场 （x,y,z）
运动要素 为流场空间位置和时间的函数
欧氏法的运动描述
流速场： 在某一瞬时，占据不同空间点的
特点：随空间和时间变化 彼此存在本质联系
➢ 流场：充满运动的连续流体的空间称为流场
2. 研究流体运动的两种方法
（1）拉格朗日法——跟踪法
方法概要 跟踪研究单个流体质点的运动规律，通过综 合所有质点的运动情况，进而获得整体运动 规律的方法
研究对象 （流体质点） 区分流体质点的标志： t0时刻质点的位置坐
考虑机械或仪器中气体 平衡处处相等,仪器压强 表可以安装在不同位置
第三章 流体动力学及其 工程应用
➢本章是本课程最重要的一章 ➢描述流体的运动学 ➢建立流体运动的基本方程
引论
▪ 静力学：相对静止流体，质点之间无运动，粘性没有
表现，涉及参数只是压强
▪ 自然界：大多数是运动流体——质点发生相对运动 ▪ 动力学：流体运动破坏了压力和质量力的平衡，出现
dz dt
a y
v y t
v y x
dx v y dt y
dy v y dt z
dz dt
a
z
vz t
vz x
dx vz dt y
dy vz dt z
dz dt
（3）两种方法的比较
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂
不能直接反映参数的空间分布 拉格朗日观点是重要的
欧拉法
流体质点都有一定的速度，由这 些速度矢量构成的矢量场
vx vx (x, y, z,t) vy vy (x, y, z,t) vz vz (x, y, z,t)
压强场： p p(x, y, z,t)
密度场： (x, y, z,t)
选定时间t : 物理 量在流场空间分 布情况 固定（x,y,z）:关 心的是t时刻经过 此位置的流体质 点所具有的物理 性质，并不关心 到底是哪个流体 质点经过了这里
复习第一节 静止流体的应力特征
（2） 大小性
流体静压力与作用面在空间方位无关，仅是该点位置坐标的函数。
证明：取微小四面体O-ABC
表面力 Px Py Pz Pn
质量力 Fx Fy Fz F 0
Fx 0 Px Pn cos(n,x) Fx 0
px
1 dydz 2
pnABC cos(n,x)
质量力：
Fx Xdxdydz
F 0
P左 P右 Fx 0
复习第二节 流体的平衡微分方程
p 1 p dx dydz p 1 p dx dydz Xdxdydz 0
2 x
2 x
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
X 1 p 0
x
（1）
同理
Y 1 p 0
y
（2）
dx 0 略去无穷小项
px py pz pn
pz
pn
fz
1 dz 3
0
p f (x, y, z) 与位置有关
静压强不是一个矢量，而是一个标量。 静压强全微分为：
dp
p dx p dy p dz x y z
复习第二节 流体的平衡微分方程
1.流体平衡微分方程
平衡流体中取一边长分别为dx、dy、dz的六面体微团， 中心点压强为p,对左右分别进行受力分析，
同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单
直接反映参数的空间分布 流体力学最常用的解析方法
（4）两种方法的关系
拉格朗日法到欧拉法
fx
1 dxdydz 6
0
1 dydz 2
复习第一节 静止流体的应力特征
（2） 大小性
流体静压力与作用面在空间方位无关，仅是该点位置坐标的函数。
px
1 2
dydz
pn
dAcos(n,x)
fx
ρ
1 6
dxdydz
0
px
pn
fx
1 dx 3
0
p
y
pn
fy
1 dy 3
0
px
pn
fx
1 dx 3
0
由泰勒展开，取前两项： f
(x)=f (x0 )+f '(x0) (x-x0)+
f
''
(x0 2
)
(x-x0
)2
+
f
n (x0 n!
)
(x-x0
)
n
M (x+ dx , y, z) : 2
P右
p
1 2
p dx dydz x
N (x- dx , y, z) : 2
P左 p 1 p dx dydz 2 x
其他物理量（N）场： N N(x, y, z,t)
欧氏法中物理量的时间变化率
加速度： vx (x, y, z,t) xt, yt, z t
ax
dvx dt
vx t
vx x
dx vx dt y
dy vx dt z
dz dt
a x
vx t
vx x
dx vx dt y
dy vx dt z
了和流速密切相关的惯性力和粘性力 流体有旋否、稳定否… 运动规律复杂
▪ 解决法：首先按理想处理（无粘性作用、内摩擦作
用），求运动规律，再通过实验进行修正，得到与实 际相符的规律
第一节 流体运动要素及 研究流体运动的方法
1.流体运动要素
——研究运动规律需要确定的物理量 ➢ 要素：速度、加速度、压强、密度和作用力等
复习第一节 流体静压强及其特征
1. 流体静压强定义（法向压应力）：
作用在静止流体单位面积上的应力
P1
P2 P3
Ⅰ
A
B
Ⅱ
m
p lim P
A0 A
P4
P5
▪单位：Pa——压强特征
复习第一节 静止流体的应力特征▪ 2来自静压强特征（1） 方向性
流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向； 反证法
原因:(1)静止流体没有承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面； (2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。
Z 1 p 0
z
（3）
f
1
p
0
——欧拉平衡微分方程
复习第二节 流体的平衡微分方程
▪ 适用范围：静止和相对静止的流体 压缩和不可压缩，有粘性和无粘性
质量力
Z 1 p
z
表面力
▪ 物理意义: 质量力和表面力的合力相互平衡结果
特例：如质量力为零 X Y Z 0
dp 0
流体中的静压强处处相等
运动要素 为流体质点标志和时间的函数
拉氏法的运动描述
流体质点坐标： x x(a,b, c,t)
y
y(a,
b,
c,
t)
z z(a,b, c,t)
流体质点速度：
vx
ddxt ，vy
dy dt
，vz
dz dt
流体质点加速度： ax
d2 dt
x
2
，a
y
d2 dt
y
2
，az
d2z dt 2
2. 研究流体运动的两种方法
（2）欧拉法——站岗法
方法概要 考察空间每一点上的物理量及其变化，通过 综合流场中所有空间点上流体质点的运动变 化规律，来获得整个流场的运动特性的方法
研究对象
流场 （x,y,z）
运动要素 为流场空间位置和时间的函数
欧氏法的运动描述
流速场： 在某一瞬时，占据不同空间点的
特点：随空间和时间变化 彼此存在本质联系
➢ 流场：充满运动的连续流体的空间称为流场
2. 研究流体运动的两种方法
（1）拉格朗日法——跟踪法
方法概要 跟踪研究单个流体质点的运动规律，通过综 合所有质点的运动情况，进而获得整体运动 规律的方法
研究对象 （流体质点） 区分流体质点的标志： t0时刻质点的位置坐
考虑机械或仪器中气体 平衡处处相等,仪器压强 表可以安装在不同位置
第三章 流体动力学及其 工程应用
➢本章是本课程最重要的一章 ➢描述流体的运动学 ➢建立流体运动的基本方程
引论
▪ 静力学：相对静止流体，质点之间无运动，粘性没有
表现，涉及参数只是压强
▪ 自然界：大多数是运动流体——质点发生相对运动 ▪ 动力学：流体运动破坏了压力和质量力的平衡，出现
dz dt
a y
v y t
v y x
dx v y dt y
dy v y dt z
dz dt
a
z
vz t
vz x
dx vz dt y
dy vz dt z
dz dt
（3）两种方法的比较
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂
不能直接反映参数的空间分布 拉格朗日观点是重要的
欧拉法
流体质点都有一定的速度，由这 些速度矢量构成的矢量场
vx vx (x, y, z,t) vy vy (x, y, z,t) vz vz (x, y, z,t)
压强场： p p(x, y, z,t)
密度场： (x, y, z,t)
选定时间t : 物理 量在流场空间分 布情况 固定（x,y,z）:关 心的是t时刻经过 此位置的流体质 点所具有的物理 性质，并不关心 到底是哪个流体 质点经过了这里
复习第一节 静止流体的应力特征
（2） 大小性
流体静压力与作用面在空间方位无关，仅是该点位置坐标的函数。
证明：取微小四面体O-ABC
表面力 Px Py Pz Pn
质量力 Fx Fy Fz F 0
Fx 0 Px Pn cos(n,x) Fx 0
px
1 dydz 2
pnABC cos(n,x)
质量力：
Fx Xdxdydz
F 0
P左 P右 Fx 0
复习第二节 流体的平衡微分方程
p 1 p dx dydz p 1 p dx dydz Xdxdydz 0
2 x
2 x
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
X 1 p 0
x
（1）
同理
Y 1 p 0
y
（2）
dx 0 略去无穷小项
px py pz pn
pz
pn
fz
1 dz 3
0
p f (x, y, z) 与位置有关
静压强不是一个矢量，而是一个标量。 静压强全微分为：
dp
p dx p dy p dz x y z
复习第二节 流体的平衡微分方程
1.流体平衡微分方程
平衡流体中取一边长分别为dx、dy、dz的六面体微团， 中心点压强为p,对左右分别进行受力分析，
同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单
直接反映参数的空间分布 流体力学最常用的解析方法
（4）两种方法的关系
拉格朗日法到欧拉法
fx
1 dxdydz 6
0
1 dydz 2
复习第一节 静止流体的应力特征
（2） 大小性
流体静压力与作用面在空间方位无关，仅是该点位置坐标的函数。
px
1 2
dydz
pn
dAcos(n,x)
fx
ρ
1 6
dxdydz
0
px
pn
fx
1 dx 3
0
p
y
pn
fy
1 dy 3
0
px
pn
fx
1 dx 3
0
由泰勒展开，取前两项： f
(x)=f (x0 )+f '(x0) (x-x0)+
f
''
(x0 2
)
(x-x0
)2
+
f
n (x0 n!
)
(x-x0
)
n
M (x+ dx , y, z) : 2
P右
p
1 2
p dx dydz x
N (x- dx , y, z) : 2
P左 p 1 p dx dydz 2 x
其他物理量（N）场： N N(x, y, z,t)
欧氏法中物理量的时间变化率
加速度： vx (x, y, z,t) xt, yt, z t
ax
dvx dt
vx t
vx x
dx vx dt y
dy vx dt z
dz dt
a x
vx t
vx x
dx vx dt y
dy vx dt z
了和流速密切相关的惯性力和粘性力 流体有旋否、稳定否… 运动规律复杂
▪ 解决法：首先按理想处理（无粘性作用、内摩擦作
用），求运动规律，再通过实验进行修正，得到与实 际相符的规律
第一节 流体运动要素及 研究流体运动的方法
1.流体运动要素
——研究运动规律需要确定的物理量 ➢ 要素：速度、加速度、压强、密度和作用力等
复习第一节 流体静压强及其特征
1. 流体静压强定义（法向压应力）：
作用在静止流体单位面积上的应力
P1
P2 P3
Ⅰ
A
B
Ⅱ
m
p lim P
A0 A
P4
P5
▪单位：Pa——压强特征
复习第一节 静止流体的应力特征▪ 2来自静压强特征（1） 方向性
流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向； 反证法
原因:(1)静止流体没有承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面； (2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。
Z 1 p 0
z
（3）
f
1
p
0
——欧拉平衡微分方程
复习第二节 流体的平衡微分方程
▪ 适用范围：静止和相对静止的流体 压缩和不可压缩，有粘性和无粘性
质量力
Z 1 p
z
表面力
▪ 物理意义: 质量力和表面力的合力相互平衡结果
特例：如质量力为零 X Y Z 0
dp 0
流体中的静压强处处相等