高一下学期数学期末考试难点总结及详解

高一（下）补充作业3
班学号 姓名
1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B.
(1) 求cos B 的值；
(2)若|CA →－CB →|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.
解： (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C
，C cos B ＋b cos C ＝3a cos B ，得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B ，(3分)
则有3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A.(5分)
又A ∈(0，π)，则sin A>0，(6分)
则cos B ＝13
.(7分) (2) 因为B ∈(0，π)，则sin B>0，sin B ＝
1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132
＝223.(9分) 因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝2，(10分)
所以S ＝12ac sin B ＝12a ×2×223
＝22，得a ＝3.(12分) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13
＝9，则b ＝3.(14分) 2、在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向量 m ＝ (a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .
(1)求角 C 的大小；
(2)若 c ＝ 3, 求 △ABC 的周长的取值范围．
解： (1)由m ∥n 及m ＝(a ，sin A － sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )
得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得：a ⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c )⎝⎛⎭⎫c 2R －b 2R ＝0， 所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，
由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab co C ，
所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C ，(5分) 因为ab >0，所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3
.(7分) (2)在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3
＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9.(9分) 所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以
3（a ＋b ）24≤9， 即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，(12分)
又因为a ＋b >c ，所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋23，
所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分)
3、已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，∠B 的平分线BN 所在直线方程为250x y --=，求：
（Ⅰ）顶点B 的坐标；
（Ⅱ）直线BC 的方程
解:（Ⅰ）设()00,B x y ，则AB 中点坐标为：0051,22x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 005125022
x y ++∴⨯--=，即：00210x y --= 又00250x y --=，解得：01x =-，03y =-
()1,3B ∴--
（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y ''' 则125512502
2y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-'''⋅-=⎩'⎪，解得：293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭ BC ∴边所在的直线方程为：()33
5312915y x -++=++，
即：617450x y --=
4、已知函数()211f x x x =-+-．
（Ⅰ）求不等式()4f x ≤的解集；
（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=
时，求的最大值．
分析：（Ⅰ）通过12
x =
和1x =两个点进行分段，分别在三段范围内进行讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12a b c ++=
；法一：设x y z ===，利用222xy x y ≤+，可得2228xy yz zx ++≤，从而推得()2
12x y z ++≤，求得最大值； 法二：
=，利用22x y xy +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
可得4442121213332222a b c ⎫++++++⎪≤++⎪ ⎪⎝⎭
，从而求得最大值；
法三：构造出柯西不等式的形式
()()222222111++⨯++，
从
而得到)2
11121++≤，从而求得最大值. 解：（Ⅰ）①当12
x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤< ②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112
x ∴≤< ③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤
综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知()132,21,12
32,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
min 2
2又*,,a b c R ∈且12
a b c ++= 则2221a b c ++=
，设x y z =
== 222x y xy +≥ 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++
同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++
2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=
()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=
x y z ∴++≤
≤当且仅当16
a b c ===
时取得最大值法二：由（Ⅰ）可知()132,21,12
32,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
()min 12
f x ∴=即12m = 又*,,a b c R ∈且12
a b c ++=
=
444212121333222a b c ⎫++++++⎪≤++⎪ ⎪⎝⎭
当且仅当16
a b c ==
=时取得最大值法三：由（Ⅰ）可知()132,21,12
32,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
min 2
212
a b c ∴++= 2121214a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知：
()(
))2222
222111111++⨯++≥++
即：)211121++≤
≤
当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===
时，取得最大值。