用机械能守恒定律求解连接体问题
专题动能定理和机械能守恒定律综合应用连接体问题和链条问题
9 专题：动能定理和机械能守恒定律综合应用连接体和链条问题[学习目标]1. 知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的方法异同2. 能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合题目．3. 会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.4. 会分析处理链条类机械能守恒问题一、机械能的变化量ΔE 与其他力做功的关系质量为m 的物块在竖直向上的恒力F 的作用下由静止向上加速运动了h ，此过程恒力F 做功多少，物块机械能变化了多少？(空气阻力不计，重力加速度为g ) 【答案】 恒力F 做功W F ＝Fh . 对物块，由动能定理得Fh －mgh ＝12mv 2物块机械能的变化量ΔE ＝12mv 2＋mgh ＝Fh故物块机械能增加Fh .二、多物体组成的系统机械能守恒问题1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移，则系统的机械能守恒． 2．机械能守恒定律表达式的选取技巧① 当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式E k1＋E p1＝E k2＋E p2或ΔE k ＝－ΔE p 来求解． ② 当研究对象为两个物体组成的系统时：a.若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔE k ＝－ΔE p 来求解．b. 若A 物体的机械能增加，B 物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔE A ＝－ΔE B 来求解．c.从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用ΔE 减＝ΔE 增来列式．d. 注意寻找连接各物体间的速度关系的连接物，如绳子、杆或者其他物体，然后在寻找几个物体间的速度关系和位移关系。
3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh 的关系．三、连接体问题解题思路与技巧1．不含弹簧的系统机械能守恒问题①对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．③多个物体组成的系统，应用机械能守恒时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，再用ΔE增＝ΔE减(系统内一部分增加的机械能和另一部分减少的机械能相等)解决问题．2．含弹簧的系统机械能守恒问题①通过其他能量求弹性势能，根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．②对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．③物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．知识点一：动能定理和机械能守恒定律的比较动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程．【探究重点】【例题精讲】1.（2022届·河北省唐山市高三上学期期末）如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接置于粗糙水平面的物块。
机械能守恒定律-连接体问题)
（mA+mB ） v 2 + mAg（H−h）= 2 mAgh = mB =
所以：
1 2 1 2
√
2H 4H B． 5 C． 5 1H DFra bibliotek3vh
mA v
2 5
2
mA
H
h =
机械能守恒定律应用
机械能守恒定律的表达形式：
1、E1=E2 （ E1、E2初末态机械能）
2、ΔEP减=ΔEK增 （减少等于增加量）
3、ΔEA减=ΔEB增（A机械能减少等于B增量）
例1 在光滑的水平桌面上有一质量为 M的小车，小车与绳的一端相连，绳子 的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m 的砝码相连，砝码到地面的高度为h， 由静止释放砝码，则当其着地前的一 瞬间（小车未离开桌子）小车的速度 为多大？
L · 2
=
gL 2
1 2
mv 2
L 2
v
∴ v=
√
例3 一粗细均匀的U形管内装有同种液 体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部 分气体，左管口开口，两液面高度差为 h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板， 液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时， 右侧液面下降的速度大小为多少？A
h
解：根据机械能守恒定律得:
Mgh−mgh = 1 （M+m）v2 2
解得：
v=
1 2
√
2(M−m)gh M+m
（2）M触地，m做竖直上抛运动，机械能守恒：
mv2 = mgh´
∴ m上升的总高度： H = h+h´ = 2Mh M+m
练习：固定的三角形木块，倾角θ=30°， 一细线两端分别与物块A和B连接，A的质 量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地 面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而 B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿 斜面下滑S距离后，细线突然断了。求物块 B上升的最大高度H。
用机械能守恒定律解决连接体问题
用机械能守恒定律解决连接体问题1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE 1＝－ΔE 2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．例1 如图1所示，左侧为一个半径为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1＞m 2.开始时m 1恰在碗口水平直径右端A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．图1(1)求小球m 2沿斜面上升的最大距离s ；(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2.(结果保留两位有效数字) 当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开．答案 (1)2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)1.9 解析 (1)设重力加速度为g ，小球m 1到达最低点B 时，m 1、m 2速度大小分别为v 1、v 2 如图所示，由运动的合成与分解得v 1＝2v 2对m 1、m 2组成的系统由机械能守恒定律得m 1gR －m 2gh ＝12m 1v 12＋12m 2v 22 h ＝2R sin 30°联立以上三式得v 1＝ 22m 1－2m 22m 1＋m 2gR ，v 2＝ 2m 1－2m 22m 1＋m 2gR 设细绳断开后m 2沿斜面上升的距离为s ′，对m 2由机械能守恒定律得m 2gs ′sin 30°＝12m 2v 22 小球m 2沿斜面上升的最大距离s ＝2R ＋s ′ 联立以上两式并代入v 2得s ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2R ＝2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)对m 1由机械能守恒定律得： 12m 1v 12＝m 1g R 2代入v 1得m 1m 2＝22＋12≈1.9.。
机械能守恒定律在连接体问题中的应用
H = h+h´ = 2Mh M+m
m M
机械能守恒定律及其应用
例思考 2. 1：M下降的高度和m上升的高度是否相等？
•如图，两物体的质量分别为M和m（M>m），用细绳 连接后跨接在半径为 R的固定光滑半圆柱上（离地面有 思考2： m对圆柱体顶端的压力为零条件是什 足够高的距离），两物体刚好位于其水平直径的两端 么？ ，释放后它们由静止开始运动， 思考 3：若v满足上问条件，且m在最高点时绳 （ 1） m在最高点时的速度大小？ 子刚好断裂，则 m运动情况如何？ （2）当 m和M的比值为多大时， m对圆柱体顶端的压力为零？ 思考4：若m在最高点时绳子刚好断裂，且m的速 度不足以使m做平抛运动，则m运动情况如何？
机械能守恒定律及其应用
机械能
动能和势能统称为机械能
机械能守恒条件
在只有 重力 或 弹力 做 功的物体系统内， 动能 与 势能 可 以相互转化，而 总的机械能 保持不变
弹力
重力
机械能守恒定律及其应用
热身训练1：
• 如图所示，刚性小球从高处下落到竖直放置的轻弹 簧上。在将弹簧压缩到最短的整个过程中， 下列关 C ） 于能量的叙述中正确的是（CD D A．重力势能和动能之和总保持不变 B．重力势能和弹性势能之和总保持不变 C．动能和弹性势能之和不断增加 D．重力势能、弹性势能和动能之和总保 持不变
2013届高三一轮复习
机械能守恒定律 在连接体问题中的运用
机械能守恒定律及其应用
【高考要求】
内容 要求 说明 机械能守恒定 机械能守恒定律的应用常综合牛顿运动 Ⅱ 律及其应用 定律、曲线运动知识等，题目综合性强
【学习目标】 1. 2. 掌握机械能守恒定律在解决连接体问题中巩固 机械能解题的规范和一般方法 的运用，学会选择研究对象，分析研究过程
机械能守恒定律在轻绳连接体中的应用
机械能守恒定律在轻绳连接体中的应用一、连接体物体系统的机械能守恒两个或两个以上的物体通过细绳或轻杆或弹簧联系在一起，系统仅在重力作用下运动，对系统中某一个物体来说机械能不守恒，但整个系统与外界无能量交换，机械能仅在系统内物体间转移或转化，所以系统机械能守恒。
二、系统机械能守恒的常用表达式三、绳连接的物体系统机械能守恒如图所示的两物体组成的系统，释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。
但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。
【题型1】如图所示，质量分别为3kg和5kg的物体A、B，用足够长的轻绳连接跨在一个光滑轻质定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8m，不计空气阻力，求：(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；(2)B物体着地后(不反弹)A物体还能上升多高.(g取10m/s2)【题型2】一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小．【题型3】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h ＝0.2 m ，开始时让连着A 的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B ，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A 的速度为多大？在以后的运动过程中，A 所获得的最大速度为多大？(设B 不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g ＝10 m/s 2)针对训练1.有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A 、B 分别套在水平杆与竖直杆上，A 、B 用一根不可伸长的轻细绳相连，A 、B 质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A 、B 静止。
专题三圆周运动_机械能守恒中的连接体问题
机械能守恒中的连接体问题【解题步骤】1.准确选择研究对象2.判定机械能是否守恒3.应用机械能守恒处理连接体问题例1：如图，在光滑的水平桌面上有一质量为M的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m 的砝码相连，砝码到地面的高度为h，由静止释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车未离开桌子）小车的速度为多大？练习Word文档1、一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的长方形物块，且M>m,开始时用手握住M，使系统处于如图示状态。
求Array（1）当M由静止释放下落h高时的速度（2）如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是多少？2、如图所示，一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。
一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。
开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。
物块A与斜面间无摩擦。
设当A沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。
Word文档求物块B上升的最大高度H。
3、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，求当甲上升到圆柱最高点时甲的速度。
Word文档例2.长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬间,求绳子的速度？练习Word文档1、如图所示，一粗细均匀的U形管装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？Ah2.如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，已知小车的质量为M，小桶与沙子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是A．绳拉车的力始终为mgB．当M远远大于m时，才可以认为绳拉车的力为mgC．小车获得的动能为mghD．小车获得的动能为Word文档Word 文档例题3.如图所示，质量分别为2m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴.AO 、BO 的长分别为2L 和L .开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；匀速圆周运动一、物理量之间的转换例1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：，，A 、B 、C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A 、B 、C 三点的线速度之比为__________，角速度之比为__________，周期之比为__________。
用机械能守恒定律解连接体问题
用机械能守恒定律解连接体问题在用机械能守恒定律解连接体问题时,一定要注意下面几个问题一、何选取系统应用机械能守恒定律必须准确的选择系统.系统选择得当,机械能守恒；系统选择不得当,机械能不守恒。
对机械能不守恒的系统应用机械能守恒定律必然得出错误的结果。
例1、如图1所示，长为2L 的轻杆OB ，O 端装有转轴，B 端固定一个质量为m 的小球B ，OB 中点A 固定一个质量为m 的小球A ，若OB 杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求（1）A 、B 球摆到最低点的速度大小各是多少？（2）轻杆对A 、B 球各做功多少？（3）轻杆对A 、B 球所做的总功为多少？析与解：有学生分别选A 、B 球及地球为一系统，有机械能守恒定律得到：221A mv mgl = 2212B mv l mg = 由上两式得：gl v gl v B A 4,2==上述解法其实是不对的，错在何处呢？是系统选择错误。
事实上，小球A （B ）与地球单独组成的系统机械能并不守恒，这是因为轻杆往下摆的过程中，轻杆分别对A 、B 球做了功（注意轻杆可以产生切向力，不象轻绳，只能产生法向力）。
对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解，当然出错。
那么，应该选择什么系统呢？应选A 、B 球及地球所组成的系统，机械能是守恒的。
（1） 选A 、B 及地球为一系统，此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统机械能守恒，有：l mg mgl mv mv B A 221212,2,+=+ ① A B v v 2= ② 由①②式可得：gl v gl v B A 8.4,2.1,,== （2）由上不难得到：A A v v <, B B v v >,即A 、B 间的轻杆对B 球做正功，对A 球做负功。
轻杆对A 球做功为：mgl mv mv W A A A 4.0212122,-=-= 同理可得，轻杆对B 球做功为：mgl W B 4.0=（3）轻杆对A 、B 所做总功为0。
7.8+1机械能守恒解连接体问题导学案(用)
7.8+1机械能守恒定律解连接体问题导学案一.连接体：两个或两个以上的物体在相互作用力的关联下参与运动的系统称为连接体二.连接体组成的系统机械能守恒条件外力只有重力做功，且内力不是滑动摩擦力和介质阻力，连接体系统机械能守恒。
三.连接体系统守恒条件理解物体间只有动能和势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能（如内能），则系统的机械能守恒。
四.应用例1.如图，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，这时砝码的速率为多少？跟踪训练1：如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M的小车，小车跟绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m的砝码，则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为多大？例2：如图所示，物体A、B用绳子连接穿过定滑轮，已知m A=2m B, 绳子的质量不计，忽略一切摩擦，此时物体A、B距地面高度均为H，释放A，求当物体A刚到达地面时的速度多大（设物体B到滑轮的距离大于H）？【跟踪训练2】如图所示，物体A、B通过定滑轮以细绳相连，已知两物体的质量m A＞m B，使两物体A、B位于同一水平面，当它们离地面的高度为h时，由静止开始释放，若不计滑轮质量及一切阻力，求当A被释放后，物体B能上升的最大距离．例3：如图小球A、B质量分别是m、2m.通过轻绳跨在半径为R光滑的半圆曲面上。
由静止释放。
求小球A刚到半圆顶端时的速度？跟踪训练3、如图7-37所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面的一部分，一根不可伸长的西线两端分别系住物体A 、B ，m A =2 m B ，从图示位置由静止开始释放A 物体，当物体B 达到最高点时，求：（1）B 的速度大小（2）B 由静止到最高点过程中绳的张力对物体B 所做的功。
例4：如图2所示，质量为m 的A 、B 两球固定在轻杆的两端，杆可绕O 点在竖直面内无摩擦转动，已知两物体距O 点的距离L 1=2L 2=2L ，现在由图示位置静止释放，当A 下降到最低端时的速度？跟踪训练4. 如图所示, 一根轻杆长为2 l , 它的左端O 点为固定转动轴, 轻杆可以绕 O 轴在竖直平面内无摩擦转动, 它的中点及右端各固定一个小球A 和B , 两球的质量分别是m 和 2 m , 重力加速度为g ．现用外力使杆处于水平位置, 从静止释放．求小球A 和小球B 运动到最低处时的速度大小；图7－37例5：如图所示，一固定的偰形木块，其斜面的倾角θ=30о,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮.一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块A、B连接,A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升. 物块A与斜面间无摩擦.设当A沿斜面下滑距离s后，细线突然断了，求物块B上升的最大距离H。
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1、如图所示，半径为R ，圆心为O 的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小环固定在大圆环竖直对称轴的两侧︒=30θ的位置上，一根轻质长绳，穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m 为重物，忽略小圆坏的大小。
（1） 在两个小圆环间绳子中点C 处，挂上一个质量m M 2=，求重物M 下降的最大速度及下降的最大距离。
解答：
重物向下先加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大，设下降的最大距离为h ，则由机械能守恒定律得：
]s i n )s i n ([22
2
θθ－R R h mg Mgh +=
解得R h 2=（另解0=h 舍去）
重物向下运动，当其加速度为零时，其速度最大，设为m v 此时绳与竖直方向夹角设为β，加速度0=a 时绳的拉力mg T =，且绳对M 拉力等于M 的重力，有：
︒==
45,2cos 2ββmg mg 。
由此可知重物M
下降的高度2
1R h =
，重物m 上升的
高度为R
h 2
122-=。
由运动的分成及分解，此时重物m 的速度即为
m
v 2
2。
由
机械能守恒定律可得2
2
2122
1212mv
Mv mgh －Mgh m ⨯+
=
，可求得
m
v =）gR －423(。
2、如图（1）所示，质量分别为m 2和m 3 的两个小球A 、B 固定在一要直角尽的两端，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴AO 、BO 的长分别为L 2和L ，开始时直角尺的AO 部分处于水平位置，而B 球在O 的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求： （1） 当A 到达最低点时，A 球的速度大小︒V
（2） B 球能上升的最大高度的位置。
（3） 开始转动后B 球可能达到的最大速度。
解析：以直角尺和两小球组成的系统为研究对象，由于转动过程中不受磨擦力和质阻力作用，所以该系统的机械能守恒。
（1） 过程中A 的重力势能减少，A 、B 的动能和B 的重力势能增加，因角速度
相同，故A 的瞬时速度总是B 有2倍，如图)2(甲所示。
由机械能守恒定律得：
2
2
)2
(3·21
·2·2
1·32·2v m v m L mg L mg +
+
=
解得：11
8gL V =
（2） B 球不可能到达O 的正上方，它到达最大高度时的速度一定为零，此时A
球减少的机械能等于B 球增加的机械能设该位置与OA 夹角为α，如图)2(乙所示，由机械能守恒定律得：)sin 1(3cos 22αα+⋅=⋅L mg L mg
化简得：33sm －4cos =αα
利用三角公式得：37sin )53sin(=︒α－ 即得：︒=16α。
（3） B 球速度最大时就是系统功能最大时，而系统功能的增加等于系统重力势
的减少，设OA 从开始转过θ角时B 球速度最大。
如图)2(丙所示，由机械能守恒定律得：
)
cos 1(3sin 2222
1)2(22
12
2
θθ－L mg －l mg mv
v m ⋅⋅=⋅+
⋅
化简并由三角函数得： L 2mg 3)－3cos mgL(4sin ⋅≤+θθ 解得：11
4gL V m =
3、如图，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m 的物体B
相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩，开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向，现在挂购上挂一质量为3m 的物质C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面，但不继续上升。
若将C 换成另一个质量为)(31m m +的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次
B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。
解析：开始时，A ，B 静止，设弹簧压缩量为力，有g M kx 11=……①
挂上C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为2x ，
则：g M kx 22=……②。
B 不再上升，表示A 和
C 此时速度为零，C 已降到最底点，整个过程中A 、C 重
力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加量，则由机械能守恒。
③x x g －m x x g m E ⋯⋯++=∆)()(211213
C
换成D 后，当B 刚开始离地时弹簧势能的增量与前一次相同，此进程中A 、D 重力势能的减少等于弹簧性势能的增加与A 、D 动能的增加之积，则由机械能守恒：④
x x g －m x x g m m V
m V
m m E ⋯⋯+++=+
++∆)()()(2
1)(2
121121132
12
31
由以上各式得： k
m m g m m m V )2()(2312
211++=
连续媒质的流动问题
4、如图所示，一粗细均匀的U 形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A 密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h ，U 形管中液柱总长为h 4，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降的速度为多少？
解析：连续媒质可看作特殊的连接体问题，由于液体的不可压缩性，媒质内各质元速度都相等。
将盖板A 拿去，U 形管右管液面下降，液体系统的重力势能减少，整个液体系统的动能增加，当左右两管液面相平时重力势能最小，动能最大，整个过程相当于右管h 2
1
长度的液柱转移到左管，高度下降了h 2
1
，设此时液体速度为V ，h 2
1
长
度的液柱质量为m ，则整个液体质量为m 8，由机械能守恒:
2
82121mV
h mg ⨯=
⨯
解得：8
gh V =。