解三角形大题专练(2020更新)

解三角形大题专练1．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32. 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2，所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.2.在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .①求sin C 的值；②若a ＝7，求△ABC 的面积．[解析](2)(文)①在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. ②因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.①求cos B ；②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . (理)①解法一：∵sin(A ＋C )＝8sin 2B2，∴sin B ＝8sin 2B 2，即2sin B 2·cos B2＝8sin 2B2，∵sin B 2>0，∴cos B 2＝4sin B2，∴cos 2B 2＝1－sin 2B 2＝16sin 2B 2，∴sin 2B 2＝117 ∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1517.解法二：由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.②由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－17×3217＝4，∴b ＝2.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知. （1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值。

【答案】（1）2；（2）3.【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sinB 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.2221,42A b a c π=-=【解析】（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，∴－cos2B=sin 2C ， 又由4A π=，即34B C π+=，得－cos2B=sin2C=2sinCcosC ，解得tanC=2；（2）由tanC=2，C ∈（0，π）得sin 55C C ==又sin sin()sin(),sin 4B A C C B π=+=+∴=3c =，又1,sin 3,42A bc A bc π==∴=b=3.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos A －a cos B ＝2c . (1)证明：tan B ＝－3tan A ；(2)若b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，且△ABC 的面积为3，求a . (1)证明 根据正弦定理，由已知得sin B cos A －cos B sin A ＝2sin C ＝2sin(A ＋B )，展开得sin B cos A －cos B sin A ＝2(sin B cos A ＋cos B sin A )， 整理得sin B cos A ＝－3cos B sin A ， 所以tan B ＝－3tan A .(2)解 由已知得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，由0<A <π，得A ＝π6，tan A ＝33，∴tan B ＝－3，由0<B <π，得B ＝2π3，所以C ＝π6，a ＝c ，由S ＝12ac sin 2π3＝12×32a 2＝3，得a ＝2.6.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=ABC △的周长． 【答案】（I ）由已知及正余弦定理得，2cos (sin cos sin cos )C A B B A c +=()2cosCsin sinC A+B =故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=，所以C 3π=．（II ）由已知，1sin 2ab C = 又3C π=，所以 6.ab =由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=故2213,a b += 从而2()25a b +=所以ABC ∆的周长为5+7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1cos 24C =-． （1）求sinC 的值；（2）当a ＝2，2sinA ＝sinC 时，求b 及c 的长．【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC 的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c ，要求边b ，考虑用余弦定理，即先求出cosC 的值. 【解析】（1）因为21cos 212sin 4C C =-=-，及0C π<<，所以sin 4C =． （2）当a ＝2，2sinA ＝sinC 时，由正弦定理sin sin a cA C=，得c ＝4． 由21cos 22cos 14C C =-=-，及0C π<<得cos 4C =±．由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得2120b ±-=．解得b =所以4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩或 4.b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩8.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin B ＋3b cos A ＝3c .①求B ；②若△ABC 的面积为332，b ＝7，a >c ，求a ，c .[解析](2)①利用正弦定理和三角形中角的关系将边角关系化为角的关系求B ；或用余弦定理将cos A 用边表示后求解；②利用S △ABC ＝12ac sin B 求出ac ，再结合余弦定理即可求出a ，c .(2)①解法一：由已知a sin B ＋3b cos A ＝3c ， 结合正弦定理得sin A sin B ＋3sin B cos A ＝3sin C ， 所以sin A sin B ＋3sin B cos A ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A sin B ＝3sin A cos B ，亦即tan B ＝3， 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 解法二：∵a sin B ＋3b cos A ＝3c ，∴a sin B ＋3b 2＋c 2－a 22c ＝3c ，∴sin B ＝3·c 2＋a 2－b 22ac，∴sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3.②由S △ABC ＝12ac sin B ，B ＝π3，得34ac ＝332，即ac ＝6，又b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 得(7)2＝(a ＋c )2－2ac －ac ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6a ＋c ＝5，又a >c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ＝2.9.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6.sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，且sin B ＝1＋cos C ，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<A <π，∴A ＝π6.又sin B ＝1＋cos C,0<sin B <1， ∴cos C <0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，sin C ＝32，cos C ＝－12，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.11.已知，，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，．（1）求A ；（2）若，△ABC，求，． 解析：（1）根据正弦定理，得，，，因为，所以， 即，（1）由三角形内角和定理，得， 代入（1）式得，化简得， 因为，所以，即， 而，，从而，解得．（2）若，△ABC1）得，则，化简得， 从而解得，．a b c cos sin 0a C C b c --=2a =b c R CcB b A a 2sin sin sin ===A R a sin 2=B R b sin 2=C R c sin 2=cos sin 0a C C b c +--=0sin 2sin 2sin )sin 2(3cos )sin 2(=--+C R B R C A R C A R 0sin sin sin sin 3cos sin =--+C B C A C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=0sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin =---+C C A C A C A C A C C A C A sin sin cos sin sin 3=-0sin ≠C 1cos sin 3=-A A 21)6sin(=-πA π<<A 06566πππ<-<-A 66ππ=-A 3π=A 2a =3π=A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ⎩⎨⎧=+=8422c b bc 2=b 2=c12.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B 的正弦值，进而求B ；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （2）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 13.在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ①， 又A ＝π-(B +C )，故sin A ＝sin(B +C )＝sin B cos C +cos B sin C ②，由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以4B π=.（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 2S ac B ==. 由已知及余弦定理得224=+2cos 4a c ac π-. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大.14. 如图，在△ABC 中，∠B ＝3π，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝71． (1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．【答案】(1)1433; (2) 7 【思路点拨】（1）在三角形ADC 中，由已知条件和外角定理可求得sin ∠BAD ；（2）利用正弦定理和余弦定理分别求得BD ，AC 的长。