一元二次方程巩固练习
初中数学中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--巩固练习题及答案(基础)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．253．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ． 1k >-且0k ≠C ．1k <D ． 1k <且0k ≠4．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-= B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A.B.C.D.二、填空题7．若ax 2+bx+c=0是关于x 的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是____ ____． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．关于x 的一元二次方程1201x p x x 有两实数根=-+-、.2x （1）求p 的取值范围；（2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】B ；【解析】由题意得方程有两个不相等的实数根，则△=b 2－4ac>0，即4+4k>0.解得1k >-且0k ≠. 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。
一元二次方程根与系数的关系—巩固练习(基础)含答案
一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列方程，有实数根的是( )A ．2x 2+x+1＝0B ．x 2+3x+21＝0C ．x 2-0.1x-1＝0D ．22230x x -+= 2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥3.（2016•烟台）若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．2D ．34．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根5．（2015•广西）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2+7x ﹣12=0D ．x 2﹣7x ﹣12=06．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）．A ．3B ．6C ．18D ．24二、填空题7．已知关于x 的方程x 2-2x+k ＝0有实数根，则k 的取值范围是________．8．已知3x 2-2x-1=0的二根为x 1，x 2，则x 1+x 2=______，x 1x 2=______，1211x x +=••_______，• x 12+x 22=_______，x 1-x 2=________． 9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。
10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________． 11．已知一元二次方程x 2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____ __．12．（2015•港南区二模）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系式x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=根据该材料填空，已知x 1，x 2是方程x 2+3x+1=0的两实数根，则的值为 ．三、解答题13．（2016•江宁区二模）已知关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3x+m ﹣4=0（m 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1，x 2是方程的两个实数根，求（x 1﹣1）（x 2﹣1）的值．14.（2015秋•孝感校级月考）已知方程x 2﹣3x+1=0的两根分别为x 1和x 2，不解方程：（1）求代数式x 12+x 22的值；（2）试证明两根中一根大于1，另一根小于1．15．已知： x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋（2a －1）x ＋a 2＝0的两个实数根且（x 1＋2）（x 2＋2）＝11，求a 的值.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】由根的判别式判定．2.【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．3.【答案】D ；【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=2，x 1•x 2==﹣1．x 12﹣x 1+x 2=x 12﹣2x 1﹣1+x 1+1+x 2=1+x 1+x 2=1+2=3．故选D ．4.【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D .5.【答案】A ．6.【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=， 因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题7．【答案】k ≤1；【解析】由题意可知△＝2(2)41k --⨯≥0，-4k ≥-4，所以k ≤1．8．【答案】 ； -； -2； ； ±； 【解析】x 1+x 2=，x 1x 2=-，+==-2，x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=+=，∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=+=，∴x 1-x 2=±. 9．【答案】6； 【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=∙=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-=， 于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】 x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2．12．【答案】7；【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2+3x+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=1． ∴===7． 故答案为：7．三、解答题13.【答案与解析】（1）证明：∵关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3x+m ﹣4=0，∴此方程为x 2﹣（m+3）x+m ﹣4=0，∴△=[﹣（m+3）]2﹣4（m ﹣4）=m 2+2m+25=（m+1）2+24， ∴△＞0，∴关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3x+m ﹣4=0有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1，x 2是方程的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣=m+3，x 1•x 2==m ﹣4，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1•x 2﹣（x 1+x 2）+1=（m ﹣4）﹣（m+3）+1=﹣6．14.【答案与解析】（1）解：由题可得x1+x2=3，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×1=7．（2）证明：∵（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=1﹣3+1=﹣3＜0，∴（x1﹣1）与（x2﹣1）异号，∴x1﹣1＞0，则x2﹣1＜0，∴x1＞1，x2＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1．15.【答案与解析】∵x1、x2是方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1－2a，x1﹒x2＝a2，∵（x1＋2）（x2＋2）＝11，∴x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝11，∴a2＋2（1－2a）－7＝0，即a2－4a－5＝0，解得a＝－1，或a＝5.又∵Δ＝（2a－1）2－4a2＝1－4a≥0，∴a≤14.∴a＝5不合题意，舍去，∴a＝－1.。
用函数观点看一元二次方程—巩固练习(基础)(含答案解析)
用函数观点看一元二次方程—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•阜新）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列选项中正确的是（）A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＜0D ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0没有实数根2．（2015•温州模拟）已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表：x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4x 2+2x ﹣10﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（）A ．﹣4.1B ．﹣4.2C ．﹣4.3D ．﹣4.43．已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图所示．若12y y <，则自变量x 的取值范围是()A．322x -<<B．322x -<<C．2x >或32x <-D．2x <-或32x >4．如图所示，抛物线21y x =+与双曲线k y x=的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式210k x x++<的解集是()A．1x >B．1x <-C．01x <<D．10x -<<5．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项正确的是()A．a＞0，b＞0，240b ac ->B．a＜0，c＞0，240b ac ->C．a＞0，b＜0，240b ac ->D．a＞0，c＜0，240b ac -<第3题第4题第5题第6题6．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的图象经过点(-1，2)，且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7．（2016•徐州）若二次函数y=x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是．8．已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为．9．抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点坐标为．10．如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax 2+bx+c=0的两根是．11．如图所示，已知抛物线2y x bx c =++经过点(0，-3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b 的值是________．12．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(a≠0)．图象的顶点为D，其图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为-1和3，与y 轴负半轴交于点C．下面四个结论：①20a b +=；②0a b c ++>；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；④使△ACB 为等腰三角形的a 的值可以有三个．那么其中正确的结论是________．(只填你认为正确结论的序号)三、解答题13．已知函数261y mx x =-+(m 是常数)(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．14.已知抛物线212y x x c =++与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线1y cx =+经过的象限，并说明理由．15．已知关于x 的函数y=（k ﹣1）x 2+4x+k 的图象与坐标轴只有2个交点，求k 的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】①∵开口向下，∴a ＜0，A 错误；②对称轴在y 轴的右侧和a ＜0，可知b ＞0，B 正确；③抛物线与y 轴交于正半轴，c ＞0，C 错误；④因为与x 轴有两个交点，所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个实数根，D 错误.2.【答案】C；【解析】根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x 2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x 2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C．3.【答案】B；【解析】设21y x =与2132y x =-+的交点横坐标为1x ，2x (12x x <)，观察图象可知，当12y y <时，自变量x 的取值范围是12x x x <<，所以关键要求出抛物线与直线交点的横坐标，联立2132y x y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，可得21302x x +-=．解得12x =-，232x =，∴322x -<<．4.【答案】D；【解析】不等式210k x x++<可变形为21k x x<--，由21y x =+与21y x =--关于原点对称，所以k y x=与21y x =--的交点与点A 关于原点对称，其横坐标为-1，可画如图所示，观察图象可知21k x x<--的解集是10x -<<．5.【答案】A；【解析】由抛物线开口向上，知a＞0，又∵抛物线与y 轴的交点(0，c)在y 轴负半轴，∴c＜0．由对称轴在y 轴左侧，∴02ba-<，∴b＞0．又∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，故选A．6.【答案】D；【解析】由图象可知，当2x =-时，y＜0．所以420a b c -+<，即①成立；因为121x -<<-，201x <<，所以102ba-<-<，又因为抛物线开口向下，所以a＜0，所以20a b -<，即②成立；因为图象经过点(-1，2)，所以2424ac b a->，所以284b a ac +>，即④亦成立(注意a＜0，两边乘以4a 时不等号要反向)；由图象经过点(-1，2)，所以2a b c -+=，即2b a c =+-，又∵420a b c -+<，∴24b a c >+．∴2244a c a c +->+，即24242a c <-<-=-，∴1a <-，所以③成立．二、填空题7.【答案】m ＞1．【解析】∵二次函数y=x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点，∴方程x 2+2x +m=0没有实数根，∴判别式△=22﹣4×1×m ＜0，解得：m ＞1．8．【答案】34m <-；【解析】∵二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象与x 轴有两个交点，∴22[(21)]4(44)0m m m ---++>．即22441416160m m m m -+--->，解得34m <-．9．【答案】(-3，12)，(1，0)．【解析】∵抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点的横坐标、纵坐标相同．故可联立233y x x y x ⎧=-⎨=-+⎩，∴2230x x +-=，13x =-，21x =．将x 1＝-3，x 2＝1代入y＝-3x+3中得方程组的解为11312x y =-⎧⎨=⎩，221x y =⎧⎨=⎩．∴抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点坐标为(-3，12)，(1，0)．10．【答案】x 1=﹣3，x 2=1；【解析】∵由图可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，∴设抛物线与x 轴的另一交点为（x ，0），则=﹣1，解得x=1，∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=﹣3，x 2=1．11．【答案】12-等；【解析】由题意230x bx +-=的一个根在1与3之间，假设根为2x =，代入得22230b +-=∴12b =-，答案不唯一.12．【答案】①③；【解析】抛物线的对称轴为1312x -+==，∴12ba -=，20a b +=，①正确；②当1x =时，0y <即0a b c ++<，②错；③当12a =时，顶点D 的坐标为（1，-2），△ABD 为等腰直角三角形，又∵抛物线的开口向上，加之∠DAB，∠DBA 不可能为直角，所以只有12a =时，△ABD 是等腰直角三角形，∴③正确；△ACB 为等腰三角形，有三种可能性：ⅰ)AC＝AB；ⅱ)BC＝AB；ⅲ)AC＝BC．∵OA≠OB，∴ⅲ)不可能成立，故以△ABC 为等腰三角形的点C 的位置只有两个，因此a 的值也只能是两个，∴④错.三、解答题13.【答案与解析】解：(1)当x＝0时，y＝1，所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点(0，1)．(2)①当m＝0时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以△＝(-6)2-4m＝0，m＝9．综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．14.【答案与解析】解：（1）∵抛物线与x 轴没有交点∴△＜0，即120c -<．解得12c >，（2）∵12c >∴直线1y cx =+随x 的增大而增大，∵1b =∴直线1y cx =+经过第一、二、三象限．15.【答案与解析】解：分情况讨论：（ⅰ）k ﹣1=0时，得k=1．此时y=4x+1与坐标轴有两个交点，符合题意；（ⅱ）k ﹣1≠0时，得到一个二次函数．①抛物线与x 轴只有一个交点，△=16﹣4k （k ﹣1）=0，解得k=；②抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（0，0）代入函数解析式，得k=0．∴k=1或0或．。
一元二次方程的解法(二)配方法—巩固练习
一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习【基础练习】 一、选择题1.用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ） A ．（x +2）2=1 B ．（x +2）2=7 C ．（x +2）2=13 D ．（x +2）2=19 2．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对 4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 5．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2±10 B ．-2±14 C ．-2+10 D ．2-10二、填空题 7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2. 8．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为 ．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程 （1）（2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值； (2)判断三角形的形状．【提高练习】 一、选择题1.一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（ ）A ．8B ．6C ．3D ．2 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 8．把代数式x 2﹣4x ﹣5化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数， 则4m+k= ．9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.（1）解方程：x 2﹣2x=4． （2）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．14．分解因式44x +．15．当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【基础答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x +4=7，（x +2）2=7． 2．【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．3.【答案】C ； 【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±； 4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ； 5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1. 6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-2±14.二、填空题 7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方. 8.【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x +9=﹣7+9， （x ﹣3）2=2． 9．【答案】±3； 【解析】2239m ==．∴ 3m =±. 10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1； 故答案为：﹣1，1． 【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3， ∴=4．三、解答题13.【答案与解析】 （1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5 (2)221233x x +=226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744x +=±132x =22x =- 14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0， ∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0， ∴a ﹣2=0，b+3=0， ∴a=2，b=﹣3， ∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥， ∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．【提高答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ．【解析】x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5，x 2﹣6x +9=5+9，（x ﹣3）2=14，故选：A ． 2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．3．【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．4．【答案】D ； 【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -； （2）24p ；2p x +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5=（x ﹣2）2﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1．故答案为﹣1．9．【答案】4；【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2, 所以241a bb =-⎧⎨=⎩－ 解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩所以4ab =.10．【答案】（x-1）2=5；15± ．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±.11．【答案】；2或6.【解析】3x 2-2x-3=0化成；即2(-)232aa =-，a=2或6.12.【答案】5； 【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】 解：（1）配方x 2﹣2x +1=4+1 ∴（x ﹣1）2=5 ∴x=1±∴x 1=1+，x 2=1﹣．（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．（2）解：移项得x 2﹣6x=4， 配方得x 2﹣6x +9=4+9， 即（x ﹣3）2=13， 开方得x ﹣3=±， ∴x 1=3+，x 2=3﹣． 14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x +=++-g g g g22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+．15. 【答案与解析】解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4 =（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0， ∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．。
八年级数学一元二次方程最新最全练习巩固含答案-初中数学培优
一元二次方程班级：___________姓名：___________得分：__________一． 填空选择题（每小题6分，36分） 1. 下列各方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B.C. D.A.B.C.5)2)(3+=-+x x x （D.02-x 573x 32=+3.一元二次方程的一次项系数（ ）A.4B.-4C.4xD.-4x4.关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是（ ） A.-1 B.1 C.1或-1 D.-1或05．若关于的一元二次方程为（）的解是，则的值是（ ）。
A. 2018B.2008C.2014D.20126．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ）。
A.， B.，C. ，D. ，2. 下列方程中不一定是一元二次方程的是（ ）。
二、解答题（每小题10分，60分）1、已知是关于的一元二次方程，则的取值范围是_____ 。
2、将方程化为一元二次方程的一般式。
3、关于的方程是一元二次方程，则多少？4、关于的方程的一个根为，则的值为多少？5、若是关于的一元二次方程，则多少，且该一元二次方程的解为多少？6、已知实数是关于方程的一根，则代数式值为多少？参考答案一． 选择题、 1.B【解析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程。
A 项，未知数的最高次数是，为一元一次方程。
故A 项不符合题意。
B 项，满足一元二次方程的定义。
故B 项符合题意。
C 项，不满足只含有一个未知数的条件。
故C 项不符合题意。
D 项，不满足未知数的最高次数是。
故D 项不符合题意。
故本题正确答案为B 。
2． B【解析】本题主要考查一元二次方程的基本概念。
一元二方程必须满足的条件是：未知数最高项的次数为2，二次项系数不为0。
B 项，当a=0时，方程不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程。
故本题正确答案为B 。
3. B ．【解析】 本题主要考查一元二次方程的基本概念。
一元二次方程巩固练习
一元二次方程巩固练习一部分1.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .2.关于x 的方程03)3(12=+---x x m m是一元二次方程，则=m ；3.设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为 ；4、 已知：21=-m ，则关于x 的二次方程04)5()1(2=++-+x m x m 的解是 ； 5.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= . 6.某食品连续两次涨价10%后价格是a 元,那么原价是_______ ___.7.长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为 1. 5 立方分米, 则铁片的长等于________,宽等于________.8.2690y y +-+=则xy =9.写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是10、在一条线段上取n 个点，这n 个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n= 11、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。
12、当____=m 时，关于x 的方程()()021122=--+-x m x m 为一元二次方程。
13．我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，则这两个月净化污水量的平均每月增加的百分率为 ．14．一个立方体的表面积是384cm 2，求这个立方体的棱长. 设这个立方体的棱长为xcm ，根据题意列方程得 ，解方程得x = ．15．在一幅长80cm ，宽50cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边（如图所示），制成一幅长方形挂图. 如果 要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则由题意列方程得 ． 二部分1、关于y 的一元二次方程()432-=-y y 的一般形式是 。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习(基础)(含答案)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•昆明）一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（）A．240b ac -=B．240b ac ->C．240b ac -<D．240b ac -≥3．（2015•贵港）若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（）A．﹣1B．0C.1D.24．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（）A.122x x += B.123x x +=- C.122x x +=- D.无实数根5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（）A.k≥4B.k≤4C.k＞4D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（）．A．3B．6C．18D．24二、填空题7．（2015•酒泉）关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是．8．（2016•遵义）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+=．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是。
10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________．11．已知一元二次方程x 2-6x+5-k=0 的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为．三、解答题13．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根?14.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．15．（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x +4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．2.【答案】B；【解析】20ax bx c ++=(a≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．3.【答案】B；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0，∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．4.【答案】D；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D .5.【答案】B；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，故选B．6.【答案】A；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=，因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题7．【答案】k≥﹣6；【解析】当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx 2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6．8.【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1，∴+==﹣2．故答案是：﹣2．9．【答案】6；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=∙=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-= ，于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2．12．【答案】25或36；【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3),解得x 1=2，x 2=3．当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.三、解答题13.【答案与解析】解：22(21)23x k x k k --=-++化为一般形式为：22(21)230x k x k k --+--=，∴1a =，(21)b k =--，223c k k =--．∴222224[(21)]41(23)4414812413b ac k k k k k k k k =-=---⨯⨯--=-+-++=+△．(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即4130k +>．∴134k >-．(2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4130k +=，∴134k =-．(3)若方程没有实数根，则△＜0，即4130k +<，∴134k <-．答：当134k >-时，方程有两个不相等的实数根；当k＝134-时，方程有两个相等的实数根；当134k <-，方程没有实数根．14.【答案与解析】解：令22A a b =+，2B c =-，1C =，22244()c a b =-+△，∵方程有两等根，∴△＝0，∴222c a b =+，∴△ABC 为直角三角形．15.【答案与解析】解：∵实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．。
人教版数学九年级上学期课时练习- 《一元二次方程》全章复习与巩固(巩固篇)(人教版)
专题21.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知方程20x bx a -+=，有一个根是()0a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）．A ．abB ．a bC ．a b +D ．-a b2．已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-3．若a ，b 10a -=，则2a b -=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法．类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段AE 上，标注点B 的新位置F ，则EF EB =． 类似地，再在AB 上折出点M 使AM AF =，则表示方程210x x +-=的一个正根的是（ ）A ．线段BM 的长B ．线段AM 的长C ．线段BE 的长D ．线段AE 的长5．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a b cd＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ）AB ．C ．3D ．6．若关于x 的方程()()22222280x x x x +++-=有实数根，则22x x +的值为（ ） A ．－4B ．2C ．－4或2D ．4或－27．已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x ，且满足122x x =，则12x x +的值为（ ）A ．4B ．-4C ．4或-2D ．-4或28．若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，且a 2＋b 2＝12，则k 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-或19．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（ ）A ．()2170%a x a -= B ．()2170%a x a += C ．()2130%a x a -=D ．()230%1x a a +=10．如图，在△ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ）A ．2秒钟B ．3秒钟C ．3秒钟或5秒钟D ．5秒钟11．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M 的值为5，那么输入x 的值为（ ）A ．－8B ．－2C ．1D ．8二、填空题12．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．13．若1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则()()22112222x x x x +-+-的值为______．14．已知x ，那么2263x x +-的值是______． 15．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 _____．16．已知一元二次方程214480x x -+=的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．17a =_____________． 18．设12,x x 是一元二次方程2530x x -+=的两个根，则1211x x +=__________． 19．已知26a －100a ＋7＝0以及27b －100b ＋6＝0，且ab ≠1，则ab的值为__________．20．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为___________．21．如图，已知Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝30°，BC ＝3，D 是边AB 上的一点，将△BCD 沿直线CD 翻折，使点B 落在点B 1的位置，若B 1D △BC ，则BD 的长度为 _____．22．如图，在一块长为22m ，宽为14m 的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m 2，则小路的宽为________m ．23．如图，在矩形ABCD 中，65AB AD ==，，点E 是AB 上一点，且5BE =，连接CE ，点F 是线段DC 上一点，将ADF 沿AF 折叠，使得点D 的对应点D 落在线段CE 上，则DF 的长度为___________．三、解答题 24．解方程（1）2699910x x --=； （2）()()22352360x x ---+=；（3）2223x a ax +=（配方法）； （4）2210mx x -+=.25．阅读材料：若m2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，求m 、n 的值. 解：△m 2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，△(m 2－2mn ＋n 2)＋(n 2－8n ＋16)＝0△(m －n)2＋(n －4)2＝0，△(m －n)2＝0，(n －4)2＝0，△n ＝4，m ＝4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a 2＋6ab ＋10b 2＋2b ＋1＝0，求a －b 的值；(2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2＋b 2－4a －6b ＋11＝0，求△ABC 的周长；(3)已知x ＋y ＝2，xy －z 2－4z ＝5，求xyz 的值.26．关于x 的方程()()22210x m x m -++-=(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m 的值：(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长27．苏科版九上数学p 31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2﹣2x ＝0，可以通过因式分解把它转化为x （x 2+x ﹣2）＝0，解方程x ＝0和x 2+x ﹣2＝0，可得方程x 3+x 2﹣2x ＝0的解．（1）问题：方程x 3+x 2﹣2x ＝0的解是x 1＝0，x 2＝ ，x 3＝ ；（2）用“转化”x 的解； （3）拓展：若实数x 满足x 2+2133x x x --＝2，求x +1x的值28．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m 元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了143m 个，“雪容融”的销量比第一周增加了m 个，最终商家获利6600元，求m ．参考答案1．C 【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可．解：△方程20x bx a -+=，有一个根是()0a a -≠，△20a ab a ++=， △(1)0a a b ++=， △0a ≠， △10a b ++=， △1a b +=-， 故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键．2．C 【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．解：设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7， x 2-2px +p 2=7， △x 2-2px =7-p 2， △x 2-2px +4=11-p 2，△方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，△-2p =-6，a =11-p 2， △p =3，a =11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键． 3．C【分析】首先根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得a 、b 的值，再把a 、b 的值代入代数式，即可求得其值．解：24410a a +-=0≥，10a -≥2244010a ab b a ⎧++=∴⎨-=⎩由a -1=0解得a =1把a =1代入22440a ab b ++=，得 2440b b ++=，得()220b +=解得b =-2故()2122145a b -=-⨯-=+= 故选：C【点拨】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性质是解决本题的关键．4．B 【分析】设正方形的边长为1，AF AM x ==，根据勾股定理即可求出答案． 解：设正方形的边长为1，AF AM x ==，则12BE EF ==，12AE x =+， 在Rt △ABE 中， △222AE AB BE =+， △22211()1()22x +=+，△210x x +-=，△AM 的长为210x x +-=的一个正根． 故选：B ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据勾股定理列出方程． 5．D 【分析】根据新定义可得方程（x +1）（2x -3）=x （x -1），然后再整理可得x 2=3，再利用直接开平方法解方程即可．解：由题意得：（x +1）（2x -3）=x （x -1），整理得：x 2=3，两边直接开平方得：x故选：D ．【点拨】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．6．B 【分析】设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得y 的值，即可得到22x x +的值． 解：设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得：14y =-，22y =，当4y =-时，224x x +=-，即2240x x ++=，△224140=-⨯⨯<，方程无解， 当2y =时，222x x +=，即2220x x +-=，△()22412=120=-⨯⨯->，方程有实数根，22x x ∴+的值为2，故选：B ．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把22x x +看成一个整体来计算，即换元法思想．7．B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m 的值，即可求解．解：关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x ，212122,x x m x x m m ∴+=-⋅=-，22(2)4()40m m m m ∆=--=>0m ∴>，122x x =，即22m m -=，解得2m =或1-，2m ∴=，12224x x ∴+=-⨯=-，故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个实数根是12,x x ，那么12b x x a +=-，12cx x a=；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．8．A 【分析】先根据a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，求出∆2416k k =-≥0，由一元二次方程根与系数关系得到a ＋b ＝2k ，ab ＝4k ，利用a 2＋b 2＝12，求出k 的值，再代入∆2416k k =-验证即可．解：△a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，△2Δ(2)414k k =--⨯⨯ 24160k k =-≥a ＋b ＝2k ，ab ＝4k 22a b + 2()2a b ab =+- 2(2)24k k =-⨯248k k =-△248k k -＝12 解得11k =-，23k = 当11k =-时，∆2416k k =- 24(1)16(1)=⨯--⨯-200=>△11k =-符合题意，当23k =时，∆2416k k =-243163=⨯-⨯120=-<△23k =不符合题意，应舍去，综上，k 的值是﹣1．故选：A【点拨】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a． 9．C【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为x ，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，∴ 去年下半年平均每周作业时长为()1a x -分钟，今年上半年平均每周作业时长为()21a x -分钟，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，()()21170%a x a ∴-=-，()2130%a x a ∴-=． 故选：C ．【点拨】本题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．10．B【分析】设运动时间为t 秒，则PB =（8-t ）cm ，BQ =2t cm ，由三角形的面积公式结合△PBQ 的面积为15cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：设运动时间为t 秒，则PB =（8-t ）cm ，BQ =2t cm ， 依题意，得：12×2t •（8-t ）=15，解得：t 1=3，t 2=5，△2t ≤6，△t ≤3，△t =3．故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．A【分析】利用程序框图的算法列方程，求出x ，然后比较大小即可得出答案．解：如图所示：设x 3＞；输出M 的值为5，△x x 235， 解得()()120x x +-=，解得x x 1212，， △x x 121323＜，＜不合题舍去，设3x ≤；输出M 的值为5， △x152， △8x =，△解得x x 1288，， △x 183＞舍去x 283＜，△当输入x =-8时，输出M 的值为5．故选择A ．【点拨】本题主要考查了程序框图，一元一次特征方程，一元二次方程，比较大小，正确理解计算程序是解题关键．12．32##1.5##112【分析】根据方程根的定义得到223am bm -=，223an bn -=，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利用整体代入，得到关于a 的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．解：△关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，△2230am bm --=，2230an bn --=△223am bm -=，223an bn -=△(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，△[2（am 2－2bm ＋a ）] [3(an 2－2bn )－2a ]＝54△2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =△ab ≠0△a ，b 均为非零实数， △32a = 故答案为：32【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．13．1【分析】根据题意，22112210,10x x x x +-=+-=，变形代入计算即可．解：△1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，△22112210,10x x x x +-=+-=，△()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，利用定义变形代入计算是解题的关键．14．-5【分析】先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．解：△x =， △2263x x +-()2233x x =+-29152342x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ 2315222x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 21522=-⎝⎭ 21522=⨯-⎝⎭ 51522=- 5=-，故答案为：-5．【点拨】本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．15．22+10a b ab ≥【分析】因为矩形的长和宽分别为a 、b ，所以其周长和面积分别为2(a +b )和ab ，设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．解：设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ， 即()211-++=033x a b x ab ， △存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一△方程有解， △△=21()1433ab a b ⎡⎤-⎥⨯+⎢⎣⎦=221214++-9993a ab b ab =221101-+999a ab b ≥0 △22-10+0a ab b ≥△22+10a b ab ≥故答案为：22+10a b ab ≥．【点拨】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．16．20【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．解：()()21448680x x x x -+=--=，则x 1=6，x 2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，5=，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20【点拨】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．17．-3【分析】根据同类二次根式的定义可得238103a a -=-，由此求解即可解：△△238103a a -=-，△260+-=a a△3a =-或2a =，△两个根式都是最简根式，△2a =当a =3时，二次根式有意义且符合题意，故答案为-3．【点拨】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式18．53##213【分析】根据根据根与系数的关系得125x x +=，123x x ⋅=，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．解：△12,x x 是一元二次方程2530x x -+=的两个根△125x x +=，123x x ⋅= △1211221153x x x x x x ++== 故答案为：53【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．当x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时1212b c a ax x x x +=-=，． 19．76【分析】第2个方程两边同除以b ²，得到与第一个方程相似的方程，所以a ,1b可看成一元二次方程2610070x x -+=的两个根，利用根与系数的关系可求得a b的值． 解：△27b －100b ＋6＝0，△211610070b b⨯-⨯+=， △26a －100a ＋7＝0，△a 、1b是方程26x －100x ＋7＝0的两个根， △由根与系数的关系可知：176a ab b ⨯==． 故答案为：76． 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关键是把两个数看成一个一元二次方程的两个根．20．233(1)3(1)10x x ++++=【分析】若把增长率记作x ，则第二天票房约为3（1+x ）亿元，第三天票房约为3（1+x ）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：若把增长率记作x ，则第二天票房约为3（1+x ）亿元，第三天票房约为3（1+x ）2亿元，依题意得：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=10．故答案为：：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=10．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21延长B 1D 交BC 于E ，由B 1D △BC ，根据含30角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE ＝12BD ，BE ，设BD ＝x ，在Rt△B 1CE 中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．解：延长B 1D 交BC 于E ，如图：△B1D△BC，△△BED＝△B1EC＝90°，△△B＝30°，△DE＝1BD，2△BE，设BD＝x，△将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，△B1D＝x，△BC＝3，△CE＝3，B1C＝BC＝3，在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，x）2+（3）2＝32△（x+12x x=△(0△x＝0（舍去）或x△BD【点拨】本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含30角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含30角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．22．2【分析】设小路宽为x m ，则种植花草部分的面积等同于长（22-x ）m ，宽（14-x ）m 的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设小路宽为xm ，则种植花草部分的面积等同于长（22-x ）m ，宽（14-x ）m 的矩形的面积，依题意得：（22-x ）（14-x ）=240，整理得：x 2-36x +68=0，解得：x 1=2，x 2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．52【分析】过D'作D 'G △AB 于G ，D 'H △AD 于H ，连结DD'，则由题意和勾股定理可以得到HD'=AG =4，AH =3，DH =2，设DF =y ，则由''2AHD ADF DHD F S SS +=四边形可得关于y 的方程，解方程即可得到DF 的值．解：如图，过D'作D 'G △AB 于G ，D 'H △AD 于H ，连结DD'，由题意可得EB =BC =5，△△CEG =45°，△EG =GD'，设EG =GD '=x ，又由题意可得AD'=AD =5，AG=AE+EG=AB -BE+EG =1+x△在RT △AGD'中，()22215x x ++=，解之可得GD'=x =3，△HD'=AG =4，AH =3，DH =2，设DF =y ，则由''2AHD ADF DHD F S S S +=四边形可得：()423452222y y +⨯⨯+=⨯， 解之可得y =52，即DF =52， 故答案为：52． 【点拨】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握勾股定理的应用、矩形与轴对称的性质及方程思想方法的运用是解题关键．24．（1）1103x =，297x =-；（2）152x =，23x =；（3）12x a =，2x a =；（4）△当0m =时， 12x =；△当0m ≠时，若1m ，x =；若1m ，方程无解【分析】（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）利用因式分解法即可求得方程的解；（3）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；（4）分m=0和0m ≠两种情况考虑，当0m ≠时，再分△≥0和△＜0两种情况考虑，即可得到方程的解．（1）2699910x x --=解：26910000x x -+= ()2310000x -=3100x -=或3100x -=-1103x =，297x =-；（2）()()22352360x x ---+=解：()()2322330x x ----=2320x --=或2330x --=152x =，23x =； （3）2223x a ax += 解：2222993244x ax a a a -+=-+ 223124x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3122x a a -=± 1322x a a =±+ 12x a =，2x a =； （4）2210mx x -+=解：△当0m =时，210x -+=，解得：12x =；△当0m ≠时，44m ∆=-，若440m -≥，即1m ，x 若440m -<，即1m ，方程无解．【点拨】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．25．（1）4；（2）7；（3）2试题分析：（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．解：（1）△a 2+6ab+10b 2+2b+1=0，△a 2+6ab+9b 2+b 2+2b+1=0，△（a+3b ）2+（b+1）2=0，△a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a -b=4；（2）△2a 2+b 2-4a -6b+11=0，△2a 2-4a++2+b 2-6b+9=0，△2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，△△ABC的周长为1+3+3=7；（3）△x+y=2，△y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，△x2-2x+1+z2+4z+4=0，△（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，△xyz=2．【点拨】本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.26．(1)答案见解析【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将x=1代入方程可确定m的值；（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．解：(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，△a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，△b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，△在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即b2−4ac＞0，△关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程可得：12−(m+2)+(2m−1)=0，解得：m =2；(3)△m =2，△方程为x 2−4x +3=0，解得：x 1=1或x 2=3，△方程的另一个根为x =3；△直角三角形的两直角边是1、3，，△，△直角三角形的周长为1＋3【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．27．（1）-2，1；（2）x ＝3；（3）4【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）把无理方程化为整式方程x 2﹣2x ﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；（3）先表示得到（x +1x ）2﹣3（x +1x ）﹣4＝0，利用因式分解法得到x +1x ＝4或x +1x＝﹣1，由于x +1x ＝﹣1化为x 2+x +1＝0，此方程没有实数解，从而得到x +1x的值为4． 解：（1）x 3+x 2﹣2x ＝0，x （x 2+x ﹣2）＝0，x （x +2）（x ﹣1）＝0，x ＝0或x +2＝0或x ﹣1＝0，所以x 1＝0，x 2＝﹣2，x 3＝1；故答案为0，﹣2，1；（2）两边平方得2x +3＝x 2，整理得x 2﹣2x ﹣3＝0，因式分解得()()310x x -+=解得x 1＝3，x 2＝﹣1，经检验，x ＝3为原方程的解；（3）22133x x x x+--＝2， 211340x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11410x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 140x x +-=或110x x++=， △11x x +=-化为x 2+x +1＝0，△=1-4=-40<,此方程没有实数解舍去， △x +1x的值为4． 【点拨】本题考查高次方程的解法、无理方程、分式方程的解，掌握高次方程的解法、无理方程、分式方程的解都转化为低次方程，有理方程，和整式方程来解是解题关键．28．(1)每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元(2)m 的值为10【分析】（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为x 元，每个“雪容融”的进价为y 元，再根据题意建立方程，解方程即可；（2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可．(1)解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为x 元，每个“雪容融”的进价为y 元，依题意得△203040x x y y ==-⎧⎨⎩． 解得：12080x y =⎧⎨=⎩． 答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元．(2)解：依题意得：14(150120)(120)(10080)(150)66003m m m -++--+=， 整理得：2100m m -=，解得：110m =，20m =（不合题意，舍去）．答：m 的值为10．【点拨】本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．。
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巩固练习
1．方程x2-9=0的解是（）
A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=-3 D．x1=9，x2=-9 2．下列方程中肯定是一元二次方程的是（）
A．-ax2+bx+c=0 B．3x2-2x+1=mx2
C．x+1
x
=1 D．（a2+1）x2-2x-3=0
3．（2007四川眉山）一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（）C A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根
C．没有实数根D．有两个相等的实数根
4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ •）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
5．（2007江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．6．方程（x-2）（x-3）=6的解为______．
7．已知某工厂计划经过两年的时间，•把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．
8．若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为_____．
9．方程（m+1）|m|+1+（m-3）x-1=0．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
10．解下列方程：
（1）x2-12x-4=0；（2）x2+2x=2；
（3）x2-4x-12=0；（4）（x+1）2-4=0
11．（2008年贵阳市）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
12．(2008年东莞市)如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
13．（2006年重庆市）机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、•乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？14．填空：
（1）方程x2+2x+1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x1=______，x1·x2=_____；（2）方程x2-3x-1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____；
（3）方程3x2+4x-7=0的根为x1=_____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题
已知x 2-4x+C=0的一个根求方程的另一个根及C 的值．
15. 解方程x (x -1)=2．
有学生给出如下解法：
∵ x (x -1)=2=1×2=（-1）×（-2），
∴ 1,12;x x =⎧⎨-=⎩或2,11;x x =⎧⎨-=⎩或1,12;x x =-⎧⎨-=-⎩或2,1 1.x x =-⎧⎨-=-⎩
解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得 x =2或x =-1．
∴ x =2或x =--1．
请问：这个解法对吗？试说明你的理由．
16.（2006·广东省）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
九上一元二次方程精析精练参考答案
例1：（3）是的
例2：一般形式是2
25110x x --=，二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是－11. 例3：m ≠－2
例4：（1）x 1=1，x 2=－1 （2）x 1=1.25，x 2=－1.25 （3）x 1=1，x 2=－3
例5：（1）121,1x x == （2）
考点精练
1．C 2．D 3．C 4．B
5．略 6．x 1=0，x 2=5 7．10%，146 8．6或10或12
9．（1）m=1，x 12x =（2）m=0或m=-1
10．（1）x 1=x 2
（2）x 1x 2= （3）x 1=6，x 2=-2，（4）x 1=-3，x 2=1 11．设百分率为x ，则200（1-x ）2=128，
解之得x 1=1.8（舍去），x 2=0.2，即百分率为20%
12．设售价为x 元，则（x-30）[600-（x-40）×10]=10000，•
解得x=50，x=80，即售价为50元时进500个．售价为80元时进200个．
13．解：（1）由题意，得70×（1-60%）=70×40%=28（千克）．
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克．
由题意，得：x ×[1-（90-x ）×1.6%-60%]=12，
整理得x-65x-750=0，解得：x 1=75，x 2=-10（舍去），（90-75）×1.6%+60%=84%． 答：（1）技术革新后，•甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．（2）技术革新后，•乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
14．（1）x 1=-1，x 2=-1，x 1+x 2=-2，x 1·x 2=1
（2）x 1=
23322
x +=x 1+x 2=3，x 2=-1 （3）x 1=1，x 2=-73，x 1+x 2=-43，x 1·x 2=-73
猜想：a x 2+bx+c=0的两根为x 1与x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a
，
应用：另一根为C=1 15．答案一：
对于这个特定的已知方程，解法是对的．
理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对．
答案二：
解法不严密，方法不具有一般性．
理由是：为何不可以2=3×23等，得到其它的方程组？此学生的方法只是巧合了，求对了方程的根．
16．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm 由题意得：2220()()1744
x
x -+= 解得：116x =，24x =
当116x =时，20-x=4
当24x =时，20-x=16
答：（略）
（2）不能
理由是：
整理得：2201040x x -+=
∵ 24160b ac -=-<
∴此方程无解
即不能剪成两段使得面积和为12cm 2。