2019届高考数学专题14外接球

培优点十四 外接球

1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心

例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π

C ．24π

D ．32π

【答案】C

【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ． 2．补形法（补成长方体）

例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ． 【答案】9π

【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==． 3．依据垂直关系找球心

例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足

6BA BC ==π

2

ABC ∠=

，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32

π3

【答案】D

【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1

1232r =的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1

632ABC S =?=△，3BD =11

6336

ABC V S h h ==?=△，

最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2

233R R =-+，解之得2R =， 所以外接球的体积是3432ππ33

R =，故答案为D ．

一、单选题

1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π

C ．24π

D ．48π

【答案】B 对点增分集训

【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()()()

22

2

2223

5

R =+

+

，则：23R =，

该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==?=．本题选择B 选项．

2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π

【答案】B

【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：23

2r =，则2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径()

2

223

27R =+=，

外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．

3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥

D ABC -的外接

球的表面积为（ ） A ．32π B ．27π C ．18π D ．9π

【答案】C

【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ） A ．2πa B ．22πa C ．23πa D ．24πa

【答案】C

【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：

该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2223

23R a a a a R =++?，所以该几何体外接球面积

2

22

34π4π3πS R a ?==?=??

??

，故选C ． 5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（ ）

A ．16π

B ．32π

C ．60π

D ．64π

【答案】D

【解析】因为2BC BD ==，23CD =(2

222223

1cos 222

2

CBD +-∠==-??，

2π3

CBD ∴∠=

， 因此三角形BCD 外接圆半径为

122sin CD

CBD

=∠，

设外接球半径为R ，则2

2

2

=2+412162AB R ??=+= ???

，2

=4π64πS R ∴=，故选D ．

6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A ．

9π16

B ．

25π16

C ．

49π16

D ．

81π16

【答案】D

【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，

易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()

2

2

2

22x x -+=??

，解得：98x =，则该球的表面积2

2

9814π4ππ816

S R ??

==?= ???．本题选择D 选项．

7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，

C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1

2

R ，2AB AC ==，120BAC ∠=?，则球O 的表面积为（ ）

A ．

16π9

B ．

16π3

C ．

64π9

D ．

64π3

【答案】D

【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-???=，

设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：

23

2r =，则2r =，

又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积264

4ππ3

S R ==．本题选择D 选项．

8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，10若该正四棱锥的体积为50

3

，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86C ．36π D ．323π

【答案】C 【解析】

如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 底面正方形的边长为105EA ∴= 正四棱锥的体积为503，2

150103

3

P ABCD V PE -∴=?

?=

， 则5PE =，5OE R ∴=-，

在AOE △中由勾股定理可得：()2

255R R -+=，解得3R =，34π36π3

V R ∴==球，故选C ．

9．如图，在ABC △中，6AB BC ==90ABC ∠=?，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是（ ） A ．7π B ．5π

C ．3π

D ．π

【答案】A

【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，

PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，

由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =7R =

∴该球的表面积27

4π4π7π4

S R ==?=．故选A ．

10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=?，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．

19π2

B 1938π

C ．17π

D 1717π

【答案】A 【解析】

由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=?，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE =

=，3

FE ∵60ABC ABD ∠=∠=?，可得7AD AC ==可得6AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF =

设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，

)

2

226π

EF R +=……②

由①②解得：19R =

219

4ππ2

S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=?，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．7

π2

B ．7π

C ．

13π2

D ．

13π3

【答案】B

【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=?，

底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =3

21r r =?=，

见图示：

AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的

一半，即为球心的位置O ，∴3

OM =

OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径．

∴球的半径37

14OD =+

．该球的表面积为24π7πOD ?=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球

的表面积为（ ） A 4343π

B 4343π

C ．

43π

2

D ．43π

【答案】D

【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ，

由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，

AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线，

球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-

∴7GF =，球半径74394DG =+=

24π43πS DG =?=．

故选D ． 二、填空题

13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】84π

【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为161232sin6023

r =?==?

则外接球的半径()

2

2323

91221R ++，

则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==?=．

14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】(323π-

【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则234163?=????

，解得4a =．

于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆， 其中4MN =，23PM PN ==22PE =．

设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ?△△，得

FO PO

EN PN =

，即22223

r r -=，

解得226231

r =

=+

∴内切球的表面积为(2

24π4π

62

32163πS r ===-．

15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB =，1AC =，60BAC ∠=?，则此球的表面积等于______． 【答案】8π

【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=?，11

21sin 6032AA ∴?????=12AA ∴=，

2222cos60412BC AB AC AB AC =+-??=+-，3BC ∴=，

设ABC △外接圆的半径为R ，则

2sin 60BC

R ?

＝，1R ∴=， 112+=2

4π2

8π?

=．故答案为8π．

16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____． 82π

【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，

设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+积的最小值即为

AD 最小，()2

24AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为222

82π