人教A版高中数学选修2-3同步阶段质量检测(一)

阶段质量检测一

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )

A ．5

B ．3

C ．6

D ．7

解析：选A 依题意得

m ！(m －5)！＝2×m ！

(m －3)！

，化简得(m －3)(m －4)＝2，解得m ＝2或

m ＝5，又m ≥5，∴m ＝5，故选A.

2．(1－x )10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120

D ．－120

解析：选D 由T r ＋1＝C r 10(－x )r ＝(－1)r C r 10x r ，因为r ＝3，所以系数为(－1)3C 3

10＝－120.

3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )

A ．36种

B ．48种

C ．96种

D ．192种

解析：选C 共有C 24·C 34·C 34＝96种不同的选修方案，故选C.

4．高三(一)班学生要安排毕业晚会上4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )

A ．1 800

B ．3 600

C ．4 320

D ．5 040

解析：选B 不同的排法种数为A 55A 26＝3 600.

5．下列关于(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小

解析：选C 由展开式的二项式系数之和为2n 知A 正确；当n 为偶数时，展开式中二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确；C 错误；D 也正确，因为展开式中第6项的系数是负数，且二项式系数最大，所以是系数最小的项．

6．(x 2＋2)????1x 2－15的展开式的常数项是( )

C ．2

D ．3

解析：选D ????1x 2－15

的展开式的通项为T r ＋1＝

C r 5????1x 2

5－r ·

(－1)r ，r ＝0,1,2,3,4,5.当因式(x 2＋2)中提供x 2时，则取r ＝4；当因式(x 2＋2)中提供2时，则取r ＝5，所以(x 2＋2)????1x 2－15

的展开式的常数项是5－2＝3.

7．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )

A ．320

B ．160

C ．96

D ．60

解析：选A 按③→①→②→④的顺序涂色，有C 15×C 14×C 14×C 1

4＝5×4×4×4＝320种不

同的方法．

8．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法总数共有( )

A ．12种

B ．20种

C ．24种

D ．48种

解析：选C 甲、乙捆绑看成一个元素，与丙、丁之外的1个元素共两个元素进行全排列，

有A 22A 22种排法，再插空排入丙、丁，共有A 22A 22·A 23

＝24种不同排法． 9．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( ) A ．－180 B ．180 C ．45

D ．－45

解析：选B 令t ＝1－x ，则x ＝1－t ，所以有(2－t )10＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 10t 10，因为T r

＋1

＝C r 10210－r (－t )r ＝C r 10210－

r (－1)r t r ，令r ＝8，得a 8＝C 810

×22＝180. 10．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )

A ．6A 33

B ．3A 33

C ．2A 33

D ．A 22A 14A 4

4

解析：选D 先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A 14种排法，这两名女歌手有A 2

2种

排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A 44种排法，根据分步乘法计数原理，

有A 14A 22A 4

4种出场方案．

11．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )

C ．60种

D ．66种

解析：选B 先排甲、乙外的3人，有A 33种排法，再插入甲、乙两人，有A 2

4种方法，又

甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占12，故有12

A 33A 24＝36种不同的站法． 12．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记含x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )

A ．45

B ．60

C ．120

D ．210

解析：选C 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24

＋C 06C 3

4＝120.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．不等式A 2n －1－n <7的解集为________．

解析：由不等式A 2n －1－n <7，得(n －1)(n －2)－n <7，整理得n 2

－4n －5<0，解得－1

－n <7的解集为{3,4}．

答案：{3,4}

14．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________. 解析：因为(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0， 由二项式定理可知a 0，a 2，a 4，a 6均为正数， a 1，a 3，a 5均为负数， 令x ＝－1可得

|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(2＋1)6＝729. 答案：729

15．在(x －2)5(2＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数为________．

解析：(x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－

r (－2)r ，令5－r ＝3，得r ＝2，则x 3的系数为C 25(－2)2＝40；(2＋y )4的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4(2)4－

r y r ，令r ＝2，得y 2的系数为C 24

(2)2

＝12.故展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.

答案：480

16．若从1,2,3,4,7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，则能得到________个不同的对数值(结果用数字表示)．

解析：注意到1不能作为底数，1的对数为0，从2,3,4,7,9中任取两个不同的数为真数、底数，可有5×4个值，但log 23＝log 49，log 24＝log 39，log 32＝log 94，log 42＝log 93，所以不同的对数值共有5×4－4＋1＝17(个)．

答案：17

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知二项式?

??

?5x －

1x n

展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240.

(1)求n ；

(2)求展开式中含x 项的系数； (3)求展开式中所有含x 的有理项．

解：(1)由已知得：4n －2n ＝240,2n ＝16，n ＝4. (2)二项展开式的通项为：

C r 4(5x )4－r ????－1x r ＝C r 454－r (－1)r x 4－32r ， 令4－3

2

r ＝1?r ＝2.

所以含x 项的系数：C 2452(－1)2＝150.

(3)由(2)得：4－3

2r ∈Z ，(r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4.

所以展开式中所有含x 的有理项为： 第1项625x 4，第3项150x ，第5项x －

2.

18．(本小题满分12分)设集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )是坐标平面上的点，a ，b ∈M .求：

(1)P 可以表示多少个平面上的不同的点？ (2)P 可以表示多少个第二象限的点？ (3)P 可以表示多少个不在直线y ＝x 上的点？

解：(1)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有6种，由分步乘法计数原理得N ＝6×6＝36(个)．

(2)分两步，第一步确定小于0的横坐标有3种，第二步确定大于0的纵坐标有2种，根据分步乘法计数原理得N ＝3×2＝6(个)．

(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定不等于横坐标的纵坐标有5种，根据分步乘法计数原理得N ＝6×5＝30(个)．

19．(本小题满分12分)将四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中． (1)若每个盒子放一个球，则有多少种不同的放法？ (2)恰有一个空盒的放法共有多少种？

解：(1)每个盒子放一个球，共有A 44＝24种不同的放法．

(2)先选后排，分三步完成．

第一步：四个盒子中选一个为空盒子，有4种选法； 第二步：任选两球为一个元素，有C 24种选法； 第三步：将三个元素放入三个盒中，有A 33种放法．

根据分步乘法计数原理，共有4×C 24A 33＝144种放法．

20．(本小题满分12分)已知????x －2

x 2n (n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 3

2

的项；

(3)求展开式中系数的绝对值最大的项． 解：因为????x －2

x 2n 的展开式的通项是 T r ＋1＝C r n (x )n －r ????－2x 2

r ＝(－2)r C r

n x n －5r 2， 所以T 5＝T 4＋1＝24C 4n x n 2－10.T 3＝T 2＋1＝22C 2

n x n 2－5. 所以24C 4n

22C 2n ＝101

，

所以n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)， (1)令x ＝1，则 ????x －2

x 28各项系数的和为1. (2)展开式通项为T r ＋1＝(－2)r C r 8x 8－5r

2， 令

8－5r 2＝3

2

，得r ＝1. 所以展开式中含x 3

2的项为

T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 18

x 32＝－16x 3

2

. (3)展开式的第r 项、第r ＋1项、第r ＋2项的系数的绝对值分别为C r －

182r －

1

，C r 82r ，C r ＋

182

r ＋1

，

若第r ＋1项的系数的绝对值最大，则有????

?

C r －

182r －

1≤C r 82r ，C r 82r ≥C r ＋18

2r ＋1

， 解得5≤r ≤6，

故系数的绝对值最大的项为第六项或第七项， 即T 6＝－1 792x －172

，T 7＝1 792x －

11.

21．(本小题满分12分)从集合{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？

解：设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，

则a＋c＝2b，

所以a＋c应是偶数．

因此，若从1,2，…，20这20个数字中任选出3个不同的数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数．

而1到20这20个数字中有10个偶数10个奇数，当第一个数和第三个数选定后，中间数唯一确定，因此，选法只有两类：①第一、三个数都是偶数，有A210种选法；

②第一、三个数都是奇数，有A210种选法．

于是，满足题意的等差数列共有A210＋A210＝180(个)．

22．(本小题满分12分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？

(1)4只鞋子没有成双的；

(2)4只鞋子恰成2双；

(3)4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．

解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410×24＝3 360.

(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，即45种不同取法．

(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双鞋有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法种数为N＝C110C29×22＝1 440.

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