初等矩阵
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初等矩阵及其性质
证明二：初等矩阵不改变向量间的线性关系
要点一
总结词
要点二
详细描述
初等矩阵不会改变向量间的线性关系，即对于任意向量组 ，经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得到，这些变换 都不会改变向量间的线性关系。因此，对于任意向量组， 经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
证明三：初等矩阵的行列式值不为零
总结词
初等矩阵的行列式值不为零，即对于任意一 个初等矩阵，其行列式值不为零。
详细描述
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得 到，这些变换都不会改变矩阵的行列式值。 因此，对于任意一个初等矩阵，其行列式值
用
矩阵的逆
通过初等矩阵的变换，可以求得一个可逆矩阵的逆矩阵，从而进行矩阵运算。
线性变换
在研究线性变换时，可以利用初等矩阵的变换，将线性变换表示为矩阵的形式，便于分析和理解。
04
初等矩阵的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
通过初等矩阵的行变换，将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程 组。
证明一：初等矩阵是可逆的
总结词
详细描述
初等矩阵是可逆矩阵，即存在一个可逆矩阵， 使得初等矩阵与单位矩阵通过一系列的行变 换或列变换相互转化。
初等矩阵由单位矩阵通过互换两行或两列、 将某一行或某一列乘以非零常数以及将某一 行或某一列乘以另一行或另一列的非零倍数 得到。由于这些变换都是可逆的，因此初等 矩阵也是可逆的。
实例三：求矩阵的逆矩阵
总结词
利用初等矩阵的行变换性质，通过行变 换将可逆矩阵化为单位矩阵，从而求出 其逆矩阵。
VS
详细描述
对于可逆矩阵，可以通过初等矩阵的行变 换将其化为单位矩阵。在行变换过程中， 原矩阵左边的矩阵即为所求的逆矩阵。这 种方法称为高斯消元法，适用于求解可逆 矩阵的逆矩阵。
线性代数-初等矩阵
变换,将A划为单位阵E后, E对应部分即为A−1.
思考题
1 0 0 将矩阵A = 2 0 − 1表示成有限个初等方阵
0 − 1 0 的乘积.
思考题解答
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 ↔ r3 , c1 + 2c3 , (− 1)r3 , (− 1)c3
而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为:
阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于
在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
初等变换初等矩阵源自初等逆变换初等逆矩阵
变换 ri ↔ rj 的逆变换是其本身，
则E(i, j)−1 = E(i, j) ；
变换
ri
×
k
的逆变换为
ri
×
1 k
，
则 E(i(k ))−1 = E(i( 1 )); k
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (−k)rj，
则 E(ij(k= ))−1 E(ij(−k)) .
定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等 方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A = P1P2 Pl .
证 A ~ E, 故 E 经有限次初等变换可变 A,
即存在有限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl , 使
AEn
(i,
j)
=
a21
a2 j
a2i
a2n
am1 amj ami amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ↔ c j ).
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行(ri × k)，得初等 矩阵E (i (k )).
思考题
1 0 0 将矩阵A = 2 0 − 1表示成有限个初等方阵
0 − 1 0 的乘积.
思考题解答
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 ↔ r3 , c1 + 2c3 , (− 1)r3 , (− 1)c3
而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为:
阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于
在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
初等变换初等矩阵源自初等逆变换初等逆矩阵
变换 ri ↔ rj 的逆变换是其本身，
则E(i, j)−1 = E(i, j) ；
变换
ri
×
k
的逆变换为
ri
×
1 k
，
则 E(i(k ))−1 = E(i( 1 )); k
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (−k)rj，
则 E(ij(k= ))−1 E(ij(−k)) .
定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等 方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A = P1P2 Pl .
证 A ~ E, 故 E 经有限次初等变换可变 A,
即存在有限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl , 使
AEn
(i,
j)
=
a21
a2 j
a2i
a2n
am1 amj ami amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ↔ c j ).
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行(ri × k)，得初等 矩阵E (i (k )).
§5-初等矩阵
B P1P2 Ps AQ1Q2 Qt .
与A等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩 阵，把它作为A的代表呢？
10
定理5.2 任意一个 s n 矩阵A都与一形如
1
00
Er 0
0
0
0
00
0
r 的矩阵等价，且主对角线上１的个数 等于A的
秩．称这个矩阵为A的标准形．
2、用非零数c乘E的第i 行，得到初等矩阵
1
p(i(c))
c
i
1
称为第二类初等矩阵（又称倍法矩阵）.
注 倍法矩阵的特点是：(i, i)元＝c ；其它元素与单位
矩阵相同.
3
3、把E的第j 行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵
1
1
k
i行
p(i,
（j k）)
.
1
j行
1
称为第三类初等矩阵（又称消法矩阵）.
1
A1 A1
2）
P(i(c))A
c
Ai
cAi
,
1 As As
这相当于把A的第i 行乘以c.
1
A1 A1
3)
P(i,
j(k)) A
1
k
1
Ai
Ai
kAj
,
Aj
Aj
1 As As
这个定理可以用八个字概括：“左行右列，首尾为主”9 .
因此我们有
PsQ1Q2
Qt ，
定理5.3 n级方阵A可逆 A能表成初等矩阵的乘积
13
推论1： 两个 s n矩阵A、B等价 存在s级可逆矩
阵P和n级可逆矩阵Q，使B=PAQ． 推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵E
与A等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩 阵，把它作为A的代表呢？
10
定理5.2 任意一个 s n 矩阵A都与一形如
1
00
Er 0
0
0
0
00
0
r 的矩阵等价，且主对角线上１的个数 等于A的
秩．称这个矩阵为A的标准形．
2、用非零数c乘E的第i 行，得到初等矩阵
1
p(i(c))
c
i
1
称为第二类初等矩阵（又称倍法矩阵）.
注 倍法矩阵的特点是：(i, i)元＝c ；其它元素与单位
矩阵相同.
3
3、把E的第j 行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵
1
1
k
i行
p(i,
（j k）)
.
1
j行
1
称为第三类初等矩阵（又称消法矩阵）.
1
A1 A1
2）
P(i(c))A
c
Ai
cAi
,
1 As As
这相当于把A的第i 行乘以c.
1
A1 A1
3)
P(i,
j(k)) A
1
k
1
Ai
Ai
kAj
,
Aj
Aj
1 As As
这个定理可以用八个字概括：“左行右列，首尾为主”9 .
因此我们有
PsQ1Q2
Qt ，
定理5.3 n级方阵A可逆 A能表成初等矩阵的乘积
13
推论1： 两个 s n矩阵A、B等价 存在s级可逆矩
阵P和n级可逆矩阵Q，使B=PAQ． 推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵E
初等矩阵
§6初等矩阵这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法。
一、初等矩阵1.定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵．显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。
对应三种初等行、列变换，有三种类型的初等矩阵：101(,)11i j i jr r E p i j Ec c ⎛⎫ ⎪ ⎪↔ ⎪⎪=⎪ ⎪↔ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1(())1i ikr E k p i k kEkc ⎛⎫ ⎪⎪≠⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1()1(,)()11i j j ir kr E i k p i j k Ej c rc ⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪⎪= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（）或2．初等矩阵的性质 1）初等矩阵皆可逆，且1111(,)(,),(())(()),(,())(,()).p i j p i j p i k p i p i j k p i j k k ---===-2）对任一s n ⨯矩阵A ，左(右)乘一个s s ⨯初等矩阵相当于对A 作一初等行(列)变换．(,)p i j A ： 对换A 的i ,j 两行； A (,)p i j : 对换A 的i ,j 两列．(())p i k A ：用非零数k 乘A 的第i 列； A (())p i k ：用非零数k乘A 的第i 列．(,())p i j k A ：A 的第j 行乘以k 加到第i 行；A (,())p i j k ：A 的第i 列乘以k 加到第j 列．证明2） 我们只证行变换的情形，列变换的情形可同样证明。
令()ij b B = 为任意一个s×s 矩阵，12,,,s A A A 为A 的行向量。
则111122121122221122s s s s s s ss s b A b A b A b A b A b A BA b A b A b A +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦特别，令()j i P B ,=，得()行，行j i A A A A A j i P S i j ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1,这就相当于把A 的i 行与j 行互换。
初等矩阵概念
初等矩阵概念
初等矩阵是指一个由相同元素组成的矩阵,这些元素都是 0 或 1。
在数学和计算机科学中,初等矩阵是一个重要的概念,可以用来表示一些基本的矩阵运算,如加法、乘法、交换律和结合律等。
初等矩阵可以看作是一个特殊的矩阵,它有一个唯一的特征值,即它的行列式为零。
因此,初等矩阵的行数等于列数,即 $n$ 行 $n$ 列。
在数学和计算机科学中,初等矩阵通常用于矩阵乘法的实现,如矩阵和向量的加法和乘法。
除了初等矩阵之外,还有一些其他的矩阵类型,包括高等矩阵、单位矩阵、对角矩阵等。
高等矩阵是一种比初等矩阵更复杂的矩阵类型,它可以用来表示一些更复杂的矩阵运算。
单位矩阵是一种具有特殊性质的矩阵,它的行数等于列数,并且每行和每列的元素都相等。
对角矩阵是一种具有对角线的矩阵类型,它可以用来表示线性方程组和矩阵的对角化。
在数学和计算机科学中,矩阵是一种非常常见的数学工具,可以用来表示和处理各种数据类型。
矩阵的运算包括加法、乘法、交换律和结合律等,这些运算可以用来解决各种数学和计算机科学问题。
初等矩阵是一个重要的概念,可以用来表示一些基本的矩阵运算,同时也有其他特殊的矩阵类型,这些矩阵类型可以用来表示更复杂的矩阵运算。
4§6 初等矩阵
1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 −3 −8 0 −2 1
1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 −2 3 −2 1
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1 1 4 0 1 2 0 0 −2 1 0 0 1 0 0
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结束
1 O 第i行 1 L k P(i, j (k )) = O M , 第j行 1 O 1
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结束
注 同样可以得到与列变换相应的初等矩阵。
1. 交换E的第i列和第j列，即
1 O 1 0 L 1 1 M O M , 1 1 L 0 1 O 1 j 第列 第i列
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结束
推论2 推论2
可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单 位矩阵。 证明： 证明： 由定理6可知，A可逆 A能表成一些初等矩阵的乘积 A = Q1Q2 LQm . 可改写为 − Qm1 LQ2−1Q1−1 A = E. 因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵 A的左边乘初等矩阵就相当于对 A作初等行变换。
§6 初等矩阵
定义10 定义10
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵。 初等矩阵 注 由定义可知，初等矩阵有以下三种情形： 1. 交换E的第i行与第j行，记为P(i, j)； 2. 用数域P中非零数c乘E的第i行，记为P(i(c))； 3. 把E的第j行的k倍加到第i行，记为P( i, j(k)). 即
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结束
则
A1 A 设A1, A2, …，As为A的行向量。即 A = 2 , M As
第三章5初等矩阵
1 0 0 0 6 3 1 2 0 0 0 1 0 4 1 0 1 1 2 0 1 0 1 / 2 1 / 6 1 / 3 0 1 0 1 1 2 0 1 0 1 / 2 1 / 6 1 / 3 0 1 2 / 3 1 / 3 1 0 4/ 3 1/ 3 2 0 1 / 6 1 / 6 1 / 2 1 2 / 3 1 / 3 1
2 3 1 0. 2 3 2 3 1 0 2 1
14
2 2 3 4 2 1 1 0 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 2 3 4 1 2 1 1 1 1 0 1 1 0 4 3 2 0 0 1 1 0 3
8
充分性.如果A可以表示为初等矩阵的乘积,由 于初等矩阵可逆,而可逆矩阵的乘积仍然可逆, 故A可逆.
9
二、用初等变换求逆矩阵
设方阵A可逆,其逆为A-1根据前面的定理,存 在初等矩阵 G1 ,, Gk ,使得
A Gk G1 Gk G1 E , A A Gk G1 A E , Gk G1 ( A, E ) (Gk G1 A, Gk G1 E ) ( E , A1 ).
7
定理 方阵A可逆的充要条件是它可以表示为 初等矩阵的乘积. 证明必要性.设A可逆,则其秩为r,根据上一个 定理,存在存在初等矩阵 P1 ,, Ps 和初等矩 阵 Q1 , , Qt ，使得
Ps P1 AQ1 Qt E .
于是
A P11 Ps1Qs1 Q11 .
而初等矩阵的逆仍是初等矩阵,上式表明 A 可以表示为初等矩阵的乘积.
13
求An的逆矩阵,相当解方程AX=E,把E换成 矩 阵B n×m,可以用类似的初等行变换解矩阵方程 AX=B.
初等矩阵及其性质
a21
a31
a12 a22` a32
ka13 ka23 ka33
a14
a24
B
a34
A kC3 Bபைடு நூலகம்
用初等矩阵表示矩形框里的矩阵：
A r1 r2
E12 A
c3 k
r1 k
E12 AE3(k )
E1(k )E12 AE3(k ) B
E1(k )E12 AE3(k )
a14
a24
a34
a14
a24
ka34
B
a34
1 0 0 0
a11 AE3(k) a21
a31
a12 a22` a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
0 0 0
1 0 0
0 k 0
0 0 1
a11
3ri krj
ci kc j
.
初等变换的逆变换仍为初等变换, 变换类型相同．
2. A 初等变换 B A ~ B. 3.矩阵等价具有的性质
1反身性; 2 对称性; 3传递性.
一次初等变换
4. 单位矩阵
初等矩阵.
5. 初等变换的应用
用初等变换求逆矩阵的方法:
1)构造矩:(A E); 2)做初等行变换 A E行 E A1
4
0
r2 2 r3 5r2
r4
3r1
0
0
5 3
5 3
3 4
6
3
r4 3r2
1 0 0 0
初等矩阵
推论. 设A, B分别为sn矩阵和nt矩阵, 若AB = O, 则r(A) + r(B) n.
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
例6. 设n阶方阵A满足A2 = A, 证明 r(A) + r(EA) = n.
证明: 一方面, r(A) + r(EA) r(E) = n. 另一方面, A2 = A A(EA) = O
P1, P2, …, Ps 及n阶初等矩阵 Q1, Q2, …, Qt 使得 Ps…P2P1AQ1Q2…Qt = B.
推论3’ 若 mn 矩阵A和B等价(即A B 或 r(A) = r(B)), 则m阶可逆矩阵P
及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ = B.
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
推论3’ 若 mn 矩阵A和B等价(即A B 或 r(A) = r(B)), 则m阶可逆矩阵P 及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ = B.
A
B
A1
E BA1
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
应用三：结合等价标准型的一些证明
例5. 证明: 任意秩为 r 的矩阵可以表示成 r 个秩为1的矩阵之和.
第二章 矩阵
四. 矩阵的代数运算与矩阵的秩
§2.5 初等矩阵
命题1. 设A为sm矩阵, B为sn矩阵, 则 max{r(A), r(B)} r(A, B) r(A)+r(B).
及n阶初等矩阵Q1, Q2, …, Qt 使得Ps…P2P1AQ1Q2…Qt = Em(r)n.
推论2’ mn 矩阵A,若r(A)=r, 则m阶 可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ= Em(r)n.
推论. A可逆A可写成初等矩阵的乘积.
第二章 矩阵
推论3
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
例6. 设n阶方阵A满足A2 = A, 证明 r(A) + r(EA) = n.
证明: 一方面, r(A) + r(EA) r(E) = n. 另一方面, A2 = A A(EA) = O
P1, P2, …, Ps 及n阶初等矩阵 Q1, Q2, …, Qt 使得 Ps…P2P1AQ1Q2…Qt = B.
推论3’ 若 mn 矩阵A和B等价(即A B 或 r(A) = r(B)), 则m阶可逆矩阵P
及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ = B.
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
推论3’ 若 mn 矩阵A和B等价(即A B 或 r(A) = r(B)), 则m阶可逆矩阵P 及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ = B.
A
B
A1
E BA1
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
应用三：结合等价标准型的一些证明
例5. 证明: 任意秩为 r 的矩阵可以表示成 r 个秩为1的矩阵之和.
第二章 矩阵
四. 矩阵的代数运算与矩阵的秩
§2.5 初等矩阵
命题1. 设A为sm矩阵, B为sn矩阵, 则 max{r(A), r(B)} r(A, B) r(A)+r(B).
及n阶初等矩阵Q1, Q2, …, Qt 使得Ps…P2P1AQ1Q2…Qt = Em(r)n.
推论2’ mn 矩阵A,若r(A)=r, 则m阶 可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ= Em(r)n.
推论. A可逆A可写成初等矩阵的乘积.
第二章 矩阵
推论3
线性代数-初等矩阵
a1n a2n
am1 ami kamj amj amn
二、初等矩阵的性质
定理1 设A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的m
阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于
在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
例 1 0 0
1 2 1
第j行
1
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
1
a11 a12
a1n
01
ai1
ai 2
ain
第
i
行
Em (i, j)A
10
a
j1
aj2
a jn
第
j
行
1
am1
am 2
amn
a11 a12
a j1
aj2
ai1
ai 2
am1
am 2
B,与此相对应的存在有限个初等矩阵 P ,P ,
1
2
P ,使 s
P1P2 Ps A B.
因A 可逆, P ,P , P 可逆 , 则B 可逆, B 0.
1
2
s
行最简形矩阵B首先是上三角形矩阵, 因B的行列式
不为零,主对角线元素全不为零,而且是首非零元,只
能全是1,得出B是单位矩阵.
再证充分性:
三、初等变换的应用
2 0
2 1
2 1
2 1
例3 已知 n 方阵 A 0 0 1 1,
0 0 0 1
n
求 A 中所有元素的代数余子式之和 Aij .
i , j1
解 A 2 0, A 可逆.
且 A* A A1.
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P ( i , j ) A : 对换 A 的 i , j 两行； AP ( i , j ): 对换 A 的 i , j 两列． P ( i ( k )) A ：用非零数 k乘 A 的第 i 列； AP ( i ( k )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列． P ( i , j ( k )) A ： A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ; AP ( i , j ( k )) ：A的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1 1 k 第i行 P ( i , j ( k )) 第j行 1 1
1
1 l 1
1 1
1 1 1 Pl 1 Pl P E A , 1 1
1 1 1 1 1 Pl1 Pl P A P P P 1 1 l l 1 1 E
E
A
1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
B P1 P2 Ps AQ1Q2 Qt .
3) n 级方阵A可逆 A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价. 4) n 级方阵A可逆 定理6
§4.6 初等矩阵
A能表成一些初等矩阵的积, 即 A Q1Q2 Qt .
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ . 由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
若 A 可逆，则 X A1 B.
1 2 3 2 5 ( A B) 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
§4.6 初等矩阵
r2 2r1
r3 3r1
r1 r2
3 2 5 1 2 0 2 5 1 9 0 2 6 2 12 1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3 0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 1 P (i , j ) 1 1 0 1 1
第i 行
第 j 行
§4.6 初等矩阵
r1 r2
r3 r2
r1 2r3
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r 2 （ 2） 0 2 0 3 6 5 （ 1） 0 0 1 1 1 1 r3
Er 0 PAQ 0 0 ，其中 r R( A) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
§4.6 初等矩阵
三、利用初等变换求逆阵
原理: 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有
Hale Waihona Puke Pl P P A E , 及
1 1 Pl 1 Pl P 1 1 A E
r2 5r3
1 0 10 1 3 32 2 r2 （ 2） 3 5 3 5 1 A 1 3 3 . 0 0 2 2 2 r3 （ 1） 2 11 1 0 0 11 1
§4.6 初等矩阵
r3 r2
r1 2r3
r2 5r3
§4.6 初等矩阵
r1 2r3
r2 5r3
0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
2 r2 （ 2） 1 0 0 3 0 1 0 2 3 ， r3 （ 1） 3 0 0 1 1 2 3 X 2 3 . 1 3
§4.6 初等矩阵
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵） 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等．
§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
1 0 0
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 ( ri k ), 得 初等矩阵
1 1 P ( i ( k )) k 1 1
第i 行
(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
§4.6 初等矩阵
A 如果要求Y CA , 则可对矩阵 作初等列变换， C A 列变换 E 1 , 即可得 Y CA1 . C CA
1
也可改为对( AT , C T ) 作初等行变换， （A , C )
T T
列变换
( E , ( AT )1 C T ),
即可得 Y T ( A1 )T CT ( AT )1 CT ,
即可求得 Y .
§4.6 初等矩阵
思考题
1 将矩阵A 2 0 的乘积. 0 0 1 表示成有限个初等方阵 1 0 0
§4.6 初等矩阵
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 r3 , c1 2c3 ,
1r3 , 1c3
A P3 P1 EP2 P4 P3 P1 P2 P4 .
1 0 0 P1 0 0 1 , 0 1 0 1 0 0 P3 0 1 0 , 0 0 1
§4.6 初等矩阵
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r2 2r1 r1 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A1 B .
即
A1 ( A B) ( E A1 B)
( A B)
初等行变换
E A 1 B
§4.6 初等矩阵
例２ 求矩阵 X , 使 1 2 A 2 2 3 4 解
AX B，其中 3 2 5 1 , B 3 1 . 4 3 3
(消法矩阵)
§4.6 初等矩阵
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i , j ) P (i , j ),
1 P ( i ( k )) P ( i ( )), k
1
1
P (i , j(k ))1 P (i , j( k )).
§4.6 初等矩阵
2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
0 1 0 0 0 0 0
0 0 Er 0 0 0 0 0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
§4.6 初等矩阵
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵 P1 , P2 ,, Ps , Q1 , Q2 ,, Qt , 使
§4.6 初等矩阵
1 P2 0 2 1 P4 0 0
0 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 . 0 1
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
§4.6 初等矩阵
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1 1 k 第i行 P ( i , j ( k )) 第j行 1 1
1
1 l 1
1 1
1 1 1 Pl 1 Pl P E A , 1 1
1 1 1 1 1 Pl1 Pl P A P P P 1 1 l l 1 1 E
E
A
1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
B P1 P2 Ps AQ1Q2 Qt .
3) n 级方阵A可逆 A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价. 4) n 级方阵A可逆 定理6
§4.6 初等矩阵
A能表成一些初等矩阵的积, 即 A Q1Q2 Qt .
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ . 由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
若 A 可逆，则 X A1 B.
1 2 3 2 5 ( A B) 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
§4.6 初等矩阵
r2 2r1
r3 3r1
r1 r2
3 2 5 1 2 0 2 5 1 9 0 2 6 2 12 1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3 0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 1 P (i , j ) 1 1 0 1 1
第i 行
第 j 行
§4.6 初等矩阵
r1 r2
r3 r2
r1 2r3
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r 2 （ 2） 0 2 0 3 6 5 （ 1） 0 0 1 1 1 1 r3
Er 0 PAQ 0 0 ，其中 r R( A) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
§4.6 初等矩阵
三、利用初等变换求逆阵
原理: 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有
Hale Waihona Puke Pl P P A E , 及
1 1 Pl 1 Pl P 1 1 A E
r2 5r3
1 0 10 1 3 32 2 r2 （ 2） 3 5 3 5 1 A 1 3 3 . 0 0 2 2 2 r3 （ 1） 2 11 1 0 0 11 1
§4.6 初等矩阵
r3 r2
r1 2r3
r2 5r3
§4.6 初等矩阵
r1 2r3
r2 5r3
0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
2 r2 （ 2） 1 0 0 3 0 1 0 2 3 ， r3 （ 1） 3 0 0 1 1 2 3 X 2 3 . 1 3
§4.6 初等矩阵
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵） 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等．
§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
1 0 0
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 ( ri k ), 得 初等矩阵
1 1 P ( i ( k )) k 1 1
第i 行
(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
§4.6 初等矩阵
A 如果要求Y CA , 则可对矩阵 作初等列变换， C A 列变换 E 1 , 即可得 Y CA1 . C CA
1
也可改为对( AT , C T ) 作初等行变换， （A , C )
T T
列变换
( E , ( AT )1 C T ),
即可得 Y T ( A1 )T CT ( AT )1 CT ,
即可求得 Y .
§4.6 初等矩阵
思考题
1 将矩阵A 2 0 的乘积. 0 0 1 表示成有限个初等方阵 1 0 0
§4.6 初等矩阵
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 r3 , c1 2c3 ,
1r3 , 1c3
A P3 P1 EP2 P4 P3 P1 P2 P4 .
1 0 0 P1 0 0 1 , 0 1 0 1 0 0 P3 0 1 0 , 0 0 1
§4.6 初等矩阵
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r2 2r1 r1 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A1 B .
即
A1 ( A B) ( E A1 B)
( A B)
初等行变换
E A 1 B
§4.6 初等矩阵
例２ 求矩阵 X , 使 1 2 A 2 2 3 4 解
AX B，其中 3 2 5 1 , B 3 1 . 4 3 3
(消法矩阵)
§4.6 初等矩阵
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i , j ) P (i , j ),
1 P ( i ( k )) P ( i ( )), k
1
1
P (i , j(k ))1 P (i , j( k )).
§4.6 初等矩阵
2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
0 1 0 0 0 0 0
0 0 Er 0 0 0 0 0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
§4.6 初等矩阵
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵 P1 , P2 ,, Ps , Q1 , Q2 ,, Qt , 使
§4.6 初等矩阵
1 P2 0 2 1 P4 0 0
0 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 . 0 1
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
§4.6 初等矩阵