2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.文)含详解
5 设 曲线 心率等于 A 解析 基础题
x2 a2
y2 b2
令 ( a 0 b 0 ) 的渐 线 抛物线 y x2 1 相
则该 曲线的离
3
本小题考查
B 2 曲线的渐
C
5
直线
D
6
曲线的离心率
线方程
圆锥曲线的位置关系
解
题 曲线
x2 a2
y2 b2
令 ( a 0 b 0 ) 的一条渐 线方程为 y =
因 渐 线 抛 物 线 相 所
那
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m
关于点 ( (D)
π
6
(B)
π
4
(C)
π
3
π
4π , 0) 中心对 3
φ 的最小值为
2
解析 本小题考查 角函数的 象性质 基础题 解: Q 函数 y
3 cos ( 2 x φ ) 的
关于点
4π 3
代 中心对
w.w.w.k.s.5.u. c. o.m
V=
4 3 πR 3
n 次独立 复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk P k (1 − P ) n − k (k = 0 1, 2 L n)
一 1 选择题
其中 R 表示球的半径
sin 585 o 的值为
(A) −
2 2
(B)
2 2
(C) −
3 2
(D)
3 2
基础题
解析 本小题考查诱导公式 特殊角的 角函数值
故选择 ∴ 4 (A) 知 tan a =4,cot β =
7 11
(B) −
7 11
1 ,则 tan(a+ β )= 3 7 7 (C) (D) − 13 13
的和角公式 基础题 故选择 B
解析 本小题考查 角 角函数间的关系 解 题 tan β = 3
tan(α + β ) =
tan α + tan β 4+3 7 = =− 1 − tan α ⋅ tan β 1 − 12 11
bx a
入抛物线方程整
理 得 ax − bx + a = 0
2
b 2 − 4a 2 = 0
即
c 2 = 5a 2 ⇔ e = 5
6 知函数 f ( x ) 的 A 0 B 1
故选择 C 函数为 g ( x) 1 以lgx ( x 0 ) C 2 基础题 D 4 则 f (1) + g (1) =
解析 本小题考查 函数 解 选择 C 7 组有 5 男 学 3 题
A C
{ x 0 〈 x〈1} U { x x〉 1}
{ x 0 〈 x〈1}
{x −1〈 x〈0}
{x x〈0}
解析 本小题考查解含有绝对值的 等式 基础题 解
x +1 < 1 ⇔| x + 1 |<| x − 1 |⇔ ( x + 1) 2 − ( x − 1) 2 < 0 ⇔ 4 x < 0 ⇔ x < 0 x −1
2 1 1 1 1 2
计数原理 组合等问题 基础题 故选择 D 则 < a , b >=
题共有 C 5 C 6 C 2 + C 5 C 3 C 6 = 345 8 设非零向
a
b
c 满足 | a |=| b |=| c |, a + b = c
C 60° D 30°
A 150°B 120°
解析 本小题考查向 的几何 算 考查数形结合的思想 基础题 解 向 法的 行四边形法则 知 a
设 BC 的中点为 D 连结 A1 D AD 易知 θ = ∠A1 AB 即为异面直线 AB
CC1 所成的角,
角余弦定理 易知 cos θ = cos ∠A1 AD ⋅ cos ∠DAB = (10) 如果函数 y = 3cos(2 x + φ ) 的 (A)
AD AD 3 ⋅ = .故选 D A1 A AB 4
解
sin 585 o = sin( 360 o + 225 o ) = sin(180 o + 45 o ) = − sin 45 o = −
2 2
故选择 A AI B
(2)设集合 A=｛4 5 6 7 9｝ B=｛3 4 7 8 9｝ 全集 U =A U B 则集合［u 中的元素共有 (A) 3 个 B 4个 C 5个 D 6个 理1
1 + 2 lg x = 1 得 x = 1 即 f (1) = 1 又 g (1) = 1 所
f (1) + g (1) = 2
故
女 学 乙组有 6
男
学 2
女 学 若从
乙组中
各选出 2
学 则选出的 4 人中恰有 1 B 180 种
女 学的
选法共有 D 345 种
A 150 种
C 300 种
解析 本小题考查 类计算原理 解
w .w.w.k.s.5.u. c.o. m
如果 件 A B 互斥 那
球的表面 公式
P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果 件 A B 相互独立 那
S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体 公式 那
P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果 件 A 在一次试验中发生的概率是 P
卷
必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自 的姓 请认真 准条形码 的准考证号 姓 和科目
准考证
填写清楚 2
小题选出答案 净
用 2Ｂ铅笔把答题卡 对 题目的答案标号涂黑 如需改动
用
橡皮擦
再选涂其他答案标号 小题 5
在试题卷
共 60 在
作答无效
小题给出的四个选项中 只有一项是符
3 本卷共 12 小题 合题目要求的 参考公式
解析 本小题考查集合的 解
算 基础题
A U B = {3, 4,5, 7,8,9} A I B = {4, 7,9}∴ CU ( A I B) = {3,5,8} 故选 A 也可用摩 律
CU ( A I B) = (CU A) U (CU B)
3 等式
x +1 < 1 的解集为 ∴ x −1
B D
w.w.w.k.s.5.u .c. o.m
b 可构成菱形的两条相邻边 且 a
b 为起点处的
对角线长等于菱形的边长 故选择 B 9 知 棱柱 ABC − A1 B1C1 的侧棱 面边长都相等
A1 在 面 ABC
的射影为 BC 的
中点 则异面直线 AB
CC1 所成的角的余弦值为
(C)
(A)
3 4
(B)
5 4
7 4
(D)
3 4
基础题 理7
解析 本小题考查棱柱的性质 异面直线所成的角 解
以代代9
普通高等学校招生全 文科数学 必修+选修
选择题
统一考试
本试卷 题 两部 试结束
第错误！未找到引用源
卷
和第错误！未找到引用源
卷
非选择
第错误！未找到引用源 卷 1 至 2 页 第错误！未找到引用源 卷 3 至 4 页 考 将本试卷和答题卡一并交回
第
注意 1 号 项 答题前 考生在答题卡 并贴好条形码
2009年全国1卷高考数学试题(文科)
尽管"开卷有益"是个成语，但我认为：如果盲目开卷，未必有益。
而且古有：尽信书不如无书、纸上谈兵之说。
开卷是否有益，主要还是看谁看书，看什么书和年龄这些因素。
如果是一个心术不正的人看书，不管看什么书，他吸收的总是不好的语言和思想。
相反，是一个素质极好的人看书，他就会有选择性地看书，而且还会去粗取精，把好句好段和好的思想吸收了，不好的语言和思想就会被他排斥。
要是两个心理完全不同的人同样都是看一本警匪书，心术不正的人看了，就会学着做案的手法，而素质极好的人看了，就会学着破案的思维。
看什么书也很重要，看不健康的书，吸收不好的。
就像《蜡笔小新》这本漫画书，我认为这本是给成年人看的休闲读物，而现在看这本书的都是毫无判断是非能力的儿童，学了里面一些不良的语言和习惯。
所以，我觉得开卷是否有益是不能一锤定音的个人觉得，开卷十分有益！读书肯定有好处，但关键还在于你怎么读？这个很有讲究。
还有读什么书也很重要要说开卷一定有益那也未必这要看你开卷看什么书，开电脑干什么事了。
你开卷读好书当然有益，而且是大大的有益；你打开电脑上网、收集资料、写作，当然有益。
如果你看一些内容不好的书或玩电脑游戏，那肯定是无益的1年轻人，不能这么说。
我们看书是要动脑筋的，要带着批判的眼光去读书是对的。
不能尽信书，因为书中也有谬误，尽信书不如无书。
大部分历史书上都是正确的，有谎言的书是存在的，但不会全是谎言。
你说的：“尽量少看历史书！因为都是谎言！”是没有根据的。
所以我不同意你的说法。
赞同沈老师！我很喜欢看历史书读史书可以明志！同样赞同沈老师的说法!!凡事有两面性,看你怎么去看了,呵呵!!世事无绝对的，关键在开卷人的心了。
凡事都有两面性，关键要在什么情况下才能说是好还是错！你想说好，那就好，你想不好，那就不好！反正支持自己这一观点的人，肯定有自己的理由！古人云：“开卷有益。
”确实，博览群书能使人拥有高深的学问，能言善辩，受人尊敬。
09年高考数学卷江苏含详解
【答案】0.2
【解析】略
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，
投中的次数如下表：
学生
甲班
乙班
1号
6
6
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ★ .
【答案】
【解析】略
2 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W ★ .
（4）直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号
【答案】（1）（2）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】略
x2 13．如图，在平面直角坐标系 xoy 中， A1, A2 , B1, B2 为椭圆 a2
★
四个顶点， F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .
【解析】略
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ，| a | 2,| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积
aAb ★ .
【答案】3
【解析】 aAb 2 3 3 3。 2
3.函数 f (x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)
【解析】 f (x) 3x2 30x 33 3(x 11)(x 1) ，
绝密★启用前
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）。本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题及详细解答(文科)
2009年高考数学试题四川卷（文）全解全析一、选择题（5×12＝60分）1、设集合S ＝｛x ｜5<x ｝，T ＝｛x ｜0)3)(7(<-+x x ｝.则T S ⋂＝ A. ｛x ｜－7＜x ＜－5 ｝ B. ｛x ｜ 3＜x ＜5 ｝C. ｛x ｜ －5 ＜x ＜3｝D. ｛x ｜ －7＜x ＜5 ｝ 【答案】C【解析】S ＝｛x ｜55<<-x ｝，T ＝｛x ｜37<<-x ｝∴T S ⋂＝｛x ｜ －5 ＜x ＜3｝2、函数)(21R x y x ∈=+的反函数是A. )0(log 12>+=x x yB. )1)(1(log 2>-=x x yC. )0(log 12>+-=x x yD. )1)(1(log 2->+=x x y 【答案】C 【解析】由y x y x y x 221log 1log 12+-=⇒=+⇒=+，又因原函数的值域是0>y ，∴其反函数是)0(log 12>+-=x x y3、等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A. 90B. 100C. 145D. 190 【答案】B【解析】设公差为d ，则)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝1004、已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数【答案】D【解析】∵x x x f cos )2sin()(-=-=π，∴A 、B 、C 均正确，故错误的是D【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。
5、设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝618.0215≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。
2009年普通高等学校招生全国统一考试
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学 第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径一、选择题： 设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =Ａ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x <<Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<<２.已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续，则常数a 的值是Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５３.复数2(12)34i i +-的值是Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i4.已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误的是A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称D.函数()f x 是奇函数5.如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面 C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为45 6.已知,,,a b c d 为实数，且c d >。
则“a b >”是“a c b d ->-”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的左右焦点分别为12,F F，其一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF ∙=A. 12-B. 2- C .0 D. 48.如图，在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ︒∠==，球心O 到平面ABC的距离是2，则B C 、两点的球面距离是A.3πB.πC.43πD.2π9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.371610.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）设集合 A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集 U=A ∪B ，则集合∁（A ∩B ）中的元素共有（ ）U A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．（5分）不等式 ＜1的解集为（ ）A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}C ．{x |﹣1＜x ＜0}B ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＜0}4．（5分）已知 tana=4，cotβ=，则 tan （a +β）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣5．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x +1相2切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．6．（5分）已知函数 f （x ）的反函数为 g （x ）=1+2lgx （x ＞0），则 f （1）+g （1）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．（5分）甲组有 5名男同学，3名女同学；乙组有 6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2名同学，则选出的 4人中恰有 1名女同学的不同选法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°9．（5分）已知三棱柱 ABC ﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等， A 在底面 ABC 1111上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC所成的角的余弦值为（ ）1A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．112．（5分）已知椭圆C：+y交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．B．2C．D．42=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段 AFD．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）的展开式中，x的系数与 x107y33y7的系数之和等于 ．14．（5分）设等差数列{a}的前n的和为S，若S =72，则a+a+a = ．n n924915．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 ．16．（5分）若直线m被两平行线l：x﹣y+1=0与l：x﹣y+3=0所截得的线段的12长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a}的前n项和为S，公比是正数的等比数列{b}的前n n nn项和为T，已知 a =1，b =3，a+b =17，T﹣S =12，求{a}，{b}的通项公n113333n n式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a﹣c =2b 2 2，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣3x+6．4 2（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求Ⅰ讨论f（x）的单调性；l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y =x与圆M：（x﹣4）+y =r（r＞0）相交2 2 2 2于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁（A∩B）中的元素共有（ ）UA．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁（A∩B）={3，5，8}故选A．U也可用摩根律：∁（A∩B）=（∁A）∪（∁B）U U U故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}D．{x|x＜0}B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x+2x+1＜x﹣2x+1．2 2x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）=故选：B．==﹣【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中 β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出 β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x +1相2切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】KC ：双曲线的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于 0，找到 a 和 b 的关系，从而推断出 a 和 c 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ax 2﹣bx +a=0，﹣4a =0，因渐近线与抛物线相切，所以 b 即 ，故选：C ．22【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数 f （x ）的反函数为 g （x ）=1+2lgx （x ＞0），则 f （1）+g （1）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【考点】4R ：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将 x=1代入即可求得 g （1），欲求 f （1），只须求当 g （x ）=1时 x 的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令 1+2lgx=1得 x=1，即 f （1）=1，又 g （1）=1，所以 f （1）+g （1）=2，故选：C ．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有 5名男同学，3名女同学；乙组有 6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2名同学，则选出的 4人中恰有 1名女同学的不同选法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的 4人中恰有 1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C 51•C 32 1 1（2）乙组中选出一名女生有 C 5 •C 6 •C 2 =120种选法．故共有 345种选法．故选：D ．•C 6 =225种选法；1 2【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120，°故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C的侧棱与底面边长都相等，A在底面 ABC1111上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC所成的角的余弦值为（ ）1A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC所成的角（如∠A AB）；而欲求其余弦值11可考虑余弦定理，则只要表示出 A B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A B C1111的侧棱与底面边长为 1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设 BC 的中点为 D ，连接 A D 、AD 、A B ，易知 θ=∠A AB 即为异面111直线 AB 与 CC 所成的角；1并设三棱柱 ABC ﹣A B C 的侧棱与底面边长为 1，则|AD |= ，|A D |=，|A B |=11111，由余弦定理，得 cosθ=故选：D ．=．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数 y=3cos （2x +φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】HB ：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数 y=3cos （2x +φ）的图象关于点 中心对称，令 x=代入函数使其等于 0，求出 φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数 y=3cos （2x +φ）的图象关于点 中心对称．∴ ∴ 由此易得 ．故选：A ．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角 α﹣l ﹣β为 60°，动点 P 、Q 分别在面 α、β内，P 到β的距离为，Q 到 α的距离为 ，则 P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y =1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段 AF 2交 C 于点 B ，若 =3，则||=（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点 B 作 BM ⊥x 轴于 M ，设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ，根据椭圆的性质可知 FN=1，进而根据 ，求出 BM ，AN ，进而可得|AF |．【解答】解：过点 B 作 BM ⊥x 轴于 M ，并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ，易知 FN=1．由题意 ，故 FM=，故 B 点的横坐标为，纵坐标为±即 BM=，故 AN=1，∴ ．故选：A ．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分）13．（5分）（x ﹣y ）的展开式中，x y 的系数与 x y 的系数之和等于 ﹣240 10 7 3 3 7．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（ a +b ）n =C n +C n +C n ++C n ++C n a b ，各项的通项公式为：0a n b 01a n ﹣1b 12a n ﹣2b 2r a n ﹣r b r n 0 n a b ．然后根据题目已知求解即可．T =C nr n ﹣r rr +1【解答】解：因为（ x ﹣y ）10的展开式中含 x y 的项为 C 10 x y （﹣1）7 3 3 10﹣3 33=﹣C 10 x y ，3 7 3含 x3y 7的项为 C 107x 10﹣7y 73（﹣1） =﹣C 10 x y ．7 7 3 7由 C 103=C 10 =120知，x 77y 与 x y 的系数之和为﹣240．3 7故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（ a +b ）=C n +C n +C n ++C n ++C n a b ，属于重点考点，同学们需n 0 n n 0n a b 01a n ﹣1b 12a n ﹣2b 2r n ﹣r a b r 要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a }的前 n 的和为 S ，若 S =72，则 a +a +a = 24 ．n n 9249【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由 S =72用性质求得 a ，而 3（a +4d ）=3a ，从而求得答案．9515【解答】解：∵∴a =85又∵a +a +a =3（a +4d ）=3a =2424915故答案是 24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 16π ．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R = R+3，∴R =3，∴R =4．2 2 2 2∴S =4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l：x﹣y+1=0与l：x﹣y+3=0所截得的线段的12长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是 ①或⑤ （写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l与l所截得的12线段的长为，求出直线m与l的夹角为30°，推出结果．1【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l的夹角为30°，l的倾斜角为45°，11所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a}的前n项和为S，公比是正数的等比数列{b}的前n n nn项和为T，已知 a =1，b =3，a+b =17，T﹣S =12，求{a}，{b}的通项公n113333n n式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a}的公差为d，数列{b}的公比为q＞0，由题得n n，由此能得到{a}，{b}的通项公式．n n【解答】解：设{a}的公差为d，数列{b}的公比为q＞0，n n由题得，解得 q=2，d=2∴a =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，bn=3•2n ﹣1n ．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和，基础题． 18．（12分）在△ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边长分别为 a 、b 、c ，已知 a ﹣c =2b 2 2，且 sinAcosC=3cosAsinC ，求 b ．【考点】HR ：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将 sinAcosC=3cosAsinC 化成边的关系，再根据a ﹣c =2b 即可得到答案．2 2【解答】解：法一：在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC ，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a 又由已知 a ﹣c =2b ∴4b=b 解得 b=4或 b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a又 a ﹣c =2b ，b ≠0．2﹣c2）=b 2．222．2﹣c 2=b 2﹣2bccosA ．22所以 b=2ccosA +2①又 sinAcosC=3cosAsinC ，∴sinAcosC +cosAsinC=4cosAsinCsin （A +C ）=4cosAsinC ，即 sinB=4cosAsinC 由正弦定理得 ，故 b=4ccosA ②由①，②解得 b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在 RT △MNE 中由 ME =NE +MN ∴3x =x +22 2 2 2 2解得 x=1，从而 ∴M 为侧棱 SC 的中点 M ．（Ⅰ）证法二：分别以 DA 、DC 、DS 为 x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系 D ﹣xyz，则．设 M （0，a ，b ）（a ＞0，b ＞0），则， ，由题得 ，即解之个方程组得 a=1，b=1即 M （0，1，1）所以 M 是侧棱 SC 的中点．（I ）证法三：设 ，则又故即，，解得 λ=1，所以 M 是侧棱 SC 的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又 ， ，设分别是平面 SAM 、MAB 的法向量，则 且 ，即 且分别令 得 z =1，y =1，y =0，z =2，1122即∴，二面角 S ﹣AM ﹣B 的大小 ．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值； 20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立．已知前 2局中，甲、乙各胜 1局．（Ⅰ）求再赛 2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A（i=3，4，5），“第j局甲获胜”i为事件B（j=3，4，5），i（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A（i=3，4，5），i“第j局甲获胜”为事件B（j=3，4，5）．i（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A •A+B •B，3434由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A •A+B •B）=P（A •A）+P（B •B）=P（A）P（A）+P（B）P34343434343（B）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．4（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A •A+B •A •A+A •B •A，34345345由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A •A+B •A •A+A •B •A）34345345=P（A •A）+P（B •A •A）+P（A •B •A）34345345=P（A）P（A）+P（B）P（A）P（A）+P（A）P（B）P（A）34345345=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣3x+6．4 2（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求Ⅰ讨论f（x）的单调性；l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x，f（x）），00由l过原点知，l的方程为y=f′（x）x，因此f（x）=f′（x）x，即x04﹣3x02+6﹣x（4x03﹣6x）=0，000002+1）（x0﹣2）=0，解得或．整理得（x2所以的方程为y=2 x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y =x与圆M：（x﹣4）+y =r（r＞0）相交2 2 2 2于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y =x与圆M：（x﹣4）+y =r（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充2 2 2 2要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y =x代入圆M：（x﹣4）+y =r（r＞0）的方2 2 2 2程，消去 y2，整理得 x2﹣7x+16﹣r2=0（1）+y抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2=r（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的2 2充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．=则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x），y+（x﹣x），1解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x+x =7，x x =16﹣r，12 1 22则∴令，则S =（7+2t）（7﹣2t）下面求S的最大值．2 2 2由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}AB =，{4,7,9}(){3,5,8}U A BC A B =∴=故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。
(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+ 解得: 2201,2,1()5b bx e a a=∴==+=. (5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
2009年江西高考数学文科试卷带详解
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的为()A ．若 1 1 则 x yB ．若 x 21 则 x 1x y ,,C ．若 x y ,则 x yD ．若 x y ,则 x2y2【测量目标】真假命题的判断 .【考查方式】简单的逻辑推理，若条件推导结论成立则命题正确 .【参考答案】 A【试题解析】由11 得 x y , 而由 x 21 得 x1 ,由 xy , x , y 不一定有意义,而xyx y 得不到 x2y 2故选 A.2．函数 yx23x 4 的定义域为（）xA ． [ 4,1]B ． [ 4, 0)C ． (0,1]D ． [ 4, 0)(0,1]【测量目标】复合函数的定义域.【考查方式】根据复合函数分母大于 0，根号内值大于等于 0 求出定义域 .【参考答案】 D【试题解析】由x得4≤ x0 或 0 x ≤1,故选 D.x 23x≥4 03． 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 30 名，参加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为 （ ）A ．50B ． 45C ． 40D ．35【测量目标】随机事件与概率 .【考查方式】根据（总体两项都参加的学生人数 =只参加一项学生人数）得到结果.【参考答案】 B【试题解析】 仅参加了一项活动的学生人数 =50 (30+25 50)=45, 故选 B.4．函数 f (x) (13 tan x)cos x 的最小正周期为（）A ． 2πB ．3πC ． πD ．π22【测量目标】三角函数的恒等变换与周期性 .【考查方式】利用三角恒等变换求出三角函数最简式，根据最简式求出最小正周期【参考答案】 A.【试题解析】由f ( x) (1 3 tan x)cos x cos x3 sin x 2sin( x π) 可得最小正周期为 2π,故选 A.65．已知函数f (x) 是 ( , ) 上的偶函数，若对于 x ≥0 ，都有 f ( x2） f (x) ，且当x [0, 2)时， f ( x) log 2 ( x1），则 f (2008) f (2009) 的值为（）A ． 2B ． 1C ． 1D ． 2【测量目标】函数奇偶性的综合运用.【考查方式】根据给出的函数关系，利用偶函数的性质进行求解..【参考答案】 C【试题解析】f ( 2008)f (2009)f (0)f (1) log 2 1 log 2 2 1 ,故选 C.6．若 C 1n x C 2n x 2C n nx n能被 7 整除，则 x, n 的值可能为（）A ． x 4, n 3B ． x 4, n 4C ． x 5, n 4D ． x 6, n 5【测量目标】二项式定理 .【考查方式】把二项式展开式化为二项式，然后把选项中的值代入逐个排除得到答案.【参考答案】 C【试题解析】 C 1n x C n2x2C n n xn(1 x)n1,当 x 5, n 4 时 , (1 x)n1 641 35 37 能被 7 整除 , 故选 C.x2y21 ( a 0, b0 )的两个焦点 , 若 F 1， F 2 ，P(0,2 b) 是正三角形7.设 F 1 和 F 2 为双曲线2b 2a的三个顶点 ,则双曲线的离心率为（）3 B ． 25D ．3A ．C ．22【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】根据上顶点、原点、 F 1 或 F 2 构成的三角形内角求出离心率 .【参考答案】 B【试题解析】由 πc3有 3c 2 4b 2 4(c 2 a 2) ,则 e c 2 ,故选 B.tan362b a 8．公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a 3与a 7 的等比中项 , S 8 32 ,则 S 10 等于（）A. 18B. 24C.60D. 90【测量目标】等差数列的通项、等比数列的性质 .【考查方式】根据等差数列通项将等比数列转化求出{ a n } 通项公式，进而求出结果.【参考答案】 C【试题解析】由 a42a3a7得 (a13d )2( a12d )( a16d ) 得 2a1 3d 0（步骤1）再由 S85632 得2a17d8 则 d2, a1 3 （步骤2）8a1d2所以 S1010 a190 d60 .故选C（步骤 3）29．如图，在四面体ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（）．．A.AC BDB.AC ∥截面 PQMNC.AC BDD. 异面直线PM与BD所成的角为45【测量目标】直线与直线之间、直线与平面之间的位置关系.【考查方式】根据给出的空间几何体判断线线、线面之间的位置关系.【参考答案】 C【试题解析】由 PQ ∥ AC ，QM ∥ BD ， PQ ⊥ QM 可得 AC ⊥ BD ，故A正确（步骤1）由 PQ ∥ AC 可得 AC ∥截面 PQMN ，故B正确（步骤 2））异面直线 PM 与 BD 所成的角等于PM 与 PN 所成的角，故 D 正确（步骤3）综上 C 是错误的，故选 C.（步骤 4）10．甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）1111A ．B．C．D．6432【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】利用排列组合计算出分组的总数、甲乙相遇的情况得到结果.【参考答案】 D【试题解析】所有可能的比赛分组情况共有4C42 C22612 种，甲乙相遇的分组情况恰好有2!种，故选 D.11．如图所示，一质点P( x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点 Q ( x,0) 的运动速度 V V (t ) 的图象大致为（）ABCD 【测量目标】函数图象的应用 .【考查方式】结合函数图象理解，利用排除法排除不符合图象变化的选项得到结果.【参考答案】 B【试题解析】由图可知，当质点P( x, y) 在两个封闭曲线上运动时，投影点Q (x,0) 的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故 A 错误（步骤 1）质点 P( x, y) 在终点的速度是由大到小接近0，故 D 错误 （步骤 2）质点 P( x, y) 在开始时沿直线运动，故投影点 Q ( x,0) 的速度为常数，因此C 是错误的 （步骤 3） 故选 B（步骤 4）12．若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 yx 3 和 y ax215 x 9 都相切，则 a 等于4A ． 1或 -25B ． 1或21C ．7 或 - 25D ．7或 76444 644【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】先根据直线与曲线相切、已知点坐标求出切线方程，然后根据相切条件求出 a .【参考答案】 A 【试题解析】设过 (1,0) 的直线与 y x 3相切于点 (x 0 , x 03 )所以切线方程为 yx 033x 0 2( x x 0 ) .（步骤 1）即 y3x2 x2x 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x0 或 x 03（步骤 2）2当 x 00 时，由 y 0 与 y ax 215x 9 相切可得 a25 （步骤 3）464当 x03时，由 y27x27与 y ax215x 9 相切可得 a1，所以选 A.步骤4 2444二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .请把答案填在答题卡上13．已知向量a(3,1) ，b(1,3) ，c(k, 2) ，若 ( a c) b 则k=．【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】给出向量之间的垂直关系，利用向量垂直的性质求出k .【参考答案】0【试题解析】因为a c(3k,1) , (a c)b,∴(3 k) 1 (1) 30 .所以 k0 . 14．体积为 8 的一个正方体，其表面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于．【测量目标】正方体与球的面积、体积公式.【考查方式】先根据正方体体积求出正方体表面积，根据正方体、球表面积相等求出球的半径，然后求出球的体积 .【参考答案】86ππ【试题解析】设球的半径为R ，依题设有6(38) 24πR2，则R26，球的体积为π446386π32πRπππ3315．若不等式4 x≤k( x1)的解集为区间a, b，且 b a 1,k．2则【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】画出图形，然后根据不等式条件求出k 值.【参考答案】32【试题解析】由数形结合半圆 y 4 x2在直线y k( x 1) 之下必须x22, x1 1 ，则直线y k( x1) 过点(1, 3，) 则k3216．设直线系M : x cos( y 2)sin1(0 ≤≤2π),对于下列四个命题：A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【测量目标】参数方程、直线与圆的位置关系.【考查方式】利用点到直线距离判断直线与圆的位置关系.【参考答案】 ABC【试题解析】因为x cos( y2)sin1 所以点 P(0, 2) 到 M 中每条直线的距离11（步骤 1）dsin 2cos2即 M 为圆 C :x2( y2)21的全体切线组成的集合（步骤 2）所以存在圆心在(0, 2),半径大于1 的圆与M中所有直线相交 ,也存在圆心在 (0, 2) ,半径小于1的圆与 M 中所有直线均不相交,也存在圆心在 (0, 2),半径等于 1 的圆与M中所有直线相切 ,故 ABC 正确（步骤3）又因为 M 中的边能组成两个大小不同的正三角形,故 D 错误 ,故命题中正确的序号是ABC（步骤 4）三 .解答题：本大题共 6 小题，共74 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤17．（本小题满分12 分）设函数 f ( x)x39 x26x a ．2（ 1）对于任意实数x ，f ( x)≥m恒成立，求 m 的最大值；（ 2）若方程f ( x)0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围.【测量目标】函数最值问题和零点问题.0 时可求得m值；【考查方式】先求出导函数，然后把不等式组转化为一边为0，当≤结合函数图象分类讨论求出a的范围 .【试题解析】解： (1) f ( x) 3x29x63( x1)(x2) .（步骤 1）因为 x (,) , f (x)≥ m ,即 3x29x(6m)≥0 恒成立.（步骤 2）所以8112(6m)≤0, 得m≤3，即 m 的最大值为3（步骤3）4.4(2) 因为当x1时, f(x) 0 ;当 1x2时, f(x)0 ;当 x2时, f ( x) 0步骤 4所以 当 x 1 时 , f (x) 取极大值5 a （步骤 5）f (1)2当 x 2 时 , f ( x) 取极小值 f (2) 2 a（步骤 6）故当 f (2)0 或 f (1) 0 时 , 方程 f ( x) 0 仅有一个实根 . 解得 a2 或 a5 .（步骤 7）218．（本小题满分 12 分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为 “支持 ”或 “不支持 ”的概率都是 1 .若某人获得两个 “支持 ”，则给予 102万元的创业资助；若只获得一个 “支持 ”，则给予 5 万元的资助；若未获得 “支持 ”，则不予资助．求：(1) 该公司的资助总额为零的概率；（ 2）该公司的资助总额超过15 万元的概率．【测量目标】相互独立事件与概率.【考查方式】根据总额为 0， 6 次都是不支持求出概率 .【试题解析】解： （ 1）设 A 表示资助总额为零这个事件，则1 61P( A)642（2）设 B 表示资助总额超过15 万元这个事件，则661 6P( B) 15111162232219．（本小题满分 12 分）在 △ ABC 中， A, B, C 所对的边分别为a,b,c ， Aπ 3)c 2b ．， (1（1）求 C ；6（2）若 CB CA 13 ，求 a , b c ．【测量目标】利用正弦定理解决有关角度问题.【考查方式】利用正弦定理边之间比值等于正弦比值求出结果；给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式然后求出a ,bc ．【试题解析】解： （ 1）由 (13) c2b 得b1 3 sin B （步骤1）c2 2 sin Csin(π πC)sin5πcosC cos 5πsin C1 3 1 3则有666=sin Csin Ccot C2222得 cot C 1即 C π（步骤 2）.4（ 2）由CB CA13推出 abcosC13；而 C π, 4即得2ab13（步骤3）22ab 13a2 2则有(13)c2b解得b13（步骤 4）a c c2sin A sin C20．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， PA AD 4 ，AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD 于点 M ．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．【测量目标】空间立体几何中线线、线面、面面之间的位置关系【考查方式】利用线线垂直得到线面垂直然后得到面面垂直；.利用 PC 射影求出所求角正切值，然后求出所求角；利用法向量和点到面距离公式求出距离.【试题解析】解：（ 1）证：依题设，M 在以 BD 为直径的球面上，则BM PD.（步骤1）因为PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥AB，又AB AD（步骤2）所以AB⊥平面PAD，则AB PD（步骤3）因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD（步骤4）（ 2 ）设平面ABM与 PC交于点N ，因为 A B C D，所以AB平面P C D ，则AB MN C D（步骤5）由（1）知，PD⊥平面ABM，则 MN是 PN在平面ABM上的射影，所以P N M就是PC 与平面ABM所成的角（步骤6）且PNM PCDtan PNM tan PCD PD2 2 DC所求角为 arctan2 2 .（步骤 7）（ 3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（ 1）知，PD⊥平面ABM于M，则DM就是D点到平面ABM距离 .（步骤8）因为在 Rt △ PAD 中， PA AD 4 ， PD AM ，所以 M 为 PD 中点，DM 2 2，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 2 .（步骤9）方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) ， P(0,0,4) ， B(2,0,0) ， C (2,4,0) ，D (0,4,0) ， M (0,2,2) ，AB(2,0,0), AM (0,2,2), PC(2,4, 4) .（步骤 10）设平面 ABM 的一个法向量n(x, y, z) ，由n AB, n AM 可得：2x0(步骤 11) 2z2y0令 z1，则 y1，即n(0,1,1) .设所求角为，则 sin PC n2 2 ，PC n3所求角的大小为arcsin 22.(步骤 12) 3（ 3）设所求距离为h，由O(1,2,0), AO(1,2,0)，得： h AO n2( 步骤 13) n21．（本小题满分12 分）22nπsin2nπ数列 { a n } 的通项a n n (cos3) ，其前n项和为S n. 3(1)求 S n;(2)b n S3n n n4, 求数列｛b n｝的前n 项和T n.【测量目标】通项公式的基本运算、求和公式的推导、二倍角公式.【考查方式】把所给公式转化为最简项，然后逐个推导求出S n；利用错位相减法求出T n .【试题解析】 (1) 由于 cos 2 n πsin 2 n π2n π3cos3 ,故3S3k(a 1 a 2a 3 ) (a 4 a 5 a 6 )(a3k 2a3k 1a 3k )( 122232)( 425262)( (3k2)2(3k 1)2(3k)2)22213 3118k 5k(9k4)(步骤 1)2222S3k 1S 3 ka3k k (4 9k)2S3k 2S3 k 1a3k 1k(4 9k)(3k 1)21 k3k2 1 (步骤 2)22 236n 1 , n3k23 6故S n(n 1)(1 3n) , n 3k 1 ( k N *) (步骤 3)6n(3n 4) n 3k6,(2) b nS 3 n9n 4n 4n2 4nT n1 13 229n4 [ 42 4n ]2 44T n1[13 22 9n n 1 4] (步骤 4)2 44两式相减得1[139 99n 4 ] 1[13 9 99n 4]19n3T4 4n8 n 2 44n 14n2 1 1 4n22 n 322 n 14故 T n 813n. (步骤 5)3 3 2 2 n 32 n 1222．（本小题满分 14 分）如图，已知圆 G : (x2)2y2r2 是椭圆x2y21的内接 △ ABC 的内切圆 , 其中 A 为椭16圆的左顶点 .（ 1）求圆 G 的半径 r;（ 2）过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E ， F 两点 .证明：直线 EF 与圆 G 相切．【测量目标】圆的切线方程、椭圆与三角形内切圆的标准方程 .【考查方式】利用条件列出方程然后求出半径；根据相切列出方程组然后求解 .【试题解析】解 : （ 1）设（2 r , y 0）G作 GD AB 于 D , BC交B，过圆心长轴于 H由 GDHB 得 rr 2y 0 ADAH36 6 rr 6r(1)（步骤 1）即y 0r6（2 r, y 0）2 (2 r )212 4r r2( r 2)( r 6)2, y 01(2)（步骤 ）而点 B在椭圆上161616由 (1)、 (2)式得 15r28r12 0 ,解得 r2 或 r 6 （舍去）3 5(2) 设过点 M (0,1) 与圆 (x 2)2y 249则22k 1236k 5 01 ,即 32k3k2相切的直线方程为 : y 1 kx(3)（步骤 3）(4)解得 k 1941,k 2941（步骤 4）1616将 (3)代入x 2y21得 (16k21)x232kx 0 ,则异于零的解为 x32k （步骤 5）1616k 21设 F ( x 1 , k 1x 11), E(x 2 , k 2 x 2 32k 1 32k 2 1)，则 x 11 , x 2116k 1216 k 22则直线 FE 的斜率为：k2 x2k1 x1k1 k23kEFx1 1 16k1k2（步骤 6）x24于是直线 FE 的方程为:y32k1213(x32k1)16k121416k121即 y 3 x7（步骤 7）4337则圆心 (2,0)到直线 FE 的距离 d 2328）9（步骤1316故结论成立 .（步骤9）。
2009高考数学全国卷及答案理
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[()u A B I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴=故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈解：验x=-1即可。
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)(含答案解析)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________则集合二、填空题三、解答题（I）证明：M是侧棱SC的中点；22．设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点（Ⅰ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点区域；参考答案：设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为分别在1Rt A AD 和1Rt A DB V 中，由勾股定理，可知211222A B BD A D =+=，在1A AB △中，由余弦定理，得11cos 2θ+=所以异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为故选：D ．8．A【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解【详解】因函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点于是得(2),6k k Z πϕπ=--∈，显然(k ϕ=而2k =时，6πϕ=-，||6πϕ=，当3k =时，所以|φ|的最小值为6π.故选：A 9．B【详解】设切点00(,)P x y ，则，又00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选10．C11．D【详解】[方法一]：(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x --=--，∴函数()f x 关于点2[1(1)]4T =--=的周期函数.(f x ∴--奇函数.故选D.[方法二]：(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x --=--，由(1)f x ∴-+=由(1)(1)f x f x --=--，得()f x f =-进而可得()()4f x f x +=，可见(f 不成立，而D 成立的理由如下：(f【详解】设MN x =，则NC EB ==在RT MEB ∆中， MBE ∠在RT MNE ∆中由2ME NE =解得1x =，从而12MN SD =（Ⅱ）建系如图）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即，∴的大小．由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式()知,=而,又是一个典型的错位相减法模型易得=）（（））联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（Ⅱ）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）22．（Ⅰ）（II ）证明见解析．【详解】分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力．大部分考生有思路并能够得分．()2363f x x bx c =++'由题意知方程()0f x ¢=有两个根12x x 、1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有下图中阴影部分即是满足这些条件的点(),b c 的区域．(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度．主要原因是含字母较多，不易找到突破口．此。
【高考试题】2009年高考数学(江西.文)含详解
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=- 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题是真命题的为A ．若11x y=,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =, D ．若x y <,则 22x y <2．函数y =的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A ．50 B ．45 C ．40 D ．354．函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π5．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．26．若122n nn n n C x C x C x +++能被7整除，则,x n 的值可能为A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．5,4x n ==D ．6,5x n ==7.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A ．32 B ．2 C ．52D ．3 8．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 909．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．的为A . AC BD ⊥B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为4510．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A ．16 B ．14 C ．13 D ．1211．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为AC D12．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 P QMNABCD(V ((V (A ．1-或25-64B ．1-或214C ．74-或25-64D ．74-或7绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。