高中数学选修2-1精品教案7：2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计
选修2-1教案23-2双曲线的简单几何性质【1】
选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率 教学重点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题.教学难点：双曲线的渐近线、离心率 教学过程： （一）复习回顾 椭圆的几何性质 （二）新课讲解1、范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；2、对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；3、顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，双曲线方程为22(0)x y m m -=≠.4、渐近线：直线by x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；思考：渐近线方程为by x a=±的双曲线方程一定是22221x y a b -=吗？渐近线方程为by x a=±⇔双曲线方程为()22220x y a b λλ-=≠.5、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ace =叫做双曲线的离心率（1e >）． 注：①已知双曲线22221x y a b-=，则其离心率e 与渐近线斜率b a ±的直接关系：2221b e a =+（双曲线的焦点在x 轴上），则e 越大，双曲线的张口越大.总结：例1.求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 例2.若双曲线的渐近线方程为43y x =±，则双曲线的离心率为 .若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为 .例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率． 解法剖析：双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解；②焦点在y轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠． 例4. 求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线方程. 解:方法一：设双曲线方程为22221x y a b -=(a >0,b >0)，则22222021a b b⎧+==解之得22128a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴双曲线方程为221128x y -= 方法二：设双曲线的方程为216x λ-－24y λ+=1（416λ-<<），代入点（32，2），可得：4λ=，故所求双曲线方程为221128x y -=.。
3.3.2双曲线的简单性质 教案(高中数学北师大版选修2-1)
3.2双曲线的简单性质●三维目标1．知识与技能(1)能用双曲线的标准方程分析双曲线的几何性质．(2)能用双曲线的几何性质解决简单的相关问题．2．过程与方法在双曲线的简单几何性质的研究过程中，进一步掌握解析几何的基本思想.3.情感、态度与价值观进一步感受数形结合思想在解析几何中的应用．二、教学重点与难点重点：利用标准方程研究双曲线的几何性质．难点：双曲线的性质在研究实际问题中的应用．可类比椭圆的几何性质去发现双曲线的几何性质，在这个过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生参与知识的产生和形成过程．引导学生将实际问题抽象为双曲线模型，并通过双曲线模型的应用，培养学生的应用能力．(教师用书独具)●教学建议1．本节课主要采用引导发现法，通过师(生)不断地设(释)疑，揭示思维过程，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索、归纳的过程．2．鼓励学生运用发现、探究、协作、讨论的学习方法，联系所学知识，大胆、主动地分析问题和解决问题，进一步提高自己的学习能力．●教学流程以旧引新，揭示课题 构造新知识体，关于系实轴、虚轴、离心率、渐近线 深化知识，完成新知识体系的构造 学以致用，巩固练习1．你能从双曲线的标准方程说明双曲线的对称性吗？【提示】双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．将方程中的x换成－x，方程不变，故双曲线关于y轴对称；将方程中的y换成－y，方程不变，故双曲线关于x轴对称；将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，故双曲线关于原点对称．2．椭圆的离心率e可反映椭圆“扁的程度”，双曲线的离心率e可用来表示什么？【提示】双曲线的离心率e可用来表示双曲线“开口的程度”．3．双曲线确定，渐近线确定吗？反过来呢？【提示】当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，所以具有相同的渐近线的双曲线可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．双曲线的性质。
人教A版高中数学选修2-1教案2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
教学重点
双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.
教学难点
双曲线的渐近线.
教学步骤及要点：
【复习引入】
1.双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程：
∴|x|≥a(a＞0)．
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内．
2．对称性
双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是双曲线的对称轴．原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．令x＝0，得y2＝－b2，这个方程没有实数根，则双曲线和y轴无交点.特殊点B1(0,－b)、B2(0,b).
焦点的坐标是(0,－5)，(0, 5) .
渐近线方程为
练习1．教科书P.61练习第1、2、3题
练习2．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,－3)且离心率为 的双曲线标准方程.
【课堂小结】
1.双曲线的几何性质：
⑶利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
5．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．∵c＞a＞0，∴e＞1．
这
时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．
例1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
2. 3. 2双曲线的简单几何性质(1)教案(人教A版选修2-1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1>学习目标1．理解并掌握双曲线的几何性质．，文P49~ P51找出疑惑之处）5658复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①，焦点在轴上；②焦点在轴上，焦距为8，．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?范围：：：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：< ），< ）．实轴，其长为；虚轴，其长为．率：．离心渐近线：线的渐近线方程为：．双曲问题2：双曲线的几何性质?图形：范围：：：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：< ），< ）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：．渐近线：双曲线的渐近线方程为：．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．※典型例题例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵离心率，经过点；⑶渐近线方程为，经过点．※动手试试练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※知识拓展与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为< ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测<时量：5分钟满分：10分）计分：1．双曲线实轴和虚轴长分别是< ）．A．、 B．、C．4、 D．4、2．双曲线的顶点坐标是< ）．A． B． C． D．<）3．双曲线的离心率为< ）．A．1 B． C． D．24．双曲线的渐近线方程是．5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．课后作业1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质(二)》教案 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学
（5）双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的________，其X围是___________．
例3：过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直
线交双曲线于 两点，求
变式：已知直线 与双曲线 没有公共点，求 的取值X围
选做：已知直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，求 的取值X围。
总结：求到定点 和它到定直线 距离之比是 的点 的轨迹。
例2（1）设点 的坐标分别为（-5,0），（5,0）.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。
（2）设点 的坐标分别为（-5,0），（5,0）.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。
总结：已知三角形 的两个顶点 的坐标分别为（-5,0），（5,0），且 所在直线的斜率之积等于 ，试探求顶点 的轨迹.
课 题
§双曲线的简单几何性质(二)
讲课教师
教
学
过
程
教
学
过
程
板
书
设
计
过 程 设 计
设 计 意 图
班 级
二年一班
课 型
新 课
2.双曲线 的简单几何性质
（1）X围：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）对称性：双曲线是以 轴、 轴为对称轴的___________图形；也是以原点为对称中心的___________图形，这个对称中心叫做______________．
温故所学知识，为进一步学习做准备
引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。
有利于巩固所学的知识,同时检验本节课效率
课堂小结
课后作业：
2..3..2双曲线的简单几何性质(1)教案(人教A版选修2-1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1>56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处）复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b -=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：< ），< ）． 实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 心率：1c e a=>． 离渐近线： 双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：0x y a b ±=． 问题2：双曲线22221yx a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：< ），< ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ． 新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -； ⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -． ※ 动手试试练1．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※ 学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展 与双曲线22221x y a b -=有相同的渐近线的双曲线系方程式为2222x y a bλ-= (0)λ≠※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为< ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测<时量：5分钟 满分：10分）计分： 1． 双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是< ）． A ．8、．8、C ．4、．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是< ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．<2,0±） 3． 双曲线22148x y -=的离心率为< ）． A ．1 B．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程． 2．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
高中数学选修2-1精品学案：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 【预习评价】思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是e ，其范围一样吗？ (2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？提示 (1)不一样.椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上.题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质【例1】 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1， 即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点为A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .规律方法 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.【训练1】 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4， 虚轴长2b ＝43，焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0，4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0，2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3).解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.② 联立①②，无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④ 联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x 时，可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 【训练2】 根据条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2).解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 由题意可知（－3）29－（23）216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.(2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(16－k >0，4＋k >0)，∵双曲线过点(32，2)， ∴（32）216－k －44＋k ＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去).∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝1.【例3】 直线l 在双曲线x 3－y 2＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 的方程.解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2). 又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤3625m 2－4×310（m 2＋2）. ∵|AB |＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16.∴3m 2＝70，m ＝±2103.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入上式，得Δ>0，∴m 的值为±2103.∴所求直线l 的方程为y ＝2x ±2103.【迁移】 在例3中若直线l 的方程为y ＝kx ，并且直线l 与双曲线x 23－y 22＝1的两支各有一个交点，求实数k 的取值范围. 解 由⎩⎨⎧x 23－y 22＝1，y ＝kx得(2－3k 2)x 2－6＝0，设直线与双曲线的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2－3k 2≠0，Δ＝24（2－3k 2）＞0，x 1x 2＝－62－3k 2＜0，解得－63＜k ＜63，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63.规律方法 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.【训练3】 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值.解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)， 得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）>0，∴0<a <2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意得P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1).由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0， 所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得－2a 21－a2＝28960.由a >0，解得a ＝1713.课堂达标1.双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为( ) A.3x ±4y ＝0B.4x ±3y ＝0C.9x ±16y ＝0D.16x ±9y ＝0[解析] 由x 216－y 29＝1得a 2＝16，b 2＝9，∴渐近线方程为y ＝±34x ，即3x ±4y ＝0.[答案] A2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A.－14B.－4C.4D.14[解析] 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m ＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4， ∴m ＝－14，故选A.[答案] A3.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A.2 3B.2C. 3D.1[解析] ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4，0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. [答案] A4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1[解析] 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (2，1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A. [答案] A5.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________. [解析] 设双曲线的焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 虚轴两个端点为B 1(0，－b )，B 2(0，b )， 因为c >b ，所以只有∠B 1F 1B 2＝60°， ∴tan 30°＝bc ，∴c ＝3b ，又a 2＝c 2－b 2＝2b 2，∴e ＝c a ＝3b 2b ＝62.[答案] 62课堂小结1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程. 2.准确画出几何图形是解决[解析]几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.。
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2.3.2双曲线的简单几何性质
教学目标 1.知识与技能目标
(1).通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；
(2).掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；
(3).通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义． 2.过程与方法目标 （1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．
3.情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新 新课讲授过程
（1）复习：双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （2）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，22
2210y x b a
=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这
说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；
②对称性：由以x -代，以y -代和x -代，且以y -代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线b
y x a =±叫做双曲线22221x y a b
-=的渐近线；
⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a
c
e =叫做双曲线的离心率（1e >）． （3）例题讲解与引申、扩展
例1求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
解：把方程9y 2-16x 2 =144 化为标准方程
由此可知，半实轴长a =4，半虚轴长b =3；c 2= a 2+b 2=7 c =
焦点为(0 ，-5)和F 2(0 ，5)， 离心率 渐近线方程 例 2 曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.
22
22143
y x
-
=5,==54
c e a =
=43
y x =
±
,xOy,
AA x ,.'解：如图建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系使小圆的直径在轴上圆心与原点重合132252,CC ,BB x ,|CC |,|BB |.
''''=⨯=⨯这时上、下口的直径都平行
于轴
且
例3点M （x ，y ）与定点F （5，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M 的轨迹.
()22
22100132555x y a ,b ,C a b
y B y .
-=>>-设双曲线的方程为令点的
坐标为（，），则点的坐标为（，）B,C ,因为点在双曲线上
所以()2
222
2
2
22
55251112131212y , b y
. b ⎧--
=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩（）（）()()5212
1b
,y ,=
由方程得负值舍去代入方程（），得
2
222
25552512112192751815003b ,b
b b . ⎛⎫
- ⎪⎝⎭-=+-=化简得（）
325 b .≈用计算器解方程（），得22
1144625
x y ,.-=所以所求双曲线的方程为16:5l x =5
4
d M l 解：设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合54|MF |
P M ,d ⎧⎫
==
⎨⎬⎩
⎭
例4 如图，过双曲线的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A , B 两点，求.
解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0).
因为直线AB 的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F 2，所以，直线AB 的方程为
课堂练习：P55 -第1、
2、3
545
.|x |=-由此得
将上式两边平方，并化简，得22
1169x y .-
=即86M .所以点的轨迹是实轴、虚轴长分别为,的双曲线22
136
x y -=AB 33
y (x ). (1)=
-22
313
6y ), x y ,⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩由256270y x x .+-=消去，得129
35
x ,x .=-=解这个方程，得121215
x ,x y y =-=-
将的值代入（），得935A,B (,,--于是，两点的坐标分别为AB =所以，==
课后作业：第61页练习4、5；第61页习题2.3
课后反思：双曲线是开放曲线，所以应重点抓住几何性质
课后检测： 1.已知双曲线
的一条渐近线为
，则
．
【解析】双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为1
y x a =±，
0y y +=⇒=，0a >Q ,则1a a -
==2.已知()2,0是双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）的一个焦点，则b =．
【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =.
3.下列双曲线中，渐近线方程为
的是( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A.。