2 一维搜索法
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最优化方法 第三章第二讲 一维搜索
第三次迭代
令 x1 0.538， f1 1.751，取 F3 x2 0.077 (1.462 0.077) 0.846， F4 f 2 1.870。
因为 f 1 f 2 ，所以新区间为 0.077,0.846。
第四次迭代
令 x 2 0.538， f 2 1.751，取 F1 x1 0.077 (0.846 0.077) 0.231， F3 则 f 1 1.822。
设其最优解为 k ，得到 xk 1 xk k pk ，
一维搜索是求解一元函数 ( ) 的最优化问题（也叫 一维最优化问题） ，仍表示为 min f ( x ) 或 min f ( x )。 1
xR
a xb
定义：若在 a, b内 f ( x )有唯一极小点 x* ，在 x* 的左边 f ( x )严格下降，在 x* 的右边 f ( x )严格上升， 则称 f ( x )在区间 a, b上是下单峰函数。
step 6 令 k k 1，若 k n 2，则转 step 5； 若 k n 2，则转 step 7。
step 7 若 f1 f 2 ， 则令 b x2 ，x2 x1 ，f 2 f1 ， 转 step 8； 若 f1 f 2 ，则令 a x1，转 step 8。 step 8 令 x1 x2 0.1(b a ) ， f1 f ( x1 ) 1 * 若 f1 f 2 ，则 x (a x2 )， 2 1 * 若 f1 f 2 ，则 x ( x1 x2 )， 2 1 * 若 f1 f 2 ，则 x ( x1 b ) 。 2
ab step 3 若 b a ，则 x ，停。否则转 step 4。 2
机械优化设计第三章一维搜索方法
(b a)，故
Fn
b
a 。由Fn即可从斐波那契数列表或按F0
F1
1, Fn
Fn1
Fn2 (n
2, 3,
)
推算出相应的n。
3）确定试点并计算相应的函数值，在区间a, b内的两个试点：
x2
a
Fn1 Fn
(b
a),
x1
b
Fn1 Fn
(b
a),
f1 f (x1),
f2 f (x2 )
第三章 一维搜索方法
1.若f (a1) f (b1)，则取[a,b1]为缩短后的搜索区间； 2.若f (a1) f (b1)，则取[a1,b]为缩短后的搜索区间。
第三章 一维搜索方法
第二节 搜索区间的确定与区间消去法原理
间 接
假定在搜索区间[a, b]内取一点x, 并计算它的导数值 f '(x)，可能出现三种情况：
x2 a b x1, f2 f (x2 )
5）检查迭代终止条件：bn1 an1
，若满足，则输出最优解x*
1 (a b), 2
ห้องสมุดไป่ตู้
f*
f (x*)，
若不满足，则转入（4），继续进行迭代。
1. f (a1) f (b1)，由于函数的单峰性， 极小点一定在[a, b1 ]内； 2. f (a1) f (b1)，极小点一定在[a1,b]内； 3. f (a1) f (b1)，极小点一定在[a1,b1]内。
第三章 一维搜索方法
第二节 搜索区间的确定与区间消去法原理
直 接 法
假定在搜索区间[a,b]内任取两点a1和b1，且a1 b1， 并计算f (a1)和f (b1)，可能出现三种情况：
f (x1) f (x) f (x2)
第二章_第三节
现代设计方法
第二章
优化设计
4.一维搜索的基本思想 4.一维搜索的基本思想
一维搜索就是要在初始单峰区间中求单峰函数的极小点。 一维搜索就是要在初始单峰区间中求单峰函数的极小点。所 以找初始单峰区间是一维搜索的第一步。 以找初始单峰区间是一维搜索的第一步。 然后将初始单峰区间逐步缩小， 然后将初始单峰区间逐步缩小，直至极小点存在的范围小于 给定的一个正数 ε ，此 区间为 [a ( k ) , b ( k ) ] ，即有
f1 = f ( x1 ) = f (0) = 9, f 2 = f ( x 2 ) = f (1) = 4
(2)因为 说明极小点在右方，故作前进运算， (2)因为 f1 > f 2 ，说明极小点在右方，故作前进运算， 设步长加倍， 设步长加倍， h = 2 → h ，取第三试点为 2
x3 = x 2 + 2h = 3, f 3 = f ( x3 ) = f (3) = 0
即
f ( X ( k ) + α ( k ) S ( k ) ) = min f ( X ( k ) + αS ( k ) )
也就是说， 也就是说，一维搜索的每一次迭代过程都是寻找合适的步长
因子 α ，使所得到的下一个点 X ( k +1)的函数值是该方向上所有可 能点中最小的。 能点中最小的。
) 出发， 从 X (k )出发，沿着方向 S (k，求步长因子 α ，使 f ( X ( k ) + αS ( k ) )
现代设计方法
第二章
优化设计
1.确定初始区间的进退法 1.确定初始区间的进退法 (1)确定单峰区间的进退算法 (1)确定单峰区间的进退算法 进退算法的基本思路为： 进退算法的基本思路为： 对单峰函数 f (x ) 任选一个初始点 及初始步长h x 1 及初始步长h，由
《一维搜索方法》课件
1
原理
根据斐波那契数列生成黄金分割比例，用于确定搜索范围的分割点。
2
思路
根据斐波那契数列的值，确定左右指针在搜索范围内的位置，直到找到最接近目 标值的点。
3
优缺点
迭代次数逐渐趋近于黄金分割点，但对搜索范围要求较高。
黄金分割法搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围按黄金分割点分割，选择较小的一部分作为新的搜索范围。
2
思路
通过反复按黄金分割点计算和调整搜索范围，逐步逼近最接近目标值的点。
3
优缺点
迭代次数相对较少，但需要较复杂的计算公式。
三分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围分割为三等份，并判断目标值位于左、中、右三个部分，逐步缩小搜索范 围。
2
思路
根据目标值与分割点的大小关系，决定下一步搜索的范围，直到找到最接近目标值的 点。
3
优缺点
对于非单调函数，能更快地找到目标值，但需要较多的判断。
多点搜索方法的原理和思路
1
原理
同时使用多个起始点进行搜索，通过不断比较找到最接近目标值的点。
2
思路
根据多个起始点的初始值和搜索步长，逐步调整并比较得到最优解。
3
优缺点
相比于单点搜索，能更准确地找到目标值，但需要同时处理多个起始点的迭代。
2
思路
从起始点开始，依次向右增加或向左减小搜索范围，直到找到最接近目标值的点。
3
优缺点
简单易懂，但需要较多的迭代次数。
二分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围一分为二，并判断目标值位于左半部分还是右半部分，逐步缩小搜索 范围。
2
思路
《一维搜索方法》课件
02
线性搜索
线性搜索的定义
线性搜索是一种基本的搜索算法，它 从列表的第一个元素开始，逐个检查 每个元素，直到找到目标元素或遍历 完整个列表。
在线性搜索过程中，我们假设列表中 的元素是按顺序排列的，并且我们不 知道目标元素的确切位置，只知道它 存在于列表中。
线性搜索的步骤
初始化
选择一个起始位置，通常为列表的第一个元素。
抛物线搜索的步骤
3. 比较中间元素与目标值
2. 计算当前区间的中间元 素。
1. 初始化当前搜索区间为 整个数组。
01
03 02
抛物线搜索的步骤
01 如果中间元素等于目标值，返回该位置。
02
如果目标值小于中间元素，将左半部分区 间作为新的当前区间。
03
如果目标值大于中间元素，将右半部分区 间作为新的当前区间。
04
4. 重复步骤2和3，直到找到目标值或当前 区间为空。
抛物线搜索的时间复杂度
最坏情况下，抛物线搜索的时间复杂度为O(n)，其中n为数 组长度。
平均情况下，由于每次比较都可以将搜索区间缩小一半，因 此时间复杂度为O(log n)。
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的单峰函数。
一维搜索方法的重要性
解决实际问题
一维搜索方法广泛应用于各种实 际问题中，如参数优化、函数逼 近、插值等。
算法基础
一维搜索方法是许多算法的基础 ，如梯度下降法、牛顿法等都需 要用到一维搜索方法来寻找迭代 步长。
理论分析
一维搜索方法在数学分析中也有 重要应用，如中值定理、单调函 数性质等都需要用到一维搜索方 法。
常用的一维搜索方法
线性搜索
维搜索
对多项式求导数，并令其为零，得出a,b,c，即可得 极小点。
四、切线法
当函数f(X(k)+S(k))在搜索 区间内存在连续一阶导数， 且二阶导数大于零时，可用 切线来逼近曲线，以求得最 优步长*——切线法。
在搜索区间[a，b]内选取初始点(0) ，过曲线上的对应 点[(0)，f’((0)) ]作曲线的切线，方程：
二．黄金分割法(0.618法)
区间内的两个中间插入点
x1 a 1 b a
x2 a b a
2 1
二．黄金分割法(0.618法)
1
2
5 1 0 618 2 x1 a 0 382b a x2 a 0 618b a
②采用缩小区间或插值逼近的方法逐步得到最优步 长和一维极小点。
一、区间估计
在搜索区间内，被搜索的函数必须是凸性函数 (单 峰函数 )—— 在函数极小点左侧，函数值严格下降； 在函数极小点右侧，函数值严格上升。 进退算法 基本思想：
“进一步，退两步”
进退算法程序框图
二．黄金分割法(0.618法)
MATLAB简介
矩阵的行列式值： d=det(A) 矩阵的逆矩阵： X=inv(A) 向量的模： x=norm(g)
2
F ( X ) 156 52 27
§3 一维搜索
从点X(k)出发，在方向S(k)上的一维搜索用数学式表 达为
min f X
k
S
k
f X
k
k S
k
X k 1 X k k S k
一维搜索分两步进行： ①在方向S(k)上确定一个包含极小点的初始区间；
四、切线法
当函数f(X(k)+S(k))在搜索 区间内存在连续一阶导数， 且二阶导数大于零时，可用 切线来逼近曲线，以求得最 优步长*——切线法。
在搜索区间[a，b]内选取初始点(0) ，过曲线上的对应 点[(0)，f’((0)) ]作曲线的切线，方程：
二．黄金分割法(0.618法)
区间内的两个中间插入点
x1 a 1 b a
x2 a b a
2 1
二．黄金分割法(0.618法)
1
2
5 1 0 618 2 x1 a 0 382b a x2 a 0 618b a
②采用缩小区间或插值逼近的方法逐步得到最优步 长和一维极小点。
一、区间估计
在搜索区间内，被搜索的函数必须是凸性函数 (单 峰函数 )—— 在函数极小点左侧，函数值严格下降； 在函数极小点右侧，函数值严格上升。 进退算法 基本思想：
“进一步，退两步”
进退算法程序框图
二．黄金分割法(0.618法)
MATLAB简介
矩阵的行列式值： d=det(A) 矩阵的逆矩阵： X=inv(A) 向量的模： x=norm(g)
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F ( X ) 156 52 27
§3 一维搜索
从点X(k)出发，在方向S(k)上的一维搜索用数学式表 达为
min f X
k
S
k
f X
k
k S
k
X k 1 X k k S k
一维搜索分两步进行： ①在方向S(k)上确定一个包含极小点的初始区间；
2一维搜索
B. 当 f1> f2 时，极小点必在[x1, b]中，则
x1 a,x2 x1,f2f1, x2a0.61(b8 a),f2f(x2)
（4）判断是否满足精度要求。若新区间已缩短至预
定精度要求，即 ba，则转第5）步；否则
转第3）步，进行下一次迭代计算。 （5）输出最终区间的中点作为近似最优点，其对应
（1）选定初始点a1 , 初始步长h＝h0，计算 y1＝f(a1)， y2＝f(a1＋h)。
（2）比较y1和y2。 （a）如y1>y2,向右前进；转（3）向前； （b）如y1=<y2, 向左后退；h＝－ h0， 将a1与a2，y1与y2的 值互换。转（3）向后探测；
（3）产生新的探测点a3＝a1＋h，y3＝f(a3); （4）比较函数值 y2与y3：
f(x )f(x x ) ,x 0；区间 x*,x2
上的任意x，有 f(x )f(x x ) ,x 0
x1
x* x2 x
则称闭区间 x1,x2为函数f(x)的单峰区间。
单峰区间的特点：
▪ 单峰区间内，在极小点的左边，函数是严格减少 的，在极小点的右边，函数是严格增加的；
▪ 如果区间 a,b 是一个单峰区间，x是区间内的一
对“一维”的理 解
▪ “一维”是指 “一个方向”d (k（)
）；
▪ 寻找目标函数在指定方向上的极小点，在计算上 就是从 X 沿 (k) d (k ) 前进多少的问题，即求步长因子 (k) 的问题。从这个意义上讲，一维搜索是一个求
解关于 的单元目标函数的过程。
一维搜索
寻找合适的 (k ) ，使 最小 f(X(k) (k)d(k))
点，则 f(x)f(a )和 f(x)f(b )两个不等式中必有 一个成立；
x1 a,x2 x1,f2f1, x2a0.61(b8 a),f2f(x2)
（4）判断是否满足精度要求。若新区间已缩短至预
定精度要求，即 ba，则转第5）步；否则
转第3）步，进行下一次迭代计算。 （5）输出最终区间的中点作为近似最优点，其对应
（1）选定初始点a1 , 初始步长h＝h0，计算 y1＝f(a1)， y2＝f(a1＋h)。
（2）比较y1和y2。 （a）如y1>y2,向右前进；转（3）向前； （b）如y1=<y2, 向左后退；h＝－ h0， 将a1与a2，y1与y2的 值互换。转（3）向后探测；
（3）产生新的探测点a3＝a1＋h，y3＝f(a3); （4）比较函数值 y2与y3：
f(x )f(x x ) ,x 0；区间 x*,x2
上的任意x，有 f(x )f(x x ) ,x 0
x1
x* x2 x
则称闭区间 x1,x2为函数f(x)的单峰区间。
单峰区间的特点：
▪ 单峰区间内，在极小点的左边，函数是严格减少 的，在极小点的右边，函数是严格增加的；
▪ 如果区间 a,b 是一个单峰区间，x是区间内的一
对“一维”的理 解
▪ “一维”是指 “一个方向”d (k（)
）；
▪ 寻找目标函数在指定方向上的极小点，在计算上 就是从 X 沿 (k) d (k ) 前进多少的问题，即求步长因子 (k) 的问题。从这个意义上讲，一维搜索是一个求
解关于 的单元目标函数的过程。
一维搜索
寻找合适的 (k ) ，使 最小 f(X(k) (k)d(k))
点，则 f(x)f(a )和 f(x)f(b )两个不等式中必有 一个成立；
常用一维搜索算法
常用一维搜索算法常用一维算法一维算法是解决一维问题的常用方法。
一维算法主要通过在一维数据集中查找目标元素来解决问题。
以下是一些常用的一维算法：1. 线性（Linear Search）：线性算法是一种最简单的算法，也是最基本的一维算法。
它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，直到找到目标元素或遍历完整个数据集。
线性算法的时间复杂度为O(n)。
2. 二分（Binary Search）：二分算法是一种高效的算法，但它要求数据集必须是有序的。
算法通过将数据集分成两半，并与目标元素进行比较，从而确定目标元素在哪个半部分中。
然后，它将重复这个过程，直到找到目标元素或数据集被划分为一个元素。
二分算法的时间复杂度为O(log n)。
3. 插值（Interpolation Search）：插值算法是改进的二分算法，它根据目标元素与数据集中元素的相对位置来确定的起始位置。
它使用目标元素与数据集首尾元素之间的比例来估计目标元素的位置。
插值算法在数据集分布均匀的情况下具有较好的性能。
4. 斐波那契（Fibonacci Search）：斐波那契算法基于斐波那契数列来确定的起始位置。
它通过比较目标元素与斐波那契数列中的元素来确定的范围，并将数据集划分成两部分。
然后，它在适当的部分中重复这个过程，直到找到目标元素。
斐波那契算法的时间复杂度为O(log n)。
5. 插入（Interpolation Search）：插入算法是一种改进的线性算法，它使用了数据集中元素的顺序信息来提高效率。
与线性算法一样，它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，但是当元素不满足条件时，它会根据元素的顺序信息来确定的方向，从而减少的次数。
6. 哈希（Hash Search）：哈希算法使用哈希函数将数据集中的元素映射到哈希表中的索引。
然后，它通过查找哈希表中的索引来确定目标元素的位置。
哈希算法通常具有很高的效率，但是它需要额外的内存空间来存储哈希表。
上述算法是一维问题的常用解决方法。
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济南大学自动化与电气工程学院
最优化方法
1
黄金分割法的计算步骤如下：
1. 给定初始区间[a,b]以及精度要求ε >0，计算试探点与函数值：
x1 a 0.382b a
x2 a 0.618b a
f1 f x1
f 2 f x2
2. 比较函数值f1与f2, 如果f1>f2, 缩小区间为[x1 b], 如果f1<f2, 缩小区间为[a x2]，
黄金分割法迭代公式：
x1 a 0.382b a
x2 a 0.618b a
分别计算f1和f2，如果f1>f2，说明x2是好点，新的区间为[x1Байду номын сангаасb]，x1点变为新区
间的a点，x2点变为新区间的x1点，函数值f2等于新区间x1点的函数值f1，只需
计算新的试探点x2。 如果f1<f2，说明x1是好点，新的区间为[a,x2]，x2点变为新区间的b点，x1点变 为新区间的x2点，函数值f1等于新区间x2点的函数值f2，只需计算新的试探点 x1。
济南大学自动化与电气工程学院
最优化方法
2
比较新的区间长度是否小于给定精度ε，如果是，停止计算，取新区间中值点为
极小点，否则 f1>f2, 转3， f1<f2, 转4
3. 令
4. 令 5. 回1
a x1, b b, x1 x2, x2 a 0.618b a
a a, b x2, x2 x1, x1 a 0.382b a