2020版高考数学(天津专用)大一轮精准复习精练：3.1 导数的概念及运算 含解析
(天津专用)2020届高考数学一轮复习考点规范练13导数的概念及运算(含解析)新人教A版
考点规范练13 导数的概念及运算一、基础巩固1.已知函数f (x )=√x 3+1,则lll l x→0l (1-Δl )-l (1)Δl 的值为 ( )A.-13B.13C.23D.02.已知f (x )=12x 2+2xf'(2 018)+2 018ln x ,则f'(2 018)等于( ) A.2 018B.-2 019C.2 019D.-2 0183.已知函数f (x )在R 上满足f (2-x )=2x 2-7x+6,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2D.y=-2x+34.如图,已知y=f (x )是可导函数,直线y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线.若g (x )=xf (x ),g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)=( )A.-1B.0C.2D.45.已知曲线f (x )=x 3-x+3在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则点P 的坐标为( ) A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)6.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),则a b等于( ) A.-8B.-6C.-1D.57.若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数具有T 性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=e xD.y=x 38.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+154x-9都相切,则a 等于( )A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或79.已知函数f (x )=(l +1)2+sin ll 2+1,其导函数记为f'(x ),则f (2 018)+f'(2 018)+f (-2 018)-f'(-2018)= .10.已知直线ax-by-3=0与曲线f (x )=x e x在点P (1,e)处的切线垂直,则ll = .11.若曲线y=a ln x (a>0)在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则a= . 12.若曲线f (x )=12x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .二、能力提升13.若函数y=f (x ),y=g (x )的导函数的图象如图所示,则y=f (x ),y=g (x )的图象可能是( )14.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的距离的最小值为( ) A.1 B.√2C.√22D.√315.已知函数f (x )在区间(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x,则f'(2 018)=( ) A.1 B.2C.12018D.2019201816.设函数f (x )=ax-2-ln x (a ∈R ),若曲线y=f (x )在点(e,f (e))处的切线为x-e y+b=0,则a= ,b= .17.若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .三、高考预测18.曲线y=e 12l 在点(4,e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.92e 2B.4e 2C.2e 2D.e2考点规范练13 导数的概念及运算1.A 解析limΔl →0f(1-l x)-f(1)l x =-llll x→0l (1-Δl )-l (1)-Δl =-f'(1)=-(13×1-23)=-13. 2.B 解析因为f (x )=12x 2+2xf'(2018)+2018ln x , 所以f'(x )=x+2f'(2018)+2018l,所以f'(2018)=2018+2f'(2018)+20182018.即f'(2018)=-(2018+1)=-2019.3.C 解析令x=1,得f (1)=1.令2-x=t ,可得x=2-t ,将其代入f (2-x )=2x 2-7x+6,得f (t )=2(2-t )2-7(2-t )+6,化简整理得f (t )=2t 2-t ,即f (x )=2x 2-x ,∴f'(x )=4x-1, ∴f (1)=1,f'(1)=3,∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.4.B 解析由题图可知曲线y=f (x )在x=3处切线的斜率等于-13,故f'(3)=-13.∵g (x )=xf (x ), ∴g'(x )=f (x )+xf'(x ), ∴g'(3)=f (3)+3f'(3).又由题图可知f (3)=1,∴g'(3)=1+3×(-13)=0.5.C 解析∵f (x )=x 3-x+3,∴f'(x )=3x 2-1.设点P (x ,y ),则f'(x )=2,即3x 2-1=2,解得x=1或x=-1, 故P (1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C . 6.A 解析由题意得直线y=kx+1过点A (1,2),故2=k+1,即k=1.∵y'=3x 2+a ,且直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2), ∴k=3+a ,即1=3+a , ∴a=-2.将点A (1,2)代入曲线方程y=x 3+ax+b , 可解得b=3,即a b=(-2)3=-8.故选A .7.A 解析设曲线上两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由导数的几何意义可知,两条切线的斜率分别为k 1=f'(x 1),k 2=f'(x 2). 若函数具有T 性质,则k 1·k 2=f'(x 1)·f'(x 2)=-1.A 项,f'(x )=cos x ,显然k 1·k 2=cos x 1·cos x 2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B 项,f'(x )=1l (x>0),显然k 1·k 2=1l 1·1l 2=-1无解,故该函数不具有性质T;C 项,f'(x )=e x>0,显然k 1·k 2=e l 1·e l 2=-1无解,故该函数不具有性质T;D 项,f'(x )=3x 2≥0,显然k 1·k 2=3l 12×3l 22=-1无解,故该函数不具有性质T .综上,选A .8.A 解析因为y=x 3,所以y'=3x 2.设过点(1,0)的直线与y=x 3相切于点(x 0,l 03),则在该点处的切线斜率为k=3l 02,所以切线方程为y-l 03=3l 02(x-x 0),即y=3l 02x-2l 03.又点(1,0)在切线上, 则x 0=0或x 0=32.当x 0=0时,由y=0与y=ax 2+154x-9相切,可得a=-2564; 当x 0=32时,由y=274x-274与y=ax 2+154x-9相切,可得a=-1. 9.2 解析∵f (x )=1+2l +sin ll 2+1,∴f'(x )=2l 2+2+l 2cos l +cos l -4l 2-2l sin l(l 2+1)2,可知f'(x )是偶函数,∴f'(2018)-f'(-2018)=0.又f (2018)+f (-2018)=(2018+1)2+sin201820182+1+(1-2018)2+sin(-2018)(-2018)2+1=2(20182+1)20182+1=2,∴f (2018)+f'(2018)+f (-2018)-f'(-2018)=2.10.-12e 解析对函数f (x )=x e x 求导可得f'(x )=x'e x +x (e x )'=e x (x+1),则函数f (x )=x e x在点P (1,e)处的切线的斜率为k=f'(1)=e 1×(1+1)=2e . 又直线ax-by-3=0与切线垂直,则有l l =-12e . 11.8 解析由y=a ln x ,可得y'=ll .故曲线y=a ln x 在x=1处的切线的斜率k=a. 又f (1)=a ln1=0,所以切点为(1,0),所以切线方程为y=a (x-1). 令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a.故围成的三角形的面积S=12×a ×1=4,解得a=8.12.[2,+∞) 解析∵f (x )=12x 2-ax+ln x ,∴f'(x )=x-a+1l .∵曲线f (x )存在垂直于y 轴的切线, ∴f'(x )存在零点, ∴x+1l -a=0有解, ∴a=x+1l ≥2(x>0).13.D 解析由y=f'(x )的图象知y=f'(x )在(0,+∞)内单调递减, 说明函数y=f (x )的切线的斜率在(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C . 又由题图知y=f'(x )与y=g'(x )的图象在x=x 0处相交,说明y=f (x )与y=g (x )的图象在x=x 0处的切线的斜率相同,故可排除B .故选D .14.B 解析因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1l.令2x-1l=1,解得x=1,则曲线在点P (1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=√2=√2.故所求的最小值为√2.15.D 解析令e x=t ,则x=ln t ,所以f (t )=ln t+t ,即f (x )=ln x+x.所以f'(x )=1l+1.所以f'(2018)=12018+1=20192018.故选D .16.2e -2e 解析∵f (x )=ax-2-ln x (a ∈R ),∴f'(x )=a-1l =ll -1l.又曲线y=f (x )在点(e,f (e))处的切线的斜率为1e,∴f'(e)=l e -1e=1e.∴a=2e .∴f (e)=a ·e -2-lne =-1.由切点(e,-1)在切线上,可得b=-2e .17.1-ln 2 解析对函数y=ln x+2求导,得y'=1l .对函数y=ln(x+1)求导,得y'=1l +1.设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2相切于点P 1(x 1,y 1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P 2(x 2,y 2),则y 1=ln x 1+2,y 2=ln(x 2+1).由点P 1(x 1,y 1)在切线上,得y-(ln x 1+2)=1l 1(x-x 1).由点P 2(x 2,y 2)在切线上,得y-ln(x 2+1)=1l 2+1(x-x 2).因为这两条直线表示同一条直线,所以{1l 1=1l 2+1,ln(l 2+1)=ln l 1+l 2l 2+1+1, 解得x 1=12,x 2=-12.所以k=1l 1=2,b=ln x 1+2-1=1-ln2.18.D 解析∵y'=12e 12l ,∴切线斜率k=12e 12×4=12e 2.∴切线方程为y-e 2=12e 2(x-4).令x=0,得y=-e 2;令y=0,得x=2.故所求三角形的面积为S=12×2×|-e 2|=e 2.。
天津专用2020届高考数学一轮第三章导数.导数的概念及运算
当(０ꎬ０) 为切点时ꎬ ｆ ′(０)＝ ０ꎬ故切线方程为 ｙ ＝ ０.
当(０ꎬ０) 不为切点时ꎬ设切点为 Ｐ( ｘ０ ꎬｘ３０ ＋ ３ｘ２０ ) ꎬ则切线方程
即 ４ｘ－ｙ－４ ＝ ０.
( ３) 设曲 线
ｙ＝
１ ３
ｘ３ ＋
４ ３
与过点
Ｐ( ２ꎬ４) 的切线相切于点
( ) Ａ
ｘ１ ꎬ
１ ３
ｘ３１ ＋
４ ３
ꎬ则切线的斜率为
ｙ′
｜
ｘ＝ｘ１
＝
Hale Waihona Puke ｘ２ １ꎬ
( ) ∴ 切线方程为 ｙ－
１ ３
ｘ３１ ＋
４ ３
＝ ｘ２１( ｘ－ｘ１ ) ꎬ
即
ｙ ＝ ｘ２１ ������ｘ－
ｆ(ｘ)＝ ｅｘ ｆ( ｘ) ＝ ｌｏｇａ ｘ ( ａ>０ꎬ且 ａ≠１)
ｆ( ｘ) ＝ ｌｎ ｘ
２.导数的运算法则 运算
对应学生用书起始页码 Ｐ４０
续表
导函数
ｆ ′( ｘ)＝ －ｓｉｎ ｘ
ｆ ′( ｘ) ＝ ａｘ ｌｎ ａ
ｆ ′( ｘ)＝ ｅｘ
ｆ
′( ｘ)＝
１ ｘｌｎ
ａ
ｆ ′( ｘ)＝
１ ｘ
第三章 导数 ２ ５
二、利用导函数求曲线的切线方程
若已知曲线过点 Ｐ( ｘ０ ꎬｙ０ ) ꎬ求曲线 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 过点 Ｐ 的切线方
程ꎬ则需分点 Ｐ( ｘ０ ꎬｙ０ ) 是切点和不是切点两种情况求解.
１.当点 Ｐ ( ｘ０ ꎬ ｙ０ ) 是切点时ꎬ 切线方程为 ｙ － ｙ０ ＝ ｆ ′ ( ｘ０ ) ������
天津高考导数知识点总结
天津高考导数知识点总结高考是我国教育体系中非常重要的一环，对于参加高考的学生而言，掌握好各个科目的知识点是至关重要的。
在数学科目中，导数是一个非常重要的概念，它不仅在高考中占据一定的比重，而且在后续的学习中也有着广泛的应用。
本文将对天津高考的导数知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、导数的定义与计算导数是函数在某一点上的变化率，用极限的方法来定义。
对于函数f(x)，其在x=a点的导数表示为f'(a)，计算公式如下：f'(a) = lim[{f(x) - f(a)}/(x-a)] (x→a)在具体的计算过程中，我们可以使用极限的性质来简化计算。
常见的函数的导数计算公式如下：1. 常数函数的导数为零，即f(x) = c，其中c为常数，导数f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数，对于函数f(x) = x^n，其中n为正整数，导数f'(x) = nx^(n-1)。
3. 对数函数的导数，对于函数f(x) = loga(x)，其中a为底数，导数f'(x) = 1/(xlna)。
4. 指数函数的导数，对于函数f(x) = a^x，其中a为底数，导数f'(x) = a^xlna。
5. 三角函数的导数，对于函数f(x) = sin(x)，导数f'(x) = cos(x)；对于函数f(x) = cos(x)，导数f'(x) = -sin(x)；对于函数f(x) = tan(x)，导数f'(x) = sec^2(x)。
二、导数的性质与运算导数具有一些性质和运算规则，通过这些性质和规则，我们可以更加便捷地计算函数的导数。
常见的导数性质和运算规则如下：1. 常数倍法则：如果函数f(x)的导数为f'(x)，那么k * f(x)（k为常数）的导数为k * f'(x)。
2. 求和法则：如果函数f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，那么[f(x) + g(x)]的导数为f'(x) + g'(x)。
2020版五三高中数学高考真题与考点分章精析3.1 导数的概念及运算
例 (2018广东广州第一次调研,8)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,
则实数k的值为 ( )
A.ln 2 B.1 解题导引
C.1-ln 2
D.1+ln 2
解析 由y=xln x得y'=ln x+1,设切点为(x0,y0),则k=ln x0+1,∵切点(x0,y0)既
在曲线y=xln
x上,又在直线y=kx-2上,∴
y0 y0
kx0 2, x0 ln x0 ,
∴kx0-2=x0ln
x0,
∴k=ln
x0+ x20 ,∴ln
2
x0+ x0 =ln
x0+1,∴x0=2,∴k=ln
2+1,故选D.
答案 D
考向基础
考点清单
考点 导数的概念及运算
1.导数的概念及几何意义
(1)导数的概念:称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率 lim x0
y = lim
x x0
f (x0
x) x
f
(x0 )
为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f
'(x0)或y' |xx0 ,即f
'(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 ) .
即y=(1-a)x+2a+b,
根据题意有
1 2a
a
b
2, 5,
解得ba
1, 7,
∴a-b=-1-7=-8.
答案 -8
方法技巧
方法 利用导数求曲线的切线方程
若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点 P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解. (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f '(x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P'(x1, f(x1)); 第二步:写出曲线在点P'(x1, f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f '(x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f ‘(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程. 注意 切点(x0,y0)的三重身份的灵活应用,即①切点在线上;②切点在曲 线上;③切线斜率k=f '(x0).
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练力：第三章 1 第1讲 变化率与导数导数的计算 含解析
[基础题组练]1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．(2019·河北衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A.因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，y ′|x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线的斜率为2，所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D. 12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )解析：选D.由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B.5．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52 C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.6．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________． 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7， 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：87．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0相互垂直，则实数a ＝________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2·cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：28．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.[综合题组练]1．(应用型)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.故选C. 2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5. 答案：2 54．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得， x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.5．(2019·福州质检)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。
天津高考数学知识点导数
天津高考数学知识点导数在天津高考的数学科目中，导数是一个非常重要的知识点。
导数是微积分的一部分，它描述了函数在某一点上的变化率。
理解导数的概念对于解决许多数学问题以及应用数学到实际生活中都有着重要的意义。
导数的概念最早是由法国数学家笛卡尔提出的。
他发现了通过求极限可以确定曲线的斜率，从而推导出了导数的概念。
我们可以将导数看作是曲线的切线的斜率，或者是函数的变化率。
一个函数的导数可以用dy/dx或f'(x)表示。
导数的计算方法有很多种，其中一种常见的方法是使用极限。
通过求函数在某一点的极限，可以得到这一点的导数。
如果一个函数在某一点上的导数等于零，那么这个点是函数的一个极值点。
这个特点在优化问题中经常被用到。
另外一个常见的计算导数的方法是使用求导法则。
这些法则包括常数法则、幂法则、指数法则、对数法则以及三角函数法则等等。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更加快速、准确地计算导数。
导数在实际生活中有很广泛的应用。
例如，在物理学中，导数可以描述物体的速度、加速度等。
在经济学中，导数可以用来描述需求曲线和供给曲线之间的关系。
在生物学中，导数可以用来描述物种的增长率。
由于导数的广泛应用，掌握导数的知识对于解决实际问题非常重要。
除了基本的导数概念和计算方法之外，天津高考还会考察一些与导数相关的知识点。
其中之一是导数的应用。
在应用题中，考生需要将导数的知识应用到实际问题中，解决实际问题。
这些问题可能涉及最值问题、变化率问题、优化问题等等。
掌握导数的应用技巧是解决这些问题的关键。
另外一个和导数相关的知识点是高阶导数。
高阶导数是指对函数进行多次求导。
高阶导数可以用来描述函数的曲率以及函数的其他性质。
在解决一些更加复杂的问题时，高阶导数经常会被用到。
总之，导数是天津高考数学中的一个重要知识点。
理解导数的概念，掌握导数的计算方法，熟练应用导数解决实际问题，以及了解高阶导数等相关知识，对于学好数学、应对高考都非常重要。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：3.1 导数的概念及运算 .pdf
(2)已知斜率k,求切点B(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k;
(3)已知切线过某点M(x1,f(x1))(不是切点)求斜率k,常需设出切点
A(x0,f(x0)),求导数得出斜率k=f'(x0),列出切线方程代入已知点坐标
求解或利用
求解.
考点1
考点2
-22-
1.利用公式求导时,不要将幂函数的求导公式(xn)'=nxn-1(n∈Q*)与指 数函数的求导公式(ax)'=axln a混淆. 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有 一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切 线,也不能说明此直线与曲线只有一个公共点. 3.曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0是曲线y=x3在点(0,0)处 的切线.
考点1
考点2
-18-
思考已知切线方程(或斜率)求参数值的关键一步是什么? 解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线 过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是yf(x0)=f'(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已 知点在切线上求解. 2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数, 再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入 函数解析式求出切点的纵坐标. 3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等 于切线斜率的方程.
例3(2018广东广州一模)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点
P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )
A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1) 思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
高考总复习一轮数学精品课件 第4章 导数及其应用 第1节 导数的概念及其意义
即在点(x0,f(x0))处
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,
f'(x0)
即k0=__________.
微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的
4
√2 √2
B,直线的斜率为 m=- 3 <- 4 ,故 B 错误;
√2
C,直线的斜率为 m=- 4 ,故 C 正确;
√2
x= 2 时,等号成立,
√2
≥2√2,因此- ≤m<0.
4
对于 D,直线的斜率为 m=√2>0,故 D 错误,故选 AC.
考点三
导数几何意义的应用(多考向探究预测)
考向1 求曲线的切线方程
所以切线方程为
1
y-2=2(x-1),整理可得
4x-2y-3=0.
1
k=2,切点为(1, ),
2
考向2 求参数的值或范围
例4(1)(2024·广东惠州模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则实数
a=( C )
A.-1
B.1
C.2
D.3
1
1
解析 设切点的坐标为(x0,y0),由于 y'= ,所以切线的斜率为
1 3 2
h(t)= t +t ,当t=t0时,液体上升高度的瞬时变化率为3
3
cm/s,则当t=t0+1时,液
体上升高度的瞬时变化率为( C )
A.5 cm/s
B.6 cm/s
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专题三导数及其应用【真题典例】3.1导数的概念及运算挖命题【考情探究】分析解读本节主要是对导数概念、导数的几何意义及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值或最值综合考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.破考点【考点集训】考点一导数的概念与几何意义1.(2018课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案 D2.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=0考点二导数的运算3.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f '(1)=.答案 2炼技法【方法集训】方法1求函数的导数的方法1.曲线f(x)=在点(1, f(1))处切线的倾斜角为,则实数a=()A.1B.-1C.7D.-7答案 C方法2利用导数的几何意义求曲线的切线方程2.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xe a-x+bx,所以f '(x)=(1-x)e a-x+b.依题设,知-即----解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f '(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知, f '(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知, f '(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).方法总结(1)曲线在某点处的切线满足两个条件:一是过该点,二是斜率(若斜率存在)等于函数在该点处的导数值.(2)讨论函数的单调性可转化为讨论导函数的符号变化,因此常将导函数作为一个新函数来研究其值域(最值),利用所得结果确定原函数的单调性.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一导数的概念与几何意义1.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案 12.(2017天津文,19,14分)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线.(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.解析(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f '(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f '(x)=0,解得x=a,或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如表:所以, f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).(2)(i)证明:因为g'(x)=e x[f(x)+f '(x)],由题意知所以解得所以, f(x)在x=x0处的导数等于0.(ii)因为g(x)≤e x,x∈[x0-1,x0+1],g(x)=e x f(x),所以由e x>0,可得f(x)≤1.又因为f(x0)=1, f '(x0)=0,故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.由于|a|≤1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,故当x0=a时, f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤e x在[x0-1,x0+1]上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],所以t'(x)=6x2-12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去),或x=0.因为t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域为[-7,1].所以,b的取值范围是[-7,1].思路分析(1)求出函数f(x)的导函数及极值点,通过列表判断函数的单调性,求出单调区间即可.(2)(i)对函数y=g(x)和y=e x求导,根据已知条件得方程组解方程组可得出f '(x0)=0.(ii)不等式g(x)≤e x在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,由e x>0,可得f(x)≤1.根据(1)可知f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立.由f(a)=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1,利用导数即可求出b的取值范围.评析本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查用函数思想解决问题的能力.3.(2013天津文,20,14分)设a∈[-2,0],已知函数f(x)=--(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点P i(x i, f(x i))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x3≠0.证明x1+x2+x3>-.解析(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)=x3-x2+ax(x>0),① f '1(x)=3x2-(a+5),由a∈[-2,0],从而当-1<x≤0时,f '1(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函数f1(x)在区间(-1,0]内单调递减.② f '2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a∈[-2,0],所以当0<x<1时, f '2(x)<0;当x>1时, f '2(x)>0. 即函数f2(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.综合①,②及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.(2)由(1)知f '(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间内单调递减,在区间∞内单调递增.因为曲线y=f(x)在点P i(x i, f(x i))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f '(x1)=f '(x2)=f '(x3).不妨设x1<0<x2<x3,由3-(a+5)=3-(a+3)x2+a=3-(a+3)x3+a,可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0,解得x2+x3=,从而0<x2<<x3.设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则g<g(x2)<g(0)=a.由3-(a+5)=g(x2)<a,解得-<x1<0,所以x1+x2+x3>-+,设t=,则a=-,因为a∈[-2,0],所以t∈,故x1+x2+x3>-t+=(t-1)2-≥-,即x1+x2+x3>-.评析本题主要考查导数的运算及其几何意义,利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想、化归思想、函数思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.考点二导数的运算1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为.答案 e2.(2016天津文,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.答案 3B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案 D2.(2018课标Ⅱ,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x3.(2018课标Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-34.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案y=-2x-15.(2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln 26.(2014课标Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=ae x ln x+-,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=ae x ln x+e x-e x-1+e x-1.由题意可得f(1)=2, f '(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知, f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-.设函数g(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x.所以当x∈时,g'(x)<0;当x∈∞时,g'(x)>0.故g(x)在上单调递减,在∞上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.设函数h(x)=xe-x-,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.评析本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查等价转化思想及逻辑推理能力.C组教师专用题组1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案 A2.(2013课标Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围.解析(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2, f '(0)=4,g'(0)=4.而f '(x)=2x+a,g'(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知, f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2.(i)若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F'(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F'(x)>0.即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(ii)若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(iii)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时, f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].评析本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,考查了分类与整合、函数与方程的思想;结合特值限定参数的范围可减少分类的情况,有利于提高效率,利用两根大小作为讨论的分界点是解题关键.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共5分)1.(2018天津静海一中模拟,8)已知f(x)+f '(x)=x+1,且f(0)=1, f(x)<ax+1有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是()A.<a≤+B.+<a≤+C.1+<a<2+D.+<a<2+答案 A二、填空题(每小题5分,共20分)2.(2017天津河西一模,12)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e x)=x+e x,则f '(1)=.答案 23.(2017天津河北一模,12)已知f(x)=e x-e,则曲线y=f(x)在点(1, f(x))处的切线方程是.答案y=ex-e4.(2017天津和平二模,14)已知f(x)是奇函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+2x,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是.答案x-y+1=05.(2018天津一中3月月考,10)已知函数f(x)=2f '(1)ln x-x,则f(x)的极大值为.答案2ln 2-2三、解答题(共30分)6.(2017天津河西二模,20)设函数f(x)=x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a=1-2b时,若函数f(x)+g(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1-2b=1时,求函数f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最大值.解析(1)由已知得f '(x)=x2-a,g'(x)=2bx.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f '(1)=g'(1),即-a=b+2b-1,且1-a=2b,解得a=,b=.(2)设h(x)=f(x)+g(x),当a=1-2b时,h(x)=x3+x2-ax-a,h'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),令h'(x)=0,得x=-1或a(a>0).当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:所以函数h(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间为(-1,a),因为a>0,所以h(x)在区间(-2,-1)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减,要使函数h(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,则--解得0<a<,所以a的取值范围是.(3)设h(x)=f(x)+g(x),当a=1-2b=1时,h(x)=x3-x-1.由(2)可知,当a=1时,函数h(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,1).①当t+3<-1,即t<-4时,h(x)在区间[t,t+3]上单调递增,所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(t+3)=(t+3)3-(t+3)-1=t3+3t2+8t+5;②当t<-1且-1≤t+3<1,即-4≤t<-2时,h(x)在区间[t,-1)上单调递增,在区间[-1,t+3]上单调递减, 所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(-1)=-;当t<-1且t+3≥1,即-2≤t<-1时,t+3<2且h(2)=h(-1)=-,所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(-1)=-;③当-1≤t<1时,t+3≥2>1,h(x)在区间[t,1)上单调递减,在区间[1,t+3]上单调递增,所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(t)与h(t+3)中的较大者.由h(t+3)-h(t)=3(t+1)(t+2)知,当-1≤t<1时,h(t+3)≥h(t),所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(t+3)=t3+3t2+8t+5;④当t≥1时,h(x)在区间[t,t+3]上单调递增,所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(t+3)=t3+3t2+8t+5.综上,当t<-4或t≥-1时, f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最大值为t3+3t2+8t+5;当-4≤t<-1时, f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最大值为-.解题分析本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程、函数的零点及函数在闭区间上的最值问题,考查分类讨论思想、数形结合思想,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,综合性强,难度大.7.(2018天津红桥二模,20)已知函数f(x)=a2x2+ax-ln x.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=a2x2-f(x),且函数g(x)在x=1处的切线为l,直线l'∥l,且l'在y轴上的截距为1,求证:无论a取何实数,函数g(x)的图象恒在直线l'的下方;(3)已知点A(1,g(1)),Q(x0,g(x0)),且当x0>1时,直线QA的斜率恒小于2,求实数a的取值范围.解析(1)a=1时, f(x)=x2+x-ln x,f '(x)=2x+1-=-(x>0),令f '(x)=0,得x=,∴x>0时, f(x)与f '(x)的变化情况如下表:∴函数f(x)的单调递增区间为∞,单调递减区间为.(2)证明:∵g(x)=a2x2-f(x)=ln x-ax,∴g'(x)=-a,x>0,∴g'(1)=1-a,∴直线l的斜率k l=1-a.∵l'∥l,且l'在y轴上的截距为1,∴直线l'的方程为y=(1-a)x+1.令h(x)=g(x)-[(1-a)x+1]=ln x-x-1(x>0),h'(x)=-1=,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,∴函数h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴当x=1时,h(x)取得极大值,极大值为h(1)=-2,∴在(0,+∞)上,h(x)取得最大值h(1)=-2,∴h(x)≤-2<0(∀a∈R,∀x>0),∴无论a取何实数,函数g(x)的图象恒在直线l'的下方.(3)∵A(1,-a),Q(x0,ln x0-ax0),∴k QA=--=--a,∴当x0>1时,-a<2,即ln x0-(a+2)(x0-1)<0恒成立,-令r(x)=ln x-(a+2)(x-1)(x>1),则r'(x)=-(a+2),∵x>1,∴0<<1.①当a≤-2时,a+2≤0,此时r'(x)>0,∴r(x)在(1,+∞)上单调递增,有r(x)>r(1)=0,不满足题意;②当-2<a<-1时,0<a+2<1,∴当x∈时,r'(x)>0,当x∈∞时,r'(x)<0,∴至少存在t∈,使得r(t)>r(1)=0,不满足题意;③当a≥-1时,a+2≥1,此时r'(x)<0,∴r(x)在(1,+∞)上单调递减,r(x)<r(1)=0,满足题意.综上,实数a的取值范围是[-1,+∞).8.(2018天津和平三模,20)设函数f(x)=ln x-ax2-bx.(1)当a=b=时,求函数f(x)的最大值;(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0<x≤3),若其图象上的任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围;(3)当a=0,b=-1时,方程x2=2mf(x)(其中m>0)有唯一实数解,求m的值.解析(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=b=时, f(x)=ln x-x2-x,f '(x)=-x-=--,令f '(x)=0,得x=1或x=-2(舍).当0<x<1时, f '(x)>0,此时f(x)单调递增;当x>1时, f '(x)<0,此时f(x)单调递减.∴f(x)的最大值为f(1)=-.(2)由题意知F(x)=ln x+,x∈(0,3],F'(x)=-=-,则有k=F'(x0)=-≤在(0,3]上恒成立,∴a≥-,x0∈(0,3].当x0=1时,-+x0取得最大值,∴a≥.(3)当a=0,b=-1时, f(x)=ln x+x,∵方程2mf(x)=x2有唯一实数解,∴x2-2mln x-2mx=0有唯一实数解.设g(x)=x2-2mln x-2mx,则g'(x)=--(x>0).∵m>0,x>0,设g'(x)=0,即x2-mx-m=0的两根分别为x1,x2,∴x1=-<0(舍去),x2=.当x∈(0,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上单调递增;当x=x2时,g'(x2)=0,g(x)取到最小值g(x2).∵g(x)=0有唯一解,∴g(x2)=0.则即----∴2mln x2+mx2-m=0.∵m>0,∴2ln x2+x2-1=0(*),设h(x)=2ln x+x-1,x>0,则h'(x)=+1,∵当x>0时,h'(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上是增函数,∴h(x)=0至多有一解. ∵h(1)=0,∴方程(*)的解为x2=1,即=1,解得m=.。