2019年高中数学北师大版必修五达标练习：第2章 §1-1.2 余弦定理 含解析
北师大版高中数学必修五1.2余弦定理
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第2章 1.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3B.π6C.π4D.π12解析： ∵a ＞b ＞c ，∴C 为最小角，且0＜C ＜60°，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. ∴C ＝π6. 答案： B 2．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2 解析： △ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos 30°，∴b 2＝2(6＋2)2－2(6＋2)2×32＝(2－3)(6＋2)2＝4(2＋3)(2－3)＝4，∴b ＝2.答案： A3．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎭⎫0，π2 解析： 根据余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0， ∴A 为锐角．∵在不等边三角形中，a 是最大边，∴A 是最大角，∴△ABC 为锐角三角形，∴π3<A <π2. 答案： B4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.323 C.32 D ．3 3解析： 由余弦定理可得，cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12.∴sin A ＝32， 则AC 边上的高h ＝AB ·sin A ＝3×32＝323，故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是______．解析： 由题设和正、余弦定理得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝c a， 化简得a 2－b 2＝0，即a ＝b .答案： 等腰三角形6．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为________．解析： 由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝48＋c 2－12c ，解得c ＝4或c ＝8.答案： 4或8三、解答题(每小题10分，共20分)7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的形状．解析： (1)由已知及正弦定理，得sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B .∵sin(B ＋C )＝sin A ≠0，∴2cos B ＝1，即cos B ＝12，∴B ＝60°. (2)根据余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b 2＝ac ，则ac ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即a 2＋c 2－2ac ＝0.∴(a －c )2＝0，即a ＝c .从而b ＝ac ＝a ＝c ，故△ABC 为正三角形．8．在△ABC 中，已知sin A ＝35，sin A ＋cos A ＜0，a ＝35，b ＝5，求c . 解析： ∵sin A ＋cos A ＜0，且sin A ＝35， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－45， 又∵a ＝35，b ＝5，∴由a 2＝b 2＋c 2－2b cos A ，得(35)2＝52＋c 2－2×5×c ×⎝⎛⎭⎫－45， 即c 2＋8c －20＝0.解得c ＝2或c ＝－10(舍去)，∴c ＝2. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )·(sin B＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程：x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b ＞c )， (1)求角A 的正弦值；(2)求边a ，b ，c ；(3)判定△ABC 的形状，并求其内切圆的半径．解析： (1)由已知：(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，结合正弦定理可得：sin 2 B ＋sin 2 C －sin 2 A ＝85sin B sin C ，∴b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)得方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0，则b ＝5，c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9，∴a ＝3.(3)由(2)可知b 2＝a 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形，其内切圆的半径r ＝a ＋c －b 2＝1.。
北师大版数学高二-必修5试题 2-1-2余弦定理
1.2 余弦定理双基达标 (限时20分钟)1．在△ABC 中，符合余弦定理的是 ( )．A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos CB ．c 2＝a 2－b 2＋2bc cos AC ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab 解析 注意余弦定理形式，特别是正负号问题．答案 A2．在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则A 等于 ( )．A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°. 答案 C3．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是 ( )．A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析 设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求． 答案 B4．△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin B ＝________.解析 c 2＝52＋32－2×5×3×cos 120°＝49，∴c ＝7. ∴sin B ＝b sin C c ＝3sin 120° 7＝37×32＝3314. 答案 33145．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B 等于________．解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34. 答案 346．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3.若△ABC 的面积等于3，求a ，b .解 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. 综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为 ( )．A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，且∠BAC ∈(0，π)， 因此∠BAC ＝2π3，选A. 答案 A8．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析 ∵c 2－a 2－b 22ab>0，∴c 2－a 2－b 2>0， ∴a 2＋b 2<c 2，∴△ABC 为钝角三角形，故选C .答案 C9．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝1，△ABC 的面积为3，则BC 的长为________．解析 S △ABC ＝12AB ·AC sin A ⇒AB ＝4， ∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝13. 答案 1310．在△ABC 中，三个角A 、B 、C 所对边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B＋ab cos C 的值为________．解析 ∵bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝12(b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 2) ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612. 答案 61211．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－2 3x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数．(2)求AB 的长．解 (1)在△ABC 中，cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.根据余弦定理，AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10.∴AB ＝10.12．(创新拓展)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tan C ＝37.(1)求cos C ；(2)若C B →·C A →＝52，且a ＋b ＝9求c . 解 (1)因为tan C ＝37，所以sin C cos C＝37， 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18， 由tan C >0知，C 为锐角，所以cos C ＝18. (2)由C B →·C A →＝52，得ab cos C ＝52，∴ab ＝20. 又因为a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81，∴a 2＋b 2＝41.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝41－2×20×18＝36，∴c ＝6.。
高中数(北师大必修5)：第2章 1.2 余弦定理
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，如果(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，那么A 等于( )【导学号：47172088】A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc 得b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝bc 2bc ＝12，所以A ＝60°.【★答案★】 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1 D.23【解析】 依题意得⎩⎨⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ， 两式相减得ab ＝43.【★答案★】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则角A 为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 【解析】 由sin C ＝23sin B ＝c ＝23b ，所以a 2－b 2＝3bc ＝3·b ·23b⇒a 2＝7b 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝30°.【★答案★】 A4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝()A.714 B.5714C．－714D．－5714【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝102＋152－2×10×15×cos 60°＝175，∴c＝57，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝102＋175－1522×10×57＝714.【★答案★】 A5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为() 【导学号：47172089】A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】由正弦定理得，sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A，∴sin A＝1或sin A＝0(舍去)，∴A＝π2，∴△ABC为直角三角形，选B.【★答案★】 B二、填空题6．在△ABC中，若a＝2，b＝3，C＝60°，则sin A＝________. 【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×2×3×12＝7，∴c＝7，再由正弦定理得sin A＝a·sin Cc＝2sin 60°7＝217.【★答案★】21 77．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝120°，c＝5，a＝7，则sin Bsin C＝________.【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即49＝b2＋25＋5b，解得b＝3或b＝－8(舍去)．所以sin Bsin C＝bc＝35.【★答案★】3 58．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则最大的边长为________．【解析】∵a－b＝4>0，∴a>b，又a＋c＝2b，∴a－c＝a－(2b－a)＝2(a－b)>0，∴a>c，故a为最长边，A＝120°，故cos A＝b2＋(b－4)2－(b＋4)22b(b－4)＝－12，∴b－162b－8＝－12，∴b＝10，a＝14.【★答案★】14三、解答题9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．【解】(1)cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1 2，又∵C∈(0，π)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC→＝－21，若a ＝7，求角C .【导学号：47172090】【解】 ∵AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝－ac cos B ＝－35ac ＝－21，∴ac ＝35.又a ＝7，∴c ＝5，∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，∴b 2＝49＋25－2×7×5×35＝32，∴b ＝4 2. 由正弦定理，得4245＝5sin C ， ∴sin C ＝22.又a ＞c ，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∴C ＝π4. [能力提升]1．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x <5B ．4<x <30C ．1<x <4D ．4<x <34【解析】 若5最大，则32＋x 2－52>0，得5＞x >4，若x 最大，则32＋52－x 2>0，得5<x <34，又2<x <8，则4<x <34.【★答案★】 D2．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定【解析】 设直角三角形三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2.则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2＞0.设最大边(c ＋x )所对的角为θ，则cos θ＝(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )22(a ＋x )(b ＋x )＞0， ∴θ为锐角，故三角形的形状为锐角三角形．【★答案★】 A3．在△ABC 中，若面积S △ABC ＝a 2－(b －c )2，则cos A 的值为________．【解析】 由S △ABC ＝12bc sin A ，知a 2－(b －c )2＝12bc sin A ，∴b 2＋c 2－a 2＝2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14sin A ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝1－14sin A ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1－14sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A )，∴sin 2A ＝16(1－cos A )2，∴1－cos 2A ＝16－32cos A ＋16cos 2A ，即17cos 2A －32cos A ＋15＝0，解得cos A ＝1517或cos A ＝1.∵A 为三角形的内角，∴cos A ≠1，∴cos A ＝1517.【★答案★】 15174．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【解】 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C ，又sin B ＋sin C ＝1，得sin B sin C ＝14，从而sin B ＝sin C ＝12.∵0＜B ＜π3，0＜C ＜π3， ∴B ＝C .∴△ABC 是等腰钝角三角形．。
【步步高】高中数学北师大版必修5练习：2.1.2余弦定理(二)(含答案解析)
1.2余弦定理(二)课时目标 1.娴熟掌握正弦定理、余弦定理； 2.会用正、余弦定理解三角形的相关问题．1．正弦定理及其变形a b c(1)sin A＝sin B＝sin C＝ ________.(2)a＝ __________， b＝__________ ， c＝ _____________.(3)sin A ＝ __________ ， sin B ＝ __________ ， sin C＝ ____________.(4)sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ __________.2．余弦定理及其推论2(1)a ＝ ____________________.(2)cos A ＝ ______________.(3)在△ ABC 中， c2＝ a2＋ b2? C 为 ________； c2>a2＋ b2? C 为 ________； c2<a2＋ b2? C 为 ________．3．在△ ABC 中，边 a、b、 c 所对的角分别为 A 、B 、 C，则有：(1)A ＋B ＋ C＝ ______，A＋B＝________________. 2(2)sin(A ＋ B) ＝ ________，cos(A ＋ B) ＝________， tan(A ＋ B) ＝________.(3)sin A＋B＝ __________， cosA＋B＝ ____________________________________.22一、选择题1．已知 a、b、 c 为△ ABC 的三边长，若知足(a＋ b－ c)(a＋ b＋ c)＝ ab，则∠ C 的大小为()A． 60°B．90°C． 120 °D．150°2．在△ ABC 中，若 2cos Bsin A ＝ sin C，则△ ABC 的形状必定是 ()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3.在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ 3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最小外角为() A． 30°B．60°C． 90°D．120°4．△ABC 的三边分别为 a， b，c 且知足 b2＝ ac,2b＝ a＋ c，则此三角形是 ()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 C＝ 120 °，c＝2a，则 () A． a>bB． a<bC． a＝ bD． a 与 b 的大小关系不可以确立6．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增添的长度确立二、填空题7．在△ ABC 中，边 a，b 的长是方程x2－ 5x＋2＝ 0 的两个根， C＝ 60°，则边 c＝________. 8．设 2a＋ 1， a,2a－ 1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是 ________．9．已知△ ABC 的面积为23， BC ＝ 5，A ＝60°，则△ ABC 的周长是 ________．10．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b＝ 1， S△ABC＝3，则△ ABC 外接圆的面积是________．三、解答题11．在△ABC 中，求证：a2－ b2sin(A － B).2＝sin Cc12．在△ ABC 中， a， b， c 分别是角3→ →A ， B ，C 的对边的长， cos B＝，且 AB ·BC＝－521.(1)求△ ABC 的面积；(2)若 a＝ 7，求角 C.能力提高13．已知△ ABC 中， AB ＝ 1， BC＝ 2，则角 C 的取值范围是 ()πB ．0<C<πA． 0<C≤2 6π ππ πC.6<C< 2D. 6<C≤314．△ABC 中，内角 A 、 B、 C 的对边分别为23a、 b、 c，已知 b ＝ ac 且 cos B＝ .41 ＋1 的值；(1)求tan A tan C→ →3(2)设 BA ·BC＝，求 a＋ c 的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(起码有一边 )才能求解，常有种类及其解法见下表：已知条件应用一般解法定理一边和两角(如 a， B， C)两边和夹角(如 a， b， C)三边(a， b， c)两边和此中一边的对角如 (a， b，A)正弦由 A ＋B ＋C＝ 180°，求角 A ；由正弦定理求出 b 与 c.在定理有解时只有一解 .余弦c；由正弦定理求出小边所对的角；定理由余弦定理求第三边再由 A ＋B ＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解.正弦定理余弦由余弦定理求出角A、 B；再利用 A ＋ B ＋C＝ 180°，求定理出角 C.在有解时只有一解 .正弦定理由正弦定理求出角B；由 A ＋ B＋ C＝ 180°，求出角 C；余弦再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解 .定理2.依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实行边、角变换．1． 2 余弦定理 (二 )答案知识梳理1． (1)2R(2)2Rsin A 2Rsin B2Rsin C (3) ab c (4)a ∶ b ∶ c 2.(1)b 2＋ c 2－ 2R 2R2R2bccos A(2) b 2＋ c 2－a 2(3) 直角 钝角 锐角 3.(1) ππ (2)sin C － cos C2bc－ C22－ tan C(3)cosCsin C2 2作业设计22 21． C [ ∵ (a ＋ b －c)(a ＋ b ＋c)＝ab ，∴ a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，即 a ＋ b －c＝－ 1，∴ cos C2ab21＝－ ，∴∠ C ＝ 120°.]2． C [ ∵ 2cos Bsin A ＝ sin C ＝sin(A ＋ B) ，∴ sin Acos B －cos Asin B ＝0，即 sin(A －B)＝ 0，∴ A ＝ B.]3.B [ ∵ a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ＝ 3∶ 5∶ 7，不如设 a ＝3，b ＝ 5，c ＝ 7，C 为最大内角，则 cos C ＝32＋ 52－ 72 1 ＝－.∴ C ＝ 120 °.∴最小外角为 60°.]2×3×524．D[ ∵ 2b ＝a ＋ c ，∴ 4b 2＝ (a ＋ c)2 ，即 (a － c)2＝0.∴ a ＝ c.∴ 2b ＝ a ＋c ＝ 2a.∴ b ＝a ，即 a ＝ b ＝ c.]5．A[ 在 △ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2 ＋ b 2－2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab.∵ c ＝ 2a ，∴ 2a 2＝ a 2＋ b 2＋ ab.∴ a 2－ b 2 ＝ ab>0，∴ a 2>b 2，∴a>b.] 6．A [ 设直角三角形三边长为 a ， b ， c ，且 a 2 ＋b 2＝ c 2，则 (a ＋ x)2＋ (b ＋ x)2－ (c ＋ x)2＝ a 2＋ b 2＋ 2x 2＋ 2(a ＋ b)x － c 2－2cx － x 2＝ 2(a ＋ b － c)x ＋2x >0，∴ c ＋x 所对的最大角变成锐角．]7. 19分析由题意： a ＋ b ＝ 5， ab ＝ 2.由余弦定理得： c 2＝ a 2 ＋b 2－ 2abcos C ＝ a 2＋ b 2－ ab ＝ (a ＋ b)2－ 3ab ＝ 52－ 3×2＝19，∴ c ＝ 19. 8． 2<a<8分析∵ 2a － 1>0，∴ a>12，最大边为2a ＋ 1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋ (2a － 1)2<(2a ＋ 1)2 化简得： 0<a<8.又∵ a ＋2a － 1>2a ＋ 1，∴ a>2，∴ 2<a<8.9． 12分析S △ABC ＝ 1 A B ·AC ·sin A ＝ 1 A B ·AC ·sin 60 ＝°2 3，2 2∴ AB ·AC ＝8，BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ·AC ·cos A＝ AB 2＋ AC 2 －AB ·AC ＝(AB ＋ AC) 2－3AB ·AC ， ∴ (AB ＋ AC) 2＝ BC 2＋ 3AB ·AC ＝49，∴ AB ＋AC ＝ 7，∴△ ABC 的周长为 12.13π10. 3分析S △ABC ＝ 1 b csin A ＝ 3 c ＝ 3，∴ c ＝ 4，2 4由余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2 －2bccos A ＝12＋ 42－ 2×1×4cos 60 °＝ 13，∴ a ＝ 13.∴ 2R ＝ a ＝13＝2 39，sin A3 32∴R ＝39外接圆2＝ 13π3 .∴ S＝ πR 3 .sin Acos B － cos Asin B ＝sin Asin B11．证明 右侧＝ sin C sin C ·cos B － sin C ·cos Aa a 2＋ c 2－b 2 b b 2＋c 2－ a 2 a 2＋ c 2－ b 2 b 2＋ c 2－ a 2 a 2－ b 2＝ ·－ ·2bc ＝2c 2－2c 2＝ c 2 ＝左侧．因此c 2ac csin(A － B)sin C .→ →→ → 12．解 (1)∵ AB ·BC ＝－ 21，∴ BA ·BC ＝ 21.→ → → → ∴ BA ·BC ＝ |BA | |BC ·| cos · B ＝ accos B ＝ 21.∴ ac ＝35，∵ cos B ＝ 3，∴ sin B ＝ 4.5 51 1 ×35 4∴ S △ABC ＝ acsin B ＝2 ×＝14.25(2)ac ＝ 35， a ＝7，∴ c ＝ 5.由余弦定理得， b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ＝ 32，22a － b∴ b ＝4 2.由正弦定理：c ＝bsin C sin B.c sin B ＝ 5 4 ＝ 2 ∴ sin C ＝ × 2.b 4 2 5∵ c<b 且 B 为锐角，∴ C 必定是锐角． ∴ C ＝ 45°.13．A[方法一 (应用正弦定理 )∵ sin AB C ＝ sin BC A ，∴ sin 1 C ＝ sin 2 A1∴ sin C ＝ 2sin A ，∵ 0<sin A ≤1，1∴ 0<sin C ≤2.∵ AB<BC ，∴ C<A ，∴ C 为锐角，π∴ 0<C ≤6.方法二(应用数形联合 )如下图，以B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC 上的点外，都可作为 A 点．从点 C 向圆 B 作切线，设切点为A 1和 A 2，当 A 与 A 1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时： BC ＝ 2，AB ＝ 1，AC ⊥ AB ，∴ Cπ π＝ ，∴ 0<C ≤ .]6633 2 ＝714．解，得 sin B ＝1－(1)由 cos B ＝444.由 b 2＝ ac 及正弦定理得 sin 2 B ＝ sin Asin C.11cos A cos C sin Ccos A ＋ cos Csin Asin(A ＋ C) sin B 1于是tan A ＋tan C ＝ sin A ＋ sin C ＝ sin Asin C＝sin 2B ＝ sin 2B ＝ sin B ＝4 7 7 .→→＝ 3得 ca ·cos B ＝ 3，(2)由 BA ·BC22由 cos B ＝ 34，可得 ca ＝ 2，即 b 2＝ 2.由余弦定理： b 2＝ a 2＋ c 2 －2ac ·cos B ，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac ·cos B ＝ 5，∴ (a ＋ c)2＝a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 5＋ 4＝9，∴ a ＋ c ＝ 3.。
2019-2020年北师大版数学必修五讲义：第2章+§1+1.2+余弦定理及答案
1.2余弦定理1．余弦定理阅读教材P49～P50例4以上部分，完成下列问题．思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？[提示]余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？[提示]①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形．2．余弦定理的推导如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 那么c ＝a －b ． |c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－2ab cos C所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ． 同理可证：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22abA [由余弦定理知选A ．]2．在△ABC 中，若已知a ＝2，b ＝3，c ＝5，则cos A ＝_____________. 53 [cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋5－42×3×5＝53.] 3．在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝2，c ＝1，则a ＝________. 3 [a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a ＝ 3.]【例1】 (1)已知△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________. (2)在△ABC 中，已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为________．(1)5 (2)7 [(1)A 为b ，c 的夹角，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得16＝9＋c 2－6×35c ， 整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍去)． (2)在△ABC 中，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2×33×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49.所以b ＝7.](1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1．(1)在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________.(2)在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ． (1)19 [由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， 所以c ＝19.] (2)[解] 由余弦定理， 得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )， 所以49＝64－2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，即bc ＝15， 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，求cos A ．[解] (1)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ 3x 2＋4x 2－x 22×3x ×2x ＝32，故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°. (2)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ． 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2．(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． (1)C [由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )可得a 2－c 2＝b 2＋bc ，即a 2＝c 2＋b 2＋bc ．根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12， 因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝120°.故选C ．] (2)[解] 由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以，所求中线长为7.1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？ [提示] 能．由正弦定理和sin A ＝sin B 知a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． 2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？ [提示] 不能．由sin 2A ＝sin 2B 得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，要判定三角形的形状，是把a cos A ＝b cos B 中的边化为角，还是把角化为边？[提示] 都可以，化角为边：由余弦定理得 a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得(a ＋b )(a －b )(c 2－a 2－b 2)＝0，故a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．化边为角：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定． 思路二：从边的关系判定． 思路三：从边与角的关系判定．【例3】 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解] 法一：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C2sin B ＝c 2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b ．又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ．所以△ABC 为等边三角形．法二：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ． 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ． 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1．(变条件)把例3的条件换为：b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，判断△ABC 的形状． [解] 法一：由条件b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A 得cos A ＝b 2c ＝c2b ，即b ＝c ，把b ＝c 代入b ＝2c cos A 得cos A ＝12，所以A ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．法二：由正弦定理知sin B ＝2sin C cos A ，sin C ＝ 2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即sin C cos A ＝sin A cos C ，所以sin(A －C )＝0，A ＝C ， 同理可得A ＝B ，所以三角形△ABC 为等边三角形．2．(变条件)把例3的条件换为：cos 2A 2＝b ＋c2c ，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵cos 2A2＝1＋cos A 2且cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc .由正弦定理，得cos A ＝sin Bsin C ，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0.∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二：同法一得cos A ＝b c .由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．()(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC是锐角三角形．()(3)在△ABC中，若已知a∶b∶c＝1∶3∶2，可以解三角形．()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)错误，如已知a，b和A，可利用公式a2＝b2＋c2－2bc cos A求c，进而可求角B和C．(2)错误，由b2＋c2＞a2和cos A＝b2＋c2－a22bc可得cos A＞0，则A是锐角，但角B或C可能是钝角，△ABC未必是锐角三角形．(3)错误，已知△ABC三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．2．若△ABC的三边满足a∶b∶c＝2∶2∶3，则△ABC的形状为() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形A[设a＝2k，b＝2k，c＝3k，则cos A＝b2＋c2－a22bc＝2k2＋3k2－4k22×2k×3k＝126＞0，故A是锐角，且A＞B＞C，所以△ABC是锐角三角形．] 3．在△ABC中，b2＋a2＝c2＋ab，则角C＝________.π3[由b 2＋a2＝c2＋ab得b2＋a2－c22ab＝12，即cos C＝12，又C∈(0，π)，故C＝π3.]4．已知△ABC的边长满足等式a2－(b－c)2bc＝1时，求A．[解]由a2－(b－c)2bc＝1，得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又0＜A＜π，所以A＝π3.。
北师大版2019高中数学必修5：第二章_解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1习题精选_含答案
1.1正弦定理课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,若,则B的值为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:因为,所以,所以cos B=sin B,从而tan B=1,又0°<B<180°,所以B=45°.答案:B2.在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是()A. B. C. D.解析:由已知得A=75°,所以B最小,故最短边是b.由,得b=.答案:A3.在△ABC中,若b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°解析:由三角形面积公式得×8×8·sin A=16,于是sin A=,所以A=30°或A=150°.答案:C4.下列条件判断三角形解的情况,正确的是()A.a=8,b=16,A=30°有两解B.b=9,c=20,B=60°有一解C.a=15,b=2,A=90°无解D.a=30,b=25,A=150°有一解解析:对于A,sin B=sin A=1,所以B=90°,有一解;对于B,sin C=sin B=>1,所以无解;对于C,sin B=sin A=<1,又A=90°,所以有一解;对于D,sin B=sin A=<1,又A=150°,所以有一解.答案:D5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A∶B=1∶2,且a∶b=1∶,则cos 2B的值是()A.-B.C.-D.解析:由已知得,所以cos A=,解得A=30°,B=60°,所以cos 2B=cos 120°=-.答案:A6.在△ABC中,若a=,A=45°,则△ABC的外接圆半径为.解析:因为2R==2,所以R=1.答案:17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.解析:由正弦定理得,即,解得sin B=,又因为b>a,所以B=或B=.答案:8.导学号33194034在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC的形状是.解析:由sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A=90°,所以B+C=90°,B=90°-C,所以sin B=cos C.由sin A=2sin B cos C,可得1=2sin2B,所以sin2B=,sin B=,所以B=45°,C=45°.所以△ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形9.在△ABC中,sin(C-A)=1,sin B=.(1)求sin A的值;(2)设AC=,求△ABC的面积.解(1)由sin(C-A)=1,-π<C-A<π,知C=A+.又A+B+C=π,所以2A+B=,即2A=-B,0<A<.故cos 2A=sin B,即1-2sin2A=,sin A=.(2)由(1)得cos A=,sin C=sin=cos A.又由正弦定理,得,BC==3,所以S△ABC=AC·BC·sin C=AC·BC·cos A=3.10.导学号33194035在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.(1)求cos B的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin A sin C的值.解(1)因为角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.又A+B+C=π,所以B=,所以cos B=.(2)因为边a,b,c成等比数列,所以b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sin A sin C,所以sin A sin C=sin2B=.B组1.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.2<x<2D.2<x<2解析:由题设条件可知解得2<x<2.答案:C2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为()A. B. C.1 D.解析:因为3a=2b,所以b=a.由正弦定理可知.答案:D3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则C=()A. B. C.π D.解析:由1+,从而cos A=,所以A=,由正弦定理得,解得sin C=,又C∈(0,π),所以C=或C=(舍去),选B.答案:B4.设a,b,c三边分别是△ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线x sin(π-A)+ay+c=0与bx-y cos+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析:由已知得k1=-,k2=,因为,所以k1·k2=-=-=-1,所以两直线垂直,故选C.答案:C5.导学号33194036已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则的取值范围是.解析:在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,所以所以30°<B<45°.由正弦定理得=2cos B∈(),故的取值范围是().答案:()6.在△ABC中,已知sin B·sin C=cos2,A=120°,a=12,则△ABC的面积为.解析:因为sin B·sin C=cos2,所以sin B·sin C=,所以2sin B sin C=cos A+1.又因为A+B+C=π,所以cos A=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cos B·cos C+sin B·sin C, 所以2sin B sin C=-cos B·cos C+sin B·sin C+1,所以cos B·cos C+sin B·sin C=cos(B-C)=1.因为B,C为△ABC的内角,所以B=C.因为A=120°,所以B=C=30°.由正弦定理得,b==4,所以S△ABC=ab sin C=×12×4=12.答案:127.导学号33194037△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b(b+c),求证:A=2B.证明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sin B·sin C,因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B),所以sin2A=sin2B+sin B·sin(A+B),所以sin2A-sin2B=sin B·sin(A+B).因为sin2A-sin2B=sin2A(sin2B+cos2B)-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2A cos2B-cos2A sin2B=(sin A cos B+cos A sin B)(sin A cos B-cos A sin B)=sin(A+B)·sin(A-B),所以sin(A+B)·sin(A-B)=sin B·sin(A+B).因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以sin(A+B)≠0,所以sin(A-B)=sin B,所以只能有A-B=B,即A=2B.8.导学号33194038在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知cos B=,(1)判断△ABC的形状;(2)若sin B=,b=3,求△ABC的面积.解(1)因为cos B=,所以cos B=,所以sin A=2cos B sin C.又sin A=sin [π-(B+C)]=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,所以sin B cos C+cos B sin C=2cos B sin C.所以sin B cos C-cos B sin C=sin(B-C)=0.所以在△ABC中,B=C,所以△ABC为等腰三角形.(2)因为C=B,所以0<B<,c=b=3.因为sin B=,所以cos B=.所以sin A=sin [π-(B+C)]=sin(B+C)=sin 2B=2sin B cos B=,所以S△ABC=bc sin A=×3×3×=3.。
北师大版高中数学必修5练习-余弦定理
[练案13]A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·烟台高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( A )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°[解析] ∵a 2＝b 2－c 2＋2ac ， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac ac ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( C )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形[解析] 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．3．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 [解析] 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则∠C 的大小为( B )A ．π6B ．π3C ．π2D ．23π[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )且p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∴C ＝π3.5．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( D ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形[解析] 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 和B ＝60°，得ac ＝a 2＋c 2－ac ， (a －c )2＝0.所以a ＝c .又B ＝60°，所以三角形是等边三角形．6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( C ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)[解析] 本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3，故选C ．二、填空题7．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于7.[解析] 由已知得△ABC 的面积为12AB ·AC ·sin A ＝20sin A ＝103，所以sin A ＝32，因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π3.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝49，∴BC ＝7. 8．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为3,5,7. [解析] ∵a －b ＝2，b －c ＝2，∴a >b >c ， ∴最大角为A ．sin A ＝32，若A 为锐角，则A ＝60°， 又C <B <A ，∴A ＋B ＋C <180°，这显然不可能， ∴A 为钝角．∴cos A ＝－12，设c ＝x ，则b ＝x ＋2，a ＝x ＋4. ∴x 2＋(x ＋2)2－(x ＋4)22x (x ＋2)＝－12，∴x ＝3，故三边长为3,5,7. 三、解答题9．△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．[解析] 解法一：将已知等式变形为 b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B ·cos C ， 即有b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a2＝a 2. 所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形． 解法二：由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则条件可化为4R 2·sin 2C ·sin 2B ＋4R 2·sin 2C ·sin 2B＝8R 2·sin B ·sin C ·cos B ·cos C ．又sin B ·sin C ≠0， 所以sin B ·sin C ＝cos B ·cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又0°<B ＋C <180°，所以B ＋C ＝90°，所以A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．10．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. 由a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根． 解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.B 级 素养提升一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( C )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4.又∵b <c ，∴b ＝2.2．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( D ) A ．19 B ．－14 C ．－18D ．－19[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.3．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( C )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4.4．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( C )A ．1010B ．105C ．31010D ．55[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A，∴sin A ＝BC sin BAC ＝3×225＝31010.二、填空题5．在△ABC 中，已知(b ＋c )﹕(c ＋a )﹕(a ＋b )＝4﹕5﹕6，求△ABC 的最大内角为120°. [解析] 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)． 则a ＋b ＋c ＝7.5k ，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k . ∴a 是最大边，即角A 是△ABC 的最大角． 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，即最大角为120°.6．已知钝角△ABC 的三边，a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的范围是(2,6). [解析] ∵c >b >a ，∴角C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6. 而k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，故k 的范围是(2,6)． 三、解答题7．在四边形ABCD 中，BC ＝a ，DC ＝2a ，四个内角A ，B ，C ，D 度数的比为3﹕7﹕4﹕10，求AB 的长．[解析] 设四个角A ，B ，C ，D 的度数分别为3x,7x,4x,10x ，则有3x ＋7x ＋4x ＋10x ＝360°，解得x ＝15°.∴A ＝45°，B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°. 连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos C ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·12＝3a 2，∴BD ＝3a .这时DC 2＝BD 2＋BC 2，则△BCD 是以DC 为斜边的直角三角形， ∴∠CDB ＝30°，于是∠ADB ＝120°. 在△ABD 中，由正弦定理，得AB ＝BD ·sin ∠ADB sin A ＝3a sin120°sin45°＝3a ·3222＝322a .∴AB 的长为322a .8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ． (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .[解析] (1)∵a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝b 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，∴B ＝45°.(2)由(1)得B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝180°－75°－45°＝60°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴a ＝b ·sin A sin B ＝2×sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1， c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝2×3222＝6.。
北师大版数学高二必修五 作业 2.1.2余弦定理
一、选择题1．(2012·临沂高二检测)在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋2ab ，则角C ＝( )A ．30°B ．45°C ． 135°D ．150°解析：由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＋2ab ，即cos C ＝22. ∴C ＝45°.答案：B2．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 是( )[]A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，[]∴a 2＋c 2－ac ＝ac .∴(a －c )2＝0.∴a ＝c .∵B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：D3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：∵三边长的比为5∶7∶8，∴可设三条边长分别为5t,7t,8t ，令边7t 所对角为θ，则cos θ＝(5t )2＋(8t )2－(7t )22×5t ×8t＝12， ∴θ＝60°.从而它的最大角和最小角的和是120°.答案：B4．(2011·重庆高考)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab 两式相减得ab ＝43. 答案：A二、填空题5．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则sin A ＝________.解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×12＝7.∴c ＝7.再由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝2sin 60°7＝217. 答案：2176．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得．bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2＋c 22＝612. 答案：612三、解答题7．(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证明：法一：如图，a 2＝BC ·BC＝(AC－AB)·(AC－AB)＝2AC－2AC·AB＋2AB＝2AC2AB－2|AC|·|AB|cos A＋2AB＝b 2－2bc cos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二：已知△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴a2＝|BC|2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos 2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.8．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cos B cos C，试判断三角形的形状．解：法一：由asin A＝bsin B＝csin C＝2R，得4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B＝8R2·sin B·sin C·cos B·cos C，又sin B·sin C≠0，∴sin B·sin C＝cos B·cos C.即cos (B＋C)＝0.又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°.∴A＝90°. 故△ABC为直角三角形．法二：将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C ， 由余弦定理得b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2·(a 2＋c 2－b 22ac)2 ＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab， 即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2. 即b 2＋c 2＝a 2.∴△ABC 是直角三角形．。
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[A 基础达标]
1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( )
A ．8
B ．217
C ．6 2
D ．219
解析：选D.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219，故选D.
2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝
1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15
B ．－16
C ．－17
D ．－18
解析：选C.由余弦定理，
得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9， 所以c ＝3，故a 最大，
所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17
. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A 、B 、C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π6，π 解析：选A.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac 2ac ＝（a －c ）22ac ＋12≥12
，因为0<B<π，所以B ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3. 4．在△ABC 中，若bcos A ＝acos B ，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．锐角三角形
解析：选B.因为bcos A ＝acos B ，
所以b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac
. 所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2.
所以a 2＝b 2.
所以a ＝b.故此三角形是等腰三角形．
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．a>b
B ．a<b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
解析：选A.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，则2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2
＝b 2
＋ab ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋b a －1＝0，所以b a ＝5－12<1，所以a>b ，故选A. 6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcos B ＝acos C ＋ccos A ，则B ＝________．
解析：依题意得2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 2
2bc
，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2accos B ＝ac>0，cos B ＝12.又0<B<π，所以B ＝π3
. 答案：π3
7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14
，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．
解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以3a ＝2b.又a ＝2，所以b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，
所以c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4. 答案：4
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a 2＝b 2
＋14c 2，则acos B c 的值为________．
解析：因为a 2＝b 2
＋14c 2，所以b 2＝a 2－14c 2.所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ a 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－14c 22ac ＝5c 8a
. 所以acos B c ＝a ·5c 8a c ＝58
. 答案：58
9．设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2bsin A.
(1)求B 的大小；
(2)若a ＝33，c ＝5，求b 的值．
解：(1)由a ＝2bsin A ，根据正弦定理，得sin A ＝2sin Bsin A ，因为sin A ≠
0，所以sin B ＝12
. 因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π6
. (2)根据余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2accos B
＝27＋25－2×33×5×32
＝7. 所以b ＝7.
10．在△ABC 中，若已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，并且sin C ＝2sin Bcos A ，试判断△ABC 的形状．
解：由正弦定理，可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R
. 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc
. 代入sin C ＝2sin Bcos A ，
得c ＝2b ·b 2＋c 2－a 2
2bc
. 整理得a ＝b.
又因为(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，。