八年级数学下册4.1因式分解习题课件(新版)北师大版
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北师大版数学八年级下册因式分解课件
因此不是因式分解，C错误；
x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，
因此是因式分解，D正确．
新课讲授
练一练
下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
)( )
(3)m2－16＝( )( )； (4)y2－6y＋9＝( )( )
新课讲授
整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一
个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式
因式分解 整式乘法
整式乘积．
x2－1
因式分解 整式乘法
(x＋1)(x－1)
新课讲授
典例分析
例 把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D ) A．(x＋3xy)(x－3xy) B．x(x－3xy)
3. 整式：单项式和多项式统称整式.
新课讲授
知识点1 因式分解的定义
993－99能被100整除吗？你是怎样 想的？与同伴交流.
新课讲授
小明是这样做的:
993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1)
993－99还能被哪 些正整数整除？
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
新课讲授
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势 吗？与同伴交流.
新课讲授
视察下面拼图过程，写出相应的关系式.
新课讲授
典例分析
例 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 )
《因式分解》因式分解PPT-北师大版八年级数学下册
4．1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过 程．
2 了解因式分解的意义, 以及它与整式乘法的相互关 系．
3 感受因式分解在解决相关问题中的作, 属于因式分解的是( D )
A.a(x－y)＝ax－ay
B.x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C.(x＋1)(x＋3)＝x²＋4x＋3 D.x³－x＝x(x＋1)(x－1)
2.因式分解的结果是2x(x－3)的多项式是( C)
A.6x－2x²
B.2x²＋6x
C.2x²－6x
D.－2x²－6x
3.若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1), 则m, n的值分别为( D )
A.2, 3 B.－2, 3 C.2, －3 D.－2, －3
A.m²＋3(m＋3)＝(m＋3) ² C.m²＋3(2m＋3)＝(m＋3)²
B.m²＋3(m＋6)＝(m＋3) ² D.m²＋3(2m＋6)＝(m＋3) ²
强化训练
2． 小马虎在一次因式分解练习中, 一不小心弄脏了一部分, x2＋x－6＝(x＋ 3)(x－■), 你能帮他确定污染部分是多少吗?
解:设污染部分为a, 由整式乘法, 得 (x＋3)(x－a) ＝x2＋3x－ax－3a ＝x2＋(3－a)x－3a． 由题意可知, －3a＝－6, 所以a＝2．
（2）(y－3)²＝ y²－6y＋9 ;
（3）3x(x－1)＝ 3x²－3x ;
（4）a(a＋1)(a－1)＝ a³－a .
根据上面的算式填空:
（1）m²－16＝( m＋4 )( m－4 );
（2）y²－6y＋9＝( y－ 3 )²;
（3）3x²－3x＝( 3x )( x－1 );
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过 程．
2 了解因式分解的意义, 以及它与整式乘法的相互关 系．
3 感受因式分解在解决相关问题中的作, 属于因式分解的是( D )
A.a(x－y)＝ax－ay
B.x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C.(x＋1)(x＋3)＝x²＋4x＋3 D.x³－x＝x(x＋1)(x－1)
2.因式分解的结果是2x(x－3)的多项式是( C)
A.6x－2x²
B.2x²＋6x
C.2x²－6x
D.－2x²－6x
3.若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1), 则m, n的值分别为( D )
A.2, 3 B.－2, 3 C.2, －3 D.－2, －3
A.m²＋3(m＋3)＝(m＋3) ² C.m²＋3(2m＋3)＝(m＋3)²
B.m²＋3(m＋6)＝(m＋3) ² D.m²＋3(2m＋6)＝(m＋3) ²
强化训练
2． 小马虎在一次因式分解练习中, 一不小心弄脏了一部分, x2＋x－6＝(x＋ 3)(x－■), 你能帮他确定污染部分是多少吗?
解:设污染部分为a, 由整式乘法, 得 (x＋3)(x－a) ＝x2＋3x－ax－3a ＝x2＋(3－a)x－3a． 由题意可知, －3a＝－6, 所以a＝2．
（2）(y－3)²＝ y²－6y＋9 ;
（3）3x(x－1)＝ 3x²－3x ;
（4）a(a＋1)(a－1)＝ a³－a .
根据上面的算式填空:
（1）m²－16＝( m＋4 )( m－4 );
（2）y²－6y＋9＝( y－ 3 )²;
（3）3x²－3x＝( 3x )( x－1 );
北师大版八年级数学下册4.1因式分解
（7）
否 是 是
(4) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 否
否 否 否
x y 1 x y
能力提升
20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004× (2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
多项式 = 整式×整式
注意：
1. 分解因式的结果要以积的形式表示； 2. 分解后的每个因式必须是整式；
3.分解后每个整式的次数都低于原来的多项式的次数。
想一想
因式分解与整式乘法有什么联系?
单项式乘以单项式
整式乘法 单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
多项式
整式乘法: 整式×整式 = 多项式 因式分解：多项式 = 整式×整式
4．1 因式分解
学习目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系。 3.会判断某个变形是因式分解还是整式的乘法。
做一做
数学中的游戏
1. 3.不通过计算，你能判断出这个式子能被比 它大1的数整除吗？
想一想
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
某学生是这样想的: 993 99 99 992 99 1
你知道每一步的根据 吗?993-99还能被哪些整 数整除?
99(99 1) 99 9800 98 99 100
2
所以, 993 99能被100整除.
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解。因式分解也可称为 分解因式。
2.下列式子从左到右的变形是否为因式分解？ 不是的请说明理由。
否 是 是
(4) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 否
否 否 否
x y 1 x y
能力提升
20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004× (2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
多项式 = 整式×整式
注意：
1. 分解因式的结果要以积的形式表示； 2. 分解后的每个因式必须是整式；
3.分解后每个整式的次数都低于原来的多项式的次数。
想一想
因式分解与整式乘法有什么联系?
单项式乘以单项式
整式乘法 单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
多项式
整式乘法: 整式×整式 = 多项式 因式分解：多项式 = 整式×整式
4．1 因式分解
学习目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系。 3.会判断某个变形是因式分解还是整式的乘法。
做一做
数学中的游戏
1. 3.不通过计算，你能判断出这个式子能被比 它大1的数整除吗？
想一想
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
某学生是这样想的: 993 99 99 992 99 1
你知道每一步的根据 吗?993-99还能被哪些整 数整除?
99(99 1) 99 9800 98 99 100
2
所以, 993 99能被100整除.
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解。因式分解也可称为 分解因式。
2.下列式子从左到右的变形是否为因式分解？ 不是的请说明理由。
因式分解课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册
第四章 因式分解
1 因式分解
温故知新：
计算：（1）x(x+1)=x2+x （2）(x+1)(x-1)= x2-1
等号左右两边交换位置后， • x2+x=x(x+1) • x2-1=(x+1)(x-1)
左边是多项式，右边是整式的积的形式。
学习目标
1、经历从分解因数到分解因式 的类比过程；
2、了解因式分解的意义，以及 它与整式乘法的相互关系；
9．20123－2012能被2013整除吗？并说明理由．
解：能被2013整除， 理由：原式＝2012×(20122－1)＝2012×(2012＋1)(2012－1)
＝2012×2013×2011， 故它能被2013整除。
能力提升：
1．下列式子是因式分解的是( C )
A．x(x－1)＝x2－x B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝x(x＋1)(x－1)
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展.
• 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
作 业：
课本94页3,4,5题
将99换成其他任意一个大于1的 整数,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3 a a a2 a a (a 2 1) a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
上面式子化成了几个整式的积的形式
因式分解_的__积__的 形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式，也叫因式分解。
解：(1)原式=5.07×（181－81）=5.07×100=507 (2)原式=2020×（7.6＋4.3－1.9）=2020×10=20200
1 因式分解
温故知新：
计算：（1）x(x+1)=x2+x （2）(x+1)(x-1)= x2-1
等号左右两边交换位置后， • x2+x=x(x+1) • x2-1=(x+1)(x-1)
左边是多项式，右边是整式的积的形式。
学习目标
1、经历从分解因数到分解因式 的类比过程；
2、了解因式分解的意义，以及 它与整式乘法的相互关系；
9．20123－2012能被2013整除吗？并说明理由．
解：能被2013整除， 理由：原式＝2012×(20122－1)＝2012×(2012＋1)(2012－1)
＝2012×2013×2011， 故它能被2013整除。
能力提升：
1．下列式子是因式分解的是( C )
A．x(x－1)＝x2－x B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝x(x＋1)(x－1)
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展.
• 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
作 业：
课本94页3,4,5题
将99换成其他任意一个大于1的 整数,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3 a a a2 a a (a 2 1) a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
上面式子化成了几个整式的积的形式
因式分解_的__积__的 形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式，也叫因式分解。
解：(1)原式=5.07×（181－81）=5.07×100=507 (2)原式=2020×（7.6＋4.3－1.9）=2020×10=20200
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
因式分解北师大数学八年级下册PPT课件
B. − + = − +
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
北师大版八年级数学下册课件：--因式分解
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
因式分解 整式乘法 整式乘法
因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解
1.检验下列因式分解是否正确：
1m 2 nm m m n 正确 2a 2 b2 a ba b 正确 3x 2 x 2 x 2x 1 不正确
2.分解因式.
(1) am+bm
1.检验下列因式分解是否正确：
1m 2 nm m m n 正确
2a2 b2 a ba b
正确
3x 2 x 2 x 2x 1 不正确
2.智力抢答
1 872 87 13 8787 13 87100 8700
利用了因式分解
21012 992 101 99101 99 200 2 400
第四章 因式分解
1 因式分解
忆一忆
1.在小学里,我们学过: 2×3×5=30 ( 整数乘法 ) 30 = 2×3×5 ( 因数分解 )
2.第三章里,我们学过:
x (x + y) = x2 + xy( 整式乘法 )
x2 + xy = x (x + y) ( 因式?分解 )
学习目标
1.理解因式分解的定义；并能用几何图形解 释因式分解的意义； 2.初步体会因式分解与整式乘法的关系； 3.感受类比与互逆的思想方法解决问题。
下列 代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
① 3a(a+2)=3a²+6a ② 3a²+6a= 3a(a+2)
③ x²-4=(x+3x=(x+2)(x- 2)+3x
⑤a²-2ab+b²= (a-b)² ⑥2a²b-ab = ab(2a-1)
因式分解 整式乘法 整式乘法
因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解
1.检验下列因式分解是否正确：
1m 2 nm m m n 正确 2a 2 b2 a ba b 正确 3x 2 x 2 x 2x 1 不正确
2.分解因式.
(1) am+bm
1.检验下列因式分解是否正确：
1m 2 nm m m n 正确
2a2 b2 a ba b
正确
3x 2 x 2 x 2x 1 不正确
2.智力抢答
1 872 87 13 8787 13 87100 8700
利用了因式分解
21012 992 101 99101 99 200 2 400
第四章 因式分解
1 因式分解
忆一忆
1.在小学里,我们学过: 2×3×5=30 ( 整数乘法 ) 30 = 2×3×5 ( 因数分解 )
2.第三章里,我们学过:
x (x + y) = x2 + xy( 整式乘法 )
x2 + xy = x (x + y) ( 因式?分解 )
学习目标
1.理解因式分解的定义；并能用几何图形解 释因式分解的意义； 2.初步体会因式分解与整式乘法的关系； 3.感受类比与互逆的思想方法解决问题。
下列 代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
① 3a(a+2)=3a²+6a ② 3a²+6a= 3a(a+2)
③ x²-4=(x+3x=(x+2)(x- 2)+3x
⑤a²-2ab+b²= (a-b)² ⑥2a²b-ab = ab(2a-1)
北师大版 八年级下册 4.1因式分解课件 (共20张PPT)
分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右 的变形是 整式乘法 ，从右到左的变是 因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)， 求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不 同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右 的变形是 整式乘法 ，从右到左的变是 因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)， 求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不 同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)