江西省上高二中2019届高三数学上学期第四次月考试题(含答案)理

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精品解析：【全国百强校】江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

【全国百强校】江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题 :本大题共12小题, 每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数212ii+-的共轭复数是( ) A. i - B. ｉC. 35i -D.35i 【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论. 【详解】()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+，故其共轭复数为i -.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.2. 设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x —2)<1}，B ＝{x |y ＝ln (1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A. {x |x ≥1}B. {x |1≤x <2}C. {x |0<x ≤1}D. {x |x ≤1} 【答案】B 【解析】【详解】由图中阴影部分表示集合A ∩∁U B .A ＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，∴∁U B ＝{x |x ≥1}，∴A ∩∁U B ＝{x |1≤x <2}．3. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于( ) A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4．故选C ．考点：等比数列的前n 项和．4. 若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准函数20x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()1,2处取得最大值为4.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题.目标函数是线性型目标函数.属于基础题.5. 已知,,a b c ∈R ,函数()2f x ax bx c =++，若(0)(4)(5)f f f =>，则A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=【答案】B 【解析】【详解】因为()()04f f =，即164c a b c =++，所以40a b +=；又()()05f f >，即255c a b c >++，所以50a b +<，即()540a a +-<，故0a <，故选B. 6. 已知51cos()123πα+=，且2ππα-<<-，则cos()12πα-等于（）A.3B.13C. 13-D. 3-【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式将5cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的形式，然后利用同角三角函数关系式求得cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】依题意5ππ5ππ1cos sin sin 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于2ππα-<<-，属于7ππ13π121212α<-<，故πcos 12α⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系.对于三角函数πsin 2k α⎛⎫⋅± ⎪⎝⎭的化简，遵循这样的原理“奇变偶不变，符号看象限”.其中“奇偶”说的是k 是奇数还是偶数.在运用三角函数的基本关系式是，要注意角的终边所在的象限引起的三角函数值正负的变化.7. 知11617a =，16log b =，17log c =，则a ，b ，c的大小关系为（）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】A 【解析】【详解】由题易知：11716171111171log log 171log log 1602222a b c ⎛⎫⎛⎫=>==∈==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，∴a b c >> 故选A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴相邻交点的横坐标相差2π，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ，下列说法正确的是（） A. 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B. 其图象关于直线4πx =-对称 C. 函数()g x 是奇函数 D. 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D 【解析】【分析】由已知可求出函数()f x 的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数()y g x =的解析式，根据余弦函数的性质分析出函数的奇偶性、单调性、对称性以及函数的值域．【详解】函数()cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=+=+又函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于22T π=，故函数的最小正周期T π=，又0ω>，2ω∴=故()2sin(2)6f x x π=+将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位可得： ()2sin[2()]2cos266y g x x x ππ==++=；函数()g x 是偶函数，C 错；令222k x k πππ-，即2k x k πππ-+，k Z ∈故函数()y g x =的增区间为[2k ππ-+，]k π，k Z ∈在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，A 错；4πx =-时，()2cos 042g ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，不是最值，4πx =-不是对称轴，B 错；由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得，2,343x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]1cos 21,2cos 22,12x x ⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎣⎦，D 正确，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的周期性、三角函数图象的平移变换法则，两角和与差的正弦函数、诱导公式，余弦函数的奇偶性、单调性、对称性与值域，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键．9. 已知函数21,0()(2)1,0x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数1()()2=-g x f x x 的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前10项的和10S 等于（） A. 45 B. 55 C. 90 D. 110【答案】C 【解析】【详解】当02x <≤时，有220x -<-≤，则()()2212x f x f x -=-+=，当24x <≤时，有022x <-≤，则()()42121x f x f x -=-+=+，当46x <≤时，有224x <-≤，则()()62122x f x f x -=-+=+，当68x <≤时，有416x <-≤，则()()82123x f x f x -=-+=+，以此类推，当222n x n <≤+（其中n N ∈）时，则()()22212x n f x f x n --=-+=+，∴函数()2x f x =的图象与直线112y x =+的交点为：01（，）和112-（，），由于指数函数()2x f x =为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点，将函数()2xf x =和112y x =+的图象同时向下平移一个单位，即得到函数21x f x =-（）和12y x =的图象，取0x ≤的部分，可见它们有两个交点00（，），112--（，）即当0x ≤时，方程()102f x x -=有两个根1x =-，0x =；当02x <≤时，由函数图象平移可得()()12g x f x x =-的零点为1，2；以此类推，函数()y f x =与12y x =在24]（，，46]（，，…，2n 2n 2]+（，上的零点分别为：3，4；5，6；…；21n +，2n 2+；综上所述函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为21n a n （）=-，前10项的和为101092100902S ⨯⨯=⨯+＝，故选C. 点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题；由分段函数解析式得到函数()f x 在0x >时的分段解析式，首先求得函数()()12g x f x x =-在20]-（，上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数()()12g x f x x =-在02]（，，24]（，，46]（，，…，2n 2n 2]+（，上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n 项和得答案.10. 如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝2π，2AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则•CE BD =（）A. 12-B. －2C. 0D.2【答案】B 【解析】【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系，利用“向量CD 在向量BC 上的投影为12-”求得D 点的坐标，由此求得•CE BD 的值.【详解】以B 为原点建立平面直角坐标系，故()22,0,0,2C E ⎛ ⎝⎭，设D 的坐标为(2a ，则()()2,2,2,0CD a BC =-=，根据“向量CD 在向量BC 上的投影为12-”有241222CD BC a a BC⋅-==-=-，解得32a =，即322D ⎛ ⎝.所以232,,231222CE BD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B. 【点睛】本小题主要考查利用坐标法解决有关几何以及向量运算的问题.建立平面直角坐标系后利用向量数量积的运算来求解相应的结果.11. 已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N∈若()n S f n =，则41n n S aa --的最小值为（）A.276B.358 C.143D.378【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．由题意可得或2842822a a a +-+-=⨯-（），解得a=1或a=-4，当a=-1时，2712f x x x =+-（），数列{a n }不是等差数列；当a=-4时，24f x x x =+（），24n S f n n n （）==+， ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，，()22(1)21134416112221n n n n S a n n a n n ++++-++∴==⨯-++11311221212n n ⎡⎤=⨯+++≥=⎢⎥+⎣⎦（）（），当且仅当1311n n +=+，即1n =时取等号， ∵n 为正数，故当n=3时原式取最小值378，故选D ．考点：等差数列通项公式；基本不等式【方法点睛】利用基本不等式求最值的方法及注意点（1）知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．（2）知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．（3）构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．（4）利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数（或式）均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．12. 已知定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x ∈R ，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()()221f x x =--+.若函数()1112y f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,33⎛⎫⎪⎝⎭C. 1212,3713⎛⎫⎪⎝⎭D. 124,373⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得()1f 的值，判断函数为周期函数，利用周期性和关于y 轴对称画出函数的图像.分析函数()f x 与函数1112y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的交点个数，由此求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数为偶函数，当1x =-时，()()()1211f f f -+=--，即()10f =，故()()2f x f x +=，所以函数是周期为2的周期函数，且为偶函数.令()11012f x a x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得到()1112f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，也即函数()f x 图像与函数1112y a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像有三个交点，画出两个函数图像如下图所示.由图可知，要使两个函数图像有三个交点，则需直线的斜率a 在两条切线的斜率之间.当[]1,2x ∈时，()()221f x x =--+，将1112y a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭代入并化简得()21143012a x a x +-+-=，其判别式()211443012a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得43a =.同理，当[]3,4x ∈时，()()241f x x =--+，将1112y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入化简后，同样令判别式为零，求得13a =.所以实数a 的范围是14,33⎛⎫⎪⎝⎭.故选B.【点睛】本小题主要考查抽象函数的奇偶性、图像的对称性，考查函数零点问题的处理策略，考查直线和抛物线相切的表示方法.对于函数给定一段区间的表达式的题目，可以根据函数变换的关系，找到函数的周期，然后可以根据周期性和奇偶性画出函数的图像.零点问题一般可以转化为两个函数图像交点的问题来解决.二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13. 若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰()1a >，则a 的值是__________．【答案】2 【解析】【详解】试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.14. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若54cos ,cos ,1135BC c ===,则a =______. 【答案】2113【解析】【分析】先求得sin ,sin B C 的值，再求得()sin sin A B C =+的值后，利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于cos B 和cos C 都是正数，故,B C 为锐角.故123sin ,sin 135B C ==，故()481563sin sin sin cos cos sin 656565A B C B C B C =+=+=+=，由正弦定理得sin 21sin 13c A a C ==. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形的内角和定理以及利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题.15. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE ＝m AB ＋AD ，则实数m 的值为________.【答案】13【解析】【分析】先求出AN ＝34AD ＋14AB ，因为A ，N ，E 三点共线，故AE ＝λAN ，化简得1,4314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解方程组即得解.【详解】由N 是OD 的中点，得AN ＝12AD ＋12AO ＝12AD ＋14(AD ＋AB )＝34AD ＋14AB ，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE ＝λAN ，即m AB ＋AD ＝λ3144AD AB ⎛⎫+⎪⎝⎭，又,AB AD 不共线，所以1,4314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得1343m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故实数m ＝13. 故答案为：13【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量共线定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 已知函数()32ln ,()2()f x x g x x ex kx k R ==-+∈,若函数()()y f x g x =-有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______（填写正确序号） ①.21k e e=+②.函数()g x 在(,())e g e 处的切线与直线0x ey -=平行 ③.函数2()2y g x ex =+在[0,]e 上的最大值为221e + ④.函数2()x y g x e x e=-- [0,1]上单调递减【答案】①②④ 【解析】【分析】令()()0f x g x -=，化简为23ln 2e x x x kx +=+，化为两个函数()()23ln 2e ,m x x x n x x kx =+=+，利用两者只有一个交点，则在这一交点的切线的斜率相等，由此列方程求出k 的值.然后对四个命题利用导数进行逐一判断，由此得出正确的结果. 【详解】令()()0f x g x -=，化简得23ln 2e x x x kx +=+，化为两个函数()()23ln 2e ,m x x x n x x kx =+=+，()24e 1x m x x='+，()23n x x k ='+，由于两个函数只有一个交点，故在交点处有相同的交点坐标以及相同的斜率.即2223413,(1)ln 2(2)ex x k xx ex x kx ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，（1）式两边乘以x ，然后减去（2）式，得23212ln ex x x +-=，注意到当x e =时，等式成立，故x e =，代入（1）求得21k e e=+.所以①正确.由()32212e e e g x x x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，()22134e e e g x x x ⎛⎫=-++ ⎝'⎪⎭，当e x =时，()1e e g '=，而直线0x ey -=斜率为1e ，故②正确.对于③，321e e y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其导数2213e 0e y x =++>'，函数单调递增，故当ex =时有最大值为32e 1+，故③错误.对于④，322e y x x =-，其导数()234e 34e y x x x x =-=-'，故函数在4e 0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以也在[]0,1上递减，故④正确.综上所述，正确的有①②④.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数研究两个函数有一个交点的策略.属于难题.三、解答题17. 已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．【答案】（1）3；（2）92【解析】【详解】试题分析:（1）根据不等式解集为对应方程的解得0,4为m －|x －2|=1两根，解得m 的值；（2）由柯西不等式得(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2，代入条件a ＋b ＝3，即得a 2＋b 2的最小值．试题解析：(1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1. ∵其解集为[0，4]，∴∴m ＝3.(2)由(1)知a ＋b ＝3，∵(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9， ∴a 2＋b 2≥，∴a 2＋b 2的最小值为.18. 设向量()2cos 2,2,1,cos 3a x b x π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中x ∈R ，且函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设函数()224g x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求()f x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点.【答案】（1）π；（2）724π-和24π- 【解析】【详解】试题分析：（1）由题意，可化简得()213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可计算函数的最小正周期；（2）由题意知，化简得()26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()0g x =得，求得方程的根，即可得到函数()g x 的零点.试题解析:（1）()2π1f x cos 2x 2cos x cos2x 1cos2x 32⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭3πcos2x 12x 123⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为2πT π2==.（2）由题意知，()πππg x 2f x 22x 443⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2x 6⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 0=得，πsin 2x 62⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当ππx ,34⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2x ,663⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴π3π2x 64-=-或ππ2x 64-=-，即7πx 24=-或πx 24=-.∴函数()g x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点是7π24-和π24-.19. 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝()-1na n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和. 【答案】（1）21n a n =-；（2）当n 偶数时，312n n S n -=+.当n 为奇数时，312nn S n -=-+.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想将已知条件转化为11,,,a d b q 的形式，解方程组求得11,,,a d b q 的值，由此求得数列,n n a b 的通项公式.（2）对n 分成奇数和偶数两种情况，利用分组求和法求的数列的前n 项和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由212313,9b b q b b q ==⎧⎨==⎩得11111,33.n n n b b b q q --=⎧∴==⎨=⎩，又()41111441,327,114127a b a b d -=====∴+-=，解得2d =.()()()11112211,2,3,n a a n d n n n ∴=+-=+-⨯=-=⋅⋅⋅.(2)由(1)知121,3n n n a n b -=-=，因此()()()1-1-1213n nn n n n c a b n -=+=-+.从而数列{}n c 的前n 项和当n偶数时，()113311321133132n n n n S n n n ---=-+-⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+=+-. 当n 为奇数时，()()1113311321133122132n n n n n S n n ----=-+-⋅⋅⋅--+++⋅⋅⋅+=-+-⨯+=-+- 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差和等比数列的通项公式，考查了分组求和法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.题目给定数列为等差或者等比数列的情况下，将已知条件转化为11,,,a d b q ，通过解方程组的方法求得这四个基本量，这是解数列题常用的方法.20. 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B ，又从点B 测得斜度为α，建筑物的高CD 为5米．（1）若30α=︒，求AC 的长；（2）若45α=︒，求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．【答案】（1）56522）cos 31θ=【解析】【分析】（1）在ABC 中利用正弦定理可求AC 的长.（2）在ABC 中利用正弦定理可求BC 的长，在BCD △利用正弦定理算出sin BDC ∠后可得BCD ∠的大小，从而可以得到CAE ∠的大小. 【详解】（1）当30α=︒时，150,15o o ABC ACB BAC ∠=∠=∠=，所以10BC AB ==，由余弦定理得：222101021010cos1502001003AC =+-⨯⨯⨯︒=+故10235652AC =+=（2）当45α=︒，在ABC 中，由正弦定理有sin 622062)sin 4AB BAC BC ACB ⋅∠==⋅=∠，在BCD △中，sin sin 31BC DBCBDC CD⋅∠∠==，又cos cos sin 312ADC ADC πθ⎛⎫=∠-=∠= ⎪⎝⎭. 【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．21. 在数列中{}n a ，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n a ；（2）设2nn n b S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析；(2)1(23)26n n T n +=-+.【解析】【详解】试题分析：(1)由题中所给的递推关系证得1112n n S S --=，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)结合(1)中的结论求得通项公式()221nn b n =⨯-，然后错位相减可得()12326n n T n +=-+.试题解析：（1）证明：由递推式得112n n n n S S S S --=-，从而1111221n n n S S S n --=⇒=-，则121nn S =-，据此：()()111212112n n n n S S -⎡⎤-=----=⎣⎦. 据此可得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）结合(1)的结论可得：数列{}n b 的通项公式为：()2221nn n nb n S ==⨯-，则：()()()()123221122212231221n n T n =⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯-，① ()()()()23412221122212231221n n T n +=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯-，②①-②整理可得：()12326n n T n +=-+.22. 已知函数21()2ln(2)2f x x x a x =-++（其中a R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =有两个极值点12x x 、，且12x x <，求证：21()f x x >. 【答案】（1）见解析;（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析:（1）先求导数，根据二次方程判别式讨论导函数符号，根据导数符号确定单调性（2）先根据极值点化简所证不等式为：()()22212ln 202x x x ++->；再利用导数研究函数()()1ln 1,?2,42g t t t t t =-+∈的单调性，最后根据单调性确定不等式成立试题解析：（1）()()212ln 22f x x x a x =-++∴定义域为()()242,,222a x af x x x x -+-+∞=-+='++ 当4a ≥时，()0f x '≥；当04a <<时，令()0f x '>，解2x -<<x >()0f x '<，解x <<当0a ≤时，令()0f x '>，得x >()0f x '<，得2x -<<所以当()f x 在()2,-+∞上单调递增；当04a <<时，()f x 的单调递增区间为()2,,-+∞；单调递减区间为(；当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为(-；单调递增区间为)+∞；（2）由（1）可知，()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，则04a <<时，且12x x == 要证()21f x x >，即证()220f x x +>，即证()()2222222124ln 202x x x x x -+-++>，即证()()22222214ln 202x x x x -+-+>，又2202,20x x <-，即证()()22212ln 202x x x ++->；令22x t +=，则()2,4t ∈，设()()11ln 1,ln 22g t t t t g t t '=-+=+，而()()2,4,0t g t ∈'>，即()g t 在()2,4单调递增；()()22ln20g t g ∴>=>，即()()22212ln 202x x x ++->成立；所以()21f x x >.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

江西省上高二中2021届高三上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含答案

高三第四次月考理数试题一、单选题1．sin75cos45sin15sin 45︒︒-︒︒=（）A ．0B ．12C ．32D ．12．已知集合321xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．在ABC 中，角、、A B C 的对边为,,a b c ，则“A B =”成立的必要不充分条件为（） A ．cos cos A B = B ．sin sin A B = C ．cos cos b A a B = D ．cos cos a A b B =4．若0.52a =，log 3bπ=，22πlog sin 5c =，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．若函数3(2)y cos x ϕ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，则ϕ的最小值为（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．2π 6．已知(1)f x +是周期为2的奇函数，当10x -≤≤时，()()21f x x x =-+，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．12B ．14C ．14-D ．12-7．如图所示，是黎老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示黎老师家的位置，则黎老师散步行走的路线可能是（）A ．B ．C ．D ．8．若π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5πcos 2sin 04αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）． A ．32-B ．0C ．32D ．32-或0 9．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（）．A ．65米B ．74米C ．83米D ．92米10．若a ，b 为正实数，且11122a b a b+=++，则+a b 的最小值为（）． A ．23B ．43C ．2D ．411．已知定义在上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0f x f x ---=，③在[1,1]-上表达式为[](]21,1,0()1,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数122,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点个数为（） A ．5B ．6C ．7D ．812．已知函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若关于x 的不等式22[()]()0f x af x b --<恰有一个整数解，则实数a 的最小值是（） A ．-9 B ．-7C ．-6D ．-4二、填空题13．已知()12111d x x -+-=⎰________.14．已知函数()3213f x x bx cx bc =-+++在x=1处取得极值43-,则b =__________. 15．已知实数x 、y 满足632y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x 与4y 之积的最大值为____________.16．如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足n αβ-<，则称两个函数互为“n 度零点函数”.若2()log (3)f x x =-与2()xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC 的面积为43，求BC 边上的中线AM 的长.18新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足90万箱时，21()402p x x x =+；当产量不小于90万箱时，8100()1012180p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？19．一副标准的三角板（如图1）中，∠ABC 为直角，∠A =60°，∠DEF 为直角，DE =EF ，BC =DF ，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M 是AC的中点，N 是BC 的中点．（1）求证：平面ABC 平面EMN；（2）若AC = 4，二面角E - BC- A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成们的正弦值．20．教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务．惠州市多所中小学校响应教育部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了10 所学校（记为A、B、C、……、J ) 10所学校的参与人数统计图如下：（1）若从这10所学校中随机选取2 所学校进行调查，求选出的2 所学校参与足球运动人数都超过40人的概率；（2）现有一名排球教练在这10 所学校中随机选取3 所学校进行指导，记X为教练选中参加排球人数在30 人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望．21．已知R a ∈，函数()1xf x e ax =--，()ln(1)g x x x =-+(e 是自然对数的底数).（1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若()10xf x e ax =--≥对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的值；（3）在第（2）小题的条件下，[0,)x ∃∈+∞，()()f x kg x <，求实数k 的取值范围.选做题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若1213PA PB ⋅=，求α的值. 23．已知函数()212f x x x =-++. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，且实数a ，b 满足342a b m -=，求()()2221a b -++的最小值.高三第四次月考理数答案1-12 BBDAC DDABB BC13．22π+14．1- 15．512 16．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦17．（1）6B π=；（2）27AM =.解：（1）因为1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，由于()0,,sin 0B B π∈≠，所以1sin cos sin cos 2A C C A +=，即1sin()2A C +=，得1sin 2B =. 又c b >，所以02B π<<，所以6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，故a b =，则2112sin sin 43223ABC S ab C a π===△，所以4a =，4a =-（舍）.又在AMC 中，22222cos3AM AC MC AC MC π=+-⋅，所以2222211212cos 42242282232AM AC AC AC AC π⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以27AM =.18．（1）2160200,0902********,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）90万箱. （1）当090x <<时，2211100402006020022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当90x ≥时，8100810010010121802001980y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2160200,090281001980,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）当090x <<时，221160200(60)160022y x x x =-+-=--+， ∴当60x =时，y 取最大值，最大值为1600万元；当90x ≥时，810081001980198021800y x x x x⎛⎫=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当8100x x=，即90x =时，y 取得最大值，最大值为1800万元．综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．19．（1）证明见解析；（2）64. （1）证明：∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴MN AB ，∵AB BC ⊥，∴MN BC ⊥，∵BE EC⊥，BE EC=，N是BC的中点，∴EN BC⊥，又MN EN N⋂=，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN∴BC⊥平面EMN且BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面EMN.（2）由（1）可知：EN BC⊥，MN BC⊥，∴ENM∠为二面角E BC A--的平面角，又二面角E BC A--为直二面角∴90ENM∠=︒以NM，NC，NE分别为x，y，z，建立如图空间直角坐标系N xyz-，∵4AC=，则2AB=，23BC=，3NE=，由()0,0,3E，()1,0,0M，则()1,0,3EM=-，又()0,3,0B-，()2,3,0A-，()0,0,3E，则()0,3,3BE=，()2,0,0BA=，设(),,m x y z=为平面ABE的一个法向量，则0,m BEm BA⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,330,xy z=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y=，则1z=-∴面ABE的一个法向量()0,1,1m=-.36cos,422m EMm EMm EM⋅<>===，所以直线EM与平面ABE所成的角的正弦值为64. 20．（1）215；（2）分布列见解析，期望为65.（1）参与足球人数超过40人的学校共4所，记“选出的两所学校参与足球人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本事件总数为210C.随机选择2所学校共24C 6=种，所以()2421043C 22109C 152P S ⨯===⨯，所以选出的两所学校参与足球人数都超过40人的概率为215. （2）参加排球人数在30人以上的学校共4所，X 的所有可能取值为0，1，2，3，()6310304C C 106C P X ⋅===，()6310214C C 112C P X ⋅===， ()2461103C C 2C 310P X ⋅===，()4630103C C 3C 130P X ⋅===. X 的分布列为： X123P1612310 130()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，随机变量X 的数学期望为65. 21．（1）当0a ≤时，()f x 没有极值点，当0a >时，()f x 有一个极小值点；（2）1a =；（3）()1,+∞.（1）因为()1x f x e ax =--，所以'()xf x e a =-，当0a ≤时，对R x ∀∈，'()0xf x e a =-<，所以()f x 在(),-∞+∞是减函数，此时函数不存在极值，所以函数()f x 没有极值点；当0a >时，'()x f x e a =-，令'()0f x =，解得x lna =，若(,ln )x a ∈-∞，则()0g x '<，所以()f x 在(,ln )a -∞上是减函数，若(ln ,)x a ∈+∞，则()0g x '>，所以()f x 在(ln ,)a +∞上是增函数，当ln x a =时，()f x 取得极小值；函数()f x 有且仅有一个极小值点ln x a =，所以当0a ≤时，()f x 没有极值点，当0a >时，()f x 有一个极小值点.（2）因为()10x f x e ax =--≥对任意的R x ∈恒成立.当0a ≤时，1(1)10f e a --=+-<，不合题意舍去.当0a >时，由（1）可知当ln x a =时，()f x 取得极小值(ln )ln 1=--f a a a a ；因为()10x f x e ax =--≥对任意的R x ∈恒成立，所以(ln )ln 10f a a a a =--≥又因为0(ln )(0)f a f ≤≤且(0)0f =，则ln 0a =，可得：1a =（3）因为：[)0,x ∃∈+∞，()()f x kg x <，即不等式()()f x kg x <在区间[)0,+∞内有解.设()()()F x f x kg x =-=ln(1)x e k x ++(1)1k x -+-，且()00F =所以()1x k F x e x =++'()1k -+，且()'00F = 设()1x k h x e x =++()1k -+，且()00h = 则()()21x kh x e x '=-+，且()h x '在[)0,x ∈+∞上是增函数，所以()()0h x h '≥'1k =-当1k ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在[)0,+∞上是增函数， ()()00h x h ≥=，即()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上是增函数，所以()()00F x F ≥=，即()()f x kg x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立.当1k >时，因为()()21x kh x e x '=-+在[)0,+∞是增函数，因为()010h k '=-<，()1h k '-=110k e k-->，所以()h x '在()0,1k -上存在唯一零点0x ，当[)00,x x ∈时，()()00h x h x ''<=，()h x 在[)00,x 上单调递减，从而()()00h x h ≤=，即()0F x '≤，所以()F x 在[)00,x 上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()f x kg x <. 所以不等式()()f x kg x <在区间[)0,+∞内有解综上所述，实数k 的取值范围为()1,+∞.22．(1)2214y x +=；(2)6πα=或56πα= (1)由曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ=+，得223cos 4ρρθ+=，将222x y ρ+=，及cos x ρθ=代入得2244x y +=，即2214y x +=. (2)点P 的直角坐标为()0,1，所以直线l 经过点P ，所以将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入2214y x +=，得()2213cos 2sin 30t t αα++⋅-=. 则231213cos 13PA PB α⋅==+，解得3cos 2α=±，因为0απ≤<，所以6πα=或56πα=. 23．（1）{1x x <-或}1x > ；（2）1. （1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩. 由()4f x >，可得2314x x ≤-⎧⎨-->⎩，或12234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩，或12314x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩，解得2x -≤或21x -<<-或1x >. 所以不等式的解集为{1x x <-或}1x > （2）由（1）易求得()min 11531222f x f ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，即52m =. 所以3425a b m -==，即3450a b --=. ()()2221a b -++表示点()2,1-与点(),a b 的距离的平方. 又点(),a b 在直线3450x y --=上. 因为点()2,1-到直线3450x y --=的距离()()2223415134d ⨯-⨯--==+-，22所以()()-++的最小值为21a b21d=.。

江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷(含答案)

2019 届高三年级第四次月考数学（理科）试卷一、选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.复数212i i+-的共轭复数是( ) A.i - B.ｉ C.35i - B.35i 2.如右图，设全集{}{}(2),|21,|ln(1)x x U R A x B x y x -==<==-，则阴影部分表示的集合为( )A.{}|1x x ≥B.{}|12x x ≤<C.{}|01x x <≤D.{}|1x x ≤3.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．3D ． 44.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0302x y x y x ，则y x z +=2的最大值是（）A.3B.4C.5D.65、已知,,a b c R ∈，函数2(),(0)(4)(1)f x ax bx c f f f =++=>若，则（）A ．0,40a a b >+=B ．0,40a a b <+=C ．0,20a a b >+=D ．0,20a a b <+=6.已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α等于( )A.223 B.13 C.－13 D.－2237．知11617a =，16log b =17log c =，则a ，b，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 8．已知函数()cos ,(0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称 C ．函数()g x 是奇函数 D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 9. 已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前10项的和S 10等于（）A. 45B. 55C. 90D. 11010．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝2π，AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为21-，则CE BD ∙=（） A ．21- B ．－2 C ．0 D ．211.已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若()n S f n =，则41n n S a a --的最小值为（） A ．276 B ．358 C ．143D ．378 12.已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，2()(2)1f x x =--+.若函数11()()12y f x a x =--在),0(+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．)1,31( B ．14(,)33 C ．1212(,)3713D ．)34,3712( 二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．若 11(2)3ln 2(1)a x dx a x+=+>⎰，则a 的值是 14.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若1,54cos ,135cos ===c C B ,则=a . 15.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，则实数m 的值为________.16. 已知函数())(2)(,ln 23R k kx ex x x g x x f ∈+-==,若函数)()(x g x f y -=有唯一零点,则以下四个命题中正确的是（填写正确序号）①.ee k 12+= ②.函数)(x g 在))(,(e g e 处的切线与直线0=-ey x 平行③.函数22)(ex x g y +=在],0[e 上的最大值为122+e④.函数x e e x x g y 2)(--=在 ]1,0[上单调递减三、解答题17. （本小题满分10分）已知关于x 的不等式|2|1m x --≥，其解集为[]0,4x ∈.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.18．（本小题满分12分）设向量()2cos 2,2,1,cos 3a x b x π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中x R ∈，且函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的对称中心；（2）设函数()224g x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求()f x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点.19. （本小题满分12分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝()n 1-a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.20. （本小题满分12分）如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B ，又从点B 测得斜度为α，建筑物的高CD 为5米．（1）若30α=︒，求AC 的长；（2）若45α=︒，求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21．在数列中{}n a ，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n a ；（2）设n n n S b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． f (x )=x 2-x +a x +（其中a ∈R ）.（1）讨论f (x )的单调性；（2）若y =f (x )有两个极值点x 1、x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 2)>x 1.22.已知函数)2ln(2212019届高三年级第四次月考数学（理科）试卷答案1-5 .ABDBA 6-10.DADCB 11.D 12B 13. 2 14.1321 15.13①②④ 17.解：（Ⅰ）不等式|2|1m x --≥可化为|2|1x m -≤-， ………1分 ∴121m x m -≤-≤-，即31m x m -≤≤+,∵其解集为[0,4]，∴3014m m -=⎧⎨+=⎩，3m =. ………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3a b +=，∵ 222()2a b a b ab +=++222222()()2()a b a b a b ≤+++=+，∴ 2292a b +≥，∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92.……18.解：（1）()2cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 221cos 22x x x =+++32cos 212123x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的对称中心为：(,1)()26k k Z ππ-∈. （2）()222443g x f x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0g x =得，sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴3264x ππ-=-或264x ππ-=-，即724x π=-或24x π=-. ∴函数()g x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点是724π-和24π-. 19解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和当n 为偶数时，S n ＝-1＋3-…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n ＋1－3n1－3＝n ＋3n －12. 当n 为奇数时，S n ＝-1＋3-…-(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝-1+()212-⨯-n ＋1－3n 1－3＝-n ＋3n －1220.（1）AC =（2）cos 1θ=．（1）当30α=︒时，150ABC ∠=︒，15ACB BAC ∠=∠=︒，所以10BC AB ==，由余弦定理得：222101021010cos150200AC =+-⨯⨯⨯︒=+AC =（2）当45α=︒，在ABC △中，由正弦定理有sin205sin AB BAC BC ACB ⋅∠===∠，在BCD △中，sin sin 1BC DBC BDC CD⋅∠∠==，又cos cos sin 12ADC ADC θπ⎛⎫=∠-=∠=- ⎪⎝⎭． 21.22.解：（1）)2ln(221)(2++-=x a x x x f ∴定义域为2422)(),,2(2++-=++-='+∞-x a x x a x x f 当4≥a 时，0)(≥'x f ；当40<<a 时，令0)(>'x f ，解a x --<<-42或a x ->4；0)(<'x f ，解ax a -<<--44当0≤a 时，令0)(>'x f ，得a x ->4；0)(<'x f ，得a x -<<-42；所以当)(x f 在),2(+∞-上单调递增；当40<<a 时，)(x f 的单调递增区间为),4(),4,2(+∞----a a ；单调递减区间为)4,4(a a ---；当0≤a 时，)(x f 的单调递减区间为)4,2(a --；单调递增区间为),4(+∞-a ；（2）由（1）可知，)(x f y =有两个极值点21,x x ，且21x x <，则40<<a 时，且a x a x -=--=4,421；要证12)(x x f >，即证0)(22>+x x f ，即证0)2ln()4(2212222222>++-+-x x x x x ，即证0)2ln()4(21222222>+-+-x x x x ，又02,2022>-<<x x ，即证021)2ln()2(222>-++x x x ；令t x =+22，则)4,2(∈t ，设21ln )(,121ln )(+='+-=t t g t t t t g ，而0)(),4,2(>'∈t g t ，即)(t g 在)4,2(单调递增；02ln 2)2()(>=>∴g t g ，即021)2ln()2(222>-++x x x 成立；所以12)(x x f >.。

江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学(文)试题(含精品解析)

江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.在中，，,，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由向量夹角的定义可知，与的夹角为补角即，由平面向量数量积的定义可知，故选B.考点：平面向量的数量积.2.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“，使得”的否定是：“均有”D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。

3.各项均为正数的等比数列中，，则的值为（）A. 5B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】根据等比数列的性质得到=4=，=，故=4+2=6.故结果为6.4.已知平面上不重合的四点P、A、B、C满足，且，那么实数x的值为( )A. 2B. －3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．【详解】由题意，根据向量的减法有：，∵∴；∴，∵，故选B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．5.已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的两根，若，则a+b=（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把与代入即可求出值，进而求得.【详解】已知，是方程x2+3x+4=0的两根，则由可得则故选D.【点睛】本题考查运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题．6.中，，则符号条件的三角形有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】由正弦定理可得: ,解得sinA= > ，故满足条件的角A有两个,一个钝角,一个锐角,应选B. 7.函数的单调减区间是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简函数的表达式，求函数的定义域，然后利用复合函数的单调性，即可求出函数的单调减区间．【详解】函数，函数的定义域为 .由正弦函数的单调减区间可得解得，.所以函数的单调减区间是：故选D.【点睛】本题是基础题，考查正弦函数的单调性，函数的定义域，复合函数的单调性，是常考题，易错题．8.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数是偶函数排除A.当时,,可得：,令，作出与图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，故选：D.9.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（）A. 0B. 0或C. 或D. 0或【答案】D【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.详解：因为，所以周期为2，作图如下：由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线点A(1,1)或与选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10.设等差数列的前项的和为，若，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.11.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.12.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由f（x）的导函数形式可以看出e x-kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x-kx，g′（x）=e x-k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】∵函数的定义域是（0，+∞），∴．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴e x-kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x-kxg′（x）=e x-k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x＞lnk时，g′（x）＞0，g（x）单调递增.∴g（x）的最小值为g（lnk）=k-klnk∴k-klnk≥0∴0＜k≤e综上所述，k≤e．故选：A．【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知角的终边经过，则________．【答案】.【解析】分析：根据任意角的三角函数的定义，求得sin的值,再结合诱导公式即可得到结果．详解：∵角θ的终边经过点，∴x=，y=3，r=，则sin==．∴故答案为：．点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题．14.对于实数和，定义运算，则式子的值为.【答案】【解析】试题分析：因为，而，所以．考点：1、对数运算；2、新定义问题．15.已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令a n＝，n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n，则S2019＝____________.【答案】【解析】【分析】函数f（x）=x a的图象过点（4，2），代入解出a，可得，再利用“裂项求和”即可得出．【详解】函数的图象过点（4，2），解得．∴，，∴数列{a n}的前n项和为故答案为.【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数，则的最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.三.解答题17.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.18.已知等差数列{a n}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a15，求{b n}的前n项和T n.【答案】（1）a n＝.（2）T n＝2n－1.【解析】试题分析:(1)根据等差数列的基本量运算解出和,代入公式算出等差数列的通项公式;(2)计算出等比数列的首项和公比,代入求和公式计算.试题解析:(1)设{a n}的公差为d，由已知得解得a1＝1，d＝，故{a n}的通项公式a n＝1＋，即a n＝.(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{b n}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，故{b n}的前n项和T n＝＝2n－1.点睛:本题考查等差数列的基本量运算求通项公式以及等比数列的前n项和,属于基础题.在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差数列、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，比如题中给出的,以免在套用公式时出错．19.已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由向量的坐标运算及向量模的定义易表示出，，再由求得的值；（2）首先由同角的三角函数关系求出，再由得的值，最后合理的拆分角及和角公式得即可求得结果.试题解析：(1)(2)考点：向量的坐标运算及向量模的定义；同角的三角函数关系；三角函数的和、差角公式.20.如图,在等腰直角三角形中, ,点在线段上.(1)若,求的长；(2)若点在线段上,且,求△的面积.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由题设条件及余弦定理得，OM2=OP2+MP2-2•OP•MPcos45°，解得MP即可；（2）在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，即可求出三角形的面积.【详解】(1)在中,,,,由余弦定理得,,得, 解得或(2)在中,由正弦定理,得,所以, 同理.故=【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】本试题考查了向量的数量积的运算，以及结合三角函数的性质求解最值的运用。

2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三(上)第四次月考数学试卷(理科)(附详解)

2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、单选题（本大题共22小题，共100.0分）1.已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.如果cosθ<0，且tanθ>0，则θ是()A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A. y=2xB. y=|x|+1C. y=x3D. y=cosx4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(−√2,1)，则cos2α=()A. 2√23B. 13C. −13D. −2√235.M(−1,2)，N(3,0)两点之间的距离为()A. 2√2B. 4C. 2√5D. 56.已知向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，那么|b⃗ |=()A. 3√6B. 6C. 9D. 187.圆(x−1)2+y2=2的圆心到直线x+y+1=0的距离为()A. 2B. √2C. 1D. √228.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若m//α，m//β，则α//βD. 若m⊥α，n⊥α，则m//n9.x2+y2−4x−4y−10=0上的点到直线x+y−14=0的最大距离与最小距离的差是()A. 36B. 18C. 5√2D. 6√210.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为()A. 4√55B. 2C. 2√2D. 311.已知集合X={x|e x>12}，Y={x|x2+x−6≤0}，则(∁R X)∩Y=()A. [−3,−ln2)B. [−2,−ln2]C. [−3,−ln2]D. [−ln2,2]12.复数z满足：(z−2)⋅i=z(i为虚数单位)，z−为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是()A. z2=2iB. z⋅z−=2C. |z|=2D. z+z−=013.平面直角坐标系xOy中，点P(x0,y0)在单位圆O上，设∠xOP=α，若α∈(π4,3π4)，且sin(α+π4)=35，则x0的值为()A. √310B. √210C. −√210D. −√31014.设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件15.函数f(x)=ln(x−1x)的图象是()A. B.C. D.16.要得到函数y=−√2sin3x的图象，只需将函数y=sin3x+cos3x的图象()A. 向右平移3π4个单位长度 B. 向右平移π2个单位长度C. 向左平移个π4单位长度 D. 向左平移个π2单位长度17. 已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 5−2a 72+2a 8=0，数列{b n }是等比数列且b 7=a 7，则b 2b 12等于( )A. 49B. 32C. 94D. 2318. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为( )A. √22 B. √52 C. √32D. √219. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ⩽6x −3y ⩽−2x ⩾1若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最小值为2，则1a +3b 的最小值为( )A. 2+√3B. 5+2√6C. 8+√15D. 2√320. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a n+1=2S n ，则数列{1a n}的前20项和为( )A. 32−12×319B. 74−14×319C. 32−12×318D. 74−14×31821. 已知函数f(x)=e x +x 2+lnx 与函数g(x)=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−e]B. (−∞,−1e ]C. (−∞,−1]D.22. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(−x)，且对任意的x 1 ,x 2∈[ 0 , 12 ](x 1≠x 2)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π.又g(x)=sinπx ，则关于x 的不等式f(x)≥g(x)在区间[ −32, 32 ]上的解集为( )A. [ −32, −π4 ]∪[ 0 , π4 ] B. [ −32, −π4 ] C. [ −32, −1 ]∪[ 0 , 1 ]D. [ −32, 0 ]二、单空题（本大题共9小题，共45.0分）23. 已知U =R ，A ={x|x 2−2x −3<0}，则∁U A =______ 24. 过点(1,0)且与直线x −2y −2=0平行的直线方程是______． 25. 直线x +y +√3=0的倾斜角为______，x 轴上截距为______26. 已知直线x +ay +6=0与圆x 2+y 2=8交于A ，B 两点，若|AB|=2√2，则a =______．27. 已知点P 是直线l ：x +3y −12=0上的一点，过P 作圆(x −2)2+y 2=1的切线，切点为A ，则切线长|PA|的最小值为______．28. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ =(cosα,sinα),|b ⃗ |=2，且a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=2，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为______．29. 设f(n)=1−12+13−14+⋯+12n−1−12n ，则f(k +1)=f(k)+______.(不用化简) 30. 已知函数f(x)=e x +ae −x 为偶函数，若曲线y =f(x)的一条切线的斜率为83，则该切点的横坐标等于______．31. 已知△ABC 为锐角三角形，满足sinBsinC =(sin 2B +sin 2C −sin 2A)tanA ，△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围是______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）32. 在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则cosA = (1) ，△ABC 的面积为 (2) ．四、解答题（本大题共12小题，共144.0分）33. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点．(Ⅰ) 求证：CD ⊥平面ABB 1A 1； (Ⅱ) 求证：BC 1//平面A 1CD ．34.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3√2,b=√10,B=π．4 (Ⅰ)求sinA的大小；(Ⅱ)求边c和△ABC的面积．35.已知直线l经过直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x−2y−1=0.求：(Ⅰ)直线l的方程；(Ⅱ)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．36.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP=2，E为棱PD的中点．(Ⅰ)求证：CD⊥AE；(Ⅱ)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；(Ⅲ)求点A到平面PBD的距离．37.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4，直线l过定点A(1,0)．(1)若l与圆C相切，求l的方程；(2)若l与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．(其中点C是圆的圆心)38.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC，AC=BC=CC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．(Ⅰ)求证：AC⊥C1F；(Ⅱ)求证：BE//平面A1C1F；(Ⅲ)在棱CC1上是否存在一点G，使得平面B1EG⊥平面A1C1F？说明理由．39.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+3|，g(x)=x2+ax+4，a∈R．(Ⅰ)当a=1时，解关于x的不等式f(x)≤4；(Ⅱ)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围．40.已知函数f(x)=sin2(x−π4)．(1)若f(α2)=16，tanβ=√5，α∈[−π2,π2]，求tan(2α+β)的值；(2)若动直线x=t(t∈[0,π])与函数f(x)和函数g(x)=√3sin(π4+x)cos(π4+x)的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值．41.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，a n2=S n+S n−1+2(n≥2,n∈N∗)，a1=2．(1)证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设b n=32S n ，数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n<116．42.△ABC中，AB=5，AC=4，D为线段BC上一点，且满足BD=2DC．(1)求sin∠BADsin∠DAC的值；(2)若∠BAD=2∠DAC，求AD．43.四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D−AE−C的平面角的余弦值．44.已知函数f(x)=(ax2+x+a)e−x(a∈R)．(1)若a≥0，函数f(x)的极大值为3，求实数a的值；e(2)若对任意的a≤0，f(x)≤bln(x+1)在x∈[0,+∞)上恒成立，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：∵M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，∴M∩N={x|−2<x<2}．故选C．2.【答案】C【解析】解：∵cosθ<0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ>0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：A.y=2x是非奇非偶函数，∴该选项错误；B.y=|x|+1≥1，∴该函数没有零点，∴该选项错误；C.y=x3为奇函数，∴该选项错误；D.cos(−x)=cosx，∴y=cosx是偶函数；cosπ2=0，∴x=π2是y=cosx的零点，∴该选项正确．故选：D．可看出y=2x为非奇非偶函数，y=x3是奇函数，从而判断A，C错误，而容易判断y=|x|+1没有零点，从而正确选项为D．考查偶函数的定义，奇函数的定义，以及非奇非偶函数的定义，函数零点的定义．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的定义的应用，二倍角公式的应用，属于基础题．直接利用三角函数的定义和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(−√2, 1)，所以cosα=√2√3，所以cos2α=2cos2α−1=2×23−1=13．故选：B．5.【答案】C【解析】解：M(−1,2)，N(3,0)两点之间的距离为d=√(−1−3)2+(2−0)2=2√5．故选：C．根据两点间的距离公式计算即可．本题考查了求两点间的距离公式应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，则设b⃗ =k a⃗，即(3,x,y)=k(−1,2,1)，则有k=−3，则x=−6，y=−3，则b⃗ =(3,−6,−3)，故|b⃗ |=√9+36+9=3√6；故选：A．根据题意，设b⃗ =k a⃗，即(3,x,y)=k(−1,2,1)，分析可得x、y的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出x、y的值．7.【答案】B【解析】解：圆(x−1)2+y2=2的圆心坐标为(1,0)，则圆心到直线x+y+1=0的距离为d=√2=√2=√2．故选：B．由圆的方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是基础题．8.【答案】D【解析】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，圆有关的最值问题，点到直线的距离，是基础题．先判断直线与圆相离，则最大距离与最小距离的差是直径．【解答】解：圆x2+y2−4x−4y−10=0的圆心为(2,2)，半径为3√2，圆心到到直线x +y −14=0的距离为|2+2−14|√2=5√2>3√2，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6√2，故选D ．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查线段长的最大值的求法，涉及向量模的计算，二次函数最值，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P(a,b,0)(a ⩾0,b ⩾0)，则D 1(0,0,2)，E(1,2,0)，B 1(2,2,2)， B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −2,b −2,−2)，D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−2)，∵B 1P ⊥D 1E ，∴B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a −2+2(b −2)+4=0， ∴a +2b −2=0，由a =2−2b ⩾0，得0⩽b ⩽1，∴|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(a −2)2+(b −2)2+4=√5b 2−4b +8=√5(b −25)2+365，当b =0时，|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，当b =1时，|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，当b =25时，|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√55， ∴由二次函数性质可得|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[6√55,3]， ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选D ．11.【答案】C【解析】解：∵X ={x|e x >12}={x|x >−ln2}，Y ={x|x 2+x −6≤0}={x|−3≤x ≤2}，则(∁R X)∩Y ={x|−3≤x ≤−ln2}．故选：C．解指数与二次不等式可求集合X，Y，然后结合集合的基本运算即可求解．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础试题．12.【答案】B【解析】解：由(z−2)⋅i=z，得zi−2i=z，∴z=−2i1−i =−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i，∴z2=(1−i)2=−2i，z⋅z−=|z|2=2，|z|=√2，z+z−=2．故选：B．由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．13.【答案】C【解析】解：∵α∈(π4,3π4)，∴α+π4∈(π2,π)，∵sin(α+π4)=35，∴cos(α+π4)=−45，则x0=cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=−45×√22+35×√22=−√210，故选：C．利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．14.【答案】C【解析】【分析】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用必要、充分及充要条件的定义结合等比数列进行判断即可．【解答】解：{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，“q <0”时，“对任意的正整数n ，a 2n−1+a 2n <0”不一定成立，例如：当首项为2，q =−12时，各项为2，−1，12，−14，…，此时2+(−1)=1>0，12+(−14)=14>0；而对任意的正整数n ，a 2n−1+a 2n =a 1q 2n−2(1+q)<0，因为a 1q 2n−2>0，所以1+q <0，q <−1<0，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n−1+a 2n <0”的必要不充分条件，故选C ．15.【答案】B【解析】解：因为x −1x >0，解得x >1或−1<x <0，所以函数f(x)=ln(x −1x )的定义域为：(−1,0)∪(1,+∞)．所以选项A 、C 不正确．当x ∈(−1,0)时，g(x)=x −1x 是增函数，又因为y =lnx 是增函数，所以函数f(x)=ln(x −1x )是增函数．故选：B ．求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的单调性，推出选项即可．本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．16.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【解答】解：因为y=sin3x+cos3x=√2sin(3x+π4)，所以将其图象向左平移π4个单位长度，可得y=√2sin[3(x+π4)+π4]=√2sin(2x+π)=−√2sin2x，故选：C．17.【答案】C【解析】解：由a5−2a72+2a8=0，得a5+2a8=2a72，即3(a1+6d)=2a72，即3a7=2a72，∵a7≠0，∴a7=32=b7，则b2b12=b72=94．故选：C．由条件利用等差数列的性质可得3a7=2a72，求得a7的值，再根据b2b12=b72计算．本题考查等差数列、等比数列的性质，求出a7=7是解题的关键，属于基础题．18.【答案】C【解析】解：将该几何体放入在正方体中，且棱长为1，由三视图可知该三棱锥为C1−ABD，S△ABC1=S△ADC1=12×1×√2=√22．S△BDC1=12×√2×√12+(√22)2=√32．故该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为S△BDC1=√32．故选：C．将该几何体放入在正方体中，且棱长为1，由三视图可知该三棱锥为C1−ABD，经过计算即可得出．本题考查了正方体与三棱锥的三视图、面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，属于中档题．关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：作直线l0:ax+by=0，因为a>0，b>0，所以直线l0的倾斜角为钝角，平行移动直线，显然当直线平移到过点C(1,1)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值为2，所以a+b=2，则1a +3b=12(1a+3b)(a+b)=12(4+ba+3ab)≥2+√ba⋅3ab=2+√3；当且仅当√3a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．20.【答案】D【解析】解：设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1=2S n，∴a n=2S n−1，∴a n+1−a n=2a n，∴a n+1=3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n=3n−1，当n=1时也满足，∴1a n =(13)n−1，∴数列{1a n }的前20项和为1−13201−13=32−12×319故选：D．根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到1an=(13)n−1，再根据等比数列的求和公式即可求出．本题考查了数列的递推公式和求和公式，属于中档题21.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查导数的应用，属于中档题．由题意可化为g(−x)−f(x)=0在(0,+∞)上有解即x+a−lnxx=0在(0,+∞)上有解，构造函数，利用导数研究函数零点，即可得到所求a的范围．【解答】解：由题意知，方程g(−x)−f(x)=0在(0,+∞)上有解，即e x+2x2+ax−lnx−e x−x2=0，即x+a−lnxx=0在(0,+∞)上有解，即ℎ(x)=x+a−lnxx有零点，ℎ′(x)=x−1+lnxx2，令l(x)=x −1+lnx ，显然l(x)单调递增且l(1)=0，即ℎ′(x)在(0,1)上为负，在(1,+∞)为正，ℎ′(1)=0，∴ℎ(x)有极小值也是最小值ℎ(1)=1+a ，∴ℎ(x)有零点等价于1+a ≤0，∴a ≤−1 故选C ．22.【答案】C【解析】解：∵f(1+x)=f(−x)， ∴函数f(x)关于x =12对称，又函数f(x)为奇函数，故关于原点(0,0)中心对称， ∴函数f(x)的周期为4×|12−0|=2，∵对任意的x 1 ,x 2∈[ 0 , 12 ](x 1≠x 2)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，∴f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2， ∴函数f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，∴当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0，而当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤0，∴当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ，即f(x)≥g(x)，由对称性及周期性作函数f(x)的示意图及函数g(x)的图象如下，由图象可知，不等式的解集为[−32,−1]∪[0,1]．故选：C ．由题意，函数f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，故当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥0，而此时g(x)−πx ≤0，即可推出f(x)≥g(x)，又函数f(x)关于x =12对称，关于原点(0,0)中心对称，故可在同一坐标系中作出两函数的草图，由图象观察即可得解．本题也可构造函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，可得函数ℎ(x)关于x =12轴对称，也关于原点(0,0)中心对称，求导后研究其单调性，再作图得解．本题考查函数的性质及不等式的求解，考查运算求解能力，旨在培养学生的数学抽象思维及数形结合思想，属于中档题．23.【答案】{x|x ≤−1或x ≥3}【解析】解：U =R ，A ={x|x 2−2x −3<0}={x|−1<x <3}，则∁U A ={x|x ≤−1或x ≥3}．故答案为：{x|x ≤−1或x ≥3}．可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．本题考查描述法表示集合的概念，以及补集的概念及运算．24.【答案】x −2y −1=0【解析】解：直线x −2y −2=0的斜率是12，所求直线的斜率是12，所以所求直线方程：y =12(x −1)，即x −2y −1=0，故答案为：x −2y −1=0．先求直线x −2y −2=0的斜率，利用点斜式求出直线方程．本题考查两条直线平行的判定，直线的点斜式方程，是基础题．25.【答案】3π4 −√3【解析】解：直线x +y +√3=0转换为：y =−x −√3，故直线的斜率k =tanθ=−1，由于θ∈(0,π]，所以θ=3π4，令y =0，解得x =−√3．故直线在x 轴上的截距为−√3．故答案为：3π4；−√3．直接利用直线的方程的形式之间的转换的应用求出直线的倾斜角和截距．本题考查的知识要点：直线的方程，直线的斜率和倾斜角的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．26.【答案】±√5【解析】解：圆x2+y2=8的圆心坐标为(0,0)，半径为2√2，∵直线x+ay+6=0被圆x2+y2=8所截弦长|AB|=2√2，∴圆心(0,0)到直线x+ay+6=0的距离d=√(2√2)2−(√2)2=√6，则√1+a2=√6，解得a=±√5．故答案为：±√5．求出已知圆的圆心坐标与半径，得到圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．27.【答案】3【解析】解：圆(x−2)2+y2=1的圆心C(2,0)，半径r=1，|PA|=√|PC|2−1，所以当|PC|取得最小值时，切线长|PA|取得最小值，过圆心C(2,0)作直线l的垂线，则点P为垂足，此时点C到直线l的距离即为|PC|的最小值，所以|PC|的最小值为√1+9=√10，所以切线长|PA|的最小值为√(√10)2−1=3．故答案为：3．圆(x−2)2+y2=1的圆心C(2,0)，半径r=1，利用勾股定理得到|PA|=√|PC|2−1，当|PC|取得最小值时，切线长|PA|取得最小值，由点到直线的距离公式求出|PC|的最小值，即可得到答案．本题考查了直线与圆位置关系的应用，主要考查了圆的切线的应用，点到直线距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．28.【答案】12【解析】解：a⃗，b⃗ 满足a⃗=(cosα,sinα),|b⃗ |=2，a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=2=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =1+a⃗⋅b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =1，∴cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=11×2=12．故答案为：12．可求得，再将已知条件运用数量积公式展开即可得解．本题考查平面向量的夹角、平面向量的模以及数量积公式，考查运算求解能力，属于基础题．29.【答案】12k+1−12k+2【解析】解：因为f(n)=1−12+13−14+⋯+12n−1−12n，所以f(k+1)=1−12+13−⋅⋅⋅+12k−1−12k+12k+1−12k+2，所以f(k+1)=f(k)+12k+1−12k+2．故答案为：12k+1−12k+2．由已知的等式，先求出f(k+1)，即可得到答案．本题考查了函数解析式的理解与应用，解题的关键是正确表示出f(k+1)，考查了运算能力，属于基础题．30.【答案】ln3【解析】解：∵函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即e−x+ae x=e x+ae−x，可得：a=1．∴f(x)=e x+e−x，∴f′(x)=e x−e−x，设该切点的横坐标等于x0，则e x0−e−x0=83，令e x0=t>0，可得t−1t =83，化为：3t2−8t−3=0，解得t=3．∴e x0=3，解得x0=ln3．则该切点的横坐标等于ln3．故答案为：ln3．函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，利用f(−x)=f(x)，可得：a=1.f(x)=e x+e−x，利用导数的几何意义即可得出．本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31.【答案】[−2−√3,−72)【解析】解：∵sinBsinC =(sin 2B +sin 2C −sin 2A)tanA ， ∴b 2+c 2−a 22bc⋅sinA cosA=12，即sinA =12，又△ABC 为锐角三角形，故A =π6，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=cos∠AOB +cos∠AOC −2=cos2C +cos2B −2=cos(5π3−2B)+cos2B −2=32cos2B −√32sin2B −2 =√3cos(2B +π6)−2，又{B <π2A +B >π2，故π3<B <π2， ∴5π6<2B +π6<7π6，∴−1≤cos(2B +π6)<−√32， ∴−2−√3≤√3cos(2B +π6)<−72．故答案为：[−2−√3,−72)．由正弦定理及余弦定理可得sinA =12，进而得到A 的大小，根据斜率的减法法则及平面向量数量积公式可得则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=√3cos(2B +π6)−2，根据三角形为锐角三角形，可得π3<B <π2，进而由余弦函数的图象及性质得解．本题主要考查正余弦定理，平面向量的数量积，两角和与差公式，三角函数的性质等知识点，考查化简变形及运算求解能力，属于中档题．32.【答案】3415√74【解析】【分析】根据余弦定理直接计算即可求得cosA ，利用三角形的面积公式S =12bcsinA 求得△ABC 的面积．本题考查了余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．【解答】解：△ABC 中，a =4，b =5，c =6，由余弦定理得， cosA =b 2+c 2−a 22bc=52+62−422×5×6=34．所以sinA =√1−916=√74，S △ABC =12bcsinA =12×5×6×√74=15√74．故答案为：34；15√74． 33.【答案】(本小题满分13分)证明：(Ⅰ)因为正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，AA 1⊥底面ABC.…(1分) 又因为CD ⊂底面ABC ，所以AA 1⊥CD.…(3分)又因为AA 1∩AB =A ，AB ⊂平面ABB 1A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，所以CD ⊥平面ABB 1A 1.…(6分)(Ⅱ)连接AC 1，设A 1C ∩AC 1=O ，连接OD ，…(7分) 由正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，得AO =OC 1，又因为在△ABC 1中，AD =DB ，所以OD//BC 1，…(10分)又因为BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ，所以BC 1//平面A 1CD.…(13分)【解析】(Ⅰ)推导出CD ⊥AB ，AA 1⊥底面ABC ，从而AA 1⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面ABB 1A 1．(Ⅱ)连接AC 1，设A 1C ∩AC 1=O ，连接OD ，推导出OD//BC 1，由此能证明BC 1//平面A 1CD ．本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查空间想象能力，属中档题．34.【答案】解：(Ⅰ)因为a =3√2,b =√10,B =π4，a sinA =bsinB ，所以sinA =asinB b=3√2×√22√10=3√1010．(Ⅱ)因为b 2=a 2+c 2−2accosB ，所以10=18+c 2−2×3√2×c ×√22，得c 2−6c +8=0，即(c −2)(c −4)=0，所以c =2或c =4，当c =4时，a >c >b ，所以A >C >B ，因为cosA =b 2+c 2−a 22bc=2×√10×4>0，所以A ∈(0,π2)，因为三角形是钝角三角形，所以c =4舍去，即c =2，所以S △=12acsinB =12×3√2×2×√22=3．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理计算可得；(Ⅱ)首先由余弦定理求出边c ，再利用面积公式计算可得．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．35.【答案】解：(Ⅰ)由{3x +4y −2=02x +y +2=0,解得{x =−2y =2,所以点P 的坐标是(−2,2)．又所求直线l 与x −2y −1=0垂直，可设直线l 的方程为2x +y +m =0．把点P 的坐标代入得2×(−2)+2+m =0，即m =2．则所求直线l 的方程为2x +y +2=0．(Ⅱ)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是−1，−2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S =12×1×2=1．【解析】此题考查求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题．(Ⅰ)联立两直线方程，求出方程组的解集即可得到交点P 的坐标，根据直线l 与x −2y −1=0垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为−1，可设出直线l 的方程，把P 代入即可得到直线l 的方程；(Ⅱ)分别令x =0和y =0求出直线l 与x 轴和y 轴的截距，然后根据三角形的面积公式，即可求出直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．36.【答案】(Ⅰ)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为AD ⊥CD ，PA ∩AD =A 所以CD ⊥平面PAD ．因为AE ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AE ．(Ⅱ)解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，不妨设AB =AP =2，可得B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E 为棱PD 的中点，得E(0,1,1)．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)．设平面PBD 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2z =0，令y =1，可得n⃗ =(1,1,1)，所以cos〈AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63．所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为√63．(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，平面PBD 的一个法向量n ⃗ =(1,1,1)，所以点A 到平面PBD 的距离d =|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3=2√33．【解析】(Ⅰ)根据PA ⊥底面ABCD ，PA ⊥CD ，再由底面ABCD 为正方形，利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论．(Ⅱ)以点A 为原点建立空间直角坐标系，不妨设AB =AP =2，求得向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，和平面PBD 的一个法向量n⃗ =(x,y,z)，然后计算夹角的余弦值即可． (Ⅲ)利用空间向量法求解点面距离即可．本题主要考查空间中的垂直关系，点面距离的计算，线面角的计算等知识，属于中等题．37.【答案】解：(1)直线l 无斜率时，直线l 的方程为x =1，此时直线l 和圆C 相切．直线l 有斜率时，设方程为y =k(x −1)，即kx −y −k =0， ∵l 与圆C 相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d =√k 2+1=2，解得k =34，∴直线l 的方程为y =34x −34∴综上，直线l 的方程为x =1或3x −4y −3=0． (2))设PQ =2a ，则C 到直线l 的距离为√r 2−a 2， ∴S △CPQ =12×2a ×√r 2−a 2≤a 2+r 2−a 22=r 22，当且仅当a²=r²−a²，即r =√2a 时，上式取等号，即∠PCQ =90°，△CPQ 是等腰直角三角形时，S max =12×2×2=2 由半径r =2得：圆心到直线的距离为√2设直线l 的方程为：y =k(x −1)，即kx −y −k =0，则d =√k 2+1=√2，∴k =7或k =1，∴直线l 的方程为：7x −y −7=0或x −y −1=0．【解析】本题考查直线方程的求法、直线与椭圆位置关系，本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用． (1)直线l 无斜率时，直线l 的方程为x =1，成立；直线l 有斜率时，设方程为kx −y −k =0，由圆心到直线的距离等于半径，能求出直线l 的方程．(2)△CPQ面积最大时，△CPQ是等腰直角三角形，此时圆心到直线的距离为√2，设直线l的方程为kx−y−k=0，由此能求出直线l的方程．38.【答案】(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，∵侧棱垂直于底面，∴CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC．∵AC⊥BC，CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．∵C1F⊂平面BCC1B1，∴AC⊥C1F；(Ⅱ)证明：取A1C1的中点H，连结EH，FH．B1C1，则EH//B1C1，且EH=12B1C1，又∵BF//B1C1，且BF=12∴EH//BF，且EH=BF．∴四边形BEHF为平行四边形，则BE//FH．又BE⊄平面A1C1F，FH⊂平面A1C1F，∴BE//平面A1C1F；(Ⅲ)解：在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．证明：连接EG，GB1．在正方形BB1C1C中，∵F为BC中点，∴△B1C1G≌△C1CF．∴∠C1CF+∠B1GC1=90°，则B1G⊥C1F.由(Ⅰ)可得AC⊥平面BB1C1C，∵AC//A1C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C.∵B1G⊂平面BB1C1C，∴A1C1⊥B1G.∵A1C1∩C1F=C1，∴B1G⊥平面A1C1F.∵B1G⊂平面B1EG，∴平面B1EG⊥平面A1C1F.【解析】本题考查线面平面、线面垂直、面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．(Ⅰ)在三棱柱ABC−A1B1C1中，由侧棱垂直于底面，可得CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC，再由AC⊥BC，结合线面垂直的判定可得AC⊥平面BCC1B1.从而得到AC⊥C1F；(Ⅱ)取A1C1的中点H，连结EH，FH.可得EH//BF，且EH=BF.则四边形BEHF为平行四边形，则BE//FH.再由线面平行的判定可得BE//平面A1C1F；(Ⅲ)在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．连接EG，GB1.首先证明△B1C1G≌△C1CF.可得∠C1CF+∠B1GC1=90°，则B1G⊥C1F.由(Ⅰ)可得AC⊥平面BB1C1C，得到A1C1⊥平面BB1C1C.即A1C1⊥B1G.由线面垂直的判定可得B1G⊥平面A1C1F.进一步得到平面B1EG⊥平面A1C1F.39.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+1|，则f(x)={−2x,x<−1 2,−1≤x<1 2x,x≥1，当x<−1时，由f(x)≤4，可得−2x−2≤4，解得−2≤x<−1；当−1≤x<1时，f(x)≤4恒成立；当x≥1时，由f(x)≤4，可得2x≤4，解得1≤x≤2．所以f(x)≤4的解集为{x|−2≤x≤2}；(Ⅱ)对任意x1∈R，都存在x2∈R，得f(x1)≥g(x2)成立，所以f(x)min>g(x)min，因为a2−2a+3=(a−1)2+2>0，所以a2>2a−3，且|x−a2|+|x−2a+3|≥|(x−a2)−(x−2a+3)|=|a2−2a+3|=a2−2a+ 3①，当2a−3≤x≤a2时，①式等号成立，即f(x)min=a2−2a+3，又因为x2+ax+4=(x+a2)2+4−a24≥4−a24②，当x=−a2时，②式等号成立，即g(x)min=4−a24，所以a2−2a+3>4−a24，即a取值范围为(−∞,−25)∪(2,+∞)．【解析】(Ⅰ)利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数，然后分类讨论，分别求解不等式，即可得到答案；(Ⅱ)将问题转化为f(x)min>g(x)min，然后利用绝对值不等式的结论求出f(x)min，利用二次函数的性质求出g(x)min，从而得到关于a的不等式，求解即可．本题考查了分段函数的应用，函数与不等式的综合应用，不等式恒成立问题的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．40.【答案】解：(1)∵函数函数f(x)=sin2(x−π4)=1−cos(2x−π2)2=12−12sin2x，则若f(α2)=16=12−12sinα，∴sinα=23．∵α∈[−π2,π2]，∴cosα=√1−sin2α=√53，∴tanα=sinαcosα=√5，tan2α=2tanα1−tan2α=4√5．∵tanβ=√5，tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2α⋅tanβ=5√51−20=−5√519．(2)∵函数g(x)=√3sin(π4+x)cos(π4+x)=√32sin(π2+2x)=√32cos2x，由题意可知PQ=|f(t)−g(t)|=|12−12sin2t−√32cos2t|=|12−sin(2t+π3)|，故当sin(2t+π3)=−1时，PQ取得最大值32，当PQ取到最大值时，2t+π3=2kπ−π2，k∈Z，又t∈[0,π]，∴t=7π12．【解析】(1)由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用二倍角公式、两角和的正切公式，求得tan(2α+β)的值．(2)先化简g(x)的解析式，再利用三角函数的图象和性质，求出线段PQ长度的解析式，由此可得它的最大值．本题主要考查三角恒等变换，二倍角公式的应用，三角函数的图象和性质，属于中档题．41.【答案】解：(1)证明：由已知：a n2=S n+S n−1+2(n≥2,n∈N∗)①，得a n−12=S n−1+S n−2+2(n≥3,n∈N∗)②①−②可得a n2−a n−12=a n+a n−1(n≥3,n∈N∗)．因为a n>0，所以a n−a n−1=1(n≥3)，检验：由已知a22=(a1+a2)+a1+2，a1=2，所以a2=3，那么a2−a1=1，也满足式子a n−a n−1=1.所以a n−a n−1=1(n≥2)，所以{a n}为等差数列，首项为2，公差为1.于是a n=n+1；(2)证明：由a n =n +1，所以S n =(2+n+1)⋅n2=n(n+3)2．所以b n =32S n=3n(n+3)=1n −1n+3．则T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =(1−14)+(12−15)+(13−16)+(14−17)+⋯+(1n−2−1n+1)+(1n−1−1n+2)+(1n −1n+3)=(1+12+13+14+⋯+1n )−(14+15+16+⋯+1n+1+1n+2+1n+3)=(1+12+13)−(1n+1+1n+2+1n+3)=116−(1n+1+1n+2+1n+3)<116．【解析】(1)运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求；(2)由等差数列的求和公式，可得b n =32S n=3n(n+3)=1n −1n+3，运用数列的裂项相消求和，化简可得为 n ，再由不等式的性质，即可得证．本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．42.【答案】解：(1)由题：BD =2DC ，所以S △ABD =2S △ACD ，即12AB ⋅AD ⋅sin∠BAD =2⋅12AC ⋅AD ⋅sin∠DAC ．所以sin∠BADsin∠DAC =2AC AB=85．(2)由∠BAD =2∠DAC ，所以sin∠BAD =sin2∠DAC =2sin∠DACcos∠DAC ，所以cos∠DAC =45，所以，cos∠BAD =cos2∠DAC =2cos 2∠DAC −1=725．设AD =x ，在△ABD 中，由BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos∠BAD =25+x 2−145x ．△ACD 中，CD 2=AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcos∠CAD =16+x 2−325x ．又因为BD =2DC ，所以BD 2=4CD 2，即25+x 2−145x =4(16+x 2−325x)．化简可得15x 2−114x +195=0，即(3x −15)(5x −13)=0，则x =5或x =135．又因为D为线段BC上一点，所以AD<AB=5且AD<AC=4，．所以AD=135【解析】(1)由题意，利用S△ABD=2S△ACD，根据三角形的面积公式即可求解sin∠BAD的sin∠DAC 值；(2)由二倍角公式可求cos∠DAC=4，cos∠BAD的值，设AD=x，利用余弦定理可求5BD2=4CD2，可得(3x−15)(5x−13)=0，解得x的值，即可得解AD的值．本题主要考查了三角形的面积公式，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．43.【答案】(1)证明：取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°，AC，∴DO=12∴DO2+BO2=AB2=BD2，∴∠BOD=90°，∴OB⊥OD，又DO∩AC=O，DO⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OB⊥平面ACD，又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．(2)解：∵△ABC是正三角形，所以AB=CB，又∵∠ABD=∠CBD，AB=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，即△ACD为等腰直角三角形，取AC中点，连接DO，BO，则DO⊥AC，又∵平面ACD⊥平面ABC且交于AC，DO⊂平面ABC，。

江西省上高县二中2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)

上高县二中2019届高三上学期第一次月考理科数学一.选择题(每小题5分，共60分)1.设全集 I 二 R,集合 A 二｛y I y 二lo 舟2 x X>2｝ , B 二｛x y=y/x — 1)，则( )2•知f (x) =ax 2 +bx 是定义在［aT,3a ］上的偶函数,那么a+b 二()1111A.——B.-C. -D.——4 4 22v-33 •知 M 二{(x,y) | ——=3}, N 二{(x, y) |ax+2y+a=0},且 MAN=0,则 a=(%—2A. 2 或-6B. -6C. -6 或-2D. -211 14•设命题P ：函数y 二一在定义域上是减函数；命题q ： 3a, bG(0, +8),当a+b=l 时， ------- --- =3,兀a b以下说法正确的是()A. PVq 为真B. PAq 为真C. P 真q 假D. P. q 均为假 5.函数y 二lg (x 2 -2x+a)的值域不可能是()X7•函数f (x)二^的图象关于点(1, 1)対称，g(x)二lg(l(T + l)+bx 是偶函数，则a+b=()A. -B.——C. —D.——2 2 2 2A. AUB=AB. AUBC. AAB=0D. AH(C/B)HA. (-co.O]B. [0, +oo)C. [1, +oo)D. Rx 2+4x + 6(x<0) -x + 6(兀 > 0)则不等式f(x)<f(-l)的解集是(A. (-3, T) U (3, +8)B. (一3, -1) U(2, +8)C.(一3, +8)D. (一8, -3) (T, 3)2%_1&知f (x)= ---------------- ,则不等式f (x-2) +f (%2-4) < 0的解集为( ) 2X+115.己知函数/ (x) = x 212丿加，若对Vx ] e [- 1,3], 3x 2已[02], / (可王烈勺)，9. 若正数自，方满足丄+ ： = 1，则丄+ 二的最小值为( )a ba-\ o-\A. 16B. 25C. 36D. 4910. 设集合A 二{x|x 2+2x-3>0} B= (x|x 2-2ax-l<0 a>0},若AQB 中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是( )33 43A. (0, -)B. ［ - -)C. ［一，+8)D. (l,+oo)4 4 3 411. 设f(X)是定义在R 上的偶函数，任意实数X 都有f (2-X)二f (2+x),且当XG ［O, 2］时，f (x)二2兀-2,若函数g(x)二f (x)-lo 臥(无+l)(a 〉o, &工1)在区间(T, 9］内恰有三个不冋零点，则a 的取值范禺围是 _____________ .14.已知函数f(x) = log a (x 3 - ax) (a > 0 且 aH l)/(x) = log 」F -ax),(a > 0且a H 1)在区间 '-£,0)(-中，0)上是增函数，则aa 的取值范围是 ________________________________ 。

江西省上高二中2019届高三数学上学期第四次月考试题文(含解析)

3.各项均为正数的等比数列中，，则的值为（）A. 5B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】根据等比数列的性质得到=4=，=，故=4+2=6.故结果为6.4.已知平面上不重合的四点P、A、B、C满足，且，那么实数x的值为( )A. 2B. －3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．【详解】由题意，根据向量的减法有：，∵∴；∴，∵，故选B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．5.已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的两根，若，则a+b=（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把与代入即可求出值，进而求得.【详解】已知，是方程x2+3x+4=0的两根，则由可得则故选D.【点睛】本题考查运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题．6.中，，则符号条件的三角形有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】由正弦定理可得: ,解得sinA= > ，故满足条件的角A有两个,一个钝角,一个锐角,应选B.7.函数的单调减区间是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简函数的表达式，求函数的定义域，然后利用复合函数的单调性，即可求出函数的单调减区间．【详解】函数，函数的定义域为 .由正弦函数的单调减区间可得解得，.所以函数的单调减区间是：故选D.【点睛】本题是基础题，考查正弦函数的单调性，函数的定义域，复合函数的单调性，是常考题，易错题．8.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数是偶函数排除A.当时, ,可得： ,令，作出与图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，故选：D.9.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（）A. 0B. 0或C. 或D. 0或【答案】D【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.详解：因为，所以周期为2，作图如下：由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线点A(1,1)或与相切，即或选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10.设等差数列的前项的和为，若，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，，故选C.11.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.12.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由f（x）的导函数形式可以看出e x-kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x-kx，g′（x）=e x-k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】∵函数的定义域是（0，+∞），∴．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴e x-kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x-kxg′（x）=e x-k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x＞lnk时，g′（x）＞0，g（x）单调递增. ∴g（x）的最小值为g（lnk）=k-klnk∴k-klnk≥0∴0＜k≤e综上所述，k≤e．故选：A．【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知角的终边经过，则________．【答案】.【解析】分析：根据任意角的三角函数的定义，求得sin的值,再结合诱导公式即可得到结果．详解：∵角θ的终边经过点，∴x=，y=3，r=，则sin==．∴故答案为：．点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题．14.对于实数和，定义运算，则式子的值为 .【答案】【解析】试题分析：，，由定义．考点：1.指数与对数的运算；2.新定义的应用．15.已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令a n＝，n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n，则S2019＝____________.【答案】【解析】【分析】函数f（x）=x a的图象过点（4，2），代入解出a，可得，再利用“裂项求和”即可得出．【详解】函数的图象过点（4，2），解得．∴，，∴数列{a n}的前n项和为故答案为.【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数，则的最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.三.解答题17.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.18.已知等差数列{a n}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a15，求{b n}的前n项和T n.【答案】（1）a n＝.（2）T n＝2n－1.【解析】试题分析:(1)根据等差数列的基本量运算解出和,代入公式算出等差数列的通项公式;(2)计算出等比数列的首项和公比,代入求和公式计算.试题解析:(1)设{a n}的公差为d，由已知得解得a1＝1，d＝，故{a n}的通项公式a n＝1＋，即a n＝.(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{b n}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，故{b n}的前n项和T n＝＝2n－1.点睛:本题考查等差数列的基本量运算求通项公式以及等比数列的前n项和,属于基础题. 在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差数列、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，比如题中给出的,以免在套用公式时出错．19.已知向量,，|｜＝．（1）求的值；（2）若０＜＜，－＜＜０，且＝－，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），同理．利用数量积运算性质，可得，展开即可得出；（2）由０＜＜，－＜＜０，且sin＝－，可得．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．【详解】（1），．，．即．．（2）∵，∴∵ ，∴∵ ，∴∴．【点睛】本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题.20.如图,在等腰直角三角形中, ,点在线段上.(1)若,求的长；(2)若点在线段上,且,求△的面积.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由题设条件及余弦定理得，OM2=OP2+MP2-2•OP•MPcos45°，解得MP即可；（2）在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，即可求出三角形的面积.【详解】(1)在中,,,,由余弦定理得,,得, 解得或(2)在中,由正弦定理,得,所以, 同理.故=【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知向量，且，求：（1）及；（2）若的最小值为，求实数的值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由向量数量积的定义得，=由向量的模长计算公式得=，∵，∴∴=2cosx．（2）由（1）可得,即．易得．然后对进行讨论，此时问题转化为二次函数求最值且为定义域的区间确定对称轴不确定类型题。

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江西省上高二中2019届高三数学上学期第四次月考试题理一、选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数212ii+-的共轭复数是( ) A.i -B.ｉC.35i - B.35i2.如右图，设全集{}{}(2),|21,|ln(1)x x U R A x B x y x -==<==-，则阴影部分表示的集合为( ) A.{}|1x x ≥ B.{}|12x x ≤< C.{}|01x x <≤D.{}|1x x ≤3.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．3 D ． 44.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0302x y x y x ，则y x z +=2的最大值是（）A.3B.4C.5D.65、已知,,a b c R ∈，函数2(),(0)(4)(1)f x ax bx c f f f =++=>若，则（） A ．0,40a a b >+= B ．0,40a a b <+=C ．0,20a a b >+=D ．0,20a a b <+=6.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于()A.223 B.13C.－13D.－2237．知11617a =，16log b =17log c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 8．已知函数()cos ,(0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1-9. 已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前10项的和S 10等于（）A. 45B. 55C. 90D. 11010．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝2π，AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为21-，则CE BD ∙=（） A ．21-B ．－2C ．0D ．211.已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若()n S f n =，则41n n S aa --的最小值为（）A ．276B ．358 C ．143 D ．37812.已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，2()(2)1f x x =--+.若函数11()()12y f x a x =--在),0(+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．)1,31(B ．14(,)33C ．1212(,)3713D ．)34,3712(二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是 14.已知A B C ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若1,54cos ,135cos ===c C B ,则=a .15.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，则实数m 的值为________.16. 已知函数())(2)(,ln 23R k kx ex x x g x x f ∈+-==,若函数)()(x g x f y -=有唯一零点,则以下四个命题中正确的是（填写正确序号） ①.ee k 12+= ②.函数)(x g 在))(,(e g e 处的切线与直线0=-ey x 平行③.函数22)(ex x g y +=在],0[e 上的最大值为122+e ④.函数x e ex x g y 2)(--=在 ]1,0[上单调递减三、解答题17. （本小题满分10分）已知关于x 的不等式|2|1m x --≥，其解集为[]0,4x ∈.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.18．（本小题满分12分）设向量()2cos 2,2,1,cos 3a x b x π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中x R ∈，且函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的对称中心；（2）设函数()224g x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求()f x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点.19. （本小题满分12分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝()n1-a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.20. （本小题满分12分）如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B ，又从点B 测得斜度为α，建筑物的高CD 为5米．（1）若30α=︒，求AC 的长；（2）若45α=︒，求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21．在数列中{}n a ，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n a ；（2）设n nn S b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22.已知函数)2ln(221)(2++-=x a x x x f （其中R a ∈）. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f y =有两个极值点21x x 、，且21x x <，求证：12)(x x f >.2019届高三年级第四次月考数学(理科)答题卡113、 14、15、 16、三、解答题（共70分）17.（10分）18. （12分）19. （12分）20. （12分）21. （12分）22.（12分）2019届高三年级第四次月考数学（理科）试卷答案1-5 .ABDBA 6-10.DADCB 11.D 12B13. 2 14.1321 15.13 16.①②④17.解：（Ⅰ）不等式|2|1m x --≥可化为|2|1x m -≤-， ………1分 ∴121m x m -≤-≤-，即31m x m -≤≤+, ∵其解集为[0,4]，∴3014m m -=⎧⎨+=⎩ ，3m =. ………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3a b +=，∵ 222()2a b a b ab +=++222222()()2()a b a b a b ≤+++=+， ∴ 2292a b +≥，∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92.……18.解：（1）()2cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 221cos 22x x x =+++32cos 212123x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的对称中心为：(,1)()26k k Z ππ-∈.（2）()222443g x f x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()0g x =得，sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴3264x ππ-=-或264x ππ-=-，即724x π=-或24x π=-.∴函数()g x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点是724π-和24π-.19解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和当n 为偶数时，S n ＝-1＋3-…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n ＋1－3n 1－3＝n ＋3n－12.当n 为奇数时，S n ＝-1＋3-…-(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝-1+()212-⨯-n ＋1－3n 1－3＝-n ＋3n－1220.（1）AC =（2）cos 1θ=．（1）当30α=︒时，150ABC ∠=︒，15ACB BAC ∠=∠=︒，所以10BC AB ==，由余弦定理得：222101021010cos150200AC =+-⨯⨯⨯︒=+AC = （2）当45α=︒，在ABC △中，由正弦定理有sin205sin AB BAC BC ACB ⋅∠===∠，在BCD △中，sin sin 1BC DBCBDC CD⋅∠∠==，又cos cos sin 12ADC ADC θπ⎛⎫=∠-=∠= ⎪⎝⎭．21.22.解：（1）)2ln(221)(2++-=x a x x x f ∴定义域为2422)(),,2(2++-=++-='+∞-x ax x a x x f 当4≥a 时，0)(≥'x f ；当40<<a 时，令0)(>'x f ，解a x --<<-42或a x ->4；0)(<'x f ，解a x a -<<--44当0≤a 时，令0)(>'x f ，得a x ->4；0)(<'x f ，得a x -<<-42；所以当)(x f 在),2(+∞-上单调递增；当40<<a 时，)(x f 的单调递增区间为),4(),4,2(+∞----a a ；单调递减区间为)4,4(a a ---；当0≤a 时，)(x f 的单调递减区间为)4,2(a --；单调递增区间为),4(+∞-a ；（2）由（1）可知，)(x f y =有两个极值点21,x x ，且21x x <，则40<<a 时，且a x a x -=--=4,421；要证12)(x x f >，即证0)(22>+x x f ，即证0)2ln()4(2212222222>++-+-x x x x x ，即证0)2ln()4(21222222>+-+-x x x x ，又02,2022>-<<x x ，即证021)2ln()2(222>-++x x x ；令t x =+22，则)4,2(∈t ，设21ln )(,121ln )(+='+-=t t g t t t t g ，而0)(),4,2(>'∈t g t ，即)(t g 在)4,2(单调递增；02ln 2)2()(>=>∴g t g ，即021)2ln()2(222>-++x x x 成立；所以12)(x x f >.。