02第二部分 信号分析基础1
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第2章 信号分析基础 题库-答案
（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。
解：（1）实数形式
傅里叶级数三角形式的展开式：
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
x(t)
2 2
Acos(0t)
2 2
A sin(0t )
得： a0
0 ， an
形脉冲。
x(t)
t
x1 (t )
x2 (t )
图2-31
解：矩形脉冲信号
x(t
)
E 0
| t | T1 的频谱密度 | t | T1 t
t
X ()
T1 T1
Ee
jt dt
2ET1
sinc(T1)
所以
X1
(
)
sinc(
1 2
)
，
X
2
(
)
3
sinc(
3 2
)
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
过程： T 0
A2
T 1 cos 2t dt
T0
2
A2 2
18.求正弦信号 xt Asin( t ) 的概率密度函数 p(x)。
解：
公式： p(x) lim P(x x(t) x x)
x0
x
过程：
在一个周期内Tx0 t1 t2 P[x x(t) x x] lim Tx Tx0
答：充分条件：绝对可积
充要条件：
（D） a X a f
6．判断对错：1、 随机信号的频域描述为功率谱。（ V ）
第二章信号分析基础(频谱)
（1）
A0 a0
An
an bn
2
2
bn n arctg an
周期信号的频谱分析
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复指数形式： 将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
e j e j cos 2
则：
e j e j sin 2j
带入并合并同类项
a0 an jbn jn0t an jbn jn0t f (t ) [ e e ] 2 n 1 2 2 a0 an jbn jn0t an jbn jn0t e e 2 n 1 2 2 n 1 an jbn jn0t e Cn e jn0t 2 n n
则：c1x1(t)+c2x2(t) ←→ c1X1(f)+c2X2(f)
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
2.4 傅立叶变换的性质 c.对称性
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若 x(t) ←→ X(f)，则 X(t) ←→ x(-f)
证明： 以－t替换t: 以f换t: 所以：
x(t )
∴当T0→∞时，Δω→0 上式变为：
T / 2
0
T0 / 2
f (t )e jn0t dt ]e jn0t
f (t )
＋
1 ＋ [ f (t )e jt dt ]e jt d 2
1 ＋ jt F e d 2
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X ( f )e j 2ft df X ( f )e j 2ft df
x(t )
x( f ) X (t )e j 2ft dt
3信号分析基础2(时域相关分析)
因此，有
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
第3章 PPT 信号分析基础 1 工程测试技术
+
An2 (nω0)
22
● 周期信号及其频谱分析
■ 三角函数展开式
任何周期函数， 任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷 级数，如三角函数集的傅里叶级数: 级数，如三角函数集的傅里叶级数:
{cos nω0t , sin nω0t}
23
● 周期信号及其频谱分析
Байду номын сангаас
■ 时域&频域的比较 时域&
用被测物理量的强度作为纵坐标， 时间做横坐标， 用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标， 强度作为纵坐标 记录被测物理量随时间的变化情况。 记录被测物理量随时间的变化情况。
A(t)
0
t 信号波形图
3
信号分析基础
2
信号的分类
为深入了解信号的物理实质，从不同角度观察信号，可分为： 为深入了解信号的物理实质，从不同角度观察信号，可分为： ♣ 从信号可否确定分 -- 确定性信号、非确定性信号 确定性信号、 ♣ 从信号的幅值和能量分 ♣ 从分析域分
● 周期信号及其频谱分析 实频谱和虚频谱形式
■ 三角函数展开式
C n = Re C n + j Im C n = C n e
幅频谱和相频谱形式
jφ n
Cn =
(Re Cn ) + (Im Cn )
2
2
Im Cn φ n = arctan Re Cn
耐 心 点 哟 ！
27
ω (nω 0 )
● 周期信号及其频谱分析
10
■ 信号的分类及其描述域
（3） 连续时间信号与离散时间信号 连续时间信号: 连续时间信号:在所有时间点上有定义
离散时间信号:仅在若干时间点上有定义 离散时间信号:
【复习笔记】信号分析基础
第二章 信号分析基础1、信号分析中常用函数包括：δ函数、sinc(t)函数、复指数函数e st① δ函数具有“抽样（乘积）、筛选（积分）、卷积”特性，其拉氏变换和傅氏变换的值均为1。
② 卷积特性的表达式为)()()()()(t f d t f t t f =-=*⎰+∞∞-ττδτδ，τ为两信号之间的时差。
③ sinc(t)函数又称为闸门函数、滤波函数或内插函数，分别对应其用处：闸门（或抽样）、低通滤波、采样信号复原时sinc(t)函数叠加构成非采样点波形。
④ 复指数函数e st 中出现的“负频率”是与负指数相关联的，是数学运算的结果，并无确切的物理含义。
2、一个信号不能够在时域或频域都是有限的。
3、信号的时域统计分析：均值x μ、均方值ψ2x 、方差σ2x 。
三者具有如下关系：2x2x 2x μσψ+= 式中，ψ2x （又称平均功率，平均能量的一种表达）表达了信号的强度； σ2x 描述了信号的波动量； μ2x 描述了信号的静态量。
4、各态历经过程：此过程中的任一个样本函数x(t)都经历了过程的各种状态，从它的一个样本函数x(t)中可以提取到整个过程统计特征的信息。
5、相关函数的性质：① 自相关函数R x (τ)是τ的偶函数，满足：)()(ττ-=x x R R 。
② 互相关函数R xy (τ)是τ的非奇非偶函数，满足：)()(ττ-=yx xy R R 。
③ 当τ=0时，自相关函数具有最大值。
对于功率信号，若均值μx =0，则在τ=0点处，有ψ2x =σ2x =R x (τ)。
④ 周期信号的R x (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
⑤ 两周期信号（同频）的R xy (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。
⑥ 两个不同频的周期信号互不相关，其互相关函数R xy (τ)=0。
⑦ 随机信号的R x (τ)将随|τ|值增大而很快趋于0。
有限带宽白噪声信号的R x (τ)是一个sinc(τ)型函数，即可说明。
第二章信号分析基础随机信号和相关分析080327
2.6 随机信号
案例：自相关测转速
理想信号
实测信号
干扰信号
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自相关系数
从自相关图可以确定周期因素的 频率，从而得到转速大小。
性质4：可提取周期性转速成分。
2.6 随机信号
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案例：互相关分析对地下输油管道漏损位置的探测
x1,x2处放置传感器1，2，漏损处k视为向两侧传播声波的声源。因两 传感器位置离漏损处不等，其声波传到传感器就有时差，信号x1,x2 做相关分析，找出相关值最大时的τ ，即可确定漏损位置。 （在互相关图上， τ= τm处，Rx1x2(τ)的最大值τm就是时差）
T T
T x2 (t)dt
0
――信号的强度或平均功率
4．概率密度函数：
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x(t)的瞬时值落在某一个 (x, x x) 区间内的概率是
P[x x(t) x x] lim Tx T T
式中：T－观测时间
n
Tx ti i 1
表示信号幅值在T时间内落在 （x,x+△x）区间的总时间。
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.6 随机信号
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这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x(t ) y(t )dt
( ) xy
[ x2 (t )dt y2 (t )dt ]1/2
•集合平均：不是沿单个样本的时间轴进行，而是将集 合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均；（纵 向） •时间平均：单个样本的时间历程进行平均；（横向）
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信号分析基础
t0
• 当Δt无限趋小而成为dτ时，上式中不连续变量kΔt成了连
续变量τ，对各项求和就成了求积分。于是有
r
t
t
0
s ht d
这种叠加积分称为卷积积分。
频域分析
• 作为时间函数的激励和响应，可通过傅立叶 变换将时间变量变换为频率变量去进行分析， 这种利用信号频率特性的方法称为频域分析 法。频域是最常用的一种变换域。
③两信号错开一个时间间隔0处相关程 度有可能最高，它反映两信号x(t)、y（t) 之间主传输通道的滞后时间。
五、相关分析应用
1、影像相关原理
影像相关是利用互相 关函数，评价两块影 像的相似性以确定同 名点 。
示意图
目 标 区
同名点
互相 关函 数
搜 索 区
相似程 度
影像匹配---同名点寻找
2、电子相关
个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时
间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的
函数值。 lim f (t ) lim f (t )
• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
周期信号的频域分析方法
• 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成 分的正弦波之和。
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
R( ) lim 1
T
x(t)x(t )dt
T 2T T
lim 1
T
x(t )x(t)dt
T 2T T
lim
T
1 2T
T T
x(t)x(t )dt
lim 1
T
x(t)x(t )dt R( )
第二章 信号分析基础
n1
cos n0t
bn sin n0t
x(t) a0
2
n 1
An sin(n 0t n )
x(t) cne jn0t n
(n 0, 1, 2, ....)
an
AnT2
ห้องสมุดไป่ตู้
T
2 T 2
axn(t2) cobsnn20tdt
bntgT2n T2T2abnnx(t) sin n0tdt
截断信号等都属连续时间信号。
（2）离散时间信号
离散时间信号是在所讨论的时间区间内，在特定的不 连续的瞬时所给出函数值。
当我们间隔取值时，函数的图形是分离的：
xs (t) x(t)
Ts 0
Ts
t
所以称为离散时间信号又称为时域离散信号或时间序列。 离散时间信号可分为两种情况：
时间离散而幅值连续时，称为采样信号；
70
0 0
3 0 5 0
70
三 信号的时域统计分析
（1）．均值
均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值，
用μx表示。
x
Ex(t) lim 1
T T
T 0
x(t)dt
x
1 T
T
x(t)dt
0
x
1 N
N 1
xi
i 1
均值表达了信号变化的中心趋势， 或称之为直流分量。
an2 bn2
n
cn
arctg cnI cnR
2
an
cn
T1 T
T
2 T
2
T
cos n0t
bn sin n0t
x(t) a0
2
n 1
An sin(n 0t n )
x(t) cne jn0t n
(n 0, 1, 2, ....)
an
AnT2
ห้องสมุดไป่ตู้
T
2 T 2
axn(t2) cobsnn20tdt
bntgT2n T2T2abnnx(t) sin n0tdt
截断信号等都属连续时间信号。
（2）离散时间信号
离散时间信号是在所讨论的时间区间内，在特定的不 连续的瞬时所给出函数值。
当我们间隔取值时，函数的图形是分离的：
xs (t) x(t)
Ts 0
Ts
t
所以称为离散时间信号又称为时域离散信号或时间序列。 离散时间信号可分为两种情况：
时间离散而幅值连续时，称为采样信号；
70
0 0
3 0 5 0
70
三 信号的时域统计分析
（1）．均值
均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值，
用μx表示。
x
Ex(t) lim 1
T T
T 0
x(t)dt
x
1 T
T
x(t)dt
0
x
1 N
N 1
xi
i 1
均值表达了信号变化的中心趋势， 或称之为直流分量。
an2 bn2
n
cn
arctg cnI cnR
2
an
cn
T1 T
T
2 T
2
T
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噪声信号(非平稳 噪声信号 非平稳) 非平稳
统计特性变异
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测试信号处理技术
Sensor Technology & Measurement Systems
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§2.1 信号的定义与分类
时域有限信号 在时间段 (t1，t2)内有定义，其外恒等于零． 三角脉冲信号
– 其它广义极限表示
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23/27
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§2.2 几种常用的信号
单位冲激信号 δ ( t )
–函数性质
若函数f(t)在(t＝0)处连续，且处处有界，那么
这种性质称为“抽样性”（筛选性）
dvc ( t ) ic ( t ) = C dt v ( t ) = ε ( t ) c
ic ( t ) = Cδ ( t )
物理解释：强迫加入1V电压，在极短时间内为电容 充电，使其电荷量为C，其间通过的电流必定极大
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§2.2 几种常用的信号
单位冲激信号 δ ( t )
– 函数性质
偶函数
δ ( t ) = δ ( t )
d δ (t ) = ε (t ) dt
∫
∞ ∞
x
2
( t ) dt < ∞
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
北京航空航天大学宇航学术
Sensor Technology & Measurement Systems
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§2.1 信号的定义与分类
功率信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值．此时，研究信号的 平均功率更为合适。
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§2.1 信号的定义与分类
– – – –
1948－1949年 通信数学理论基础性著作(Shannon) 1948－1949年 控制论及最优滤波技术(Wiener) 1948年 第一支晶体管问世 1965年 快速Fourier变换算法 (Cooley, Tukey)
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思考题
2-1 从信息角度思考学习的意义。 2-2 “实际信号都是能量信号”这句话是否正确？ ∞ 2-3 ∫0 sinc ( t )dt = ? 2-4 试证明用其它方式从广义极限角度定义Dirac 函数的正确性（两种）。 2-5 δ ( 2t ) ? = δ ( t ) 1, t > 0 sgn 2-6 符号函数定义为 sgn ( t ) = 0, t = 0 ，试画出 ( cos t ) 1, t < 0 的波形图。
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§2.2 几种常用的信号
单位冲激信号 δ ( t )
–又称Dirac函数
∞ δ ( t ) dt = 1 ∫- ∞ δ ( t ) = 0, t ≠ 0
δ (t )
1（冲激强度）
0
t
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1, t > 0 ε (t ) = 0, t ≤ 0
– 矩形脉冲信号
1
0
G ( t ) = ε ( t ) ε ( t t0 )
G (t )
1
t
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t0
t 20/27
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第二章 信号分析基础
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要点 – 了解信号分类方法 – 掌握信号时域波形分析方法 – 掌握信号频域频谱分析方法 – 了解其它信号分析方法
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频域有限信号 在频率区间(f1，f2 )内有定义，其外恒等于零． 正弦波幅值谱
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§2.1 信号的定义与分类
能量信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号， 满足条件：
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§2.1 信号的定义与分类
b) 物理不可实现信号：在事件发生前(t<0)就预制知信号。
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瞬态信号:持续时间有限的信号，如 x(t)= e-Bt . Asin(2πft)
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§2.1 信号的定义与分类
非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预 知，所描述物理现象是一种随机过程。 噪声信号(平稳 噪声信号 平稳) 平稳
– 图形表达（波形）
波形
–信号表达3要素
频率 幅值 相位
A
0
t
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§2.1 信号的定义与分类
模拟信号 时间、幅值 均连续
信号的分类
– 时间连续
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T ∞ → 1 2T
lim
∫
T
T
x 2 (t )dt < ∞
一般持续时间无限的信号都属于功率信号:
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§2.1 信号的定义与分类
a) 物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件： t＜0时，x(t) = 0，即在时刻小于零的一侧全为零。
连续时间信号 离散时间信号
抽 样
–
定 信号 信号 信号 信号 信号 信号
抽样信号 时间离散 幅值连续 信号 时间、幅值 均离散
–
分
时
量 化
–
–
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信号的表示方式
– 数学解析式
x ( t ) = A cos ( t + ) x ( t ) = Ae j( t + )
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§2.1 信号的定义与分类
抽样信号Sa(t)
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§2.2 几种常用的信号
单位阶跃信号 ε ( t )
– 奇异信号：信号或其导数或其积分有间断点。 – 单位阶跃信号
ε (t )
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§2.2 几种常用的信号
正弦（余弦）信号
x ( t ) = cos t
e jt = cos t + jsin t e-jt = cos t jsin t
x (t ) =
1 jt jt ( e +e ) 2
与单位阶跃函数之间的关系
ε ( t ) = ∫ δ (τ ) dτ
t -∞
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§2.2 几种常用的信号
单位冲激信号 δ ( t )
– 物理意义
sin (π t ) sinc ( t ) = πt
– 性质
∞
∫
0
Sa ( t )dt =
π
2
∫
∞
∞
Sa ( t )dt = π
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