线性代数人大版课件2.4

§2.4 向量组的秩
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , t 是两个向量组，如果 1 , 2 , , t 线性表示； (2) s t 则向量组 1 , 2 , , s 必线性相关。 如果向量组 1 , 2 , , s 可以由向量组 1 , 2 , , t 推论1： 线性表示，并且 1 , 2 , , s 线性无关，那么 s t
证：把 Amn 按行分块，设 Amn （1）对换矩阵A的两行
3
1 2 m
所以向量组
1 , 2 , 3 , 4 的秩是3，
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A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行
§2.4 向量组的秩
下面证明A的列向量组的极大无关组 1 , 2 , , r 经过初等行变换变为 P 1 , P 2 , , P r 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 （1）先证P 1 , P 2 , , P r 线性无关。 设数 k1 , k2 ,, kr 使得 k1 P1 k2 P 2 kr P r 0 成立

3 4
(0,0,0,5) (0,0,0,0)
1 , 2 , 3 , 4 的秩为3，
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所以矩阵A的行秩为3。
§2.4 向量组的秩
矩阵A的列向量组是
1 1 3 1 0 2 1 4 1 , 2 , 3 , 4 0 0 0 5 0 0 0 0
i i kri A A3 j j k i m m
显然，向量组 1 , , k i , , m 可以由向量组 线性表示；
（2）再证B的列向量组中任一向量 P j 可由向量组 P 1 , P 2 , , P r 线性表示。
§2.4 向量组的秩
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
1 , 2 , , r 是A的列向量组的极大无关组
使得 j l1 1 l2 2 l r r 等号两边左乘P 有 P j l1 P 1 l 2 P 2 l r P r
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由(1)(2)可知 P 1 , P 2 , , P r 是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以，B的列秩＝r＝A的列秩
§2.4 向量组的秩
矩阵秩的求法.
行阶梯形矩阵： 例如：
1 0 A 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 1 5 0 4 0 3 0
（4）等价的向量组必有相同的秩。 注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。
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§2.4 向量组的秩
2.向量组的秩与矩阵秩的关系
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
1 0 B 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 4 3 3 0
特点： (1)可划出一条阶梯 线，线的下方全为 零； (2) 每个台阶只有一行，台阶 数即是非零行的行数，阶梯 线的竖线后面的第一个元素 为非零元，即非零行的第一 个非零元．
1 0 0 0
1 , , i , , m
而向量组 1 , , i , , m 也可以由向量组 1 , , k i , , m 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
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显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由
（1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 1 , 2 , , s 线性无关
2 4 2 1 2 1 , 2 , 3 的 例如： 向量组 1 3 5 4 4 向量组的秩
1 , 2 , 3 是A的行向量组的一个极大无关组， 可以证明，
因为，由 k1 1 k 2 2 k 3 3 0 即 k1 (1,1, 3,1) k 2 (0, 2, 1,4) k3 (0,0,0,5)
定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 1 1 3 1 0 2 1 4 例如：矩阵 A 0 0 0 5 的行向量组是 1 (1 ,1 , 3 ,1 ) 0 0 0 0 2 (0,2, 1,4 )
所以矩阵A的列秩是3。
§2.4 向量组的秩
1 1 kri k i A2 A i m m
§2.4 向量组的秩
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1
( k1 , k1 2k2 , 3k1 k2 , k1 4k2 5k3 ) (0,0,0,0)
可知 k1 k2 k 3 0, 即
1 , 2 , 3 线性无关；
1 , 2 , 3 , 4 线性相关。
所以向量组
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而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性无关，
P 1 P ( k1 1 k2 2 kr r ) P 1 0 k1 1 k2 2 kr r 0 又 1 , 2 , , r 线性无关 k1 k2 k3 0 P 1 , P 2 , , P r 线性无关。
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B
§2.4 向量组的秩
§2.4 向量组的秩
1. 极大线性无关组 1. 极大线性无关组 2.向量组的秩与矩阵秩的关系
§2.4 向量组的秩
1 , 2 , , r
定义1: 对向量组A，如果在A中有r个向量 满足： （1）A0 : 1 , 2 , , r 线性无关。
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。 简称极大无关组。 注: （1）只含零向量的向量组没有极大无关组. （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性2 表示
所以对于A中任一列向量 j 都存在数 l1 , l2 , , lr
证：任何矩阵A都可经过初等变换变为 而它的行秩为r，列秩也为r。
Er 0
0 形式， 0
又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩＝r＝A的列秩 定义2：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA，或秩A。 推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
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§2.4 向量组的秩
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行） 证：设矩阵A经过初等行变换变为B， 即存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , PS 使得 P1 P2 PS A B 令 P P1 P2 PS 则 PA B
设 推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 推论3：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同。
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(1) 向量组 1 , 2 , , s 可以由向量组
§2.4 向量组的秩
§2.4 向量组的秩
关于向量组的秩的结论：
定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 r ( 1 , 2 , , s )
§2.4 向量组的秩
问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列）
?
可以验证 而
1 , 2 , 4 线性无关，
7 1 0 4 2 1 2 2 所以向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大无关组是 1 , 2 , 4
4
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
§2.4 向量组的秩
极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 定理 1： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 定理 2：
2 , 3 也是一个极大无关组。
i l i 1 1 l i 2 2 l im m
i 1,2, , s
i 1,2, , m
1 2
记作 { 1 , 2 , , m } { 1 , 2 , s } 等价具有：自反性，对称性，传递性。
还可以验证
§2.4 向量组的秩
定义2：如果向量组 A : 1 , 2 , , m 中的每一个向量 i ( i 1,2, , t )都可以由向量组 B : 1 , 2 , , s 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。 即 i k i 1 1 k i 2 2 k is s
1 2 0 0
2 1 0 0
1 1 5 0
4 0 3 0
把 Amn 按列分块，设 Amn ( 1 , 2 , , n ) 不妨设A的列向量组的极大无关组为
P ( k1 1 k2 2 kr r ) 0
因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。
1 , 2 , , r ,
（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）
则 PA P ( 1 , 2 , , n ) ( P 1 , P 2 , , P n )