盐城市2014届高三考前突击精选模拟试卷数学卷2
江苏省盐城市2014届高三第三次模拟考试数学试卷(带解析)
江苏省盐城市2014届高三第三次模拟考试数学试卷（带解析）1．已知集合{}=1012A -，，，，{}=024B ，，，则A B = .【答案】}{02， 【解析】试题分析：由题意易得：{}{}{}1,0,1,20,2,40,2A B =-=．考点：集合的运算2．已知复数2i z =-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅= . 【答案】5 【解析】试题分析：由2z i =-可得：2z i =+，则(2)(2)5z z i i ⋅=+-=． 考点：复数的运算3．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率 为 . 【答案】12【解析】试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,5,6共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A 为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A 包含()()2,5,6,3,5,62个基本事件，根据概率公式得：()2142P A ==． 考点：古典概率的计算4．函数()f x =的定义域为 . 【答案】[]3,1- 【解析】试题分析：根据题意可得：2320x x --≥，化简得：2230x x +-≤，解得：31x -≤≤，则函数的定义域为：[]31-，． 考点：函数的定义域5．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，90件，60 件. 为了解它们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量 为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则=n ． 【答案】18 【解析】试题分析：根据分层抽样的特征：按比例抽样，可得：460270n =，可解得：18n =． 考点：分层抽样6．如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ．【答案】127 【解析】试题分析：根据题意可得：输入2x =，由7x >不成立，运行第一次：2231;123x x =-==+=; 由7x >不成立，运行第二次：3235;527x x =-==+=; 由7x >不成立，运行第三次：723125;1252127x x =-==+=; 由7x >成立，即输出127． 考点：算法的循环结构7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos()24παα-=，则α2sin = . 【答案】1516【解析】试题分析：由已知化简得：22cos sin )22αααα+=-，整理得：(cos sin )sin )(cos sin )2αααααα+=-+，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c o s s i n αα+>所以1cos sin 4αα-=，平方可得：112sin cos 16αα+=，则15sin 216α=-． 考点：三角化简求值8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为 .【解析】试题分析：由扇形的面积公式可得：2142l ππ⨯⨯=，可解得：l =;又由圆锥的底面周长等于扇形的弧长，得：1222r ππ=⨯⨯，解得：r =h ==2133V π=⨯⨯=．考点：圆锥的基本量计算9．设04ω<<，函数()sin()f x x ωϕ=+的图象若向右平移23π个单位所得到的图象与原图象重合，若向左平移12π个单位所得到的图象关于y 轴对称，则()tan ωϕ的值为 . 【答案】-1 【解析】试题分析：根据题意平移后所得图象与原图象重合，则可得：平移了周期的整数倍，即：23nT π=，又已知：04ω<<，则23T π=，即：223ππω=，可解得：3ω=;又图象向左平移12π后所得图象关于y 轴对称，即sin(3)4y x πϕ=++关于y 轴对称，有42k ππϕπ+=+，即4k πϕπ=+，则33tan()tan(3)tan 144k ππωϕπ=+==-． 考点：三角函数的图象和性质10．若圆222x y r +=过双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A 、B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为 .【答案】2 【解析】试题分析：由圆过双曲线的右焦点，可得：r c =，又由四边形OAFB 为菱形，且OA OF c ==，则可得：()2c A ，又双曲线的渐近线方程为：b y x a =，则有2b c a ⨯=，即b ，故2e =． 考点：双曲线的离心率11．在平行四边形ABCD 中，4AD =,=3BAD π∠,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅，则AB 的长为． 【答案】6 【解析】试题分析：根据题意可得：1,2AC AB AD BE BC CE AD AB =+=+=-，则220111()()||||cos 60222AC BE AB AD AD AB AB AD AB AD ⋅=+-=-++，化简得：2||2||240AB AB --=，解得：||6AB =． 考点：向量的运算12．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，则k 的值为 ．【答案】0k =或1k =【解析】试题分析：由2n S kn n =+，利用数列中n S 与n a 的关系可求得：21n a kn k =+-，则有：21m a km k =+-，241m a km k =+-，481m a km k =+-，又由224m m m a a a =⨯，即：2(41)(21)(81)km k km k km k +-=+-+-，化简整理得：(1)0k k m -=对任意m N *∈恒成立，则有：0k =或1k =．考点：1.数列的基本运算;2.等比中项;3.恒成立问题13．若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是 ． 【答案】(]9ln3-∞-， 【解析】试题分析：根据题意，得关于b 的函数：2()(9ln )f b xb x x c =+-+，这是一个一次函数，要使()0f b ≤对任意的(0,3),(0,)b x ∈∈+∞恒成立，则：(3)0f ≤，即有：239ln 0x x x c +-+≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则有：239ln c x x x ≤--+，可令函数2()39ln g x x x x =--+，求导可得：29239(23)(3)'()32x x x x g x x x x x--+-=--+==，发现有：min ()(3)99ln399ln3g x g ==--+=-，故有：9ln 3c ≤-．考点：1.恒成立问题;2.一次函数的性质;3.函数与导数的运用14．若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的取值范围是 .【答案】2⎡⎢⎣⎦【解析】试题分析：由题意可令：112,2,(,)22x ym n m n ==≥≥，则有：22m n m n +=+，化简得：22111()()222m n -+-=，又由所求可化简得：2233222()()()()()()()n m m n m n m n mn m n m n mn m n m n m n m n m n mn mn mn mn mn+++-++-+++====-+=-++，可令：122122m n αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入化简得：cos )1αα++，观察特点可设：sin cos ,(1t t αα=+≤≤，则原式为：1y =+，此函数单调减，即可求出：[2,1]2+． 考点：1.不等式的性质;2.三角换元;3.函数的性质15．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若10AB =，3ED =，求BC 的长.【答案】BC =【解析】试题分析：由题中所给AB 是圆O 的直径且BC CD =，根据等腰三角形的性质可得： 10AB AD ==， 再由直线EC 为圆O 的切线，易得EC CO ⊥，可引入辅助线使得：//EC BH ，运用三角形知识即可求出： 4AH =，进而得到：BC =AB 是圆O 的直径且BC CD =，∴ 10AB AD ==， 连CO ，EC 为圆O 的切线，∴EC CO ⊥，记H 是AD 圆O 的交点，连BH ，∴ //EC BH ，∴ 3HE ED ==，∴4AH =，222264BD AB ∴-=-，BC ∴=分考点：1.圆的几何性质;2.三角形的知识16．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点.（1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ； （2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .【答案】(1)详见解析; （2）详见解析 【解析】试题分析：(1) 要证证//PA 平面BDF ，根据线面平行的判定定理可转化为线线平行，在本题中可取,AC BD 的交点为O ，转化为证明//PA OF ，且PA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，即可得证//PA 平面BDF ;（2）要证平面BDF ⊥平面PBC ，联想到面面垂直的判定定理，可转化为证线面垂直，由于底面ABCD 为菱形，则对角线BD AC ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥平面PAC ，进而得到PC ⊥平面BDF ，再加之PC ⊂平面BACDEOPBC ，即可证得平面BDF ⊥平面PBC ．(1) 证：（1）设,AC BD 的交点为O ，连OF底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点，又PF FC =，∴//PA OF ， 5分 且PA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，∴//PA 平面BDF . 7分（2）底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，PA ⊥底面ABCD ，∴BD PA ⊥，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥，BF PC ⊥，∴PC ⊥平面BDF ，又PC ⊂平面PBC ，∴平面BDF ⊥平面PBC . 14分 考点：1.线面平行的判定;2.线面垂直的判定和性质;3.面面垂直的判定 17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a c +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，b =ABC ∆的面积. 【答案】（1）详见解析；（2【解析】试题分析：（1）根据题意要证明2B π≤，结合在三角形中可想到运用余弦定理来证明：具体的由222c o s 2a c b B ac+-=，结合已知条件和不等式知识可得：2221()22a c a c ac +-+21()202a c ac-=≥，即可得证;（2）根据向量的数量积运算可得：2AB BC ⋅=-，可转化为边角关系：cos 2ac B =，再由余弦定理代入得：2222cos 12b a c ac B =+-=，即2216a c +=，又由已知条件a c +==求出：sin B =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==，最后由面积公式即可求解．（1）222cos 2a c b B ac +-=2221()22a c a c ac +-+=21()202a c ac-=≥，∴090B ≤（当且仅当a c =时取得等号）. 7分（2）2AB BC ⋅=-，∴cos 2ac B =，2222cos 12b a c ac B =+-=，∴2216a c +=， 11分又a c +==∴4ac =，∴1cos 2B =，∴sin 2B =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==分考点：1.余弦定理;2.面积公式;3.不等式知识18．图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB 、CD 与桥面AC 垂直，通过测量得知=50AB m ，=50AC m ，当P 为AC 中点时，=45BPD ∠。
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学(WORD含答案)
南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数 学 试 卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则A B =I ▲ .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ▲ .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 ▲ .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = . 8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=o ，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．) 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.（本小题满分14分）如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m. （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)5，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. （本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20. （本小题满分16分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<L L ，*n k N ∈. ①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．） A ．（选修4—1：几何证明选讲） 如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知曲线C ：1xy =，若矩阵222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．（选修4—5：不等式选讲）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.[必做题] （第22、23题，每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内） 22.（本小题满分10分）已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23. （本小题满分10分）设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a L ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a L ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a L ）的个数B南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{1，2} 2．－3 3．23 4．55 5．265 6．y ＝±3x 7．68．33 9．必要不充分 10．x ＋y －3＝0 11．－.23 12．[1e ，e ] 13．{10} 14．5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4． ……………2分 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，即ab ＝4． ……………4分解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，得a ＝2，b ＝2． ……………7分（2）由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ． 当cos A ＝0时，A ＝π2．所以B ＝π6．所以a ＝433，b ＝233． ……………10分当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ．解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433． ……………13分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233． (14)分16．证：（1）连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF ． 因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以OA 1＝OC ．因为F 为AC 中点，所以OF ∥AA 1∥CC 1，OF ＝12AA 1＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1，BE ＝12CC 1．所以OF ＝BE ，OF ∥BE ．所以BEOF 是平行四边形．所以BF ∥OE ． ………………4分 因为BF /⊂平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC ． ………………7分 （2）因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BF ． ………………9分 由（1）知BF ∥OE ． 所以OE ⊥AC ，OE ⊥AA 1．而AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ∩AA 1＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1． …………12分 因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1． ………………14分17．解：（1）由题意得，⎩⎨⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥20，………………4分解得9≤x ≤15．所以x 的取值范围是[9，15] ． ………………7分 （2）记“环岛”的整体造价为y 元．则由题意得 y ＝a ×π×(15x 2)2＋433ax ×πx 2＋12a 11[104－π×(15x 2)2－πx 2]＝a 11[π(－125x 4＋43x 3－12x 2)＋12×104] ． ……………10分 令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2．则f′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ．由f′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15． ………………12分 列表如下：所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低． ………………14分 18．解：（1）由题意，得2a ＝(1－1)2＋(32－0)2＋(1＋1)2＋(32－0)2＝4，即a ＝2．………2分因为c ＝1，所以b 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ………………5分（2）因为F (1，0)，B (85，335)，所以P (－85，－335)．所以直线AB 的斜率为3．所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)． ………………7分 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x －1)，得点A 的坐标为(0，－3)． …………………9分所以直线P A 的方程为y ＝－34x －3． …………………10分 （3）当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9．当直线AB 的斜率k 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)．所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减， 得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3＝0．所以(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k P A k ．所以k P A ＝－34k ． …………………12分所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)．所以y M ＝－34k (4＋x 2)－y 2＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2．直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2． …………………14分所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2．因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22．所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)－12＋3x 22x 2=－9．所以y M ·y N 为定值－9． …………………16分 19．解：（1）因为f′(x )＝e x ，所以f′(0)＝1．又f (0)＝1，所以y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1． …………………2分 因为g ′(x )＝2ax ＋b ，所以g ′(0)＝b ．又g (0)＝1，所以y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1．所以当a ∈R 且b ＝1时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线．…………………4分 （2）当a ＝1时，h (x )＝x 2＋bx ＋1e x，h ′(x )＝－x 2＋(2－b )x ＋b －1e x＝－(x －1)[x －(1－b )]e x ． …………………7分 由h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1－b ．所以当b ＞0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)．当b ＝0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，＋∞)．当b ＜0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)． …………………10分 （3）当a ＝0时，则φ(x )＝f (x )－g (x )＝e x －bx －1，φ′(x )＝e x －b ．①当b ≤0时，φ′(x )≥0，函数φ(x )在R 上是增函数．因为φ(0)＝0，所以x ＜0时，φ(x )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． …………………12分 ②当b ＞0时，由φ′(x )＞0，得x ＞ln b ，φ′(x )＜0，得x ＜ln b ， 所以函数φ(x )在(－∞，ln b )上是减函数，在(ln b ，＋∞)上是增函数．（Ⅰ）当0＜b ＜1时，ln b ＜0，φ(0)＝0，所以φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． （Ⅱ）当b ＞1时，同理φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾．（Ⅲ）当b ＝1时，ln b ＝0，所以函数φ(x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 所以φ(x )≥φ(0)＝0．故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}． …………………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，a 1＝2，所以d ＝23．………………2分所以S n ＝n (n ＋5)3 ．a n ＝23(n ＋2) ………………4分 （2）因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q ＞1． 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝43，此时a k 3＝329/∈{a n }， 所以k 2＞2，同理k 2＞3． ………………6分 若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时a k n ＝2n ．因为a k n ＝23(k n ＋2)，所以k n ＝3×2n －1－2． ………………10分 （3）因为a k n ＝23(k n ＋2)＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q ＞1)．当q 不是自然数时，k n 不全是正整数，不合题意，所以q ≥2，q ∈N *．. 不等式6S n ＞k n ＋1有解，即2n (n ＋5)＋23 q n＞1有解．经检验，当q ＝2，3，4时，n ＝1都是2n (n ＋5)＋23 q n＞1的解，适合题意． …………………12分以下证明当q ≥5时，不等式2n (n ＋5)＋23 q n≤1恒成立．设b n ＝2n (n ＋5)＋23 q n．则b n ＋1b n ＝2(n ＋1)(n ＋6)＋23 q n ＋12n (n ＋5)＋23 q n＝n 2＋7n ＋73q (n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2n ＋6n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2(n ＋3)(n ＋3)2－(n ＋3)－5) ＝13q (1＋2(n ＋3)－5n ＋3－1)． 因为f (n )＝(n ＋3)－5n ＋3－1在n ∈N *上是增函数， 所以f (1)≤f (n )＜＋∞，即74≤f (n )＜＋∞．所以13q ＜b n ＋1b n ≤57q ． ……………………14分因为q ≥5，所以b n ＋1b n ＜1．所以数列{b n }是递减数列．所以b n ≤b 1＝143q＜1．综上所述，q 的取值为2，3，4． ……………………16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ．所以PB ＝r 2－OP 2＝32． ………………5分 因为PC ·PD ＝PA ·PB ＝PB 2，PC ＝98， 所以PD ＝23． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y )． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎡⎦⎤x′y′＝⎣⎡⎦⎤x y ，得22x ′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ． …………………5分 所以x ′＝22(x ＋y )，y′＝22(y －x )． 因为x ′y′＝1，所以y 2－x 2＝2．所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2． …………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的普通方程为4x －3y －2＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝a 2． ………………5分 由题意，得|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或a ＝29． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22x 1·x 1＋2x 23x 2·x 2＋2x 21x 3·x 3＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2．即x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1． …………………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）由点A (1，2)在抛物线M ∶y 2＝2px 上，得p ＝2．所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ． …………………3分设B (y 214，y 1)，C (y 224，y 2)． 所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋y 224－1y 2－2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 2＋24＝1． …………………7分 （2）设D (y 234，y 3)．则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－y 3＋24＝0． ………………10分 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中，a i ＝2或－2(1≤i ≤2m )．（1）求满足“对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ； （2）若对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，求满足“存在1≤k ≤m ，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B ．解：（1）因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k ＝－1，所以(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)．共有2种情况．由乘法原理，得序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ＝2m ． …………………5分（2）当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由（1）知有2m －1种，所有共有2C 1m 2m －1种．当存在二个k 时，因为对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，所以这两组共有2C 2m 种， 其余的由（1）知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种．… 依次类推得：B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m )． …………………10分。
江苏省南京市、盐城市高三数学第二次模拟考试试题苏教版
南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)a(第3题图)(第6题图)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且． 若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交PBCDEA(第15题图)于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35．所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 2 10． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)． 所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α． (10)分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)(第16题图)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． (2)分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分 解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分A PMNBC第17题图 D APMNBC(第17题图)AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3．此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ． (12)分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤2 3．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． ∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3， k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →．MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1， 3x 2)． ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MNsin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分 （2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．APMNBCFE由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分 因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分 因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 2 2．所以11(1)(2OP OQ ⋅=-⨯-=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ (2)当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学(WORD含答案)
南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数 学 试 卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则A B = ▲ .(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ▲ .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 ▲ .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . ()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .x 的不等式2(20)lg 0aax x -≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．) 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.（本小题满分14分）如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m. （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. （本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20. （本小题满分16分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．） A ．（选修4—1：几何证明选讲） 如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知曲线C ：1xy =，若矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．（选修4—5：不等式选讲）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.[必做题] （第22、23题，每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内） 22.（本小题满分10分）已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23. （本小题满分10分）设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{1，2} 2．－3 3．23 4．55 5．265 6．y ＝±3x 7．68．33 9．必要不充分 10．x ＋y －3＝0 11．－.23 12．[1e ，e ] 13．{10} 14．5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4． ……………2分 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，即ab ＝4． ……………4分解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，得a ＝2，b ＝2． ……………7分（2）由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ． 当cos A ＝0时，A ＝π2．所以B ＝π6．所以a ＝433，b ＝233． ……………10分当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ．解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433． ……………13分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233． ……………14分16．证：（1）连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF ． 因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以OA 1＝OC ．因为F 为AC 中点，所以OF ∥AA 1∥CC 1，OF ＝12AA 1＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1，BE ＝12CC 1．所以OF ＝BE ，OF ∥BE ．所以BEOF 是平行四边形．所以BF ∥OE ． ………………4分 因为BF /⊂平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC ． ………………7分 （2）因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BF ． ………………9分 由（1）知BF ∥OE ． 所以OE ⊥AC ，OE ⊥AA 1．而AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ∩AA 1＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1． …………12分 因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1． ………………14分17．解：（1）由题意得，⎩⎨⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥20，………………4分解得9≤x ≤15．所以x 的取值范围是[9，15] ． ………………7分 （2）记“环岛”的整体造价为y 元．则由题意得 y ＝a ×π×(15x 2)2＋433ax ×πx 2＋12a 11[104－π×(15x 2)2－πx 2]＝a 11[π(－125x 4＋43x 3－12x 2)＋12×104] ． ……………10分 令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2．则f′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ．由f′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15． ………………12分 列表如下：所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低． ………………14分 18．解：（1）由题意，得2a ＝(1－1)2＋(32－0)2＋(1＋1)2＋(32－0)2＝4，即a ＝2．………2分因为c ＝1，所以b 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ………………5分（2）因为F (1，0)，B (85，335)，所以P (－85，－335)．所以直线AB 的斜率为3．所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)． ………………7分 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x －1)，得点A 的坐标为(0，－3)． …………………9分所以直线P A 的方程为y ＝－34x －3． …………………10分 （3）当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9．当直线AB 的斜率k 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)．所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减， 得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3＝0．所以(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k P A k ．所以k P A ＝－34k ． …………………12分所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)．所以y M ＝－34k (4＋x 2)－y 2＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2．直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2． …………………14分所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2．因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22．所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)－12＋3x 22x 2=－9．所以y M ·y N 为定值－9． …………………16分 19．解：（1）因为f′(x )＝e x ，所以f′(0)＝1．又f (0)＝1，所以y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1． …………………2分 因为g ′(x )＝2ax ＋b ，所以g ′(0)＝b ．又g (0)＝1，所以y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1．所以当a ∈R 且b ＝1时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线．…………………4分（2）当a ＝1时，h (x )＝x 2＋bx ＋1e x，h ′(x )＝－x 2＋(2－b )x ＋b －1e x＝－(x －1)[x －(1－b )]e x ． …………………7分 由h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1－b ．所以当b ＞0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)．当b ＝0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，＋∞)．当b ＜0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)． …………………10分 （3）当a ＝0时，则φ(x )＝f (x )－g (x )＝e x －bx －1，φ′(x )＝e x －b ．①当b ≤0时，φ′(x )≥0，函数φ(x )在R 上是增函数．因为φ(0)＝0，所以x ＜0时，φ(x )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． …………………12分 ②当b ＞0时，由φ′(x )＞0，得x ＞ln b ，φ′(x )＜0，得x ＜ln b ， 所以函数φ(x )在(－∞，ln b )上是减函数，在(ln b ，＋∞)上是增函数．（Ⅰ）当0＜b ＜1时，ln b ＜0，φ(0)＝0，所以φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． （Ⅱ）当b ＞1时，同理φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾．（Ⅲ）当b ＝1时，ln b ＝0，所以函数φ(x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 所以φ(x )≥φ(0)＝0．故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}． …………………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，a 1＝2，所以d ＝23．………………2分所以S n ＝n (n ＋5)3 ．a n ＝23(n ＋2) ………………4分 （2）因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q ＞1． 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝43，此时a k 3＝329/∈{a n }， 所以k 2＞2，同理k 2＞3． ………………6分 若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时a k n ＝2n ．因为a k n ＝23(k n ＋2)，所以k n ＝3×2n －1－2． ………………10分 （3）因为a k n ＝23(k n ＋2)＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q ＞1)．当q 不是自然数时，k n 不全是正整数，不合题意，所以q ≥2，q ∈N *．. 不等式6S n ＞k n ＋1有解，即2n (n ＋5)＋23 q n＞1有解．经检验，当q ＝2，3，4时，n ＝1都是2n (n ＋5)＋23 q n ＞1的解，适合题意． …………………12分以下证明当q ≥5时，不等式2n (n ＋5)＋23 q n≤1恒成立．设b n ＝2n (n ＋5)＋23 q n．则b n ＋1b n ＝2(n ＋1)(n ＋6)＋23 q n ＋12n (n ＋5)＋23 q n＝n 2＋7n ＋73q (n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2n ＋6n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2(n ＋3)(n ＋3)2－(n ＋3)－5) ＝13q (1＋2(n ＋3)－5n ＋3－1)． 因为f (n )＝(n ＋3)－5n ＋3－1在n ∈N *上是增函数，所以f (1)≤f (n )＜＋∞，即74≤f (n )＜＋∞．所以13q ＜b n ＋1b n ≤57q ． ……………………14分因为q ≥5，所以b n ＋1b n ＜1．所以数列{b n }是递减数列．所以b n ≤b 1＝143q＜1．综上所述，q 的取值为2，3，4． ……………………16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ．所以PB ＝r 2－OP 2＝32． ………………5分 因为PC ·PD ＝PA ·PB ＝PB 2，PC ＝98， 所以PD ＝23． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y )． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎡⎦⎤x′y′＝⎣⎡⎦⎤x y ，得22x ′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ． …………………5分 所以x ′＝22(x ＋y )，y′＝22(y －x )． 因为x ′y′＝1，所以y 2－x 2＝2．所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2． …………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的普通方程为4x －3y －2＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝a 2． ………………5分 由题意，得|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或a ＝29． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22x 1·x 1＋2x 23x 2·x 2＋2x 21x 3·x 3＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2． 即x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1． …………………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）由点A (1，2)在抛物线M ∶y 2＝2px 上，得p ＝2．所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ． …………………3分设B (y 214，y 1)，C (y 224，y 2)． 所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋y 224－1y 2－2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 2＋24＝1． …………………7分 （2）设D (y 234，y 3)．则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－y 3＋24＝0． ………………10分 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中，a i ＝2或－2(1≤i ≤2m )．（1）求满足“对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ； （2）若对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，求满足“存在1≤k ≤m ，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B ．解：（1）因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k ＝－1，所以(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)．共有2种情况．由乘法原理，得序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ＝2m ． …………………5分（2）当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由（1）知有2m －1种，所有共有2C 1m 2m －1种．当存在二个k 时，因为对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，所以这两组共有2C 2m 种， 其余的由（1）知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种．… 依次类推得：B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m )． …………………10分。
江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟试卷(带解析)
江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟试卷（带解析）1．某学习小组以“假如失去……”为主题展开讨论．同学们提出以下四种观点，你认为正确的是（ ）A ．假如物体间失去了摩擦力，任何运动物体的机械能一定守恒B ．假如磁体周围失去了磁场，其它形式的能将无法转化为电能C ．假如地球对月球失去了引力，月球就不会绕地球转动D ．假如导体失去了电阻，所有用电器都不能正常工作 【答案】C 【解析】 试题分析：若物体间失去了摩擦力，还可能由电场力等其他的力做功，故机械能不一定守恒，所以A 错误；失去磁场还可以通过摩擦等方式是物体带电，把其他形式的能转化为电能，故B 错误；月球绕地球做圆周运动，地球对月球的引力提供向心力，故若地球对月球失去了引力，月球就不会绕地球转动，所以C 正确；假如导体失去了电阻，非纯电阻电路仍能正常工作，比如电动机，所以D 错误。
考点：本题考查机械能、电能、天体运动、电路等2．设雨点下落过程中受到的空气阻力与雨点（可看成球形）的横截面积S 成正比，与下落速度v 的平方成正比，即f=kSv 2，其中k 为比例常数，且雨滴最终都做匀速运动．已知球体积公式：V=334r π（r 为半径），若两个雨滴的半径之比为1:2，则这两个雨点的落地速度之比为（ ）A ．1:2B ．1:2C ．1:4D ．1:8【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，雨滴最终都做匀速运动，根据平衡条件可得：mg=f= kSv 2，而质量V m ρ=，V=334r π联立可得：krv 342ρ=，两个雨滴的半径之比为1:2，故落地速度之比为1:2，所以A 正确。
考点：本题考查物体的平衡3．在地球大气层外有大量的太空垃圾．在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，从而开始向地面下落．大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾仍会落到地面上，对人类造成危害．太空垃圾下落的原因是（ ）A ．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致下落B ．太空垃圾在与大气摩擦燃烧过程中质量不断减小，进而导致下落C ．太空垃圾的上表面受到的大气压力大于其下表面受到的大气压力，这种压力差将它推向地面D ．太空垃圾在大气阻力作用下速度减小，运动所需的向心力将小于万有引力，垃圾做趋向圆心的运动，落向地面【答案】D【解析】试题分析：由题意知，由于大气层的扩张，太空垃圾被太空垃圾包围后，在运动的过程中会受大气层的阻力作用，故速度减小，使所需向心力小于受到的万有引力，而做近心运动，所以A、B、C错误；D正确。
2014届江苏高考数学考前指导卷(2)(含答案)-推荐下载
6. 已知函数 y f (x) 是奇函数，当 x 0 时， f (x) x2 ax(a R) ，且 f (2) 6 ，
则a=
．
7．一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧
面，以它们的公共顶点 P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当 x＝6 cm 时，该容器的容
8．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－7n，且满足 16＜ak＋ak＋1＜22，则正整数 k＝________．
2x y 1,
9．若
x，y
满足约束条件
x
y 2,
目标函数 z kx 2 y(k N* ) 仅在点(1,1)处取得最小值，则 k 的值为
y x 2,
_______．
10．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x 的定义域为[a，b]，值域为[－1， 2]，则 b－a 的取值范围是________．
11．已知△ABC 中，3(→CA＋→CB)·→AB＝4→AB2，则ttaannAB＝
.
12．设平面点集 A＝Error!，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则 A∩B 所表示的平面图形的面积为
意的正整数 n，都有 1＜cn≤ 6－ 2．
4 南京清江花苑严老师
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014年高三数学二模试卷(理科含答案)
1 / 42014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．2、已知集合1|1, A x x R x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则A B = ．3、方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．5、在261)x x-（的展开式中，含3x 项的系数等于 ．（结果用数值作答） 6、方程sin cos 1x x +=-的解集是 ． 7、实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为131ix i+=+（其中i 为虚数单位），则 a b += ．8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在 全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层） 在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 ．9、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是．10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）． 11、在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于 ．12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2 / 413、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项 和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等 于 ．14、已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学(WORD含答案)
南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数 学 试 卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = ▲ .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ▲ .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 ▲ .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = . 8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．) 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.（本小题满分14分）如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m. （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)5，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. （本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20. （本小题满分16分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．） A ．（选修4—1：几何证明选讲） 如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知曲线C ：1xy =，若矩阵222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．（选修4—5：不等式选讲）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.[必做题] （第22、23题，每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内） 22.（本小题满分10分）已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23. （本小题满分10分）设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{1，2} 2．－3 3．23 4．55 5．265 6．y ＝±3x 7．68．33 9．必要不充分 10．x ＋y －3＝0 11．－.23 12．[1e ，e ] 13．{10} 14．5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4． ……………2分 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，即ab ＝4． ……………4分解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，得a ＝2，b ＝2． ……………7分（2）由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ． 当cos A ＝0时，A ＝π2．所以B ＝π6．所以a ＝433，b ＝233． ……………10分当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ．解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433． ……………13分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233． (14)分16．证：（1）连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF ． 因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以OA 1＝OC ．因为F 为AC 中点，所以OF ∥AA 1∥CC 1，OF ＝12AA 1＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1，BE ＝12CC 1．所以OF ＝BE ，OF ∥BE ．所以BEOF 是平行四边形．所以BF ∥OE ． ………………4分 因为BF /⊂平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC ． ………………7分 （2）因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BF ． ………………9分 由（1）知BF ∥OE ． 所以OE ⊥AC ，OE ⊥AA 1．而AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ∩AA 1＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1． …………12分 因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1． ………………14分17．解：（1）由题意得，⎩⎨⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥20，………………4分解得9≤x ≤15．所以x 的取值范围是[9，15] ． ………………7分 （2）记“环岛”的整体造价为y 元．则由题意得 y ＝a ×π×(15x 2)2＋433ax ×πx 2＋12a 11[104－π×(15x 2)2－πx 2]＝a 11[π(－125x 4＋43x 3－12x 2)＋12×104] ． ……………10分 令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2．则f′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ．由f′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15． ………………12分 列表如下：所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低． ………………14分 18．解：（1）由题意，得2a ＝(1－1)2＋(32－0)2＋(1＋1)2＋(32－0)2＝4，即a ＝2．………2分因为c ＝1，所以b 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ………………5分（2）因为F (1，0)，B (85，335)，所以P (－85，－335)．所以直线AB 的斜率为3．所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)． ………………7分 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x －1)，得点A 的坐标为(0，－3)． …………………9分所以直线P A 的方程为y ＝－34x －3． …………………10分 （3）当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9．当直线AB 的斜率k 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)．所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减， 得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3＝0．所以(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k P A k ．所以k P A ＝－34k ． …………………12分所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)．所以y M ＝－34k (4＋x 2)－y 2＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2．直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2． …………………14分所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2．因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22．所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)－12＋3x 22x 2=－9．所以y M ·y N 为定值－9． …………………16分 19．解：（1）因为f′(x )＝e x ，所以f′(0)＝1．又f (0)＝1，所以y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1． …………………2分 因为g ′(x )＝2ax ＋b ，所以g ′(0)＝b ．又g (0)＝1，所以y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1．所以当a ∈R 且b ＝1时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线．…………………4分 （2）当a ＝1时，h (x )＝x 2＋bx ＋1e x，h ′(x )＝－x 2＋(2－b )x ＋b －1e x＝－(x －1)[x －(1－b )]e x ． …………………7分 由h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1－b ．所以当b ＞0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)．当b ＝0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，＋∞)．当b ＜0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)． …………………10分 （3）当a ＝0时，则φ(x )＝f (x )－g (x )＝e x －bx －1，φ′(x )＝e x －b ．①当b ≤0时，φ′(x )≥0，函数φ(x )在R 上是增函数．因为φ(0)＝0，所以x ＜0时，φ(x )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． …………………12分 ②当b ＞0时，由φ′(x )＞0，得x ＞ln b ，φ′(x )＜0，得x ＜ln b ， 所以函数φ(x )在(－∞，ln b )上是减函数，在(ln b ，＋∞)上是增函数．（Ⅰ）当0＜b ＜1时，ln b ＜0，φ(0)＝0，所以φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． （Ⅱ）当b ＞1时，同理φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾．（Ⅲ）当b ＝1时，ln b ＝0，所以函数φ(x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 所以φ(x )≥φ(0)＝0．故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}． …………………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，a 1＝2，所以d ＝23．………………2分所以S n ＝n (n ＋5)3 ．a n ＝23(n ＋2) ………………4分 （2）因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q ＞1． 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝43，此时a k 3＝329/∈{a n }， 所以k 2＞2，同理k 2＞3． ………………6分 若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时a k n ＝2n ．因为a k n ＝23(k n ＋2)，所以k n ＝3×2n －1－2． ………………10分 （3）因为a k n ＝23(k n ＋2)＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q ＞1)．当q 不是自然数时，k n 不全是正整数，不合题意，所以q ≥2，q ∈N *．. 不等式6S n ＞k n ＋1有解，即2n (n ＋5)＋23 q n＞1有解．经检验，当q ＝2，3，4时，n ＝1都是2n (n ＋5)＋23 q n＞1的解，适合题意． …………………12分以下证明当q ≥5时，不等式2n (n ＋5)＋23 q n≤1恒成立．设b n ＝2n (n ＋5)＋23 q n．则b n ＋1b n ＝2(n ＋1)(n ＋6)＋23 q n ＋12n (n ＋5)＋23 q n＝n 2＋7n ＋73q (n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2n ＋6n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2(n ＋3)(n ＋3)2－(n ＋3)－5) ＝13q (1＋2(n ＋3)－5n ＋3－1)． 因为f (n )＝(n ＋3)－5n ＋3－1在n ∈N *上是增函数， 所以f (1)≤f (n )＜＋∞，即74≤f (n )＜＋∞．所以13q ＜b n ＋1b n ≤57q ． ……………………14分因为q ≥5，所以b n ＋1b n ＜1．所以数列{b n }是递减数列．所以b n ≤b 1＝143q＜1．综上所述，q 的取值为2，3，4． ……………………16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ．所以PB ＝r 2－OP 2＝32． ………………5分 因为PC ·PD ＝PA ·PB ＝PB 2，PC ＝98， 所以PD ＝23． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y )． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎡⎦⎤x′y′＝⎣⎡⎦⎤x y ，得22x ′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ． …………………5分 所以x ′＝22(x ＋y )，y′＝22(y －x )． 因为x ′y′＝1，所以y 2－x 2＝2．所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2． …………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的普通方程为4x －3y －2＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝a 2． ………………5分 由题意，得|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或a ＝29． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22x 1·x 1＋2x 23x 2·x 2＋2x 21x 3·x 3＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2．即x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1． …………………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）由点A (1，2)在抛物线M ∶y 2＝2px 上，得p ＝2．所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ． …………………3分设B (y 214，y 1)，C (y 224，y 2)． 所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋y 224－1y 2－2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 2＋24＝1． …………………7分 （2）设D (y 234，y 3)．则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－y 3＋24＝0． ………………10分 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中，a i ＝2或－2(1≤i ≤2m )．（1）求满足“对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ； （2）若对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，求满足“存在1≤k ≤m ，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B ．解：（1）因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k ＝－1，所以(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)．共有2种情况．由乘法原理，得序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ＝2m ． …………………5分（2）当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由（1）知有2m －1种，所有共有2C 1m 2m －1种．当存在二个k 时，因为对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，所以这两组共有2C 2m 种， 其余的由（1）知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种．… 依次类推得：B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m )． …………………10分。
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江苏省盐城市2014届高三考前突击精选模拟试卷数学卷2一. 填空题 (每题5分,计70分) 1. 已知集合{}R x x y y A ∈==,sin ，集合{}R x x y y B ∈==,，则=B A . 2. “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的 条件 3. 将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移3π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为_______________4. 若抛物线)0(22>-=p px y 的焦点与双曲线2213x y -=的左焦点重合,则p 的值 .5. 函数()2f x x lnx =--在定义域内零点的个数为6. 已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1, 3），则b 的值为7. 若规定a bad bc c d =-，则不等式311log 01x<的解集是8. 若平面向量a ,b 满足1a b += ,a b + 平行于x 轴，(2,1)b =-，则a =9．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = . 10. 直线323y x =+与圆心为D 的圆22(3)(1)3x y -+-=交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 11.如果函数()2sin (0)f x x ωω=>在22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为 12. 等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12008a =-，20072005220072005S S -=，则2008S =_____． 13 .△ABC 满足23AB AC ⋅=，︒=∠30BAC ，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义),,()(z y x M f =，其中z y x ,,分别表示△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积，若)21,,()(y x M f =，则14x y+的最小值为14. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2010f =，且对任意的x R ∈，满足(2)()32,(6)()632x x f x f x f x f x +-≤⋅+-≥⋅，则(2010)f =二. 解答题 (解答应给出完整的推理过程,否则不得分)15. （14分）已知全集,U R =集合{}062<--=x x x A ，{}0822>-+=x x x B ，{}03422<+-=a ax x x C ，若()U C A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围.16. （14分）如图，在直角坐标系xOy 中，锐角△ABC 内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ，记角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c 。
（1）若B C A bc a ac k 2sin 2cos ,232222++-+=求的值； （2）若),23(),20(,2πβπβπαα<<=∠<<=∠=xOB xOA k 记求)sin(βα+的值。
17.（15分）某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与a x -和x 的乘积成正比； ②2a x =时，2y a =； ③02()xt a x ≤≤-，其中为常数，且[0,1]t ∈。
求：（1）设()y f x =，求()f x 表达式，并求()y f x =的定义域； （2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入。
18. （15分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点(2,)M t (0)t >在椭圆的准线上。
（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值。
19. （16分）已知函数2()ln f x x x =，（1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）求函数)(x f 的单调区间； （3）若关于x 的方程1f x kx =-()有实数解，求实数k 的取值范围．20. （16分）已知数列{}n a 满足,3,121==a a 且2(12cos )sin,,22n n n n a a n N ππ*+=++∈ （1）求21()k a k N +-∈；（2）数列{},{}n n y b 满足2111,n n y a b y -==，且2n ≥当时2222121111()n n n b y y y y -=+++ ． 证明：当2n ≥时，12221(1)n n b b n n n+-=+； （3）在（2）的条件下，试比较1231111(1)(1)(1)(1)nb b b b +⋅+⋅+⋅⋅+ 与4的大小关系．理科加试21．已知1()2n x x+的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）求展开式中系数最大的项．22．“抽卡有奖游戏”的游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏．（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为2528．请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用ξ表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求ξ的概率分布及ξ的数学期望．23．已知曲线C 的方程22332yx x =-，设y tx =，为参数，求曲线C 的参数方程．24．已知抛物线C 的顶点在原点, 焦点为F (2, 0). （1）求抛物线C 的方程；（2）过)0,1(-N 的直线交曲线C 于,A B 两点，又AB 的中垂线交y 轴于点(0,)D t ，求的取值范围．参考答案一.填空题(每题5分,计70分) 1.[]0,1 2. 必要不充分 3.sin()3y x π=+4. 45. 26. 37. (1,2)8. ()1,1-或()1,3- 9． 38 10. 43π 11. 34。
12. -2008 13 .18。
14.201022009+二.解答题(解答应给出完整的推理过程,否则不得分)15. 解：{}23,A x x B =-<<={}4,2x x x <->或，A B ⋃={}4,2x x x <->-或 {}()42U C A B x x ⋃=-≤≤-，而{}()(3)0C x x a x a =--< 7分 （1）当0a >时，{}3C x a x a =<<，显然不成立 9分（2）当0a =时，C =∅，不成立 11分（3）当0a <时，{}3C x a x a =<<，要使()U C A B C ⋃⊆，只要342a a <-⎧⎨>-⎩，即423a -<<-。
14分16.解：（1） 变式得：,31sin ,2cos sin 3222=-+=B b c a ac B B 解得 ……4分原式18229cos sin 22cos 12sin 2sin 2+=+-=+=B B B B B ； …………7分 （2）解法一：∠AOB=βα-，作OD ⊥AB 于D ，11,tan ,2222OD xOD k k βααβαβα-++∴∠=+=∴==-=-………11分22tan42sin().51tan 2αβαβαβ++==-++ 14分22222112212121212121212121,5410241(,),(,),,.55sin()sin cos cos sin (2)(2)44()145x y x mx m y x mm m A x y B x y x x x x y x x y x m x x x m x x m x x αβαβαβ⎧+=++-=⎨=+⎩-+=-=+=+=+=+++=++=- 解法二 :设分17.解：（1）设()y k a x x =-，当2a x =时，2y a =，可得：4k =，∴4()y a x x =- ∴定义域为2[0,]12att+，为常数，且[0,1]t ∈。
………………7分 （2）4()y a x x =-224()2ax a =--+当2122at a t ≥+时，即112t ≤≤，2a x =时，2max y a = 当2122at a t <+，即102t ≤<，4()y a x x =-在2[0,]12at t+上为增函数 ∴当212at x t=+时，2max 28(12)a t y t =+ ……………………14分∴当112t ≤≤，投入2ax =时，附加值y 最大，为2a 万元； 当102t ≤<，投入212atx t=+时，附加值y 最大，为228(12)a t t +万元 15分 18. 解：（1）由22b =，得1b = ……………1分又由点M 在准线上，得22a c =，故212c c+=，1c ∴= 从而2a = …4分所以椭圆方程为2212x y += ……………5分（2）以OM 为直径的圆的方程为222(1)()124t t x y -+-=+其圆心为(1,)2t,半径214t r =+ ……………7分 因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2 所以圆心到直线3450x y --=的距离21d r =- 2t=……………9分所以32552t t--=，解得4t = 所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-= ……………10分 （3）方法一：由平几知：2ON OK OM =⋅ 直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t=-- ……………12分 由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+22222411(1)224444K M t t t ON x x t ∴=+⋅+=+⋅⋅=+所以线段ON 的长为定值2。
……………15分方法二、设00(,)N x y ，则000000(1,),(2,)(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+=又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=所以，22002ON x y =+=为定值。