浙江省高二数学竞赛模拟试卷(1)班姓名
2023-2024学年浙江省名校协作体高二下学期2月月考数学试题及答案
2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．抛物线24x y =的准线方程为（ ） A ．1x =− B ．2x =−C ．1y =−D ．2y =−2．数列1，53，52，175，…的通项公式可能是（ ） A ．211n n a n +=+ B ．211n n a n +=+C ．221n n a n =−D ．221n n a n−=3．已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12l l ∥，则m 的值为（ ） A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或34．已知两条直线m ，n α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ∥且n α⊂，则m α∥ B ．若m α∥且n α⊂，则m n ∥ C ．若m α⊥且n α⊂，则m n ⊥D ．若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥5．已知点()4,2P −和圆Q ：()()224216x y −+−=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（ ）A ．B ．C ．D ．6．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（ ）A ．米B ．C ．米D ．30米7．在正三棱台111ABC A B C −中，111132A B AA AB ===，11A B AB O = ，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（ ） A ．13BCD ．238．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．9．已知向量()1,2,0a =− ，()2,4,0b =−，则下列正确的是（ ）A ．a b ∥B ．a b ⊥C ．2b a =D ．a 在b方向上的投影向量为()1,2,0−10．若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（ ） A ．数列21n a是等比数列 B ．数列{}lg n a 是等差数列 C ．若{}n a 是递减数列，则01q <<D ．若13n n S r −=−，则1r =11．如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（ ）A ．A ，B 两点的纵坐标之和为常数 B ．在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>°C ．A ，O ，1B 三点共线D ．在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上12．在正三棱锥S ABC −中，SA ，SB ，SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（ ） A ．53°B ．60°C ．75°D ．89°非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过()0,2A ，()1,0B −两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______． 14．已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______．15．已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______． 16．已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______． 四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749S =，59a =． （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若3S 、118S S −、k S 成等比数列，求k 的值．18．已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A −，()2,6B 两点． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知l ：()()()131510m x m y m ++−−+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值． 19．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −，底面ABC △是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC ∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值．20．已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=−，求证：直线l 过定点．21．已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na n pa a +−=∈+−N ． （Ⅰ）若0p =，求数列{}3n n a ⋅的前n 项和n S ； （Ⅱ）若1p =，设数列1n a的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<．22的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b −=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ=<<，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学 次命题兼审校：丽水中学 审核：瑞安中学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B8．解析：由题意知，1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A −△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a −=+，所以数列{}2na 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()202421111111n i i a n n a ==+−×==∑∵11118911+<++−< ，∵12881++>− ，即188891<++< ， 所以所求整数部分都是88，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ACD 10．ABC 11．CD 12．AB12．当BM 与平面α平行时，cos 1θ=；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以θ小于等于BM 与AC 所成的角，分别取SC ，SA 的中点M ，N ，连接MN ，BM ，BN ． 在BMN △中，BM BN ==1MN =，得cos BMN ∠，故cos θ∈． 因为()cos 75cos 4530°=°+°=1cos 602°=，12<<，所以075θ°≤<°． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．6 15．32π9 16．4316．解析：不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa −=>，A ，B 为左右顶点．设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=−+，化简得：222502x ax y a −++=， 则222222502x y a x ax y a −= −++=，解得5434x a y a= =±，所以53,44P a a ± ， 作PD x ⊥轴于D ．()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD −∠−∠∠=∠−∠===+∠⋅∠+×．四、解答题（共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749S =，59a =，所以715176749249S a d a a d ×=+==+= ， 解得121d a == ，所以21n a n =−，则()21212nn n S n +−==． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2339S ==，11857S S −=，2k S k =， 又3S 、118S S −、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S −=⋅， 即22579k =×，解得19k =或19k =−（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+， 又CA CB =，则即250a b +−=，得0a =，5b =，所以圆C 的半径AC r==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =−+． 则2552y x y x =+ =−+ ，解得05x y = = ，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C的半径AC r ==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）． （Ⅱ）设圆心C 到直线的距离为d ， 由题意可得d，平方整理后可得251890m m −+=，解得35m =或3m =． 19．解析：（Ⅰ）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ， ∵三棱柱111ABC A B C −中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AC A AB ∠=∠，∴11A AB A AC △≌△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥， 又1A M AM M = ，∴BC ⊥面1AA M ，∴1BC AA ⊥． （Ⅱ）方法一：连接MN ，在AMN△中，AN =，AM =2MN =，即cos AMN ∠150AMN ∠=°．如图建系，)A，()0,1,0B，()N ，有)1,0BA=−，()AN =−，设面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则00y z −=−+=，解得面ABN 的一个法向量(n =，面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,n m n m mn ⋅==所以平面1A AN 与平面ANB（Ⅱ）方法二：连接MN ，在AMN △中，AN =，AM =2MN =，即222cos 2AM MN AN AMN AM MN +−=∠⋅150AMN ∠=°． 作MF AN ⊥于F ，连BF ．因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ， 所以AC ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥， 所以BFM ∠为二面角B AN M −−的平面角． 在AMN △中，11sin15022AN FM AM MN =°，得FM =则BF，所以cos FM BFM BF ∠=． 所以平面1A AN 与平面ANB20．解析：（Ⅰ）由题意得：0052421p x px+== ，解得0121p x = = ，或0214p x = = （舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =． （Ⅱ）方法一：（1）当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y x y kx m = =+ ，消去x ，整理得20ky y m −+=，则140km ∆=−>，121y y k +=，12m y y k⋅=， 而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y −−⋅=⋅==−−+++++112k m k =−=++，整理得310m k ++=，所以13m k =−−， 所以直线l ：()1331y kx k k x =−−=−−，所以直线l 过定点()3,1−． （2）当直线l 斜率不存时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则121112k k m −⋅==−−，得3m =， 所以直线l ：3x =，则点()3,1−在直线l 上． 综上：直线l 过定点()3,1−．（Ⅱ）方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t −−=−=⋅=⋅−−++， 则()12123t t t t =−−+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t −−−=−， 则()()12121212212121311131t t t t x yx x t t t t t t t t t t −−+−−=+==++++++， 所以直线l 过定点()3,1−． 21．解析：（1）当0p =时，则111n na a +−=，得11n n a a +−=，所以11n n a a +−=， 所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． 所以()2111n a n n =+−×=+，则()313nn n a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =×+×+×+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=×+×+×+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +−=+++++−+⋅()()21131361313n n n −+×−−+⋅=+−，所以1321344n n n S ++=−+⋅． （Ⅱ）当1p =时，由111n n na a a +−=−，得211n nn a a a +=−+， 所以()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−>，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥， 又由111n n na a a +−=−，可得()111n n n a a a +−=−， 所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−， 则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++ =+++=−+−++−=− −−−−−−−− ， 所以1111n n T a +=−−，易知1111n a + − −为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=−≤−<−−，即：112n T ≤<． 22．解析：（Ⅰ）由题意得：2222c a c a b a = += =，解得b =，所以双曲线1C 的方程为22143x y −=．（Ⅱ）方法一：设直线AP ：()0022y yx x ++，()11,D x y ， 则()0022223412y y x x x y =++ +=，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x −=+++ +++ ，得：()()220012200161222324y x x y x −+−=++， 又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y −=，即22004312y x =−，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x −+−−+−+−−====+++++−，即104x x =． 同理设直线BP ：()0022y yx x −−，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =． 因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=． 把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP∠+∠=°，所以sin sin BDP ADB ∠=∠．12BP r ABr ==．因为102λ<<，所以12λ>+∞． （Ⅱ）方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ， 则223412xty m x y =++=，消x 得：()2223463120t y tmy m +++−=， 所以122634tmy y t −+=+，212231234m y y t −=+，得()2122142m y y y y mt −=+， 因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =−−，两式相除得()()120212222y x x y x x −−=++， 而()()()()()()()()()()()()2121211212121221122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y−++−−+−+−===+++++−+++()()()()()()121222222222m m y m y mmm m y m y −++−− =+ +++−． 因为20Q x x λ=，所以20m x λ=．因为002222x m m x −−=++，所以2002002222x x x x λλ−−=++，得02x λ=， 把02x λ=代入双曲线方程得2204143yλ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=°，所以sin sin BDPADB ∠=∠，12BP r ABr ==，因为102λ<<，所以12λ>+∞．。
浙江省磐安县第二中学2019-2020学年高二数学10月竞赛试题
浙江省磐安县第二中学2019-2020学年高二数学10月竞赛试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．334C ．3D ．4332．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（ ） A ．平行+B ．相交C ．平行或相交D ．垂直3．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点． ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ． A ．0 B ．1C ．2D ．34．正方体中，直线与所成的角为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b . 其中正确的命题个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）A ．40322+B ．72C ．4082+D ．327．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，记图中阴影平面为平面α，且平面αP 平面1BC E .若平面αI 平面111AA B B A F =，则AF 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．38．ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C 2D 2 9．下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．四边相等的四边形10．如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）A ．一个球B ．一个球中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱第II 卷（非选择题)二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.14．如图所示，在四面体D ABC -中，若2CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”） 16．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．17．已知圆锥和圆柱的底面半径均为R ，高均为3R ，则圆锥和圆柱的表面积之比是______． 三、解答题18．求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝23，求EF与平面ABC所成的角．20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．21．如图，多面题P ABCD（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （3）求P ABCD V -.22．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为AC 与BD 的交点， BE ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED .（Ⅱ）若120ABC ∠=o , AE EC ⊥, 2AB =,求点G 到平面AED 的距离.2019-2020学年度磐安二中学校10月月考卷高二数学考试时间：120分钟；命题人：潘建华一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．334C ．3D ．433【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图得到原图，再由椎体公式得到结果. 【详解】由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，其中平面ABD ⊥平面BCD ，1AO =，三棱锥A BCD -的体积为()21323133⨯⨯⨯=.故答案为：C. 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 2．已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．3．已知点A，B在半径为3的球O表面上运动，且AB＝2，过AB作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分别为圆M，N，则A．MN长度的最小值是2 B．MN的长度是定值2C．圆M面积的最小值是2πD．圆M，N的面积和是定值8π【答案】B【解析】【分析】由过AB作相互垂直的平面α，β,确定BA、BC、DB两两互相垂直，M，N分别是AC，AD的中点，求出CD，即可得结论．【详解】如图所示，因为过AB作相互垂直的平面α、β，则面ABC⊥面ABD,由面面垂直的性质定理，得AB⊥面BCD，所以AB⊥BC,AB⊥BD,得BD⊥BC，23，因为AB=4,∴CD2＝BC2+BD2=8，所以BA、BC、DB两两互相垂直，所以BC2+BD2+2AB＝(2所以2，∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN2故选：B．【点睛】本题考查了球的内接几何体和面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．若三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=AB=2，AC=2,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为A．12πB．16πC．20πD．24π【答案】A【解析】【分析】求解底面长方形的外接圆，PA⊥平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．【详解】由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC＝2ABC是直角三角形，补形底面为长方形．∴球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆2,∴R2=r2+1，即3,∴球O的表面积S=4πR2=12π．故选：A．【点睛】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直【答案】C【解析】【分析】根据三点在平面的同侧或异侧，两种情况，即可判定得到α与β的位置关系，得到答案．【详解】α平面β；由题意，若三点分布在平面β的同侧，此时平面//若三点分布于平面β的两侧时，此时平面α与平面β相交，综上可知，平面α与平面β平行或相交，故选C．【点睛】本题主要考查了空间中平面的位置关系的判定，其中根据三点在平面β的同侧和异侧，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组（）A．由两个圆台组合成的B．由两个圆锥组合成的C．由一个圆锥和一个圆台组合成的D．由两个棱台组合成的【答案】B【解析】【分析】将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥，故选B.【点睛】本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.7．直线m⊥平面α，下面判断错误的是（）A．若直线n⊥m，则n∥αB．若直线n⊥α，则n∥mC．若直线n∥α，则n⊥m D．若直线n∥m，则n⊥α【答案】A【解析】【分析】结合线面垂直、线线平行及线面平行的相关性质可以判断.【详解】由直线m⊥平面α，得：在A中，若直线n⊥m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选：A．【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，可以借助模型求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.8．已知两条不同直线m、n和两个不同平面α﹑β，下列叙述正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若////m n m n ααββ⊂⊂，，，，则//αβC ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α 【答案】D 【解析】 【分析】A 选项可由线面平行的性质作出判断，B 选项可由面面平行的判定定理作出判断，C 选项可由面面垂直的性质作出判断，D 选项可由线面平行的条件作出判断 【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确，B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确，C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确，D 选项中，如下图所示设=b αβ⋂，,a b a β⊥∴⊥，又m β⊥Q ，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得m a ∥，又a α⊂Q ，m α∴∥ 选D 【点睛】考生需灵活掌握线线平行到线面平行，面面平行到线面平行的基本转化关系，遇到较为抽象的证明问题时，辅以图像能够更加有效的解决问题 9．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点． ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用线线平行、线面平行以及面面平行的定义来判断选项即可 【详解】在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点，故①错误；在②中，若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l 与α平行或相交，故②错误； 在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；在④中，已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//αβ，b β⊂，//b α， 则由面面平行的判定定理得//αβ，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查线线平行、线面平行、面面平行的定义，属于基础题10．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =32=AD 132AA =1AC 与CD 所成角的大小为( ) A.6π B.4π C.3π D.3π或23π 【答案】C 【解析】 【分析】平移CD 到AB ，则1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在直角三角形中即可求解. 【详解】连接AC 1，CD //AB ，可知1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在1Rt C AB ∆中，11tan 3BC C AB AB∠==，故选C ． 【点睛】本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________. 【答案】12【解析】 【分析】利用平面11ABB A ⊥平面11A BCD 得到 B 1O ⊥平面11A BCD ，进而作出直线与平面所成角，易解． 【详解】如图，平面11ABB A ⊥平面11A BCD ， 又B 1O ⊥1A B ， ∴B 1O ⊥平面11A BCD ， ∴∠B 1D 1O 即为所求角， sin∠B 1D 1O 12=， 故答案为：12． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解. 12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______. 【答案】2a π 【解析】 【分析】由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的表面积. 【详解】解：根据正方体的表面积可以求得正方体的边长为6al =，正方体的外接球球心位于正方体体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径2113222ar l =⋅=，可得外接球表面积为242aS r ππ==，故答案：2aπ.【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.【答案】平面1A EF 【解析】 【分析】由E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，利用线面平行的判定定理，得到EF P 平面BCHG ，再由四边形1A EBG 是平行四边形，得到1A E GB ∥，证得1A E ∥平面BCHG ，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面1A EF ∥平面BCHG . 【详解】由题意，因为E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，可得EF P 平面BCHG ，因为1AG EB =且1AG EB ∥，所以四边形1A EBG 是平行四边形，所以1A E GB ∥，又因为1A E ⊄ 平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，所以1A E ∥平面BCHG ， 因为1A E EF E =I ，所以平面1A EF ∥平面BCHG . 【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 14．如图所示，在四面体D ABC -中，若2CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.【答案】平面ACD ，平面BCD . 【解析】 【分析】过A 作AE CD ⊥，得到AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又由222AE BE AB +=，得到90AEB ∠=o ，即可求解. 【详解】由题意，过A 作AE CD ⊥，交CD 于点E ，因为1,2AD AC CD ===，所以90DAC =o ∠，由E 为CD 的中点，所以2AE =， 连接BE ，因为1,2BD BC CD ===，所以BE CD ⊥，且22BE =， 所以AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又1AB =，所以222AE BE AB +=，所以90AEB ∠=o ， ∴平面ACD ⊥平面BCD .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，其中解答中熟练应用线面垂直的性质定理，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）. 【答案】直角 【解析】 【分析】根据斜二测画法，45x oy ∠=''︒，直接判断ABC ∆的形状。
浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案
浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数()()221,0a f x x ax b x R x x x=++++∈≠，若实数,a b 使方程()0f x =有实根，则22a b +的最小值是2．在正三棱台111ABC A B C -中，上底面积11112A B C S =△，下底面积27ABC S =△．若底边BC 到截面11AB C 的距离等于三棱台的高，则11AB C S =△ 3．从1,2,3,,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种4．已知22122cos cos ,,,22sin sin x y x y z i y x ππ⎡∈=+⎢⎣，且12z =若2z x yi =+，则21z z -的取值范围是 ． 5． 函数()442222,2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为6．设()()111313,20n n n n n n n x x x x x x --+=+=+>-，则数列{}n x 的通项公式为7．如图，设,P Q 分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当,P Q 分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为8．设[]122010,,,2,2a a a ∈-且1220100a a a +++=，则333122010a a a +++的最大值为二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 设复数z 满足12z +>．证明：311z +>．10.（本小题满分20分）给定整数a ，设()32f x ax bx cx =++，其中,b c Z ∈,满足()()()11,22f ff =-=求出所有满足条件的函数()f x ．11.（本小题满分20分）给定椭圆22221135x y +=及点()10,0D ．（1）求r 的值使得对于椭圆的左顶点A ，存在椭圆上的另两点12,M M ，满足以D 为圆心、r 为半径的圆是12AM M △的内切圆；（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,N N ，使得D 是12AN N △的内切圆，并确定此时直线12N N 的方程．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分） 已知ABC △的内心为I ，ABC △的内切圆I 切边BC 于点D ，,ABD ACD △△的内心分别是,b c J J ，b c AJ J △的外心为O ．求证：,,A O I 三点共线．二、（本小题满分40分）设,,,0,a b c d >且4a b c d +++=．求证：222222221111a b c d a b c d+++≥+++三、（本小题满分50分）已知正整数n 满足()2014,,20141n n >=．令(){}1,,1,n A k N k n n k =∈≤≤={}{}1,1,n n n n n n B k A k A C k A k A =∈+∉=∈-∉对任意n k A ∈，记nA k k S n⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，A 表示集合A 中元素的个数． 证明：（1）()()nnk n k k n k k B k C S S S S --∈∈-=--∏∏；（2）()()mod nnB k n k nk C S S A n -∈-≡∏四、（本小题满分50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了个站台（依次编号为1,2，…，）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案第一试参考解答（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数()()221,0a f x x ax b x R x x x=++++∈≠，若实数,a b 使方程()0f x =有实根，则22a b +的最小值是2．在正三棱台111ABC A B C -中，上底面积11112A B C S =△，下底面积27ABC S =△．若底边BC 到截面11AB C 的距离等于三棱台的高，则11AB C S =△3．从1,2,3,,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种4．已知22122cos cos ,,,22sin sin x y x y z i y x ππ⎡⎤∈-=+⎢⎥⎣⎦，且12z =，若2z x yi =+，则21z z -的取值范围是 ．5． 函数()442222,2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为6．设()()111313,20n n n n n n n x x x x x x --+=+=+>-，则数列{}n x 的通项公式为7．如图，设,P Q 分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当,P Q 分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为8．设[]122010,,,2,2a a a ∈-且1220100a a a +++=，则333122010a a a +++的最大值为二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9．设复数z 满足12z +>．证明：311z +>．10．给定整数a ，设()32f x ax bx cx =++，其中,b c Z ∈,满足()()()11,22f f f =-=求出所有满足条件的函数()f x ．11．给定椭圆22221135x y +=及点()10,0D ．（1）求r 的值使得对于椭圆的左顶点A ，存在椭圆上的另两点12,M M ，满足以D 为圆心、r 为半径的圆是12AM M △的内切圆；（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,N N ，使得D 是12AN N △的内切圆，并确定此时直线12N N 的方程．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）已知ABC △的内心为I ，ABC △的内切圆I 切边BC 于点D ，,ABD ACD △△的内心分别是,b c J J ，b c AJ J △的外心为O ．求证：,,A O I 三点共线． 证明：设I 分别切边,CA AB 于点,E F ，ABD △的内切圆切AD 于点X ，ACD △的内切圆切AD 于点Y ，则2DX DA DB AB DA DB BF AF DA AF =+-=+--=-， 同理22DY DA AF DX =-=．从而,X Y 重合，所以b c J J AD ⊥．因为b c AJ J △的外心为O ，所以1222b bc b c AOJ J AO AJ J XAJ DAC ππ-∠∠==-∠=∠=∠．从而111222b b BAO BAJ J AO BAD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以,,A O I 三点共线．二、（本小题满分40分）设,,,0,a b c d >且4a b c d +++=．求证：222222221111a b c d a b c d+++≥+++三、（本小题满分50分）已知正整数n 满足()2014,,20141n n >=．令(){}1,,1,n A k N k n n k =∈≤≤={}{}1,1,n n n n n n B k A k A C k A k A =∈+∉=∈-∉对任意n k A ∈，记n A k k S n⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，A 表示集合A 中元素的个数． 证明：（1）()()nnkn k k n k k B k C SS S S --∈∈-=--∏∏；（2）()()mod nnB k n k n kC S S A n -∈-≡∏四、（本小题满分50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了个站台（依次编号为1,2，…，）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．。
2021-2022学年浙江省杭州学军中学高二下学期数学竞赛试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州学军中学高二下学期数学竞赛试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，13a =，且1a ，4a ，10a 成等比数列，则n a 的通项公式为（ ） A ．21n a n =+ B ．2n a n =+ C ．21n a n =+或3n a = D ．2n a n =+或3n a =【答案】D【分析】利用等比中项得24110a a a =⋅，从而可求公差d ，即可得等差数列通项公式.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又1a ，4a ，10a 成等比数列，所以24110a a a =⋅，则2(33)3(39)d d +=⨯+，解得：01d d ==或所以1(1)23n a a n d n =+-=+或. 故选：D.2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22,sin a b C B -==，则角A 为A ．30B ．60C ．120D ．150【答案】A【详解】试题分析：因为sin C B c =∴=，那么结合22226a b a b -⇒=，所以cosA=2222c b a cb +-所以A=030，故答案为A 【解析】正弦定理与余弦定理点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.3．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X -=- C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-【答案】D【详解】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续n 项之和仍为等比数列．即,,X Y X Z Y --成等比数列，则由等比中项的性质有2()()Y X X Z Y -=-整理得D 选项．4．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =．A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C【详解】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ．【解析】等比数列的通项公式及性质．5．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B =A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【详解】边换角后约去sin B ，得sin(A ＋C)＝12，所以sin B ＝12，但∠B 非最大角，所以∠B ＝6π. 6．已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则 A ．－1<a<0 B ．0<a<1 C ．1<a<3 D ．3<a<6【答案】C【详解】由22()()x b ax ->，整理可得（1－2a ）2x －2bx+2b >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a <0，此时2a >1，而0<b<1+a ，故a>1， 由不等式222(1)2a x bx b -+- <0解得222222,2(1)2(1)b ab b ab x a a ---+<<--即111b bx a a -<<<-+要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1b a --<－2，由1ba --<－2得－b<－2（a －1），则有a<2b +1，即a<2b +1<12a ++1，解得a<3，由－3<1b a --得3a －3>b>0，解得a>1，则1<a<3．7．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由()11a xa yx y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可，000x y a >>>，，，()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当xa yy x=即=y 时等号成立，19a ∴+≥，24(≤-舍去)，即4a ≥所以正实数a 的最小值为4. 故选：B .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，，则 A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定【答案】A【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，c 2=a ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（2a ）2＝a 2+b 2+ab ． ∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b aba b=+， ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b aba b=+， ∴a ＞b 故选A ．【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．9．设,x y 满足约束条件360,{20,0,0,x y x y x y --≤-+≥≥≥若目标函数(0,0)z ax by a b =+＞＞的最大值为12，则23ab+的最小值为 A ．256B ．83C ．113D ．4【答案】A【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax by z +=（0,0a b >>）,过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时,目标函数z ax by =+（0,0a b >>）取得最大12,即4612a b +=,即236a b +=,而23a b+=2323131325()()26666a b b a a b a b ++=+++=．10．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y zx xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 二、填空题11．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.若2,a b ==sin cos B B +=，则角A 的大小为____________________.【答案】6π 【详解】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．由sin cos )4B B B π++=sin()14B π+=，所以4B π=由正弦定理sin sin a b A B =得sin 14sin 22a B Ab π===，所以A= 6π或56π（舍去）、 12．若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是_____． 【答案】15a ≥【解析】利用基本不等式求出211313x x x x x =++++的最大值，即可得出结果. 【详解】0x，21113153x x x x x ∴=≤=++++，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立， 15a ∴≥. 故答案为：15a ≥.【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是化简式子211313x x x x x=++++利用基本不等式求出最大值.13．设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是__________________ .【答案】d≤-d≥【详解】试题分析：由题设知（5a 1+10d ）（6a 1+15d ）=0，即2a 12+9a 1d+10d 2+1=0，由此导出d 2≥8，从而能够得到d 的取值范围．解：因为S 5S 6+15=0，所以（5a 1+10d ）（6a 1+15d ）+15=0，即2a 12+9a 1d+10d 2+1=0，故△=（9d ）2-4×2×（10d 2+1）=d 2-8≥0，∴d 2≥8，则d 的取值范围是d≤-或d≥【解析】等差数列点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意通项公式的合理运用14．设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是 ． 【答案】403m ≤≤ 【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤ 三、双空题15．在锐角ABC 中，1BC =，2B A =，则cos ACA的值等于__________，AC 的取值范围为__________． 【答案】 2()2,3【详解】由正弦定理得，所以，所以,，由三角形为锐角三角形可得，所以，所以的取值范围是.【解析】1.正弦定理；2.三角函数的取值范围 四、解答题16．ABC 中，a ，b ，c 是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos cos 2B bC a c=-+. （1）求B 的大小；（2）若4a =，53S =b 的值.【答案】（1）23π；（261.【解析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和与差的正弦公式㮳诱导公式化简后可求得B ；（2）由三角形面积公式可求得c ，然后由余弦定理可得b ． 【详解】（1）解：由cos cos 2B b C a c =-+，cos sin cos 2sin sin B BCA C =-+，∴2sin cos cos sin sin cos A B B C B C +=-， ∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =--， ∴()2sin cos sin A B B C =-+，2sin cos sin A B A =-，(0,)A π∈，sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又0πB <<，∴23B π=.（2）解：由4a =，S =11sin 22S ac B c ==⨯5c =， 由2222cos b a c ac B =+-得2116252452b =++⨯⨯⨯，∴b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式，两角和与差的正弦公式及诱导公式，解题时先用恰当的公式是关键．三角函数中公式较多，首先应熟记公式，其次要能灵活运用．17．已知函数23y x ax =++，当[]1,1x ∈-时，不等式y a >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(),2-∞【分析】23y a x ax a >⇔++>，讨论当1x =时成立，当1x ≠时，分离参数利用基本不等式求最值即可求解【详解】23y a x ax a >⇔++>()231x a x ⇔+>-，[]1,1x ∈-11x -≤≤，012x ∴≤-≤当1x =时，10x -=，()231x a x +>-对一切x ∈R 恒成立，符合题意；当1x ≠时，012x <-≤，则231x a x+<-. ()()221214311x x x x x---++=--()412221x x =-+-≥=-. 当且仅当411x x-=-，即1x =-时到等号. 2min321x x ⎛⎫+∴= ⎪-⎝⎭.从而2a <.综上所述，实数a 的取值范围为(),2-∞.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查分离参数求最值，熟练掌握基本不等式求最值是关键18．已知数列{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a ⋅=，2716a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：312232222nn nb b b b a =+++（n 为正整数），求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）22,126,2n n n S n +=⎧=⎨-≥⎩. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知列方程组求出11a =，2d =，利用等差数列的通项公式可得结果； （2）当2n ≥时，由312232222n n nb b b b a =+++，得131212312222n n n b b b b a ---=+++，两式相减可得12n n b +=，再由1n =求出1b 的值，利用等比数列求和公式可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题意设0d >， 271162716a a a d +=⇒+=，①()()3611552555a a a d a d ⋅=⇒++=，②解得11a =，2d =，21n a n ∴=-； （2）当2n ≥时，由312232222n n n b b b b a =++++，得131212312222n n n b b b b a ---=+++， 两式相减得122nn n n b a a --==，12n n b +∴=. 又1122b a ==12,12,2n n n b n +=⎧∴=⎨≥⎩，12S ∴=，当2n ≥时，()()313412212222222612n n n n S -++-=++++=+=--.综上所述，22,126,2n n n S n +=⎧=⎨-≥⎩. 【点睛】已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n =的情况.19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos )cos 0(C A A B +=． （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围． 【答案】（1）3B π=；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得tan B ，进而得角B 的大小；（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得12b ≥，再结合三角形边关系求得b 的取值范围.【详解】（1）∵cos cos )cos 0(C A A B +=，∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=， ∵sin 0A ≠，∴tan B = ∴3B π=．（2）由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12a c ==时取等号， ∴12b ≥，又1b a c <+=， ∴b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.20．在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．【答案】：（Ⅰ）*98,;n a n n N =-∈（Ⅱ）【详解】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已知式联立可以先求出等差数列{}n a 的首项1a 与公差d ，进而可求出通项公式n a ；（2）首先根据要求列出关于,n m 的不等式，再根据,m n 都是正整数，即可判断出落入()29,9m m 内的项数m b ，从而求出数列{}m b 的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前m 项的和m S ．试题解析：（1）因为{}n a 是一个等差数列，34584a a a ++=，所以3454384a a a a ++==，即428a =，设数列{}n a 的公差为d ，则945732845d a a =-=-=，故9d =．由413a a d =+，得12839a =+⨯，即11a =．所以*1(1)19(1)98,n a a n d n n n N =+-=+-=-∈，（2）对*m N ∈，若299m m n a <<，则298998m m n +<<+，因此121889999m m n --+≤≤+， 故得21199m m m b --=-，于是321112(999)(199)m m m m S b b b --=+++=+++-+++ 219(181)1(19)910911811980m m m m +⨯-⨯--⨯+=-=--． 【解析】1、等差数列；2、等差数列通项公式及前n 项和公式；3、等比数列前n 项和公式；4、分组求和法．21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，221n n a a =+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1()2n n n a T λλ++=为常数，*2()n n c b n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和为n R【答案】（1）；（2）1131(4)94n n n R -+=- 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11114684{(21)22(1)1a d a d a n d a n d +=++-=+-+， 解得11a =，2d =所以*21()n a n n =-∈N（2）由题意12n n n T λ-=-， 所以当2n ≥时，1122n n n n n b T T ---=-=， 所以*2211221()24n n n n n n c b n N ----===∈ 由012112101214444{1012144444n n n n n n R n n R ---=++++--=++++得1213111144444n n n n R --=+++-， 111(1)31411144()144344414n n n n n n n R ----=-=---， 1131(4)94n n n R -+=- 【解析】1、等差数列的通项公式；2、错位相减求数列的和．。
浙江省高中数学竞赛模拟题及参考答案第一试
2016 年浙江省高中数学比赛模拟试题 (2) 及参照答案第一试一、填空题：本大题共 8 小题，每题 8 分，共 64 分 .1．若对随意 x a, a 2 均有 x a 2 x ，则实数 a 的取值范围是解： xa 2 x3x 2 2ax a 2 04a6 0 a3 ．22．已知 2x4x 2 1y 2 4 2y 0 ，则 x y 的最小值为解： 2x4 x 2 114 2 12x4x 2 11 42x1（利用函数单一性）y 2 yy 2yyx y1 y2 ，等号当且仅当 x y 1时等号建立，所以 xy 的最小值为 2．y3．用 x 表示不超出 x 的最大整数 . 则1等于sin 212014解： 0sin 211 12014 ，20142014 sin 2 12014tan 21 11 11 1 2015 ，所以12014 ．2014 2014sin21tan2sin 212014201420144．已知 f xx 2, f 1 xf x , f n xf ( fx) 则 f n12x21n 个ff n 2 111 212n 112n12n解： f n1112 f n 1 1f nfn 1f 1x 1 ，所以 f n3 ．2 5．在正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中，已知棱长为 1，点E 在 A 1D 1 上，点F 在 CD 上， A 1 E 2ED 1 , DF 2FC .则三棱锥 B FEC 1 的体积为解：如图，作 FF 1C 1D 1 , 连结 B 1 F 1 交 EC 1 于点 K三棱锥 B FEC 1 的体积为 1 EC 1S △BFK5 ．3276．已知等腰直角△ PQR 的三个极点分别在等腰直角△ABC 的三条边上， 记△ PQR ，△ ABC 的面积分别为 S △ PQR ，S △ ABC ，则 SPQR的最小值为SABC解：（ 1）当 PQR 的直角极点在 ABC 的斜边上，则 P,C, Q, R 四点共圆，APRCQR 180BQR ,所以 sin APR sin BQR. 在 APR, BQR中分别应用正弦定理得 PR AR , QR BR .sin A sin APR sin B sin BQR又 AB 45 , 故 PR QR ,故 AR BR 即 R 为 AB 的中点 .过 R 作 RH AC 于 H ，则PR RH1BC ,所以 S S2 PQR PR 2( 1BC ) 2SPQR121的最小值为BC 2 BC 2,此时.ABC 4SABC4（ 2）当 PQR 的直角极点在 ABC 的直角边上，如下图，设 BC 1,CRx(0 x1), BRQ(02 ) ,CR x则 CPR 90PRCBRQ. 在 RtCPR 中， PR,sin sin在 BRQ 中， BR 1 x, RQPRxRQBQRB3,,Bsin4PQRBx 1 x x1由正弦定理 ,sin，sin PQB3sincossin B sin)2sinsin(44所以 S PQR 1PR 2 1 ( x )21 ( 1)2 . 2 2 sin2 cos2sinS PQR ( 1)211，当且仅当arctan2 取等号，这样，sin 2S ABCcos 2sin(1 22 )(cos 2) 5此时 SPQR的最小值为 1.S ABC57．设 P 为抛物线 y 22x 上的一个动点， 过 P 作抛物线的切线与 O : x 2 y 21交于点 M , N , O 在 M , N两点处的切线交于点Q ，则点 Q 的轨迹方程是8．选择会合S1,2, , n n N * 的两个不一样的非空子集 A 和 B ．使 B 中最小数大于 A 中最大数的概率是A 中的最大数 k ，此中1≤k ≤ n 1 , 整数 n ≥ 3，A 中必含元素 k ，另元素1， 2，⋯， k1可在 A 中，故 A 的个数 ： C k 01 C 1k1C kk112k 1 ，B 中必不含元素 1， 2，⋯， k ，另元素 k 1， k2，⋯， n 可在 B 中，但不可以都不在 B 中，故 B 的个数 ： C 1n k C n 2 k C n n k k 2n k 1 ，进而会合 ( A ， B) 的个数 2k 12n k 1 2n 1 2k 1 ， 所以所有 足 A 中最大数小于 B 中最小数的会合 ( A ， B) 的个数n 1 1 2n 1n 1 2 k 1 (n 1) 2 n 1 (n 2) 2 n 1 1 ．而所有的会合 ( A ， B) 的个数 n 1 2 n2 2 1 2 2k 1所以使 B 中最小数大于A 中最大数的概率是( n 2) 2n 1 12 n1 2 n2二、解答 ：本大 共3 小 ，共 56 分.9. （本小 分 16 分） . 已知 E : x 2 y 21 的左、右焦点分 F 1 ， F2 ，直 l 与 E 有且a 2 2b只有一个公共点 M ，且交 y 于点 P ， 点 M 作垂直于 l 的直 交 y 于点 Q .求 ： F 1 ,Q, F 2 , M , P 五点共 .（略）10. （本小 分20 分）已知函数nx 2 x , x n 正 数，且 x 1 x 2 ... x n1 ，f n ( x)2， x 1 , x 2 ,x1明： f n ( x 1 ) f n ( x 2 ) ... f n ( x n )（略）11.（本小 分20 分） .a n 1 a n 1 ,已知数列a n, b n 足 a 0, b0,b n , n N *． 明 : a b20 ．11b n b n 150 501a n明：因 a n 21 b n2 1a n 2b n 2112( a nb n) ， 所以a n 2b n 2b n a n22 22 49 1 12 49a ib i ) 2 21 12 2 49 4 4 49 200. a50b50a 1b 1(22)( a i a 1 b 1 2 2i 1a ib ii 1 b i a 1 b 1又 a n 1b n 1 a n b n1 2，所以 a 50b 50a 1b 1 49 1 2 49 98 a 1b 11 100 . a n b ni 1 a i b i a 1b 1所以 ( a 50 b 50 )2a 502b 5022a 50b50200 200 400. 所以 a 50b50202016 年浙江省高中数学 模(2) 及参照答案加一、（本小题满分 40 分）已知数列 a n 知足 a 1 1， a n 13a n 2 2a n 2 1 ， n N * ．(I) 证明：a n 是正整数数列； (II) 能否存在 m N * ，使得 2015 a m ，并说明原因．（Ⅰ ）由 a n 1 3a n 2 2a n 2 1 得 a n 2 1 6a n a n 1 a n 24 0 ，（ 1）同理可得 a n 226a n 2an1a n 2 2 4 0 ，（ 2），由（ 1）（ 2）可知， a n , a n 2 为方程 x 26a n 1x a n 2 1 4 0 的两根，又 a n a n 2 ，即有 a nan 26a n 1，即an 26a n 1 a n . 由于 a 1 1,a 2 5, 所以 a n 为正整数 .（Ⅱ）不存在 m N * ，使得 2015 a m . 假定存在 m N * ，使得 2015 a m ，则 31 a m .一方面， a m a m 2 a m 214，所以 31 a m 2 1 4 , 即 a m 2 14(mod 31) ，所以 a m 301415230(mod31).由费马小定理知230 1(mod 31) ，所以 a m 3011(mod31) ，另一方面， (a m 1,31) 1 . 事实上，假定 ( a m 1 ,31) d1，则 d 31，即 d 31 ，所以 31 a m 1 ，而 31 a m 2 1 4 ，这样获得 31 4 . 矛盾 .所以，由费马小定理得 a m 30 1 1(mod 31) . 这样获得 11(mod31) . 矛盾 .所以不存在 mN *，使得 2015 a m 二、（本小题满分 40 分）如图，在等腰ABC 中， AB AC BC ， D 为 ABC 内一点，知足 DA DB DC. 边 AB的中垂线与 ADB 的外角均分线交于点 P ，边 AC 的中垂线与ADC 的外角均分线交于点 Q . 证明： B 、C 、 P 、 Q 四点共圆 .APQDBC三、（本小题满分50 分）设 p 为大于3 的素数，证明： （ 1）p 1p1 起码含有一个不一样于p 的素因子；p np i i，此中 p1 , p2 , , p n是互不同样的素数，1, 2 , , n为正整数，（ 2）设p 11i 1n p 2则p i i .i 1 2四、（本小题满分 50 分） 设 X 是非空有限会合，A 1, A 2 ,⋯, A k 是 X 的 k 个子集，知足以下条件：(1) A i3,i 1,2, ⋯,k ;(2)X 中随意一个元素属于 A 1, A 2 ,⋯, A k 中的起码 4 个会合 .证明：可从 A 1 , A 2 ,⋯, A k 中选出 3 k 个会合，使得它们的并集为X .7解：令 SA , A , , A .现挨次选定会合 A i ，使得这些会合的并集A i 的元素个数每次递加 3 个，选出所12k有这样的会合后，不如设S 3A 1 , A 2 ,, Aa 3， a 30 ，又设 S 3 X 3 ，此中 X 33a 3 .由于 S 3 已经是知足以上性质的最大会合，则关于剩下的随意会合A i ,i a 3 ，有 A i X X 3 2 .近似地， 在会合 X X 3 中挨次选定会合A i ，使得这些会合的并集 A i 的元素个数每次递加 2 个，不如设这些会合 S 2Aa 1, A a 2 , , A a3a所有被选出，则有S 2X X 3X 2 ，且 X 2 2a 2 ；同理，关于剩下332的随意会合A i ,ia 2 a 3 ，有 A i X X 3 X 2 1. 近似地， S 1A aa 21, Aa 3 a2 2,, A a 3 a 2a ，以及 X X 3 X 2 X 1 ，31注意到 XX3X2X1a2a23a ， S 3S 2S 3X13且 S 3S 2 S 1a 1 a 2 a 3 m 即为上述选定会合所知足的关系，现说明3km .7注意到 X 1 中的每一个元素起码出现 4 次，但 A i X 1 1， i a 3a 2 ，所以有： k a 3 a 2 4a 1 (1)在X 1X 2 中，每个元素也起码出现 4 次，但 A i X 1 X 2 2 ， i a 3 ，所以有：k a 3 4 2a 2 a 1 a 3 4a 2 2a 1 (2)2在 X 中，每个元素也起码出现 4 次，所以有： k 4 3a 3 2a 2 a 1 (3)3现考虑 20*(1)12*(2)27*(3) ， 59k 140 a 1 a 2 a 3 ，所以 m 59 k3k ，即为所求 .140 7。
浙江省高二数学竞赛模拟试卷二
浙江省高二数学竞赛模拟试卷二一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．函数()y f x =与()y g x =的定义域和值域都是R ，且都有反函数，则函数()()()11y f g f x --=的反函数是（ ）()()()1. A y f g f x -= ()()()11. B y f g f x --= ()()()1. C y f g f x -= ()()()11. D y f g f x --=2．集合M 由满足如下条件的函数()f x 组成：当[]12, 1, 1 x x ∈-时，有()()12124f x f x x x -≤-，对于两个函数()2125,f x x x =-+()2f x =，以下关系中成立的是（ ）12. ,;A f M f M ∈∈ 12. ,;B f M f M ∉∉ 12. ,;C f M f M ∉∈ 12. ,;D f M f M ∈∉3. ABC ∆中，,,,BC a AC b AB c ===则比式()()()::b c a a c b a b c +-+-+-等于. sin:sin :sin . cos :cos :cos 222222A B C A B CA B . tan :tan :tan 222A B C C . cot :cot :cot 222A B C D4．抛物线22y x =上两点()()1122,, ,A x y B x y 关于直线y x m =+对称，若1221x x =-，则2m 的值是（ ）.. 3, . 4, . 5, . 6A B C D5．椭圆()2222 1 0x y a b a b+=>>的中心，右焦点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为,,,O F G H，则FGOH的最大值为（）.111. ,. ,. ,.234A B C D不能确定.6．函数()f x=的值域为（）[]3. 1,. 1, C. 1, D. 1, 22A B⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎣⎣⎣⎦二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7．若21cos14sin2θθ-=+，则()()334cos3sinθθ+⋅+= .8．数列{}: 1,3,3,3,5,5,5,5,5,nx由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数k连续出现k次，1,3,5,k =，如果这个数列的通项公式为nx a d=+则a b c d+++=9．,x y为实数，满足221x y+≤，则222x xy y+-的最大值为 .10．若集合A中的每个元素都可表为1,2,,9中两个不同的数之积，则集A中元素个数的最大值为 .11．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设12,,,na a a为正数，证明：233n n n na a a a a a a+++++++++++2n n a ≥++14．已知二次函数222y x mx n =+-（1）若m n ，变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。
2024浙江省高中数学竞赛试卷详解
2024浙江省高中数学竞赛试卷详解2024年浙江省高中数学竞赛试卷详解一、概述2024年浙江省高中数学竞赛试卷以测试参赛学生的数学能力和思维水平为核心，涵盖了高中数学的主要知识点，注重考查学生的逻辑思维、创新思维和解决问题的能力。
整个试卷分为选择题和解答题两个部分，总分为150分。
二、知识点分析1、集合与逻辑：主要涉及集合的交、并、补运算，逻辑关系以及数学归纳法等内容。
2、函数与极限：重点考察函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等性质，以及极限的定义、运算法则和求法。
3、三角函数与平面向量：这部分主要涉及三角函数的图像与性质、向量的基本运算及其应用。
4、数列与数列极限：重点考察数列的通项公式、性质，以及数列极限的定义、运算法则和求法。
5、平面几何与立体几何：这部分主要涉及平面几何的基本性质、三角形、四边形、圆的面积和周长计算，以及立体几何中点、线、面的关系和性质。
6、概率与统计：主要涉及概率的基本概念、随机变量的分布，以及统计的基本方法和应用。
7、导数及其应用：重点考察导数的定义、运算法则，以及导数在函数单调性、极值、最值等方面的应用。
8、数学建模与数学应用：这部分主要涉及运用数学知识解决实际问题的能力，包括数学建模、数值计算等。
三、难点解析1、选择题：第1题考查集合的交、并、补运算，第2题考查逻辑关系，第3题考查数学归纳法，第4题考查函数的性质，第5题考查三角函数的图像与性质，第6题考查向量的基本运算及其应用，第7题考查平面几何的基本性质，第8题考查立体几何中点、线、面的关系和性质，第9题考查概率的基本概念，第10题考查随机变量的分布，第11题考查统计的基本方法，第12题考查导数的定义和运算法则，第13题考查导数在函数单调性、极值、最值等方面的应用，第14题考查数学建模，第15题考查数值计算。
这些题目都需要参赛学生深入理解和熟练掌握相关的数学知识点，并能够灵活运用。
2、解答题：第16题考查二次函数的性质和最值求解方法，第17题考查三角函数的恒等变换和应用，第18题考查数列的通项公式和性质，第19题考查平面几何中三角形、四边形、圆的面积和周长计算，第20题考查立体几何中点、线、面的关系和性质，第21题考查概率的分布和统计的方法，第22题考查导数在函数单调性、极值、最值等方面的应用，第23题考查数学建模和数值计算。
2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)参考答案
2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(一)一、选择题（每小题5分，共50分）1．全集=U R ，{}12≤≤-=x x A ，{}31≤≤-=x x B ，则( B C)A U A ．}31|{≤<x x B ．}32|{≤<-x x C ．2|{-<x x 或}1-≥x D ．2|{-<x x 或}3>x 2．若复数z 满足i i z 711)2(+=- (i 为虚数单位)，则z 为 A ．i 53+B ．i 53-C ．i 53+-D ．i 53--3．如图所示的程序输出的结果为65，则判断框中应填的条件是A ．5<i ？B ．6<i ？C ．5≥i ？D ．6≥i ？4．某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示， 则此几何体的体积是A ．13cm B ．33cm C ．53cm D ．73cm5．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是A ．]2 ,2[-B ．]1 ,1[-C ．]3,0[D ．]3,3[-6． y kx =与圆22(2)1x y -+=的两交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 分别为7. 设1x 2x 分别是210--=x x和2lg --=x x 的解，函数()()21)(x x x x x f --=，则A.)3()2()0(f f f <<B.)3()0()2(f f f <=C.)2()0()3(f f f =<D.)2()3()0(f f f << 8．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π （第3题图）侧视图俯视图9. 设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 10．C 1：)0(22>=p px y 与C 2：)0,0(12222>>=-b a by ax 交于A ，B 两点，C 1与C 2的两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则=||||CD AB A ．25 B ．26C ．5D ．6 二、填空题（每小题7分，共49分） 11．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM 的子集有 个.12. 设命题 P: c c <2和命题Q: 对任何R x ∈，0142>++cx x 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是 .13．数列{}n a 满足12323111333a a a +++…1313n n a n +=+,则=n a . 15．数列{}n a 满足：11,7a =对任意n *∈N ，17(1),2n n n a a a +=-则14131314a a -= .16．已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2x y 的最小值是 .17．实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x+y －xy 的最大值为 .二、解答题（每小题17分，共51分） 18．在ABC ∆中，cos sin b C C a c =+． （Ⅰ）求证A B C 、、成等差数列；（Ⅱ）若b =2a c +的最大值．19．等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知nn a b 1log 3=，记12n S b b =++…n b +，11111111336n T =++++++……1111136nS +++++L ,求证：20141013T <．20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为)1,0(F ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）如图，过F 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，分别交抛物线C 于A 、B 与D 、E ，设AB 、DE 的中点分别为M 、N ，求FMN ∆面积S 的最小值．（第20题图）2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(一)参考答案与部分解析一、选择题.1-5 AABDD 6-10 AAABA5. 由1sin sin =+y x ……①;cos cos =x y t +……② 两式平方再相加得：()22cos =1x y t --.又因为()1cos 1x y -≤-≤，故21112t --≤≤，解得t ≤.7. 解析：数形结合，设函数10x y =和lg y x = 与直线2y x =--交于A ，B 两点，则A ，B 关于y=x 对称，由11(,2)A x x --得1(B x --由图可知： 122x x --=，即122x x +=-. 函数函数()()21)(x x x x x f --=的对称轴1212x x +=-，故选A. 8. 解析：利用向量运算的几何意义.故选A.9. 解析：数形结合，作出函数图象，易知max ()2f x =.y x=11(,x x -（第7题图）C '（第8题图）（第9题图）10. 解析： 由22y pxb y xa ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得222c pa x b =，又因为2c p x =，联立得2b a =……①. 由题可知点2(,)b A c a，即(,4)A c a ，代入22y px =得：2162a pc =……②因为22225c a b a c =+=⇒=……③由②③得：a =所以22||4||2b AB a a CD p p ===，故选A. 二、填空题（每小题7分，共49分） 11．8；解析：集合130,5,5M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，子集有328=个. 12. 11(,0][,1)22-U . 13．112132n n n a n +=⎧=⎨≥⎩；解析：利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得112132n n n a n +=⎧=⎨≥⎩. 15．37；解析：利用数列的周期性得14131314a a -=37. 16．92；解析：令2x t y=，即2x ty =，则t 的几何意义是抛物线的开口大小，易得min 92t =.17．令,x s t y s t =+=-，则222s t +=，则222()x y xy s s t +-=--221552222()222s s s =+-=--+≤二、解答题（每小题17分，共51分）18．在ABC ∆中，cos sin b C C a c =+． （Ⅰ）求证A B C 、、成等差数列；（Ⅱ）若b =2a c +的最大值． 解答：（Ⅰ）由正弦定理得：sin cos sin sin sin B C B C A C =+则sin cos sin sin()sin B C B C B C C =++则sin cos sin sin cos cos sin sin B C B C B C B C C =++sin cos sin sin 0B C B C C -+=因为sin 0C >cos 1B B -=，所以2sin()16B π-=，解得3B π=.又因为A B C π++=，所以2A C B +=，即A 、B 、C 成等差数列.（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin sin 60a c A C ==o，所以2sin a A =，2sin c C =. 所以224sin 2sin 4sin 2sin()3a c A C A A π+=+=+-4sin sin A A A =++5sin A A =)A ϕ=+所以()max 2a c +=.19．等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知nn a b 1log 3=，记12n S b b =++…n b +，11111111336n T =++++++……1136nS +++++L ,求证：20141013T <． 解答：（Ⅰ）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设111136n nB S =++++L ，由题可得n b n =，(1)2n n n S +=， 所以1222(1)1n S n n n n ==-++， 所以111111111112(1)()()()36223341n n B S n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦L L 化简得：21n n B n =+，11112n B n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 要证201411111111111121222322014T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11111120141013221232014⎛⎫=⨯+⨯++++< ⎪⎝⎭L 只要证1111121232014++++<L ， 而11111111111232014123201420152047++++<+++++++L L L11111111111234567102410252047⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 11111111111224444102410241024⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 111124102411121241024=+⨯+⨯++⨯=<L 所以20141013T <得证.20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为)1,0(F ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）如图，过F 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，分别交抛物线C 于A 、B 与D 、E ，设AB 、DE 的中点分别为M 、N ，求FMN ∆面积S 的最小值． 解答：（Ⅰ）12=p，∴抛物线C 的方程：y x 42=． （Ⅱ）显然AB ，DE 的斜率都存在且不为零．设),(),,(,1:2211y x B y x A kx y AB +=，由⎩⎨⎧=+=yx kx y 412得，0442=--kx x ，∴121,22221+=+==+=k kx y k x x x M M M．同理1211,22+=+-=-=k x k y k x N N N ．即)12,2(2+k k M ，)12,2(2+-kk N ， ∴kk kk k k k MN 122121222-=+--+=． ∴ MN ：)2)(1(122k x k k k y --=--，即3)1(+-=x kk y ．∴ 直线MN 过定点)3,0(Q ．∴ 4)||1|(|2|22|221||||21≥+=+⨯⨯=-=k k k k x x QF S N M ， 当||1||k k =，即1±=k 时，4min =S ．（第20题图）。
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浙江省高二数学竞赛模拟试卷（1）班 姓名一、选择题（每题6分共36分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[ ]个A.360B.252C.720D.2402.已知数列{n a }(n ≥1)满足2+n a =1+n a -n a ，且2a =1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[ ]A.2005B.2006C.2007D.20083.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是060，又侧棱与底面所成的角都是045，则这个棱锥的体积是[ ] A.1 B.3 C.43 D.23 4.若n n n x a x a x a a x 2222102)42(++++=+ (n ∈N +), 则n a a a 242+++ 被3除的余数是[ ]A.0B.1C.2D.不能确定5.已知)2,2(,-∈y x ，且1xy =，则224422yx -+-的最小值是 [ ] A 、720 B 、712 C 、72416+ D 、72416- 6.在边长为12的正三角形中有n 个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n 的最小值是[ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题9分共54分）7.在锐角三角形ABC 中，设tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为8.∑=++++1001)]910)(710)(310)(110[(i i i i i 的末三位数是_______9.集合A 中的元素均为正整数，具有性质：若A a ∈，则12-A a ∈，这样的集合共有 个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB|=1168.在抛物线上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形 ，若存在，C 点的坐标是 .11.在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则 2005200620072S S S +-的值为12. 设函数x x x f λ-+=31)(，其中.0>λ函数)(x f 在),0[+∞上是单调递减函数； 则λ的取值范围是_____________________.三、解答题（每题20分共60分）13. 已知点A ()0,5和曲线()0,5221422≥≤≤=-y x y x 上的点、、P P 21…、n P 。
若A P 1、A P 2、…、A P n 成等差数列且公差d >0,(1). 试将d 表示为n 的函数关系式.(2). 若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈51,51d ,是否存在满足条件的)(*N n n ∈.若存在,求出n 可取的所有值,若不存在,说明理由.14.设a,b,c ∈(1,+∞)，证明：2(b a a b +log +c b b c +log +ac c a +log )≥c b a ++9.15.定义下列操作规则：规则A ：相邻两数a 、b ，顺序颠倒为b 、a ，称为一次“变换”。
（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：1→→、2、3、41、3、2、43、1、2、4。
）规则B ：相邻三数a 、b 、c ，顺序颠倒为c 、b 、a ，称为一次“变换”。
规则C ：相邻四数a 、b 、c 、d ，顺序颠倒为d 、c 、b 、a ，称为一次“变换”。
现按照顺序排列着1、2、3、…、2004、2005，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2005、1、2、…、2003、2004。
问：（1）只用规则A 操作，目标能否实现？（2）只用规则B 操作，目标能否实现？（3）只用规则C 操作，目标能否实现？高二数学竞赛模拟试卷（1）参考答案一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[ ]个A.360B.252C.720D.240解：末位是0的数共有个45A -34A ，末位是2或4的数共有2(3414A A -2313A A )个.由加法原理，共有45A -34A +2(3414A A -2313A A )=252个.2.已知数列{n a }(n ≥1)满足2+n a =1+n a -n a ，且2a =1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[ ]A.2005B.2006C.2007D.2008解：3+n a =2+n a -1+n a =(1+n a -n a )-1+n a =-n a ,因此，对n ≥1，n a +1+n a +2+n a +3+n a +4+n a +5+n a =0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前2005项之和为1a ，即1a =2006，于是前2006项的和等于1a +2a =2007.所以选(C).3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是060，又侧棱与底面所成的角都是045，则这个棱锥的体积是[ ] A.1 B.3 C.43 D.23 解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此434363121=⨯⨯⨯=V 4.若n n n x a x a x a a x 2222102)42(++++=+ (n ∈N +), 则n a a a 242+++ 被3除的余数是A.0B.1C.2D.不能确定解：n a a a a 2420++++ =21[n n 22)42()42(+-++]=21[n n 2226+] n a a a 242+++ =n n n 22124)13(2-+-≡n n 21211)1(-⨯--=-2≡1(mod3).所以选(B).5.已知)2,2(,-∈y x ，且1xy =，则224422y x -+-的最小值是 [ ] A 、720 B 、712 C 、72416+ D 、72416- 解：由已知得x y 1=，所以294216414422442224242222-+--+-=-+-=-+-x x x x x x y x ＝)24(9712947122242x x x x x +-+=-+-+242422≥+x x 当且仅当2224x x =，即82=x 时，取等号 故当82=x 时，224422y x -+-有最小值72416+ 所以选CB C6.在边长为12的正三角形中有n 个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n 的最小值是[ ]A.17B.16C.11D.10解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，4>23(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是3.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC 完全被覆盖，这时若在三角形ABC 内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n 的最小值是11，所以选(C).二、填空题（每题8分共40分）6. 设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
解：,,(1)()()()2,x y R f xy f x f y f y x ∀∈+=--+ 对有(1)()()()2f xy f y f x f x y ∴+=--+有∴()()()2f x f y f y x --+=()()()2f y f x f x y --+ 即()(),0,()1f x y f y x y f x x +=+==+令得。
7.在锐角三角形ABC 中，设tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B 为锐角，所以tanB ≠0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则C 2cos =21x +，所以A 2tan =C 2tan 9=1cos 192-C=x x -+1)1(9 所以cos(B+C-A)=cos(π-2A)=-cos2A=1-2A 2cos =1-A 2tan 12+=x x 4554++, 即f(x)=x x 4554++. 8.∑=++++1001)]910)(710)(310)(110[(i i i i i 的末三位数是_______解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[1002i +100i+9][1002i +100i+21]=100002i 2)1(+i +3000i(i+1)+189≡189(mod1000).所以∑=++++1001)]910)(710)(310)(110[(i i i i i ≡∑=1001189i =189×100≡900(mod1000).所以末三位是9009.集合A 中的元素均为正整数，具有性质：若A a ∈，则12-A a ∈，这样的集合共有 个.解：从集合A 的性质可得，A 必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6},中某几个的并集，因此符合要求的A 共有16C +26C +36C +46C +56C +66C =62-1=63个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB|=1168.在抛物线上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形 ，若存在，C 点的坐标是 . 解：设所求抛物线方程为)0(22>=p px y ，由弦长|AB|=1168建立关于p 的方程. 解得 p=112或p=-1124(舍去)，故抛物线方程为x y 1142=. 设AB 的中点为D(x 0,y 0)，抛物线上存在满足条件的点C(x 3,y 3)，由于△ABC 为正三角形.所以CD ⊥AB ，|CD|=23|AB|=11312.由CD ⊥AB 得111533=-y x ① 由1124|1|11312||33=-+=y x CD 得② 解①②得11253=x ，1114,111111033-===y x y 或 )1114,111(-但点不在抛物线上.故抛物线上存在一点(1125,1110) 11.在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则 2005200620072S S S +-的值为解：当n 为偶数时，114321=+==+=+-n n a a a a a a ，故2n S n = 当n 奇数时，21=a ，115432=+==+=+-n n a a a a a a ，故23212+=-+=n n S n 故310041003210052200520062007=+⨯-=+-S S S12. 设函数x x x f λ-+=31)(，其中.0>λ函数)(x f 在),0[+∞上是单调递减函数； 则λ的取值范围是_____________________.解：（1）设+∞<<≤210x x ， 则].)1(11)1(1)[()()(32232313212121λ-+++⋅+++-=-x x x x x x x f x f 设3223231321)1(11)1(x x x x M +++⋅+++=，则显然3>M .∵0)()(21>-x f x f ,∴M 1>λ,∵311<M ,∴只需要31≥λ,就能使)(x f 在),0[+∞上是单调递减函数； 三、解答题（每题20分共60分）13. (1). ∵d>0,故为递增数列 ∴A P 1最小,A P n 最大 由方程()0,5221422≥≤≤=-y x y x 知)0,5(A 是它的右焦点, L: 54=x 是它的右准线, ∴251⋅=A P 3=A P n 于是d n )1()25(3---= ∴ )1(155>--=n n d (2) ∵)51,51(∈d ∴5115551<--<n 设)5526,455(--∈n 又∵*N n ∈ ∴n 取最大值14, n 取最小值8.∴n 可取8、9、10、11、12、、13、14这七个值。