从教材一例看椭圆新的“生成方式”
椭圆的课件ppt
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
探究椭圆的生成方式
探究椭圆的生成方式刘桂芹 天津蓟县第一中学一、背景分析在学习椭圆之后，学生对曲线与方程有了一定的了解；基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线的方程.一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材.通过学习，从书本的例题以及习题中的一些轨迹方程的求解中发现了许多生成椭圆的方法，除了椭圆的定义之外还有很多其它方法，如圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成的轨迹是椭圆.学生对椭圆已有一定的感性认识.归纳例题、习题是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识进行探究，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，在探究过程中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野.二、课堂生成1．创设情境 提出问题【师】同学们，前一段时间我们学习了求曲线的轨迹方程的方法，下面我们一起求解几个这类问题.教师给出2个问题 （1）将圆422=+yx上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程.（2）设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-,求点M 的轨迹方程.提问：通过求出方程，判断所求轨迹是什么曲线. 2．实践操作 获得感知【生】学生开始动手求解教师提出的问题.按照求曲线的轨迹方程的一般步骤进行实践操作.进而得出轨迹方程分别是（1）1422=+yx(2))5(191002522±≠=+x yx【师】请同学们观察以上轨迹方程，得出轨迹是什么曲线？【生】学生回答轨迹是椭圆，理由是它们均符合椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by ax .【师】椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种.椭圆的标准方程除应用定义推导方法外，你还有得到椭圆其他方法吗？刚才的推导过程给同学们怎样的启示？【生】学生开始议论，对这个问题产生浓厚兴趣.提出大胆猜想生成椭圆的方式可以从圆的纵坐标的变换和一个动点到两个定点连线的斜率之积两个角度考虑.【师】既然同学们产生了猜想，那就让我们一起来验证大家的猜想. 3．讨论探究 科学论证【师】将圆422=+y x 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的31、43、2倍，所得的曲线的方程又如何.计算出结果后，共同讨论探究将圆的纵坐标进行怎样的变换，可以得到椭圆？【生】学生通过仔细计算得出相应曲线方程194422=+yx、149422=+yx、116422=+yx.教师引导学生讨论得出结论：将圆的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短可以得到椭圆.【师】通过计算曲线的方程形如)0(12222>>=+b a by ax 或)0(12222>>=+b a bx ay仍然是椭圆的标准方程.生成椭圆的方式之一是将圆的纵坐标进行伸缩变换.【生】把学生分为两组，分别做“设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-，直线相交于点M ，且它们的斜率之积是2-、 31-并结合求得的结果让学生进行总结：你得到了什么结论？【师】最后向学生展示结论：当两条直线斜率之积是负常数时，动点M 的轨迹是椭圆。
案例分析：椭圆定义推导
案例分析：椭圆定义推导案例分析：椭圆定义推导案例分析：椭圆定义推导教学中，许多老师往往比较重视将教科书上的知识教给学生，忽视让学生领略知识的发生发展过程，忽视情意教学目标，忽视学生主体地位，学生的学习过程大多停留在理解，记忆，复述，重现知识的阶段，而奢谈学生思维能力的培养，心理素质的发展，个性品质的健全。
心理学理论认为：知识的获得是一种学生主动的认知活动，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的参与者。
人本主义教育观认为：成长的可能性是学生与生俱有的，而教育最重要，最根本的目的即在于将这种可能性转化为现实，培养学生成为“完整的人”。
在解析几何中，圆锥曲线是这块内容中的重点、难点和考点。
根据教材的安排，双曲线、抛物线的定义和性质的给出都是类比于椭圆的定义、性质。
因此，椭圆的定义、标准方程、性质的教学是这一内容的重中之重，而标准方程又是根据椭圆的定义得出，所以椭圆的定义推出显得至关重要。
现把这一教学片段展示如下：教师：在生活中，哪些事物是呈椭圆形的。
学生1：鸡蛋，橄榄球……还有个别学生2：没有画圆的圆。
教师微笑：大家说的都很对，椭圆是一个很美的图形，我想大家看了下面的几个场景就有此感觉了。
（演示课件：花卉的瓣，倒影在水面上的拱桥，美国白宫，地球运动轨迹等）（黑板上书写课题：椭圆定义及其标准方程）教师：椭圆的形状很美，它在生活中应用很广泛，从上面我们可以看到它用在建筑、天文学上，因此我们很有必要对椭圆进行研究。
我们看到椭圆的形状是一个压扁了的圆，那我们一起回忆圆的定义。
学生3：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。
教师：我们是怎样画圆的呢？同学们画画看。
（课前教师要求学生每人准备一块硬纸板，并发给每一位学生两颗图钉几颗及一根定长细绳子）学生：（动手画圆）教师：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹。
”行不行。
学生齐声地：行教师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？学生：（动手画椭圆）教师：（现场用几何画板制作课件：作椭圆）教师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活中找到了它的应用，下面我们能否根据上面圆的定义给出椭圆的定义？学生4：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。
制作椭圆教案设计方案模板
一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解椭圆的基本概念和定义；（2）掌握制作椭圆的基本步骤和技巧；（3）学会运用椭圆制作工具和材料。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、操作等活动，培养学生的观察能力和动手能力；（2）引导学生运用几何知识解决实际问题，提高学生的空间想象力和几何思维能力；（3）培养学生的团队合作精神，提高学生的沟通能力和协作能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对几何美学的认识；（2）培养学生严谨、细致、求实的科学态度；（3）培养学生的创新意识和实践能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）椭圆的基本概念和定义；（2）制作椭圆的基本步骤和技巧。
2. 教学难点：（1）正确运用椭圆制作工具和材料；（2）在制作过程中保持椭圆的几何性质。
三、教学准备1. 教师准备：（1）椭圆的相关知识PPT；（2）制作椭圆的工具和材料（如：铅笔、直尺、圆规、橡皮筋、硬纸板等）；（3）示范制作椭圆的步骤和技巧视频。
2. 学生准备：（1）准备制作椭圆的工具和材料；（2）预习椭圆的相关知识。
四、教学过程1. 导入新课（1）教师简要介绍椭圆的定义和几何性质；（2）提问：同学们，你们知道如何制作一个椭圆吗？2. 新课讲授（1）教师演示制作椭圆的步骤和技巧，并讲解每个步骤的注意事项；（2）学生跟随教师操作，尝试制作椭圆；（3）教师巡视指导，纠正学生的操作错误。
3. 课堂练习（1）学生独立完成制作椭圆的练习；（2）教师选取部分学生的作品进行展示和点评；（3）总结制作椭圆的技巧和方法。
4. 总结与拓展（1）教师引导学生总结制作椭圆的步骤和技巧；（2）拓展：探讨椭圆在生活中的应用，如建筑设计、机械制造等。
5. 课后作业（1）学生回顾制作椭圆的过程，总结经验教训；（2）课后完成制作椭圆的实践作业，提高自己的动手能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的参与度、合作意识、动手能力等；2. 作业完成情况：检查学生的实践作业，评价其制作效果和技巧掌握程度；3. 学生反馈：收集学生对本节课的反馈意见，为后续教学提供改进方向。
探究椭圆轨迹形成的若干方法
探究椭圆轨迹形成的若干方法作者：黄春妮来源：《新课程·中学》2014年第08期摘要：借助几何画板探究了椭圆轨迹形成的四种方法：定义法、压缩法、参数方程法、代数法。
关键词：椭圆；轨迹；几何画板一、定义法1.作图步骤：（1）在x轴上任取一点F1，并作关于y轴的对称点F2；（2）以F1为圆心作圆，在圆上任取一点P，连结PF2，并作线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点M；（3）选中点P和点M，作轨迹。
2.操作说明：拖动点P可观察轨迹形成过程，拖动点F1或F2可改变曲线的类型（由椭圆变成双曲线）。
3.典型例题：在⊙C：（x+1）2+y2=25内有一点A（1，0），Q为圆周上任一点，AQ的垂直平分线与QC连线的交点为M，求点M的轨迹方程。
4.使用说明：将点F1移到（-1，0）点，那么F2即为A，可将标签进行修改，再拖动圆上控制点将圆F1的半径调为5即可。
二、压缩法1.作图步骤：（1）以原点为圆心画圆O；（2）在圆O上任取以点P，过P作x轴的垂线；垂足为Q，在线段PQ上按需要的比例取点M；（3）选定点P和点M，作轨迹。
2.操作说明：运动点P可演示轨迹椭圆形成的过程，拖动点M可改变椭圆的形状。
3.典型例题：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，当点P在圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹是什么？变式：若点M为线段PQ上其他任意位置呢？4.使用说明：将点M移到相应比例的位置即可。
三、参数方程法1.作图步骤：（1）以原点为圆心画两个半径不同的圆；（2）在大圆O上任取点P，过P 作x轴的垂线，垂足为Q，连接OP交小圆O为点R，过R作线段PQ的垂线，垂足为M；（3）选定点P和点M，作轨迹。
OR）的旋转角，不是OM的旋转角。
4.使用说明：可直观地类比圆的参数方程与椭圆参数方程中参数的不同意义。
四、代数法2.操作说明：拖动点P可观察轨迹生成过程；拖动点C控制定值m，反映不同的轨迹。
椭圆的生成算法原理
椭圆的生成算法原理椭圆是数学中一个重要的几何图形，其形状类似于拉伸的圆，具有许多特殊的性质和应用。
椭圆的生成算法是指通过一系列步骤和公式来确定椭圆上各个点的坐标，即生成椭圆的过程。
下面将详细介绍椭圆的生成算法原理。
椭圆的生成算法主要有两种，一种是解析生成算法，另一种是数值生成算法。
1. 解析生成算法：解析生成算法是通过椭圆的几何性质以及数学公式来确定椭圆上各个点的坐标。
椭圆的数学定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的集合，这个距离之和被称为椭圆的焦距。
椭圆的生成算法可以通过以下步骤来实现：（1）确定椭圆的中心点坐标：椭圆的中心点坐标是椭圆坐标系的原点，可以通过给定的椭圆中心点位置来确定。
（2）确定椭圆的长轴和短轴长度：椭圆的长轴和短轴是确定椭圆形状的关键参数，可以通过给定的椭圆长轴长度和短轴长度来确定。
（3）确定椭圆的旋转角度：椭圆可以绕着中心点旋转一定角度，旋转角度可以通过给定的旋转角来确定。
（4）根据椭圆的数学公式确定椭圆上各个点的坐标：椭圆的数学公式为：x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度，θ是点P在椭圆上的极角。
通过以上步骤，椭圆的生成算法能够确定椭圆上任意给定角度的点的坐标。
2. 数值生成算法：数值生成算法是通过数值计算的方法来确定椭圆上各个点的坐标。
常用的数值生成算法有Bresenham算法和中点画圆法。
（1）Bresenham算法：Bresenham算法是一种通过离散化的方法来绘制椭圆的生成算法。
该算法通过遍历椭圆的象限来确定椭圆上各个点的坐标，并在每个象限内使用Bresenham画线算法来绘制曲线。
（2）中点画圆法：中点画圆法是一种通过迭代计算的方法来绘制椭圆的生成算法。
该算法通过以椭圆的中心点为起点，按照逆时针方向遍历椭圆的一个象限，根据一个决策参数来确定椭圆上各个点的坐标。
这两种数值生成算法能够准确地绘制椭圆，适用于计算机图形学等领域。
从数学史看教材中椭圆定义和方程的推导 (3)
从数学史看教材中椭圆定义和方程的推导椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何、物理、天文学等领域。
作为数学中的基础知识，椭圆在初中、高中以及大学数学课程中都有着重要的地位。
然而，在教材中椭圆的定义和方程往往被过于简化，不足以完全展现其数学意义和历史意义。
因此，本论文旨在从数学史的角度出发，对教材中椭圆的定义和方程进行具体的推导和分析，并结合历史上的实际问题加深理解。
二、定义的推导椭圆的定义最初可以追溯到古希腊时期。
当时，希腊人发现了一条特殊直线，被称为焦点，以及一条特殊几何形状，被称为轴。
根据轴和焦点的定义，椭圆可以定义为平面上所有到两个给定焦点的距离之和等于定值的点构成的集合。
如下图所示：其中，F1和F2是两个焦点，2a表示轴的长度，2c表示焦距的长度，P是椭圆上的某个点。
根据椭圆的这一定义，可以推导出椭圆的方程。
对于椭圆上的任意一点P(x,y)，有：$$PF_1+PF_2=2a$$根据焦距的定义，可以得到：$$PF_1+PF_2=2\\sqrt{c^2+x^2}$$因此，椭圆的方程为：$$(\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2})=1，a^2=b^2+c^2$$其中，a和b分别表示椭圆轴的长度，c表示焦距的长度。
三、历史问题的应用除了在数学中的应用，椭圆也在历史上有着广泛的应用。
在18世纪末，法国科学家拉格朗日就将椭圆引入到天文学中，利用椭圆轨道证明了开普勒行星运动定律。
在19世纪，德国天文学家开普勒就利用椭圆轨道研究了彗星的运动。
此外，椭圆还应用于火箭、卫星等领域的轨道设计中。
这些应用都充分体现了椭圆在现实生活中的重要性。
下面，结合历史上的实际问题，具体应用椭圆的定义和方程。
1.天文学：彗星的轨道研究开普勒是将椭圆轨道引入天文学中的先驱。
他发现，行星绕太阳的轨道并不是圆形的，而是椭圆形的。
算法之椭圆的生成算法
椭圆和直线、圆一样，是图形学领域中的一种常见图元，椭圆的生成算法（光栅转换算法）也是图形学软件中最常见的生成算法之一。
在平面解析几何中，椭圆的方程可以描述为(x – x0)2 / a2+ (y – y0)2 / b2 = 1，其中(x0, y0)是圆心坐标，a 和b是椭圆的长短轴，特别的，当(x0, y0)就是坐标中心点时，椭圆方程可以简化为x2 / a2 + y2 / b2 = 1。
在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。
为了简化，我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。
在进行扫描转换之前，需要了解一下椭圆的对称性，如图（1）所示：图（1）椭圆的对称性中心在原点。
焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y)，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)。
因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。
在光栅设备上输出椭圆有很多种方法，可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标，yekeyii利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不好，一般都不使用直接求解的方式。
本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和Bresenham椭圆生成算法。
1、中点画椭圆法中点在坐标原点，焦点在坐标轴上（轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：x2 / a2 + y2 / b2 = 1，也可以转化为如下非参数化方程形式：F(x, y) = b2x2 + a2y2 - a2b2 = 0 （方程 1）无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法，对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。
举个例子，如果某段圆弧上，x方向上增量+1个像素时，y方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果y方向上的增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来好像不在圆弧上。
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我 们从 教 材 的一 个 简单 例 题 的拓 展 、 变形 、 链接 ， 探 究 出椭 圆的一般 性结 论 ， 应 用 到高考 真 题 中 ， 可 以有 效地 化 繁为 简．
－
— — —
（ ≠± ｏ ） ； 其轨迹 是什么？
当ａ ＞ ｂ ＞ ０ 时， 以Ｂ 、 Ｃ 为长轴顶点 的椭圆（ 除去Ｂ、 Ｃ 两点 ） ．
图２
—
当ｂ ＞ ａ ＞ ０ 时， 以Ｂ 、 Ｃ 为短轴顶点 的椭圆（ 除去Ｂ、 Ｃ 两点 ） ． 当ａ ＝ ｂ ＞ ０ 时， 以Ｂ 、 Ｃ 为长轴顶点的椭圆（ 除去Ｂ、 Ｃ 两点 ） ．
（ 一） 纵 向探 究 归 纳 得 到 椭 圆 的一 种 “ 生成 方式 ”
结论 １ ： 与 两个 定点 日 （ 一 ａ ， ０ ） ， Ｃ （ ａ ， ０ ） 连 线 的斜 率 乘 积等于定值 一 （ 。 ， ６ ＞ ０ ） 的动 点Ａ的轨迹方程是 ＋ ： １
ｂ
弦， 结论 是什么？ 是否成立？ 请 进行探 究．
．
堑＋ ： １
６
３ ． 湖： Ｈ ￣ ２ ０ １ ２ 年高考理科第２ １ 题， 文科第２ １ 题． 设Ａ 是单位 圆 ＋ ｙ ＝ １ 上 的任 意一点 ， ｆ 是过点４与 轴 垂直 的直线 ， Ｄ 是直线ｆ 与 轴 的交点 ， 点 在直线ｆ 上， 且 满
懈： 一 ０ 一 删篡 １ 一 — 一（ 一 等 ｒ ．
（ 二） 逆 向探 究
得 出椭 圆 的 一个 性 质
问题２ ： 结论 １ 的逆命 题是什 么 ？ 结论 是否成 立 ？ 请 进
行探究．
结论２ ： 椭 圆 ＋ ： １ （ ｏ ＞ ６ ＞ ０ ） 长轴 的两个 顶点 与椭
Ｄ。
卷 中 以教材 的素 材为依 据 ， 经组 合加 工 、 改造 整合 和拓
经过探究 ， 可 以得到 ：
足１ Ｄ Ｍｌ ＝ ｍｌ Ｄ Ａ ｌ （ ｍ ＞ Ｏ ， 且ｍ≠１ ） ． 当点Ａ 在圆上运动时， 记
点 的轨迹为 曲线Ｃ ．
结论３ ： 椭圆 ＋ ： １ （ 口 ， ｂ ＞ Ｏ ， ０ ≠６ ） 上 任意经过原点
矿 Ｄ
（ １ ） 求 曲线 Ｃ 的方程 ， 判 断曲线Ｃ 为何 种圆锥 曲线 ， 并
一
圆上 ， 除这两个顶点外 的任一点连线斜率之 积为一 ＿ ｂ ２
．
证明 ： 如图１ ， 设Ａ（ ， ｙ ） 是 椭
Ａ
圆 詈 ＋ 吾 ： １ （ 口 ＞ ６ ＞ 。 ） 上 任 意 一 点 ，
（ 一 口 ， ０ ） ， Ｃ （ ｎ ， ０ ） ， 贝 ０ ・ ＝
．
．
曰
３
探究 ： 如图２ ，
（ ｒ Ｄ，
（ ｙ １ ） 是 椭
¨ Ａ
圆 ＋ ＝ １ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０ ） 上任 意一 点 ，
Ｂ（ ｘ ， Ｙ ） 、 ｃ （ ， 一 ｙ ） 是 椭 圆任 意 一 条 弦的两个端点 ， 则
２ ＿ ｙ ２ Ｙ １． Ｙ － ｙｌ ：ｙ ｋ Ａ Ｂ ＂ Ａ ｃ ＝— Ｙ －
— — ｌ
— 一 １
１ 。 —
高 中 版 中。 ？ 毒 ｉ ： 一 ０ １ ３年 ６月
＋ ：１．
的曲线Ｃ 可 以是 圆、 椭 圆或双 曲线．
６
因为
（ １ ） 求 曲线Ｃ 的方程 ， 并讨论Ｃ 的形状与ｍ 值 的关系 ；
：
一
２
ｂ２
上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为一ｂ ２
．
所 以 点 Ａ 的 轨 迹 方 程 是 等 ＋ Ｚ ４ ＝ Ｉ （ ≠ ± ３ ） ・
性 的结论． 二、 深 入 探 究
． 一
．
（ 三） 深度探究
构 建 新 的 认 知 体 系
问题 ３ ： 在结 论 ２ 中， 若ａ ＝ ｂ ＞ ０ ， 你 又能 得到 怎样 的结 问 题 １ ： 所 求 得 的 曲 线 方 程 中 一 等 一 号 ； 请 探 究 一 般 论 ？ 结论 ： 圆 ｚ ＋ ｖ ２ ＝ （ ｏ ＞ ０ ） 直径 的两个 端 点与 圆上 任意 点（ 除去这两点 ） 的连线斜率之积为一 １ ． 问题４ ：把结论２ 中的长 轴换成 经过原 点的任意一条
求其焦点坐标．
的弦 的两个端点与椭 圆上 的任一点 （ 除这两点外 ） 连线斜
率之积为一 ｂ ２
．
（ ２ ） 过 原点斜率为ｋ 的直线交 曲线Ｃ 于Ｐ ， Ｑ 两点 ， 其 中 Ｐ 在第一象 限 ， 且它在Ｙ 轴 上的射 影为点Ⅳ， 直线 Ｑ Ⅳ 交 曲线 Ｃ 于另 一点 是否 存在 ｍ， 使 得对 任意 的ｋ ＞ Ｏ ， 都 有 上 Ｐ Ｈ？ 若存 在 ， 求ｍ的值 ； 若 不存在 ， 请说 明理 由． （ 尝试用前
所 以 Ａ Ｂ ． ｃ ＝ 一 一 ｂ ２
．
们 的 斜 率 之 积 为 一 丢， 求 点 Ａ 的 轨 迹 方 程 ．
解： 设Ａ（ ｘ ， ｙ ） ， 则
＋９ ｙ Ｚ ＝ ３ ６ ．
十 ｊ Ｘ － ３ ９ ， 即 。 一 ＝ 一 詈 所 以
‘
一４
所 以椭 圆丝 ＋ ｙ １ （ ｏ ＞ ６ ＞ ０ ） 长轴 的两 个顶点 与椭 圆
２ ０ １ ３年 ６月
考 纲 点 睛
试 究
从教 材一例看椭 圆新 的“ 生成方式 ＂
◎湖北省武汉 市第四十三中学 付 琼
湖北 高考 数 学 命 题 的指 导 思 想是 坚 持 稳 定 为 主 ， 注 重基 础考查 ， 突出能力 立 意 ， 着 力 内容创 新 ．每 年湖 北 都沿 袭 了“ 在 贴 近教 材 中设 计 ” 的命 题 风格 ， 很 多 中 低难 度 的试题 都来 源于课 本 的例 题和 习题 ， 文、 理科 试
、
问题 展 示
Ｙ
一
图１
一
一
问题背景 ： （ 人教版数学选修 １ — １ 第３ ５ 页例３ 改编 ） 已知Ｂ（ 一 ３ ， ０ ） ， Ｃ （ ３ ， ０ ） ， 直 线Ａ Ｂ， Ａ Ｃ 相交 于点Ａ， 且 它
０
２ ＿ ‘
因 为 詈 ＋ ２ ＝ ， 所 以 ６ （ １ － 詈 ） ＝ 一 等 （ Ｘ ２ － ａ ， ２ ） ，