五年级高思整除问题知识点
五年级数学讲义数的整除
数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。
①末尾是0。
②各个数位上的数字之和能被9整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。
762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。
3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。
小学整除知识点总结
小学整除知识点总结一、整除的概念整除就是某个数，除尽了另一个数，即余数为0。
例如8 ÷ 4 = 2，9 ÷ 3 = 3，都是整除的情况。
其中8被4整除，9被3整除。
二、整除的特点1. 被除数是整除数的整倍数；2. 如果一个数能被2整除，那么它一定是偶数；3. 如果一个数能被3整除，那它的各位数字之和也是3的倍数；4. 如果一个数能被5整除，那么它的末尾数字必须是0或5；5. 如果一个数能被6整除，那么它既能被2整除，也能被3整除；6. 如果一个数能被9整除，那么它的各位数字之和也是9的倍数。
三、整除的判断方法整除的判断方法有多种，根据题目要求选择不同的方法来进行计算。
下面列举一些常见的整除判断方法：1. 除数能否整除的判断方法：可以直接将被除数÷除数得到商，如果商为整数，则被除数能被除数整除；2. 末尾数字的规律判断：对于末尾为0、2、4、6、8的数，能被2整除；对于末尾为0、5的数，能被5整除；3. 各位数字之和判断：对于各位数字之和能被3、6、9整除的数，能被3、6、9整除。
四、整除的应用整除运用非常广泛，不仅在数学中应用广泛，也涉及到日常生活中的计算。
下面列举一些整除在日常生活中的应用：1. 购物找零：购物时，有时需要进行找零，这就需要进行整除的运算。
2. 时间计算：小时和分钟的计算也需要进行整除运算，如几点钟开始上课，几点钟下课等。
3. 数学题中的应用：解决数学题中的知识点，有时需要用到整除的运算方式。
总结：小学整除作为数学学习的重要知识点之一，在日常生活中也有着广泛的应用。
掌握整除的相关知识和技巧，除了能够帮助孩子们更好地学习数学知识外，也能够帮助他们在日常生活中更好地解决实际问题。
因此，家长和老师应该引导孩子们认真学习整除知识，并能够帮助他们将整除知识与日常生活相结合，更好地掌握和应用整除的相关知识。
高思数学_5年级上第2讲整除问题初步(彩色)
从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠．”高思教育一、整除的定义如果整数a 除以整数b （0b ≠），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作|b a ．如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除a ．二、整除的一些基本性质1.尾数判断法（1）能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除．（2）能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除．（3）能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．2.数字求和法能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除．3.奇偶位求差法能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除．我们把一个数从右往左数的第1位、第3位、第5位，……统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2位、第4位、第6位，……统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．分析 关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．23487高思教育练习1.在3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除？哪些数能被3整除？哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a 整除．分析 本题包括三个小问题，我们逐个分析：第一个数字使得173□能被9整除，由9的整除特征，我们只要考虑数字和即可；第二个数字使得173□能被11整除，由11的整除特征，需要考虑奇位和与偶位和之差；第三个数字使得173□能被8整除，由8的整除特征，需要考虑它的末三位73□．练习2.在23□的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次能被3、4、5整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决．后填入师先后填入的高思分析 这45名员工的工资都一样，所以总工资能被45整除．即678□□能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到4559=×，于是678□□应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.七位数22333□□能被44整除，那么这个七位数是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是4559=×，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．请同学们注意，虽然45315=×，但是在考虑能否被45整除时，不能考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？ 小幽默——天才未必事事都聪明 牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老猫，小的给小猫．在整除性的问题当中也有类似情况．比如要在36□200□的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4，只要考虑5和8即可，因为能被8整除的数也必然能被4整除．如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了．不知为何，记帐的这张纸破了两个洞，上面只剩下“是破的两个洞．刘经理记得每名员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这高思还有一些数的整除特征具有特殊规律．4.三位截断法能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除．例如：29071 的末三位是071，前面是29．它们的差为712942−=，42能被7整除，所以29071能被7整除．而42不能被13整除，所以29071不能被13整除．分析 根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．练习4.五位数7329□能被13整除，那么这个五位数除以13等于多少？分析 能被7整除的数的特征是末三位与末三位以前的数之差也能被7整除，能被125整除的数的特征是末三位能被125整除，我们可以利用这些性质将问题解决．们让小高写一个一位数放在个五位数能被36□35，并告诉墨莫说这个五位数既是小高写的五位数可能是多少？例题5高思教练习5.如果六位数36□7337□既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少？本讲知识点汇总一、尾数判定法：适用于2、5；4、25；8、125；…二、数字和判定法：适用于3、9、99等．三、奇偶位求差法：适用于11等．四、三位截断法：适用于7、11、13．作业1.（1）四位数72A A 能被5整除，那么A 可以代表哪个数字？（2）六位数1245F G 能被8整除，那么这个六位数最小是多少？2.（1）四位数71BB 能被9整除，那么B 代表哪个数字？（2）五位数2656D 能被7整除，那么D 代表哪个数字？高思教育3.萱萱买了14支铅笔、4支圆珠笔和7块橡皮．已知圆珠笔每支售价2元8角，橡皮每块售价6角，售货员让萱萱一共付款12元5角，售货员是否算错了呢？4.阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎被水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：11.4□□元（□表示不明数字）．你能帮助阿呆找出不明数字吗？5.现有一个六位数8732x y（x、y允许相同）：（1）如果它能同时被5和11整除，这个六位数可能是什么？（2）如果它能被56整除，这个六位数可能是什么？高思教育。
整除知识点总结与练习
整除知识点总结与练习一、整除的定义整除是指对于两个整数a和b，如果a能够被b整除，即a除以b的结果是一个整数，则称a能够被b整除，记作b|a。
其中a称为被除数，b称为除数，整数的除法结果称为商。
例如，6÷3=2，6除以3的结果是2，因此6能够被3整除，即3|6。
整除的定义表明了整除的两个基本特点：1. 整数a能够被整数b整除的定义是a÷b的结果是一个整数。
2. 整除的概念是具有传递性的，即如果a能够被b整除，b能够被c整除，则a能够被c整除。
二、整除的判定在计算整除时，通常需要用到整除的判定方法。
整除的判定方法主要有以下几种：1. 除法判定法：即直接计算被除数除以除数的结果是否为整数。
2. 因数判定法：利用被除数和除数的因数来判断整除关系。
3. 余数判定法：如果a能够被b整除，那么a÷b的余数为0。
4. 分解质因数判定法：将被除数和除数分解质因数，如果被除数分解后能够完全包含除数分解质因数的情况，那么a能够被b整除。
下面通过一些实例来说明整除的判定方法：例1：判断24能否被6整除？方法一：除法判定法，直接计算24÷6=4，结果为整数，因此24能够被6整除。
方法二：因数判定法，24的因数包括1、2、3、4、6、8、12，其中6是24的因数，因此24能够被6整除。
方法三：余数判定法，24÷6=4余0，余数为0，因此24能够被6整除。
方法四：分解质因数判定法，24=2³×3，6=2×3，24的分解质因数包含6的分解质因数，因此24能够被6整除。
综上所述，24能够被6整除。
例2：判断35能否被5整除？方法一：除法判定法，35÷5=7，结果为整数，因此35能够被5整除。
方法二：因数判定法，35的因数包括1、5、7、35，其中5是35的因数，因此35能够被5整除。
方法三：余数判定法，35÷5=7余0，余数为0，因此35能够被5整除。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1.答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．例题2.答案：123483789详解：设这个九位数为1234789++++=+是99a b baab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，895930-=能被7整除，只能填6．例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．例题5.答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．例题6.答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．练习1.答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2.答案：12327678简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360简答：牢记7和13的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 第二讲 整除问题进阶13 81 81 76上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．一、截断作和能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除．六位数2008能同时被9和11整除．这个六位数是多少？【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是什么？四位数能同时被9和11整除，这个四位数是多少？【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数能被99整除，这个八位数是多少？二、截断作差能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或11或13整除．【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？123678 已知九位数1234789能被99整除，这个九位数是多少？23四位数572能被7整除，那么这个四位数可能是多少？接下来我们处理一些较复杂的问题．【分析】在本题中，255259555999□个个能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些．因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？已知多位数2010120103111333个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？【分析】能被6，7，8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．已知51位数255259555999个个能被13整除，中间方格内的数字是多少？一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？课堂内外自古成功在尝试枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．作业1. 在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2. 四位数33能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3. 四位数278能被7整除，那么这个四位数是多少？4. 已知多位数201225881258258258□个（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？5. 已知多位数2011120113111333个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步
第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论.什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” ?整除的定义如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除,也可以说b 能整除a,记作b | a .「丁M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2.鼻、4. $、隔一亍？貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停!* w<?帀的T/如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a.整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除.从中我们可以总结出如下规律:和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a|能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除.||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.1数字求和法能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除.|(1) (2) (3)2.整除.例题2. 17石是一个四位数?文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题?下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上?但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除?我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除?你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“ 1234 口6口8 ”的号码可以申请?也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数?想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被 4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289?其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 ?其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数?王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除? ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 ?要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8?要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填 6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 ?先来看最小的数?要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 ?要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 ?再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 ?要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或 6.要想被 5 整除,空格中可填0或 5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。
小学五年级奥数-整除问题
五年级思维第二讲基础知识：1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除.性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a .性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a .性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除.2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾.3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除.4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.例题：例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为，105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85.例2、求所有的x ，y 满足使得72∣.解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价.解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143∣，根据11∣，有a+b =8，再根据13∣，所以13∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60.例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.解：168=3⨯7⨯8，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数是768768.例6、 要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？ 解：63=7⨯9. 考虑能被7整除，于是有7∣(100b+10c+6-100-a )，整理得 7∣(2b+3c-a +4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c =2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a =0. 此时，易验证b =0, b =1无解，而在b =2时，有解c =9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.例7、 所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，180035252090000 =÷，24403252010000 =÷，所以共有36个.例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.例9、已知（重复99次）能够被91整除，求.解：根据7和13的整除判断方法7（13）∣（重复99次）有7（13）∣（重复98次），因为（91,1000）=1，所以7（13）∣（重复98次），以此类推，就有7（13）∣，得到 =455，所以=55.例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？解：因为连续11个数是343的倍数，而33437=，但是11个数中之多有两个是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却是10000的倍数，所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5的倍数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.数学万花筒——趣题欣赏：1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。
整除重点知识点总结
整除重点知识点总结一、整除的概念1. 整除的定义：如果一个整数a除另一个整数b（且b≠0）的商仍为整数，那么我们说a 能被b整除，记作b|a。
即$a\%b=0$2. 被除数、除数、商、余数：（1）被除数：被除数是指被除数的整数（2）除数：除数是指除数的整数（3）商：商是指商的整数（4）余数：当被除数能被除数整除时，商为整数，余数为零当被除数不能被除数整除时，商不为整数，余数不为零二、整除的性质1. 0的整除性：0是任何整数的倍数。
2. 正整数的整除性：（1）整数c能被整数a、b整数：若c既能被a整数，又能被b整数，则c能被a，b的最小交集整数整除。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
3. 负整数的整除性：（1）整数c能被整数a整数：若c能被a整数，c能被-a、-b整数。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
三、整除的判断方法1. 用倍数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的倍数（倍数是指数字b 的n倍，n是整数）。
2. 用因数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的因数（因数是指a能被整数b整数）。
3. 用除法表示：若整数a能被整数b整数，则整数a÷整数b=商。
若商是整数，则整数a 能被整数b整数。
四、整除的应用1. 整数的奇偶性判断：一个数能够被2整数，称为偶数；一个数不能被2整数，称为奇数。
2. 整数的哪些整除：（1）整数判断：整数5能被整数2整数，因为5÷2=2余1；整数3不能被整数2整数，因为3÷2=1余1。
（2）一元一次方程：整数代表数的值，整除代表数的比值。
五、整除的解题方法1. 整除的运算规则：整除的加减乘除法规则。
2. 整数的乘法和除法：整数的乘法、整数的除法。
3. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
4. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
解整分是整数中的一个重要知识点，通过综合上述知识点的学习，我们可以更好地应用整除知识解决实际问题，提高数学解题的能力。
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五年级高思知识点、测试题
内容:第一讲第二讲整除问题
一末位判别法
1、能否被
2、5整除看个位
2、能否被4、25整除看末二位
3、能否被8、125整除看末三位
4、能否被16、625整除看末四位
二、数字和系列
1.被3整除的数的特征:各位数字之和能被3整除
2、被9整除的数的特征:各位数字之和能被9整除
3、弃九法和乱切法
把和为“9”的数字丢掉
把一个数随意的切成几段，再求和，然后看和能否被3或9整除判断能都被3或9整除
数字求和法求数字和数字较少时使用
弃九法和为9 就划掉数字较多时使用
乱切法随意切再求和有省略号时使用
4.99和999的断开求和法
9---------一位断开再求和
99-------两位断开再求和
999-----三位断开再求和
三、奇偶位差法------11
四、分解判别法
五.断开----求和-----做差
六.重码数问题
1、aaaaaa除以（7、11、13）
2.abcabc----7、11、13
3.ababab----7、13
4. abcdabcdabcd--7、13
练习
1.多位数5265914056囗能被9整除，则"囗"中可以填几？
2.多位数7A13能被11整除，
则A为多少？
3.多位数190AB能被11整除.则多位数有几个？
4.四位数3 □3□能被36整除，那么这个四位数可能是多少？
5.七位数22 □333 □能被44整除，那么这个七位数是多少？
6.要使六位数15ABC6能被36整除，而所得的商最小，那么A、B、C 各等于多少？
7.多位数6AB7能被99整除，则A、B乘积为多少
8.已知八位数123 □□678能被99整除，这个八位数是多少？
9.多位数1036A能被7整除，则A为多少？
10.
11.。