矩形、菱形、正方形(5)
矩形、菱形、正方形的性质与判定(5)
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）教学过程：一、情境创设矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？你能证明这些性质吗？二、探索活动问题一 观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）问题二 证明：菱形的4条边都相等。
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。
问题三 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。
三、例题教学例 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A 、E 、F 、C 、G 、H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC 两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点B 、M处固定，则B 、M 之间的距离是多少？分析：可将问题归结到菱形ABCD 中研究，求出BD 的长即可。
可根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理求出BD 。
例2 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上任一点， DF 交AC 于点E 。
求证：∠AFD=∠CBE 分析：结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”即可得证。
四、练习1、P 18 练习1B A DC G E H M F O DC B A EAB CD G2、证明：菱形对角线的交点到各边的距离相等。
五、小结菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。
第12课时 矩形、菱形、正方形(5)
第12课时矩形、菱形、正方形(5)预学目标1．动手实践课本P98“操作”，初步感受正方形的中心对称性．2．利用中心对称的性质初步了解正方形中相等的角和线段．3．从边、角以及对角线三个方面尝试归纳正方形的性质．4．通过课本P98中矩形、菱形、正方形的关系图，尝试了解正方形的识别方法．知识梳理1．正方形是中心对称图形如图1，将△AOB绕点O旋转180°，得到△_______；将△BOC绕点O旋转180°，得到△_______；将Rt△ABC绕斜边中点O旋转180°，得到Rt△_______；将△ABD绕点O旋转180°，得到△_______．2．正方形的概念3．正方形的性质（如图2）(1)正方形是平行四边形，具有平行四边形的一切性质．①AB_//_______，AD_______，即____________________________；②∠ABC＝∠_______，∠BAD＝∠_______，即______________；③OA＝_______，OB＝_______，即____________________________．(2)正方形是特殊的平行四边形，具有自身特殊的性质．①AB＝_______＝_______＝_______，即___________________________________；②∠ABC＝∠_______＝∠_______＝∠_______＝_______°，即______________；③AC＝_______或OA＝_______＝_______＝_______，即_____________________；④∠OAB＝∠________＝∠_______＝∠_______，∠OBA＝∠_______＝∠_______＝∠_______，即____________________________________________________________．4．正方形的识别方法（如图2）(1)从“平行四边形”的角度考虑∵□ABCD中，_______＝_______，∠_______°＝_______°，∴四边形ABCD为正方形( )．(2)从“矩形”的角度考虑∵在矩形ABCD中，_______＝_______，∴四边形ABCD为正方形( )．(3)从“菱形”的角度考虑∵在菱形ABCD中，∠_______＝∠_______°，∴四边形ABCD为正方形( )．例题精讲例1 如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别为AB、AD的中点，连接ED、FC交于点O，试说明DE⊥FC．提示：本题需利用正方形的边和角的性质先说明△ADE≌△DCF，再根据∠1、∠2、∠3之间的关系说明∠DOF＝90°．解答：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC．∵E、F分别为AB、AD的中点，∴AE＝DF．，∴/\ADE≌△DCF．∴∠1＝∠2．∵∠ADC＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠DOF＝90°．∴DE⊥FC．点评：由于正方形具有较多的性质，所以在解题时应准确分析题意，明确解题思路，正确选择和运用性质．例2 如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．(1)试说明△ABC是等腰三角形．(2)当∠A＝90°时，四边形AFDE是怎样的四边形？请说明理由．提示：(1)说明∠B＝∠C即可；(2)判断四边形AFDE的形状时，除了考虑角的关系外，还要结合边的关系考虑．解答：(1)∵DF⊥AB，DE⊥AC．∴∠BFD＝∠CED＝90°，∵D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵BF＝CE，∴Rt△BFD≌Rt△CED．∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．(2)当∠A＝90°时，四边形AFDE是正方形．∵∠AFD＝∠AED＝∠A＝90°∴四边形AFDE是矩形．∵Rt△BFD≌Rt△CED，∴FD＝ED．∴四边形AFDE是正方形．点评：本题是探索结论型题目，解答时往往考虑不够全面、具体，仅仅认为是矩形．热身练习1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A．对角线相等B．对角线互相平分C．四个角都是直角D．对角线互相垂直3．如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形( )A．一定是平行四边形B．一定是矩形C．一定是菱形D．形状无法确定4．(1)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_______，使得该菱形为正方形．(2)已知正方形的一条边长为 4 cm，则这个正方形的周长为_______cm，对角线长为_______cm．面积为_______cm2．5．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．试说明：(1)△ABF≌△DAE．(2)DE＝EF＋FB．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．问：四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．参考答案1．B 2．D 3．D 4．(1)答案不惟一，如：∠DAB=90°(2) 16 165．(1) 略(2) 略6．四边形CFDE是正方形。
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形、菱形、正方形】5大知识要点总结
1. 矩形、菱形和正方形的定义及特点- 矩形是指具有四个直角的四边形，对角线相等，且相对边长相等。
- 菱形是指具有四个边长相等的四边形，对角线垂直且平分。
- 正方形是一种特殊的矩形和菱形，具有四个直角和四个边长相等的特点。
2. 矩形、菱形和正方形的性质和公式- 矩形的周长和面积分别用公式2*(长+宽)和长*宽表示。
- 菱形的周长和面积分别用公式4*边长和(对角线1*对角线2)/2表示。
- 正方形的周长和面积分别用公式4*边长和边长^2表示。
3. 矩形、菱形和正方形在几何图形中的应用- 矩形常见于建筑物的平面设计、画框、电视屏幕等。
- 菱形在菱形格子、菱形图案、梁的截面等中常见应用。
- 正方形常见于棋盘、地砖、窗户等设计中。
4. 矩形、菱形和正方形与其他几何图形的联系和区别- 矩形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。
- 菱形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。
- 正方形是特殊的矩形和菱形，具有独特的特点和应用。
5. 实际生活中的矩形、菱形和正方形的应用案例- 通过实际案例，解释矩形、菱形和正方形在生活中的运用和意义，如建筑结构、家居设计、工程绘图等。
- 分析实际案例中矩形、菱形和正方形的优缺点，引导读者对几何图形的深入思考和应用。
个人观点和总结通过对矩形、菱形和正方形的深入研究和比较，我深刻地认识到这些几何图形在我们日常生活中的重要性和应用广泛性。
它们不仅是数学中的重要概念，也是实际工程和设计中不可或缺的元素。
在未来的学习和工作中，我将更加注重对这些几何图形的认识和运用，以提高自己的学术和职业能力。
PS: 本文仅代表个人观点，如有不同意见，请指正。
矩形、菱形和正方形是我们生活中常见的几何图形，它们在建筑、设计、工程、艺术等领域都有着广泛的应用。
下面将对它们在不同领域的具体应用进行更详细地介绍。
我们来看矩形在建筑和设计中的应用。
矩形具有四个直角和对角线相等的特点，这使得它成为建筑物中常见的平面结构。
矩形、菱形和正方形的相互关系
矩形、菱形和正方形的相互关系简介矩形、菱形和正方形是几何学中常见的形状。
它们具有一些相似之处，但也有一些区别。
了解它们之间的关系可以帮助我们更好地理解它们的特点和性质。
矩形矩形是一个具有四条边和四个角的四边形。
矩形的对边长度相等且平行，且相邻两边的角度为90度。
矩形的特点是面积容易计算，即面积等于长度乘以宽度。
我们可以使用公式A = l * w来计算矩形的面积。
菱形菱形也是一个具有四条边和四个角的四边形。
与矩形不同的是，菱形的对边长度相等，但相邻两边的角度不一定为90度。
菱形的特点是它的对角线相互垂直且相等。
我们可以使用公式A = (d1 *d2) / 2来计算菱形的面积，其中d1和d2是菱形的对角线长度。
正方形正方形是一个特殊的矩形，它的四条边长度相等且每个角度都为90度。
正方形的特点是它的对角线长度相等且相互垂直。
正方形的面积计算也非常简单，即面积等于边长的平方。
我们可以使用公式A = s^2来计算正方形的面积，其中s是正方形的边长。
相互关系矩形和正方形是有关系的，可以说正方形是矩形的一种特殊情况。
正方形是一种特殊的矩形，其边长相等。
因此，矩形的特性同样适用于正方形。
菱形和矩形之间也有一些关系。
由于菱形的对角线相互垂直，因此它可以划分成四个直角三角形。
这些三角形的特性也适用于菱形。
总结一下，矩形和菱形可以有一些共同的特点和性质，而正方形则是矩形的一种特殊形式。
结论矩形、菱形和正方形之间有一些相似之处，但也有一些区别。
矩形和正方形之间的关系是正方形是矩形的一种特殊情况。
菱形则具有特殊的对角线性质，可以划分成四个直角三角形。
了解这些形状的特性和相互关系可以帮助我们更好地理解几何学的基础概念。
菱形正方形长方形平行四边形 的特征
菱形正方形长方形平行四边形的特征平面几何是数学中非常重要的分支之一。
它是研究平面内点、线、面以及它们之间的关系的学问。
在平面几何中，有许多不同的几何图形，包括圆形、三角形、四边形、梯形、矩形等等。
本文将重点探讨菱形、正方形、长方形和平行四边形这几种特殊的几何图形。
第一种几何图形是菱形。
菱形是一种四边形，其中每一边的长度相等，且两对相邻的边平行。
它也是一种特殊的矩形，因为它具有与矩形相同的两组相等的对角线，并且每一对对角线相交于90度的角。
因此，我们可以得出菱形的几个特征：1、菱形是一种四边形，其中每一边的长度相等，且两对相邻的边平行。
2、每一对对角线相等，并且相交于90度的角。
3、菱形的面积等于对角线之积的一半。
4、菱形的内角和为360度。
接下来是正方形。
正方形是一种四边形，其中四条边长度相等，且每个角都是直角。
因此，它也是一种特殊的矩形和菱形。
正方形具有以下几个特征：1、正方形是一种四边形，其中四条边长度相等，每个角都是直角。
2、正方形的对角线相等，并且相交于90度的角。
3、正方形的面积等于边长的平方。
4、正方形的内角和为360度。
第三种几何图形是长方形。
长方形是一种四边形，其中两对相邻的边相等，但不一定平行。
长方形也是一种特殊的平行四边形和矩形。
长方形的几个特征如下：1、长方形是一种四边形，其中两对相邻的边长度相等，但不一定平行。
2、长方形的对角线长度不一定相等，并且相交于90度的角。
3、长方形的面积等于宽度乘以长度。
4、长方形的内角和为360度。
最后是平行四边形。
平行四边形是一种四边形，其中两对相邻的边平行。
平行四边形也是一种特殊的梯形，但它的两对相邻的边长度相等。
平行四边形的几个特征包括：1、平行四边形是一种四边形，其中两对相邻的边平行。
2、平行四边形的对角线不一定相等，并且相交于90度的角。
3、平行四边形的面积等于底边乘以高度。
4、平行四边形的内角和为360度。
总结而言，菱形、正方形、长方形和平行四边形都是常见的几何图形。
9.4 矩形、菱形、正方形(5)
通过本节课的学习，你有哪些收获？
初中数学 八年级(下册)
9.4
矩ห้องสมุดไป่ตู้、菱形、正方形(5）
作 者：王正东（盐城市长荡初级中学）
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
矩 形
平行四边形
菱
形
？
怎样的平行四边形是正方形呢？
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
A
D
B
C
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形．
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
常用判别正方形的方法 矩形 正方形
菱形
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
正方形具有哪 些性质？ 平行四边形 正 矩形
方
形
菱形
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
正方形的性质 对称性---边---角---对角线---既是中心对称图形， 又是轴对称图形．
A O B D
C
对边平行，4条边都相等． 4个角都是直角． 对角线相等、垂直且互相平分．
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
例1 已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′ 、
C′、D′分别在AB、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝ DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
练一练
P82-83第1、2、3题．
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学第一学期教学案
3.5 矩形、菱形、正方形（5）
学习目标： 1、掌握正方形的性质和判定方法；2、能利用正方形的性质和判定解决问题；3、进一步加强分析问题和解决问题的能力。
学习重点：正方形的性质和四边形是正方形的判定方法. 学习难点：培养学生有条理地表达能力 学习过程： 一、情境创设：
1、你能用矩形纸片折出1个正方形吗？用虚线画出折叠线。
2、你能把
一个菱形木框变成正方形木框？动手试一试，并画出用虚线画出变化的过程图形和用文字说明变动的方法。
二、新课讲解： 1、正方形的概念：
如上图，BO 是等腰直角三角形ABC 的底边AC 上的中线.
（1）画出△ABC 关于点O 对称图形；（2）把点B 关于点O 的对称点记为D ，连结DA 、DC ，想一想四边形ABCD 是中心对称图形吗？说说理由。
（3）四边形ABCD 有什么特点？
定义： 的平行四边形是正方形 2、正方形的识别：
结论：（1）有一组邻边 的矩形是正方形。
（2）有一个角是 的菱形是正方形。
（3）有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形叫做正方形 3、正方形的性质：
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因而正方形具有矩形、菱形的一切性质，你能写出正方形的所有性质吗？
结论：正方形的对边 ；正方形的四条边 ；四个角都是 ； 对角线 。
三、例题讲解：
例1、如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，试探索BG 与DE 的关系
例2、如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是AC 上的点EG ⊥BC ，EF ⊥AB ，（1）试猜测DE 与FG
关系如何？并说明理由。
（2）如果正方形ABCD 的边长为4㎝，求四边形BGEF 的周长 。
例3、如图，正方形ABCD 中，AK=BH=CI=DJ ，那么四边形KHIJ 是什么样的四边形？为什么？
四、课堂练习： 1、（1）正方形的边长为2，则对角线长为 。
（2）正方形的边长与对角线长之比为 。
（3）正方形的对角线长为a ，则正方形的面积为 。
2、如图：正方形ABCD 的周长为15cm , 则矩形EFCG 的周长是______
3、E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE=AC ，AE 交CD 于F ，则∠AFC= .
4、如图，正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，且BE=BC ，EF ⊥BD ，DE 与CF 相等吗？为什么？
五、课堂小结：
六、布置作业：P101 10、11、12
思考题：（1）如图（1）正方形ABCD 中，AE ⊥BF 于点G ，试说明AE=BF 。
（2）如果把线段BF 变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？ （3）如果把AE 与BF 变动位置如图（3），（1）中的结论还成立吗？
主备人：俞永亮 审核人：夏存才
B C F
F
F。