16-7 量子力学简介

∵ x = 0, ψ = 0, ∴ B = 0
第十六章 量子物理
16 – 7 量子力学简介
物理学教程 第二版) (第二版)
∵ x = a,ψ = A sin ka = 0 ∴ sin ka = 0 ∵ sin ka = 0, ∴ ka = nπ ∞ Ep ∞ nπ k= , n = 1,2,3, 量子数 a
Ep = 0, 0 < x < a
2 2
d ψ 8π mE + ψ =0 2 2 dx h 2 d 2ψ 2 8π mE +k ψ =0 2 k=
h2
∞ Ep ∞
dx
o
a
x
ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx
ψ ( x) = A sin kx
波函数的标准条件:单值, 波函数的标准条件:单值,有限和连续 . 标准条件
Ψ 4π p = Ψ 2 2 x h
2 2 2
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
Ψ i2π = EΨ t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程 的含时薛定谔方程
第十六章 量子物理
h Ψ h Ψ =i 2 2 8 π m x 2 π t
16 – 7 量子力学简介 若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
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16 – 7 量子力学简介 一 波函数 概率密度 1)经典的波与波函数 ) 机械波 电磁波
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y ( x , t ) = A cos 2π (ν t
x
λ x E ( x , t ) = E 0 cos 2π (νt )
)
λ
H ( x , t ) = H 0 cos 2π (ν t )
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2
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ψ + k 2ψ = 0 ψ ( x ) = A sin kx ∞ Ep ∞ 2 x nπ k= , n = 1,2,3, 量子数 a nπ ψ ( x ) = A sin x a x o a
归一化条件 归一化条件
2 a A sin 2 0
Ep0
a
x
隧道效应 : 从左方射入的 粒子在各区域内的波函数
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16 – 7 量子力学简介 应用 1981年宾尼希和罗雷尔利 年宾尼希和罗雷尔利 用电子的隧道效应制成了扫描 隧穿显微镜 ( STM ), 可观测固 体表面原子排列的状况 .
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STM获得的硅晶 获得的硅晶 体表面原子排列 1986年宾尼希又研制了 年宾尼希又研制了 原子力显微镜. 原子力显微镜
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16 – 7 量子力学简介 三 一维势阱问题 粒子势能 满足的边界 边界条件 粒子势能 Ep 满足的边界条件
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∞ Ep ∞
0, 0 < x < a Ep = Ep → ∞, x ≤ 0, x ≥ a
意义 1)是固体物理金属中自由电子的简化模型; )是固体物理金属中自由电子的简化模型;
2
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不随时间变化 .
波函数的标准条件:单值的,有限的和连续的 . 波函数的标准条件:单值的, 标准条件 1) ) 2) ) 3) )
∫ ∞ < x , y , z < ∞ ψ
ψ
2
d x d y d z = 1 可归一化 ;
ψ ψ ψ , , 和 连续 ; x y z
为有限的, ψ ( x, y, z ) 为有限的,单值函数 .
8π mE k= h2
2
h E=n 2 8ma
2
2
h , (n = 1) 基态能量 基态能量 E1 = 2 8ma h2 2 , (n = 2,3,) 激发态能量 激发态能量 En = n 2 8ma
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 能量
2
o
a
x
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量子围栏照片
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�
2 2
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E = Ek + Ep
h Ψ h Ψ + E p ( x , t )Ψ = i 2 2 8 π m x 2 π t 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ = Ψ( x , t ) 粒子在恒定势场 恒定势场中的运动 粒子在恒定势场中的运动 Ep = Ep (x) (x
经典波为实 经典波为实函数
x
λ
y ( x , t ) = Re[ A e
第十六章 量子物理
i 2 π (ν t
x
λ
)
]
微观粒子具有波粒二像性, 它的波函数是什么? 问: 微观粒子具有波粒二像性 它的波函数是什么 波函数的物理意义是什么? 波函数的物理意义是什么
16 – 7 量子力学简介 2)量子力学波函数(复函数) )量子力学波函数( 函数) 描述微观粒子运动的波 描述微观粒子运动的波函数 微观粒子运动的 微观粒子的波粒二象性 微观粒子的波粒二象性
2
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 某一时刻在整个空间内发现粒子的概( 束缚态 )
问: 微观粒子的波函数遵循什么样的波动方程呢 ?
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16 – 7 量子力学简介 二 薛定谔方程( 薛定谔方程(1925 年)
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自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数 上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
∫∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
nπ xd x = 1 a
2 A= a
ψ ( x) =
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2 nπ sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a
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2 2
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d ψ 8π mE + ψ = 0 ∞ Ep ∞ 波动方程 2 2 dx h
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16 – 7 量子力学简介 3)波函数的统计意义 )
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表示在某处单位体积内粒子出现的概率 单位体积内粒子出现的概率. 概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率
Ψ
2
= ψψ
*
正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为 2 *
Ψ d V = ΨΨ d V
2
h2 2 2 15 E=n = n × 3.77 ×10 eV 2 8ma h2 近似于连续) E ≈ 2n = n × 7.54×1015 eV (近似于连续) 2 8ma
能量分立) 当 a = 0.10nm 时, E ≈ n × 75.4eV(能量分立)
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16 – 7 量子力学简介 *五 一维方势垒 隧道效应 一维方势垒
h En = n , (n = 1,2,3,) 2 8ma
2
势阱中相邻能级之 势阱中相邻能级之差 能级
h2 E = En+1 En = (2n + 1) 8ma2
E ∝ 1 m ,1 a
2
能级相对间隔 能级相对间隔 相对 当 n → ∞ 时, En (
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En h2 ≈ 2n En 8ma 2
o
a
x
2)数学运算简单,量子力学的基本概念,原理 )数学运算简单,量子力学的基本概念, 在其中以简洁的形式表示出来 . 薛定谔方程
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d 2ψ 8π 2 mE + ψ ( x) = 0 2 2 dx h
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∵Ep →∞, x ≤ 0, x ≥ a ∴ψ = 0, (x ≤ 0, x ≥ a)
粒子的能量虽不 粒子的能量虽不足以超越势垒 , 但在势垒中似乎 有一个隧道, 有一个隧道 能使少量粒子穿过而进入 x > a 的区 所以人们形象地称之为隧道效应 域 , 所以人们形象地称之为隧道效应 .
ψ
隧道效应 的本质 : 来源于 微观粒子的波粒 微观粒子的波粒 二象性 . 这已被 许多实验所证实. 许多实验所证实
波函数
ψ (x) =
概率密度 能量 量子数
0,
( x ≤ 0, x ≥ a )
2 nπ sin x, (0 < x < a) a a
2
o
a
x
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a h2 2 En = n 8ma2
n = 1, 2 ,3 ,
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Ψ( x, y , z , t ) h E λ= ν= p h
自由粒子能量 确定的 自由粒子能量 E 和动量 p 是确定的,其德布罗 可认为它是一平面 平面单色波 意频率和波长均不变 , 可认为它是一平面单色波 . 平面单色波波列无限长 平面单色波波列无限长 ,根据不确定原理 ,粒子在 x方向上的位置完全不确定 . 方向上的位置完全不 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数
Ep (x) Ep0
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0, x < 0, x > a Ep ( x) = E p0 , 0 ≤ x ≤ a
ψ
Ep0
o
a
x
a
x
粒子的能量