量子力学讲义
量子力学的通俗讲座
一、粒子和波动
我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。
1.1 粒子的图像
在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。
为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。
但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。
在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。
以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和
2
GMm
F x
（万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。
需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。
经典的多粒子系统
现在我们就有了一个关于世界的整体图像：宇宙是由很多质点构成的复杂系统，它们两两之间相互作用由2
GMm
F x =
决定，对每一个质点我们又可列出ΣF=ma 这样的运动方程，ΣF 表示每个质点所受的合力，与其他质点的位置有关，因此这是一个联立的二阶微分方程组。还是根据数学的理论，如果我们知道了初始时刻t=0时每个质点的位置和速度，我们即可无限精确地知道系统内每个粒子的轨迹。这在哲学上被引申为所谓的决定论，我们会倾向于相信：世界只不过是个巨大的钟表，人生的命运是确定的，事物的演化也是确定的等等。
当然要想在某一时刻同时测量出全世界所有粒子的位置和速度是不可能的，但这种操作上的不可能性是否意味着--“某一时刻全世界所有粒子具有确定的位置和速度”--本身就不存在呢？有些人可能会持怀疑的态度，这个可称为怀疑主义的态度，由此引申怀疑主义者会怀疑整个世界的实在性，怀疑人类是否有能力认识世 界。另一些人会倾向于相信，当然这种相信并无充分的证据，相信的好处是我们可建立起一个关于世界的整体图像，整个世界变得有秩序了，可以理解了。
不管我们是否相信决定论，牛顿力学本身获得了巨大成功，解释了大到行星运动，小到苹果落地等广泛的现象，因此主流物理学家在100多年前相信牛顿力学提供了描述整个世界的基础。
1.2 波动的图像
粒子和波
到目前为止我们还没有讲波动，实际上在有了粒子的图像后，我们很容易把波动还原为很多粒子的集体运动。比如最简单的波动，抖动绳子可产生一维波。 要解释这样的波动现象，最简单的模型就是假想把绳子分成很多很多份，每部分很小以至我们可将其视为质点，质点间的力用弹性力表示。看起来这就是一根弹簧， 上面放了很多等质量的小球，如果你横向摇晃第一个小球，这种运动就会渐次地传递给其他小球，即所谓横波；如果你纵向压缩拉伸第一个小球，这种纵向的振动也会渐次地传递给其他小球，即所谓纵波。
由此可见波动是一种集体运动，是由很多粒子参与步调统一的运动。最简单的波动是单色平面波，即体现为正弦或余弦函数：()sin A kx t ω-。波动的特点是会传播出去，因此你很难说波的位置在什么地方，对单色平面波来说，波动更是充满整个世界，位置概念是没有意义的。但我们可以发现相邻波峰间距离总是相同的，于是可定义波长：λ，我们还可发现每个质点振动一个周期的时间也是相同的，因此可定义频率：ν。
很多质点的集体运动--“波动”--和“粒子”是很不同的，描述粒子的运动，使用位置和速度（有
了分析力学之后，物理学家更习惯使用动量p=mv 来代替速度），描述波动使用波长和频率。
粒子的特点是分立的，每个粒子会集中地携带能量（
2
2
mv
），而波动的特点则是弥散的，能
量会均匀地分布在介质（中的每个质点）上，波动的能量正比于波幅的平方。从这个意义上我们说粒子的图像和波动的图像是排斥的，即我们无法想象一个对象既是粒子又是波动。
1.3 电磁波
尽管粒子的图像和波动的图像是互相排斥的，我们仍会认为粒子的图像更本质，波动的图像可还原为粒子的语言，因此是从属的。但物理学家很快又发现了一种新的波--电磁波。
电磁现象是不同于机械力学（即上面讨论的质点或质点系的运动）的新现象。麦克斯韦是电磁学中的牛顿，他提出的麦克斯韦方程组是解释电磁现象的基础。利用麦克斯韦方程组最重要的预言是光波就是电磁波。所谓电磁波就是电场（E）和磁场（B）在空间中的传播，和机械波中质点振动会在空间中传播一样，它们都满足类似的波动方程，只是波动传播的速度不同而已。
物理学家自然提出一个任务，即能否把电磁波还原为纯粹的机械运动？追求统一的物理是物理学家永恒的追求，牛顿使天上的物理（行星运动）和地上的物理（苹果落地）统一，麦克斯韦使光学和电磁学统一，那么经典力学和经典电磁学也应该是统一的。但实际上把电磁波还原为机械运动的努力是徒劳的，爱因斯坦另辟蹊径建立狭义相对论完成了这一任务。
如果考虑到光波或电磁波无法还原为机械运动，我们现在可说粒子的图像和波动的图像在概念上是同样重要的，粒子的图像和波动的图像是排斥的。
二、波粒二象性
在1900年前后物理学家已经建立起来由经典力学，经典电磁学和经典统计力学组成的经典物理学体系，有很多物理学家乐观地认为将来的工作仅仅是再往小数点后面再加几位。但一系列新现象却最终颠覆了经典物理学，今天我们说科学的基础，一般指的是相对论和量子力学。
根据一般的观点，量子力学诞生于原子物理学，即关于原子尺寸物理现象的研究。今天我们知道原子大约是0.1纳米，而人类肉眼可分辨（假设可借助光学显微镜）的尺寸大约是可见光波长的数量级--几百纳米，即我们研究的对象小了至少几万倍。从这个意义上说量子现象是超越于我们日常经验之外的。当我们提到粒子和波动的时候，即便没有系统地学习过物理学，我们也可借助日常经验知道粒子大致指的是什么现象，波动指的是什么现象。但当我们提到原子或电子的运动时，我们就没有这样的直观了。
2.1 双缝实验
所以必须得有一个机会供我们直观地体验一下量子现象。费曼曾提出著名的双缝实验[1]，
通过这个实验我们可建立量子力学的最基本概念--波粒二象性。
经典波动的双缝干涉
首先在光学中也有双缝实验，即当光通过双缝后，会呈现明暗相间的条纹状分布，这个称为干涉。干涉现象可以很容易地用波动图像解释。光是电磁波，当波照射到双缝上时，每个缝相当于是新的波源，每个波源都会发出一系列波峰和波谷，当两个波峰相遇时则加强呈现出明亮的条纹，当一个波峰和一个波谷相遇时则抵消呈现出暗条纹。
经典粒子通过双缝
现在我们假设以一束电子入射到双缝上，看看会发生什么现象。电子是量子力学对象，但现在我们先猜测它就是经典的粒子，这种情形下电子穿过双缝--呈上、下两个条状分布。那么实验的结果是什么呢？是明、暗相间的条纹状分布，就好像是光学中的双缝实验结果一样。这是否意味着电子是一种波动呢？就好像迄今为止我们都理所当然地认为光就是一种波动。
波粒二象性
我们可以再做一个实验，让电子一个、一个地通过双缝，看看是否会有干涉现象。实验结果是电子将随机地出现在任意位置，我们根本无法预测电子下一次出现在何位置。但我们也注意到电子并未弥散开来，每次都只出现在一个位置，这说明电子是粒子，具有唯一的位置。另外一个特点是当我们进行很多次这样的单电子双缝干涉实验后，电子的总体分布会趋于明暗相间的干涉条纹。
有趣的是，对于我们一直认为是波动的“光”，我们也可完成类似的实验，即当我们降低光的强度，最终我们发现光竟然也是由一个一个的粒子--“光子”组成的。当光强极弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随机的位置，很多单光子事件累积起来呈现干涉条纹。实际上人眼就是理想的“单光子”探测器，生理实验证明只需要5个光子就可使视杆细胞兴奋[2]。
因此，把电子（或光子）简单地设想为经典的粒子或经典的波动都是不可能的，现在我们说电子（或光子）首先是粒子，但它不是经典的，不能用位置和动量描述，而需要用波函数来描述电子的运动状态。这就是所谓波粒二象性，这与日常经验中的粒子是两回事，但物理学家们一般还称呼它们是粒子。
2.2 波函数
根据量子力学，粒子的运动状态是由波函数来描述的，其实经典的波动也是由波函数来描述的。量子力学中的波函数和经典波动波函数的区别在于：经典波动波函数有确切的物理含义，比如电磁波波函数表示的是变化的电场或磁场；量子力学中波函数不对应确切的物理含义，它一般是复函数，而物理量（如位置、动量）的取值是实数，但物理系统中所有信息却又都包含在波函数中，即根据波函数我们可求出物理量的取值。从数学形式上看波函数很类似经典波动的波函数，因为经典波动为计算方便也常常表示为复函数的形式；而量子力学中波函数在某些特定情况下也可表示为实函数的形式。这给思考量子力学问题带来很多直观上的好处，因为想象一个经典波动总是很容易的。
最简单的波函数是单色平面波：()
i kx t Ae
ω-，它所描述粒子的动量是：p k = ，能量是：
E ω= （前者是德布罗意的贡献，后者是普朗克等的贡献）。动量的表达式很有用，稍作
变形：h
p
λ=
，这个公式代表了波动语言（左边）和粒子语言（右边）的对应关系。
如前所述，波函数本身没有物理意义，但其绝对值的平方代表发现粒子的几率密度，这叫做波函数的统计解释（或玻恩解释）。因此粒子的平均位置：2
x x dx ψ
=?
。
用波函数的统计解释，可以很容易地理解费曼双缝实验，单电子通过双缝，可用波函数
12ψψψ=+表示，这里的1和2并不是表示1、2两个电子，单电子意味着只有一个电子，1ψ和2ψ都是这个电子波函数的一部分，1 对应的是上缝，2对应的是下缝。电子的几率分
布为：2
22
**12
121212ψψψψψψψψ+=+++，这相当于经典光学中两束光波的迭加，体
现为明暗相间的条纹，从数学上说它是由于干涉项**
1212
ψψψψ+导致的。
2.3 测量
我们继续对最简单的波函数：
()
i kx t Ae ω-做一些讨论，假设我们设法测量一下粒子的位置x[3]。
根据统计解释，波函数绝对值平方是粒子的分布几率，由于波函数的振幅是常数，粒子是等几率分布的，因此我 们可能在空间中任意地方等几率地观测到粒子。那么对于一次具体的测量，粒子将出现在何位置？我们没法预测，只知道会在空间任何地方，而按照经典的粒子图 像，我们总可在一定精度内测出经典粒子的位置。几率本质地出现在量子力学中，这和经典力学决定论式的世界观有本质的区别。
暂不讨论我们是如何测量粒子位置的，假设t=0时我们完成了一次成功的测量，我们会观测到粒子在某确定位置0x x =，现在我们问：在t=0之前的一瞬间粒子在什么地方？关于这个问题有两种答案[4]：
答案1：虽然我们无法精确地知道粒子在什么地方，但我们可推测其一定在0x 附近，因为根据狭义相对论，粒子运动速度存在一上限，因此在测量前一瞬间，粒子应在0x 附近。那么在测量前一瞬间，波函数还是单色平面波吗？因为我们考虑的是测量前，在此操作前波函数无任何理由发生变化，因此应当仍然是单色平面波。但根据量子力学统计解释，粒子应等几
率地分布在整个空间，而不是仅仅分布在0x 的附近。看来根据量子力学无法得到关于粒子的全部信息，从这个角度说量子力学是不完备的。因此一定还存在某种未知因素，决定了粒子在0x 附近，因为不知道该因素到底是什么，我们就管它叫隐变量。这是对量子力学的一种态度，即认为量子力学是不完备的，我们需要发展一种新理论取而代之。持这种观点的物理学家有爱因斯坦、玻姆等。
答案2：这一派物理学家认为基于波函数和统计解释的量子力学是完备的，我们可称之为正统派，对创建量子力学有直接贡献的玻尔、玻恩、海森堡等都属于这一派。正统派提出“波函数坍缩”来描述量子力学的测量过程。测量前是单色平面波，粒子等几率地处在整个空间，一次成功的测量意味着在这一瞬间，波函数坍缩为一位置在0x 附近的尖峰形函数（数学上叫δ函数，δ函数仅在0x 取值不为0，其他地方都是0）。根据统计解释，粒子只能在0x 位置，自然这是一次成功的测量，因为我们得到了唯一的位置，在t=0之后，我们再做测量，也只能获得0x 这一确定性的结论，因为尖峰函数再坍缩也只能是尖峰函数。那么正统解释是否意味着与狭义相对论矛盾呢？或者说我们是否可利用波函数坍缩来构造一个可以携带信息的超过光速的信号呢？仔细的分析否定了这种设想，但在这里我们暂不展开讨论。
波函数坍缩
这两派意见，到底哪一派正确呢？贝尔[5]后来针对隐变量理论提出了一个不等式--贝尔不等式，如果隐变量理论成立，不等式成立；如果正统解释成立，则不等式可以不成立。但迄今为止的各种实验对隐变量理论都是不利的，或者说量子力学是完备的，波函数中包括了粒子运动的所有信息。
2.4 经典和量子的界限
物理学家坚信：只有一个物理。原来经典物理可以描述的物理现象，比如行星的运动和几何光学也适用于量子力学。原则上量子力学应适用于所有的物理现象，只是对这些问题的处理会比较繁琐而已，而且经过繁琐的计算我们会发现奇异的量子行为被抵消掉了，这解释了为什么我们使用“错误”的经典理论也能得到正确的结果。
讨论经典和量子的界限[6]，目的并不是给出经典物理和量子物理分别适用的界限（只有一个物理），而只是在讨论什么时候必须使用量子力学，或什么时候量子效应不可忽略。
我们可以用一个简单的计算来讨论，量子效应比较明显意味着我们必须用波函数描述粒子，意味着干涉效应比较明显。回忆公式：h
p
λ=
，左边是描述波动性的波长，如果波动性较明显，说明波长应比较长，比如说达到几百纳米（达到可见光波段）。这意味着等式右边：h 必须越大越好，h 是普朗克常数，恰恰是个很小很小的物理量，这解释了为什么我们日常观察不到量子现象。p 是粒子动量，应越小越好，但再小也有上限，宏观物体普遍存在无规则热运动，无规则热运动能量可使用E=kT 来估计（即温度越高，无规则热运动越激烈，这也
与我们的常识吻合）。现在p =
B k 是另一个物理常数--玻尔兹曼常数，我们可讨
论：
（1）m 越小越好，这解释了为什么我们会在原子系统中观察到量子现象，因为电子（决定原子性质的主要因素其实是原子中电子的运动状态）足够小；
（2）另一方面T （温度）越低越好，这解释了为什么在低温条件下我们会观察到宏观量子现象，比如超导、超流和玻色凝聚等。
三、薛定谔方程
根据量子力学，系统状态是由波函数描述的，假设我们知道某时刻系统的波函数()0t ψ，我们希望知道系统是如何随时间演化的，即知道未来某时刻的波函数()t ψ。波函数随时间演化的规律是由薛定谔方程给出的：?i H t
ψψ?=?
。（?H 叫哈密顿算符）
薛定谔方程可能是物理学中最重要的方程，其地位很类似于牛顿力学中的牛顿第二定律F=ma 。它们都是描述随时间演化的动力学方程，不同之处在于牛顿第二定律中的加速度是对时间的二阶微商，因此需要知道初始时刻的位置0x 和速度0v 才可求解，而薛定谔方程中出现的是对时间的一阶微商，因此只需要知道()0t ψ就可确定()t ψ。牛顿第二定律和薛定谔方程都是确定性的方程，一旦初始条件确定了，未来的演化是唯一确定的，所不同的是牛顿力学中求得是轨迹，而量子力学中求出的是波函数。轨迹代表了真实的物理运动，而波函数则是一个复函数并不对应任何实际物理量。
但我们又说波函数中已经包含了物理系统所有信息，因此我们关心的物理量（也称观测量或力学量）可通过特定的数学步骤由波函数导出，当然并非所有经典力学中 可获得的信息在量子力学中也可获得。比如：我们在量子力学中无法同时获得一个粒子的位置和动量的取值，但在经典力学中我们是可以获得的。
3.1正则量子化
考虑最简单的波函数--单色平面波--(
)
i kx t Ce ωψ-=。波函数在任意x 的取值是复数，并不对
应具体物理量，但其绝对值()*x ρψψ=表示粒子处在x 位置的概率。因此我们虽然无法由
ψ预测x 的具体取值，但可计算x 的平均值（期望值）：()*
x x dx x x dx ψψρ==??。
我们可以把这样的数学步骤推广为：*?A A dx ψψ=?
，这里A 表示力学量A 的期望值，?A
叫做算符。算符是某种抽象的数学操作，它可把一个波函数映射为另外一个波函数，即：
?A
?ψ=。
可见：?x x =，但并非都这样简单。比如对动量p ，我们知道单色平面波对应的动量是p k = ，
只有一个确定的取值。如果：?p
i x
?
=? ，可以验证：p k = 。
现在我们已经能够写出：?x
和?p ，我们可计算它们的对易关系：[]??????,x p xp px i =-= ，这是个简化的写法，补充完整的形式是：[]??????,()()()()x
p x xp x px x i x ψψψψ=-= 。由这个关系我们可以严格地推导出不确定关系[7]，或测不准原理，即如果两个算符不对易
--??,0A B ??≠?
?
，我们无法同时无限精确地测量力学量A 和B ，这种不可能是量子力学理论体系决定的，而非操作的不可能。
由?x
和?p 我们可写出哈密顿算符?H 。哈密顿算符是由经典力学中哈密顿量得出的，单粒子的哈密顿量可写为：(),H x p T V =+，T 表示动能，V 是势能。多粒子哈密顿量可形式地推广为：(),i i i
H q p T V p q
L =+=
-∑
（L 是经典力学中拉格朗日量，其定义为：L T V =-），这里的q 表示广义坐标，可以是粒子的位置，也可以是刚体转动的角度等，p
表示广义动量，可定义为：L
p q
?=
? 。在经典力学中我们常常使用哈密顿量来描述一个物理系统，这种数学形式甚至可以推广为无穷多自由度（无穷多独立的广义坐标）的系统，比如
用于描述电磁场。
我们只需把经典的(),H q p 中的q ，p 分别用算符?q
, ?p --满足[]??,x p i = --予以替代，同时
保证()???,H q p 满足厄密性--()
*
*??H dx H dx ?ψ?ψ=??。我们即得到系统的哈密顿算符，这
样一个经典描述就变为对应的量子描述，这个过程在量子力学中叫正则量子化。
3.2求解薛定谔方程的例子
我们现在来求解最简单的薛定谔方程--()()2?,,2p
i x t x t t m
ψψ?=
? 。对应哈密顿算符为--2??2p H m =，只有动能，没有势能，即自由粒子。解出：22
2k E m
ω== ，即能量是连续的，
这与经典情形是一致的。
稍微复杂一点的问题--一维无限深势井。先考虑经典情形，相当于粒子在井内自由地运动，在井壁发生完全弹性碰撞，能量是连续的。如果考虑量子的情形：
1.波函数在井外出现概率为0，即井外波函数为0；
2.波函数在井壁处应当是连续的，即井壁处波函数亦为0；
3.波函数在井内，相当于是自由粒子的波函数，即：2221
2k E m λ
=∝ ；
即能量与井内波函数对应的波长有关，而波长的取值由于必须满足条件2（井壁处波函数为0）而有所限制，即只能取为：2L n λ=，这里L 表示势井宽度。因此：2
E n ∝，即能量取值不再连续，而是分立的。
类似地我们还可以考虑氢原子的模型（即假设一个电子围绕比它重很多的质子转动）。在这种情形下，波函数应当在转一圈后回到初始的取值，即：2r n πλ=。由此可证明：21
E n
∝
.
一个量子力学系统的能量分布可能是连续的（连续谱），也可能是分立的（分立谱），也可能是连续与分立混合的（混合谱）。
四、角动量和自旋
经典角动量是这样定义的：L r p =?，如果我们把r, p 看作是算符?r
，?p ，我们就得到了量子力学中角动量算符的定义：???L
r p =?。
我们可以计算?L 各分量?x L , ?y
L , ?z L 间的对易关系，并得到如下性质：
???,x y z L L i L ??=?? ，???,y z x L L i L ??=?? ，???,z x y L L i L ??
=?? 222??????,,,0x y z L L L L L L ??????===??????
根据不确定关系（测不准原理），我们无法同时精确获得?x L , ?y
L 的测量值，但我们可同时获得z L 和2
L 的测量值。因此我们预期可求解出以下方程：
2?,,?,,z
L
L λμλλμλμμλμ==
对这种形式方程的求解在数学上叫做本征值问题(Eigen value problem)，可以通过求解偏微分方程得出，其结果是：
()22?,1,?,,z
L
l m l l l m L l m m l m =+=
这里：0,1,2,...,m l =±±±, 0,1,2,...l =。即角动量量子数l 只能取整数。
我们还可以通过角动量算符的对易关系求解这个本征值问题，形式上得出相同的结果，但我
们发现这样计算出的结果对l 的要求也可以是半奇数，即：3122,,...
。
角动量量子数为整数的情形，我们可以用经典角动量的图像来理解，如行星围绕太阳运动，行星具有轨道角动量。但对于角动量量子数为半奇数情形，我们无法还原为经典角动量的图像。但我们发现有一种新的物理现象，必须使用角动量量子数为1/2的理论来解释，这就是自旋(spin)。
4.1斯特恩-盖拉赫实验
通常我们是通过斯特恩-盖拉赫实验[8]来引入自旋概念的。斯特恩-盖拉赫实验使用的是银原子（Ag ），银原子的电子结构是：2, 8, 18, 18, 1（[Kr] 4d10 5s1）。最外层是5s1，即一个5s 电子，除去最外层电子外，其他为满壳层。相比较于电子的磁矩，原子的磁矩可以忽略不计。
因此只需考虑电子运动导致的磁矩，而除最外层5s 电子外，其他电子轨道角动量、自旋角动量恰好完全抵消。又s 电子轨道角动量为零，因此银原子磁矩近似而言主要是由5s 电子
的自旋导致。
斯特恩和盖拉赫使一束银原子通过非均匀的磁场，发现银原子分裂为两束。磁矩在非均匀磁场中的受力：z
z z
B F z
μ?=?.
说明磁矩有两种取值，当时人们并没有自旋的概念，根据轨道角动量的理论，轨道角动量（L ）的取值只能是整数，如：0，1，2...，z L 的取值则有 2L+1种可能性，即由-L, -L+1, ..., L-1, L 。因此轨道角动量概念只能解释奇数条条纹分裂，而无法解释偶数条条纹分裂。解决方案是引入电子自旋(s)，自旋取值为1/2，z s 取值为- 1/2，1/2。
自旋是一个无经典对应的物理量，通常人们会把自旋理解为电子自身的转动，但这种图像是不成立的，理由可归纳如下：
1.迄今为止的实验，未发现电子有尺寸的下限，即电子是没有大小的；
2.如果把电子自旋考虑为刚体绕自身的转动的话，即假设自旋是某种经典的对应，我们解出的角动量量子数只能是整数，因此无法解释偶数条条纹；
3.如果把电子自旋设想为有限大小均匀分布电荷球围绕自身的转动的话，电荷球表面切线速度将超过光速，与相对论矛盾；
因此自旋导致的物理现象是纯粹的量子力学效应，讨论自旋可以最“干净”地引入量子概念，因为自旋无经典对应，我们也就不会受到经典图像的干扰。
4.2连续的斯特恩-盖拉赫实验
由于非均匀磁场可将不同自旋取值的银原子束分开，因此斯特恩-盖拉赫实验装置可看作是自旋的过滤器，比如沿z 方向的非均匀磁场可将12z s =和12z s =-的自旋分开，同样沿x 方向的非均匀磁场可将12x s =和12
x s =-的自旋分开等等。
上图表示将12z s =的自旋束过滤出来，如果连续通过两个这样的装置，仍有12z s =的自旋束射出。
先过滤出12z s =的自旋束，再试图过滤出12
z s =-的自旋束，最终无自旋束射出。
12z s =的自旋束通过x 方向非均匀磁场可将12
x s =的自旋束选择出来。
12z s =的自旋束通过x 方向非均匀磁场将12x s =的自旋束选择出来，再通过z 方向非均匀磁场，可将12z s =-的自旋束选择出来。
连续的斯特恩-盖拉赫实验说明，z s 取值和x s 取值无法同时确定，而在经典力学中我们总可
以同时确定z L 和x L 的取值，或x 与p 的取值。这正是量子力学区别于经典力学的本质特征，或者体现为海森堡不确定关系，或者体现为狄拉克的非对易代数。
4.3与偏振现象的类比
我们无法通过同时指定z s ，x s 的取值来描述自旋的态，但我们可类比光学中的偏振现象来达到对自旋态的描述。
在光学中有x 偏振光，y 偏振光，x ，y 是相互垂直的偏振方向。如果我们把x 方向逆时针转动45度，则得到x'偏振光，再继续转动90度，则得到y'偏振光。
这里x 偏振光类比为12z s =的自旋态，y 偏振光类比为12z s =-的自选态；x'偏振光类比为12x s =的自旋态，y'偏振光类比为12x s =-的自旋态。
沿z 方向传播的x ，y 偏振光：
()()
00??i kz t i kz t E e E e ωω--?=??=??E x
E y
沿z 方向传播的x'，y'偏振光：
(
)()()
()0()()0??????i kz t i kz t i kz t i kz t E e E e ωωωω----?'==+??
?
?'==-+??
E x x
y E y x
y
因此自旋态可表示为：
10011111z z x x s s s s ??
+=+ ?
????
-=- ?
???+??-?-??
由于非均匀磁场还可加在空间的y 方向上，所以尚需求出12
y s =和12y s =-的表达式。
可通过与圆偏振光类比得到。
右旋圆偏振光：()()??i kz t i ω-=
+E x
y
左旋圆偏振光：()()??i kz t i ω-=
-E x
y 因此可将12y s =±表示为：
11y y s i s i ?
+???-?-?
此即s=1/2，在sz 表象中各自旋态的表达。即表示为2维复线性向量空间(complex vector space)中的一个矢量，如果把2维推广为无穷维即所谓希尔伯特空间（Hilbert Space ）。
在此基础上我们还可得到自旋算符的矩阵表示：
01010???,,10001222x y z i S S S i -??????=== ? ? ?-??????
自旋体系的薛定谔方程可表示为：H H d i H H dt ψψψψ+++
+-+--+---??????
= ? ?????????
以矩阵形式表示的量子力学体系称之为矩阵力学，其创建者为海森堡等人，以波动方程形式（求解微分方程）表示的量子力学体系称之为波动力学，这两种形式是等价的。狄拉克通过建立表象理论证明了这二者的等价性。
注释和参考：
1. 费曼提出单粒子双缝实验时并未真的试图实现它，但现在已有物理学家完成真正的单电
子双缝干涉实验：https://www.360docs.net/doc/205026272.html,/cws/article/print/9745 2. 参考：https://www.360docs.net/doc/205026272.html,/eprint/abs/3531.html
3. 利用超快光学测量电子运动的最新进展：https://www.360docs.net/doc/205026272.html,/story/v21/st7 这里是通过制
备很多相同电子波函数，然后测量不同阶段电子的位置来获得电子运动图像的，并非是
对相同电子运动的持续测量。
4.关于波函数统计解释和波函数坍缩更详尽的讨论可参考：D. J. Griffiths, Introduction to
Quantum Mechanics, pp2-5;
5.关于贝尔和隐变量理论的介绍：https://www.360docs.net/doc/205026272.html,/node/24
6.关于量子和经典的界限，可继续阅读：https://www.360docs.net/doc/205026272.html,/cws/article/print/21590
7.参考J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, pp34-36;
8.参考J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, pp2-29;
曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...
曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录 第三版序言 我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。 这里涉及到科学上的继承和创新的关系。“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。 讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。 要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。 量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观 从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18； 人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18； 康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21； 在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21； 微观粒子波粒二象性的准确含义：P29； 电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31 在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32； 经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32； 波函数归一化不影响概率分布：P32 多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。例如，两个粒子的体系，波函数刻画的是六维位形空间中的概率波。这个六维空间，只不过是标志一个具有6个自由度体系的坐标的抽象空间而已。 动量分布概率： 1 波包的频谱分析 具有一定波长的平面波可表示为： ()e x p ()k x i k x ψ= （A1.1） 波长2/k λπ=,其特点是是波幅(或强度)为常数.严格的平面波是不存在的,实际问题中碰到的都是波包,它们的强度只在空间有限区域不为0.例如,高斯波包 221()exp()2x a x ψ=- (A1.2) 其强度分布222()exp()x a x ψ=-,如图A.1所示.可以看出,波包主要集中在1 x a < 区域中. 所以波包宽度可近似估计为:
量子力学讲义第二章讲义
第二章 一维势场中的粒子 §2.2 方 势 一、一维运动 当粒子在势场V (x ,y ,z )中运动时，其 Schrodinger 方程为： 22 [(,,)](,,)(,,)2V x y z x y z E x y z m ψψ-?+= 若势可写成： V (x ,y ,z ) = V 1(x ) + V 2(y ) + V 3(z ) 形式， 2212 [()]()()2x d V x X x E X x m dx -+= 2222 [()]()()2y d V y Y y E Y y m dy -+= 2232 [()]()()2z d V z Z z E Z z m dz -+= ψ(x ,y ,z ) = X (x ) Y (y ) Z (z ) ψ1(x ) x y z E E E E =++ 二、一维无限深势阱 0(0)()(0,) x a V x x x a ?<?? 这是定态问题 一维无限深势阱（0~a ）的求解 解：（1）列出各势域的 S — 方程 22 2 [()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+= 20222 2 2202 22()0202()0I I II II III III d m V E dx d mE dx d m V E dx ψψψψψψ?--=???+=???--=?? 00E V << 0()V →∞ ，令k = )(0>k ，β=方程可简化为：22 2 222 222 000I I II II III III d dx d k dx d dx ψβψψψψβψ?-=????+=???-=??
量子力学初步-作业(含答案)
量子力学初步 1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ ，则ψψ*表示______________________________________；(),r t ψ 须满足的条件是_______________________________； 其 归 一 化 条 件 是 _______________________________. 2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变) 3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为 ()()30x x x a a πψ= << 粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________. 4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ?= _________N·s. (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s) 5. 波长λ= 5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量λ?= 10-3 ?，则利用不确定关系式x p x h ??≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________. 6. 粒子做一维运动，其波函数为 ()00 x Axe x x x λψ-≥= ≤ 式中λ>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________. 7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现. 8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ，应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________. 9. 按照普朗克能量子假说，频率为ν的谐振子的能量只能为_________；而
量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程
I.波函数与Schrodinger方程 1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？ 答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描 述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为 ，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动 状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入 上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ). 经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经 典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程． 2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ? 答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为， 则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空 间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对 整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化． 3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流
量子力学史简介
近代物理学史论文题目：量子力学发展脉络及代表人物简介 姓名： 学号： 学院： 2016年12月27
量子力学发展脉络 量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景，甚至对当前科技的进步起着决定性的作用，但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展，与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。 通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。 旧量子理论 量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。 在19世纪末，物理学家存在一种乐观情绪，他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善，而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题，比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中，维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式，但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好，而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式，而该公式只在长波波段和实验符合的很好，而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式，普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单，在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式：对于一定频率f的电磁辐射，物体只能以hf为单位吸收
量子力学第五章习题
第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知 ()()0 ?H U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即 ()2004ze U r r πε=- ()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为 ()2 04ze U r r πε=- 在0r r <的区域, ()U r 可由下式 ()r U r e Edr ∞ =-? 其中电场为 () () 3023300000201 4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε?=≤?? =? ?>? ? 则有: ()()()() 2 2 3 2 000 22222 2200 033000000 1443848r r r r r r U r e Edr e Edr Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞ ∞ =--=- - =---=--≤??? ? 因此有微扰哈密顿量为 ()()()() 222 200300 031?220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ???--+ ≤? ?'=-=????>? 其中s e =类氢原子基态的一级波函数为 ()( 32 10010000032 02exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z e a ψ-==-?=?? 按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为 ()()()0 0*0011 11 100100 3 2222222000000?1 31sin 4422Zr r a s s E H H d Z e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ?θθπ -''==??????=--+?? ? ????????? ? ???
清华大学量子力学讲义Lecture14[1]
3. 系综与密度算符 1）纯系综和混合系综 相同的物理体系构成系综，例如由具有自旋的粒子构成的系综。 一个自旋为1/2的粒子的自旋态（方位角,αβ） /2/2(,)(,)(,)cos sin 22i i c c e e ααβ β χαβαβχαβχχχ-++--+-=+=+， 其中,χχ+-是?z s 的本征态， cos(/2)sin(/2) i c c e αββ+-=。 如果所有粒子的自旋都取相同方向，则称体系是极化系统，构成的系综是纯系综。 如果粒子的自旋不在同一方向，则构成的系综叫混合系综。例如自旋向上的粒子数占70％，自旋向下的粒子数占30％，体系是部分极化。一个自旋方向完全随机的系综，其自旋向上，向下的几率各有50％，整的表现是相互抵销，自旋为零，完全没极化。 2）系综平均与态密度算符 系统的力学量平均值 ?A A ααα=， 这里态α是固定的，是量子平均。进入任意表象B ， ,' ?''b b A b b A b b ααα=∑， 对表象的维数求和。 系综平均 [ ]A w A ααα=∑ ， 这里w α是体系处于态α的几率，显然满足归一化条件 1w αα =∑， 是统计平均，求和指标不是对表象的维数，而是对态。例如自旋1/2的粒子构成的系综，自旋表象的维数为2，但不同粒子的自旋态可以有很多取向，求和就是对不同的取向。
[],,','??''''b b b b A w b b A b w b b b A b αααααααα??== ??? ∑∑∑。 定义态密度算符 ?w αα ρ αα=∑， 它在表象B 的矩阵元 '?''bb b w b b αα ρρ αα==∑， []() ,'??????''b b b A b b b A b b A b tr A ρ ρρ==≡∑∑。 这是量子统计力学的基本公式。注意：表象变换不改变矩阵的求迹，上式不依赖于表象的选取。 在连续表象，例如坐标表象，密度算符的矩阵元 *'?''()(')xx x x w x x w x x αααααα ρρααψψ===∑∑ ， 系综平均 []() 3????A tr A d x x A x ρρ==? 。 密度矩阵满足归一化条件 ,,? 1 b b tr w b b w b b w w αααααααα ρ ααα α=====∑∑∑∑完备性条件 态的量子归一化条件 态的统计归一化条件 这里用到了归一化条件1α=和表象的完备性条件1b b b =∑。 设密度算符?ρ的本征态为θ， 22 ?,??ρ θθθρθρθθθθ==＝ 对于纯系综，所有系统都取同一个态n ，
量子力学总结
量子力学总结 第一部分 量子力学基础（概念） 量子概念 所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。 描述对象：微观粒子 微观特征量 以原子中电子的特征量为例估算如下： ○1“精细结构常数”（电磁作用常数）， 1371~ 10297.73 2-?==c e α ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ?? 即：数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~2 2 0me a =?，一般原子的半径1?
○4速率：26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-? ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期 秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒 角频率16 102.4~~?a v c ω， 即每秒绕轨道转1016圈 （电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ） ○6角动量： =??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念： 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论 波尔2个假设： 定态轨道 定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）
“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。 称P h h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。 答：动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性 （1）电子衍射实验 1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-? ， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ? =-? 不对易
证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-? i x x ψ? =-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-? i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i -= ，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。
原子物理讲义 第五章 多电子原子
第五章 多电子原子:泡利原理（YCS ） §5-1 氦光谱和能级 氦原子是1868年分析日全蚀光谱时发现的,30年后在地球矿物中找到.实验表明,氦及元素周期表第二族元素铍、镁、钙、锶、钡、镭、锌、镉、汞的光谱结构相仿.氦原子光谱的特点（详见P.213氦原子能级图）（氦能谱的以上4个特点分别包含着4个物理概念）: 1）明显地分成两套谱线系,左边一套为单层,右边一套多为三层;两套能级间无跃迁,各自内部的跃迁产生了两套独立的光谱.每一套都象碱金属原子光谱一样含有主线系,辅线系和伯格曼系等.但两套线系的构成截然不同. 2）存在几个亚稳态,表明某种选择规则限制了这些态以自发辐射的形式发生衰变; 3）基态01 S 1与第一激发态13 S 2 间能量相差很大,为eV .7719;电离能也是所有元素中最大的,为eV .5824; 4）在三层结构那套能级中没有来自2 (1S)的能级. §5-2 电子组态和原子态 1.电子组态:原子中各电子状态的组合 描述一个电子的状态可用s l m m l n 、、、四个量子数. 考虑电子的自旋－轨道相互作用,s l m m 、不再有确定值,则电子的状态用j j m l n 、、、描述. 氢原子只有一个电子,在不考虑原子核运动时,电子状态就表示原子状态. 对于碱金属原子,理论上可证明原子实的总角动量为0且不易被激发,被激发的只是价电子,可认为价电子的状态就表示碱金属原子状态. 多电子原子则必须考虑电子间的相互作用,原子的状态是价电子运动状态的耦合. 由于轨道运动的能量只取决于量子数l n 、,所以常用nl 来标记电子状态. 例如:氢原子处于基态时,电子处于01＝、＝ l n 的状态,记为s 1;氦原子处于基态时,两个电子都处于s 1态,则用两个电子状态的组合s 1s 1或21s 来表示;若一个原子有 3个电子,其中两个处在0,2==l n 的状态,另一个处在1,2==l n 的状态,则电子 组态为p s 222 . 在给定的电子组态中,各电子的轨道角动量大小是确定的,但其轨道角动量和自旋角动量的方向不确定.因此每一个电子组态 可耦合成若干原子态,由同一电子组态耦合成的不同原子态将且具有不同的能量,因为不同的角动量耦合产生的附加能量不同. 2.价电子间的相互作用 价电子间的相互作用除电子自身的轨道与自旋耦合外,电子间的轨道与轨道、自旋与自旋、轨道与自旋等角动量都要发生耦合作用.如两个价电子间可有6种耦合方式（如图示）:),(),(),(),(),(),(126215224113212211s l G s l G s l G s l G s s G l l G 、、、、、. 这6种耦合的强弱不等,一般情况下,65G G 、较弱可不考虑.下面考虑两种极端情况. 1）S L －耦合:21G G 、较43G G 、强得多,将两个轨道角动量和两个自旋角动量分别合 成总轨道角动量L 和总自旋角动量S ,再将L 和S 合成总角动量J .（S L -耦合对于较轻元素 的低激发态成立,适用性较广） 2）j j －耦合:43G G 、较21G G 、强得多,将各个电子的轨道与自旋耦合成各个电子的总 角动量1j 和2j ,再将其耦合成原子的总角动量J .（j j -耦合则较少见,只在较重元素的激发态中出现） 对于多电子耦合的情况可记为:? ??==-==-J j j j l s l s l s j j J L S l l l s s s S L )())()((:),(),,)(,,(:323322113213211 3.S L －耦合的原子态 21l l L +=.L 的大小为: 212121,,1,,)1(l l l l l l L L L L --++=+= 21s s S +=.S 的大小为:???=±=+=0 1,)1(21s s S S S S 原子的总角动量S L J +=,量子数S L S L S L J --++=,,1, 对于具有两个价电子的原子,当L 给定时,对应于0,1==S S 的两种情况,J 的取值分别 为: 1）0=S 时,L J =,表示原子只有一个可能的角动量状态,所以是单态. 2）1=S 时,1,,1-+=L L L J ,所以原子是三重态. 由以上分析知,具有两个价电子的原子都有单态和三重态的能级结构. 例:原子有两个价电子,其角动量状态分别为 2 1 ,2;21,12211= ===s l s l ,用
量子力学讲义
量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统
量子力学思考题及解答
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
量子力学周世勋习题解答第五章范文
第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze r U 02 4πε- =）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02 4)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102 00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2??022)0(r U H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z e a Z 02/130 3) 0(1)(-=πψ）
高等量子力学习题汇总
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
量子力学的产生与发展
量子力学的产生与发展 量子力学是描述微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。 量子的诞生 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。1900年德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hV为最小单位，一份一份交换的。普朗克利用内插法,将适用于短波的维恩公式和适用于长波的瑞利―金斯公式衔接起来.在1900年提出了一个新的公式。量子论就这样随着二十世纪开始由伟大的物理学家普朗克把它带到我们这个世界来。虽然在围绕原子论的争论过程中，玻尔兹曼(1844—1966年)在反驳唯能论时说过“怎么能说能量就不像原子那样分立存在呢？”这样的话，马赫(1838—1916年)曾经表明化学运动不连续性的观点，但真正把能量不连续的概念引入物理学的是普朗克。因为能量不连续的概念与古典物理学格格不入，物理学界对它最初的反映是冷淡的。物理学家们只承认普朗克公式是同实验一致的经验公式，不承认他的理论性的量子假说。普朗克本人也惴惴不安，因为他的量子假设是迫不得已的“孤注一掷的举动”。他本想在最后的结果中令h→0，但却发现根本办不到。他其后多年试图把量子假说纳入古典物理学框架之内，取消能量的不连续性，但从未成功。只有爱因斯坦最早认识到普朗克能量子概念在物理学中的革命意义。
著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。 量子的青年时代 杂乱的数字以及有趣的台阶想法 从光谱学中，我们知道任何元素都产生特定的唯一谱线。这些谱线呈现什么规律以及为什么会有这些规律，却是一个大难题。拿氢原子的谱线来说吧，这是最简单的原子谱线了。它就呈现为一组线段，每一条线都代表了一个特定的波长。比如在可见光区间内，氢原子的光谱线依次为：656，484，434，410，397，388，383，380……纳米。这些数据无疑不是杂乱无章的，1885年，瑞士的一位数学教师巴尔末（Johann Balmer）发现了其中的规律，并总结了一个公式来表示这些波长之间的关系，这就是著名的巴尔末公式。将它的原始形式稍微变换一下，用波长的倒数来表示，则显得更加简单明了：ν＝R（1/2^2 - 1/n^2） 1913年丹麦物理学家玻尔疑惑于卢瑟福原子行星模型的不稳定，建了一所“诺贝尔奖幼儿园”的卢瑟福向他推荐了这个公式。在玻尔眼里，这无疑是一个晴天霹雳，它像一个火花，瞬间点燃了玻尔的灵感，所有的疑惑在那一刻变得顺理成章了，玻尔知道，隐藏在原子里的秘密，终于向他嫣然展开笑颜。一个大胆的想法在玻尔的脑中浮现出来：如同具有一定势能的人从某一层台阶上跳下来一样。台阶数“必须”是整数，就是我们的量子化条件。原子内部只能释放特定量的能量，说明电子只能在特定的“势能位置”之间转换。也就是说，电子只能按照某些“确定的”轨道运行，这些轨道，必须符合一定的势能条件，从而使得电子在这些轨道间跃迁时，只能释放出符合巴耳末公式的能量来。氢原子的光谱线代表了电子从一个特定的台阶跳跃到另外一个台阶所释放的能量。因为观测到的光谱线是量子化的，所以电子的“台阶”（或者轨道）必定也是量子化的，它不能连续而取任意值，而必须分成“底楼”，“一楼”，“二楼”等，在两层“楼”之间，是电子的禁区，它不可能出现在那里。正如一个人不能悬在两级台阶之间漂浮一样。如果现在电子在“三楼”，它的能量用W3表示，那么当这个电子突发奇想，决定
中国科学技术大学量子力学考研内部讲义一(01-06)
量子力学理论处理问题的思路 ① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schr?dinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点； ④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质； ⑤ 联系实际问题，应用所得结果。 有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动 量算符?p 和坐标算符?x 之间的关系是?x p i x ?=-?，在动量表象中它们之间的关系为??x x i p ?=?，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。 这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！ 针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。 第一部分 薛定谔方程与波函数 在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。所以说薛定谔方程和波函数是学好量子力学的基础！ 一．波函数（基本假设I ） 在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(,)r t ψ表示，2(,)r t d ψτ表示t 时刻粒子处于空间r 处d τ体积元内的几率，即2(,)r t ψ代表粒子的几率密度。 1. 根据波函数的物理意义，波函数(,)r t ψ应具有的性质为： ⑴有限性－在全空间找到粒子的几率2 (,)r t d ψτ?取有限值，即(,)r t ψ是平方可积的； 粒子在全空间出现的几率和等于1，假如2 (,)1r t d ?τ∞≠?，我们找到一个比例系数
量子力学曾谨言习题解答第五章
第五章： 对称性及守恒定律 ［１］证明力学量A ?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2 22 H H A A dt d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ? 不显含t ，有 ]?,?[1H A i dt A d = （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]?,?[1H A i 的平均值，则有： ]?],?,?[[1]?],?,?[1 [ 1222 H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2 即得待证式。 ［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。 （证明）设A ?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有： ???= τ τψψ d A A ?* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1） ???-≡= τ τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*1]?,?[1 （１） 今ψ代表H ?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =? （E 为本征值） （２） 又因为H ?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ??????=)? (*)?()~ (?* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：
τψψτψψd A H i d H A i dt A d )? (*)?(1)?(?*1?????? -= ??? ???-= τψψ τψψd A i E d A i E ?**?* 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2 。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r d t d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21,??????[2 22z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21],??????[2 2 2z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式 可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[2122 2 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x ++++ + = μ μ μ （３）