清华大学量子力学讲义Lecture14[1]
量子力学优秀课件
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
清华大学量子力学讲义
任意矢量：
a
ˆ 算符（对矢量的运算，例如平移，旋转等） ： Ta 基矢： en , n 1, 2,3
基矢完备性： 内积： 矢量模方：
b ，仍然是 3 维空间中的一个矢量。
3 a an en
n 1
a b anbm en em
n ,m
n
写出矩阵形式： 外积： 由于 a b
a b
b Fa
ˆ 的矩阵形式，是一个方阵，矩阵元是 F 。 F 是算符 F mn
c
b
a
b
c ， a b 的作用是把矢量 c 变成了另一个平行于 a 的矢量，故外
积 a b 是一个算符。它的具体表示是一个方阵，矩阵元是
a
mn
ma bn ma nb
类似性： sx , s y , sz 和 Ex ' , E y ' 都可看成二分量矢量 不同： s 是内禀角动量，量子力学量； E 是空间相关力学量，经典力学量。
3
2. 线性矢量空间
从上一节，电子自旋角动量在任意方向的投影 sn 只能取两个值，可看成是一个二维矢量。为了 建立量子力学的矩阵描述方式，先讨论线性矢量空间。 1）3 维矢量空间
量子性质：当 sz 有确定值时， sx 没有确定值。 sz 和 sx 不能同时有确定值！
S N
S Sz+ Sz图b
Sx＋ Sx-
N
再让入射原子束经过 Z，X 和 Z 方向的三个磁场，见图 c。最后观察到 sz 有 sz 和 sz 两个分
量，说明在第三个磁场之前 sz 有两个值 sz 和 sz 两个分量（虽然 sx 有确定值 sx ） 。
量子力学课件
思考：设粒子处在二维无限深势阱中，
求粒子的能量本征值和本征函数。如a=b，能级的简并 度如何？
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第27页
例： 设粒子处于无限深方势阱
中，粒子波函数为ψ(x) = Ax(a-x)， A为归一化常数。 a) 求A； b) 求测得粒子处于能量本征态
的概率Pn.
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第21页
另一个例子
势阱内薛定谔方程及边界条件 在|x|<a的区域内，通解为
V(x)无奇点， ψ(x)和ψ’(x)连续。 ψ1(x), ψ2(x)代表同一量子态。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第12页
3.2 方势
精确求解一些简单的方形势的本征值问题。 经典运动和量子运动的主要不同点 特别是束缚态能量量子，以及非束缚“粒子”的运动中，波的反 射、共振和势垒贯穿现象。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第15页
3.2.1 一维无限深方势阱
V→∞ V(x) V→∞
E
V=0
0 ax
在阱内（0<x<a），能量本征方程为
m为粒子质量，E为能量。 在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，ψ=0.
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
能量可视为连续改变。可见，量子性显著
表现在空间范围很小的微观尺度中。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
量子力学14
In this lecture we will consider pure-state entanglement transformation.The setting is as follows: Alice and Bob share a pure state x∈X A⊗X B,but they would like to transform this state to another state y∈Y A⊗Y B by means of local operations and classical communication.This is obviously possible in some situations and impossible in others—and what we would like is to have a condition on x and y that tells us precisely when it is possible.The following theorem provides such a condition.Theorem14.1(Nielsen’s Theorem).Assume that X A,X B,Y A,and Y B are complex Euclidean spaces, and let x∈X A⊗X B and y∈Y A⊗Y B be unit vectors.Then there exists an LOCC super-operator Φ∈LOCC(X A,Y A:X B,Y B)such thatΦ(xx∗)=yy∗if and only ifTr XB (xx∗)≺Tr YB(yy∗).Remark14.2.It may be that X A and Y A do not have the same dimension,and in this case thecondition Tr XB (xx∗)≺Tr YB(yy∗)requires further explanation.To be more precise,the conditionshould be interpreted asV(Tr XB (xx∗))V∗≺W(Tr YB(yy∗))W∗for some choice of a complex Euclidean space Z A and linear isometries V∈U(X A,Z A)and W∈U(Y A,Z A).(If the condition holds for one such choice of isometries V and W,it holds for all choices.)In essence,this interpretation is analogous to padding vectors with zeroes as we did when we discussed the majorization relation between real vectors of different dimensions.Here,the isometries V and W embed the operators Tr XB (yy∗)and Tr YB(zz∗)into a single space so thatthey may be related by our definition of majorization.The remainder of this lecture will be devoted to proving this theorem.The most difficult aspect of the proof is that one must reason about general LOCC super-operators,which are sometimes cumbersome.For this reason we will begin with a restricted definition of LOCC super-operators that will be easier to reason about in this context.As we will see,it turns out that there is no loss of generality in working with this restricted notion.Once this is done,we will prove the implications that are necessary to establish the theorem.14.1A restricted definition of LOCC operationsThe restricted type of LOCC super-operators we will work with are defined as follows for given complex Euclidean spaces Z A and Z B.1.A super-operatorΦ∈T(Z A⊗Z B)will be said to be an A→B super-operator if there exists anon-destructive measurement{M a:a∈Σ}⊂L(Z A)108p(a) X+U a Y ∗for each a∈Σ,where X+denotes the Moore–Penrose pseudo-inverse of X(which is discussed in theLecture1notes).For each a∈Σwe haveM∗a M a=p(a)X+U a(YY∗)U∗a(X+)∗,and therefore∑M∗a M a=X+XX∗(X+)∗= X+X X+X ∗=1−Πker(X).a∈ΣSo,{M a:a∈Σ}is not quite a non-destructive measurement,but we can turn it into one by adding an additional element in a similar way that we did in the proof of Theorem14.3—so let us assume0∈Σ,defineΣ′=Σ∪{0},and define M0=Πker(X).Then,{M a:a∈Σ′}is a non-destructive measurement,and therefore so too is its element-wise complex conjugateM a Z U∗a⊗p(a) U∗a XX+U a Y= p(a)Πim(U∗a X)Y=M a(AX)∗W∗a=M a A XW∗aDefiningV a=M a Afor each a∈Σtherefore gives N a XV T a=U a XM T a.It is clear that each V a is unitary and it is easily checked that∑a∈ΣN∗a N a=1ZA,implying that{N a:a∈Σ}is a valid non-destructive measurement.We have therefore proved that for every B→A super-operatorΦ∈T(Z A⊗Z B)and every vector u∈Z A⊗Z B,there exists an A→B super-operatorΨ∈T(Z A⊗Z B)such thatΨ(uu∗)=Φ(uu∗).A symmetric argument shows that for every A→B super-operatorΦand every vector u∈Z A⊗Z B,there exists a B→A super-operatorΨsuch thatΦ(uu∗)=Ψ(uu∗).Finally,notice that the composition of any two A→B super-operators is also an A→B super-operator,and likewise for B→A super-operators.Therefore,by applying the above arguments repeatedly for any given restricted LOCC super-operatorΦand vector u∈Z A⊗Z B,wefind that there exists an A→B super-operatorΨsuch thatΨ(uu∗)=Φ(uu∗),and likewise forΨbeing a B→A super-operator.We are now prepared tofinish the proof.We assume that there exists a restricted LOCC super-operatorΦ∈T(Z A⊗Z B)such thatΦ(xx∗)=yy∗,from which we conclude that there exists a B→A super-operatorΨ∈T(Z A⊗Z B)such thatΨ(xx∗)=yy∗.WriteΨ(Z)=∑a∈Σ(U a⊗M a)Z(U a⊗M a)∗,for{M a:a∈Σ}a non-destructive measurement on Z B and{U a:a∈Σ}a collection of unitary operators on Z A.M a X∗=XX∗. This shows that there exists a mixed unitary super-operatorΞsuch thatXX∗=Ξ(YY∗).which is equivalent toTr ZB (xx∗)=Ξ(Tr ZB(yy∗))as required.。
清华大学计算量子化学讲义
v | p |2 1 2 T = mv = 2 2m
亦不再适用，需要建立新的表达形式。量子力学的第二个基本假定认为，微观体 系以及构成它们的实物粒子的力学量应表示为一种特殊的线性算符 厄密算符。 1. 厄 密 算 符 的 定 义 （ Definition of Hermite operator） ˆ满足 若线性算符 F ˆϕ dτ = ( F ˆψ dτ ) ∫∞ ψ * F ∫∞ ˆψ) * ϕ dτ = ( ∫∞ ϕ * F
Chap. 1 Preparatory Knowledge of Quant. Mech.
ˆϕ dτ = 〈ψ | F ˆ | ϕ〉 ∫ϕ * F
conjugate ） ： 〈ψ | = ( | ψ〉 ) * 左、右矢碰在一起表示积分运算： 〈ψ | ϕ〉 = ∫ψ * ϕ dτ 用 Dirac 符 号 ， 厄 密 算 符 定 义 式 (1.1- 7) 可 改 写 为 ： ˆ | ϕ〉 = 〈 F ˆψ | ϕ〉 = 〈ϕ | F ˆψ〉* = 〈ϕ | F ˆ | ψ〉 * 〈ψ | F 根据以上定义，容易证明一阶微分算符 ˆ= d D dx 不是厄密算符，但 ˆ = i h d （ h = h ， h 为 Planck 常 数 ） ihD dx 2π 则为厄密算符（留作课外练习） 。 2. 构 建 力 学 量 算 符 的 方 法 （ How to Construct an Observable Operator） v 在经典力学中，可观测的力学量通常表示为两个基本力学量 坐标（ r ）和动 v 量（ p ）以及时间（t）的函数 v v F = f (r , p , t ) (1.1- 9) v v v v where position r = i x + jy + k z v v v v linear momentum p = i p x + j p y + k p z ˆ 系采用“经典类比”的方 在量子力学中，与可观测量 F 相应的力学量算符 F 法来建立，后者表示为两个基本力学量算 符 r ˆ（坐标算符）和 p ˆ （动量算符）以 及 t 的函数且函数的表达完全相同： v v v where position operator r ˆ= ix ˆ + jy ˆ+ kz ˆ v v v v ˆx + j p ˆy + kp ˆz linear momentum operator p = i p ˆ = f (r F ˆ, p ˆ, t ) (1.1- 10) (1.1- 8)
量子力学讲义1(最新版-010)
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.0
开始时，人们在经典理论的基础上加 进一些假设来说明新的实验结果，旧量子 论就是这样产生的。由于这种过渡性的理 论未能从本质上揭露微观世界的客观规 律，因而不可避免地在理论体系上带有明 显的矛盾。并且在阐明微观世界规律上有 很大的局限性。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.1
在数学上，这样处理的是一个非常复杂 的问题。事实上，在这里，宏观物理量是作 为一个具有巨大数目自由度系统的动力学变 量的统计平均值而出现的。准确求解一个具 有巨大数目自由度系统的演化方程几乎是毫 无希望的，为此，人们发展了统计的研究方 法。于是，一门新的学科，统计力学，便应 运而生。
※
• 经典物理的成就的确眩惑了人们的眼睛。 原本对立的粒子和波这两种概念，被普适 化了、绝对化了。与此同时，牛顿力学和 波动力学的描述方法也被普适化和绝对化 了。仿佛物理学所研究的全部对象必定非 此即彼。与此相应，Laplace决定论也被普 适化和绝对化起来,成了因果论的唯一正确 形式，用Einstein的话来说就是：“上帝是 不玩掷骰子的”。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.1
2.关于物质的微粒说
起初，这种理论只用来处理天体和具 有宏观尺度的固体的力学，随后，越来越显 示出，它也是制约微观尺度物质的演变的基 本理论，乃至化学家们提出的原子假说也为 它所证实。由于不可能把分子孤立出来单独 研究它们之间的相互作用而直接验证原子的 假说，人们便通过由组成物体的分子的运动 规律可以导出物体的宏观性质这件事来间接 证实它。
清华大学高等量子力学-Lecture-14
2)自旋角动量 S 的性质： 无经典对应。 与空间运动无关，是粒子内部自由度。微观粒子内部自由度还有宇称、色、味等等。 相对论效应。自洽处理在相对论量子力学中，Dirac 方程。 对易关系： ⎡⎣Sˆi , Sˆ j ⎤⎦ = i εijk Sˆk , Sˆ × Sˆ = i Sˆ 。
2
本征值： Sx , S y , Sz = ± 2 ， S 2x = S 2 y = S 2z = 4 ，
2
2
则一般态：
ψ
=
⎛ ⎜ ⎜
Cos
α 2
−
e
i
E+t
⎞ ⎟ ⎟
。
⎜ ⎜⎝
α Sin
2
e− i E−t
⎟ ⎟⎠
自旋 Sˆi 的平均值： Si = ψ Sˆi ψ ， 代入矩阵形式，有
⎧ ⎪⎪
E−
=
−e B, 2µ
c1
=
0,
c2
=1
和⎨ ⎪ ⎪⎩
ϕ−
=
⎛ ⎜ ⎝
0 1
⎞ ⎟ ⎠
−
e
i
E−t
。
4
Sz
=
⎛ ⎜ ⎝
σx
=
⎛0
⎜ ⎝
1
1⎞
0
⎟ ⎠
,
σy
=
⎛0
⎜ ⎝
i
−i ⎞
0
⎟, ⎠
σz
=
⎛ ⎜ ⎝
1 0
0⎞ −1⎠⎟
。
3）自旋态
引入自旋后，粒子的 3 个自由度 r → 4 个自由度 r , Sz ， Hilbert 空间是坐标（连续）空间与
自旋空间（分离， D = 2 ）的直积。
量子力学讲稿chapter1-1
１量 子 力 学 讲 稿(Lecture Notes of Quantum Mechanics)重点参考书目:1.《量子力学》周世勋 1961；2.《量子力学》曾谨言 19823.《量子力学导论》曾谨言 19944.《量子力学》卷I 曾谨言 2000选择参考书目:1.《量子力学》郎道,栗弗席茨 上册 19802.《量子力学》蔡建华 上册 19803.《量子力学》沈仲钧,冯茂仁 19874.《A first course in quantum mechanics》 H. Clark5.《The Principles of Quantum Mechanics》 P. A. M. Dirac (有中译本)第一章 绪 论§1.1经典物理学的困难； §1.2光的波粒二象性§1.3原子结构的玻尔理论；§1.4微粒的波粒二象性第一章 绪 论一、量子力学的研究对象量子力学（Quantum Mechanics）是研究微观实物粒子（静止质量00≠m ）运动变化规律的科学。
二、量子力学在物理学中的地位量子力学在理论理论中占有一个很不平常的地位；它把经典力学作为一种极限形式而包含之，但在它自身表述中，同时又需要这一极限形式。
用方框图表示如下：２三、量子力学的诞生及产生基础1.量子力学的诞生量子力学是1925年诞生的，很快发展成为完整体系，若把旧量子论包括在内，应该说量子力学是1900年12月17日诞生的。
在这一天，德国物理学家Planck 在柏林科学院物理学会的一次会议上，作了有关尝试克服热辐射理论中困难的报告。
2.量子力学产生的基础它产生的基础是光和实物粒子的波粒二象性。
19世纪末、二十世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段。
a.一切物体的低速机械运动规律，准确地遵循Newton 力学规律；b.电磁现象的规律被总结为Maxwell 方程；c.光现象有关的波动理论，最后也被归结为Maxwell 方程；d.热现象有完整的热力学及Boltzman、Gibbs 等人建立的统计力学。
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w b b ,b
w
完备性条件
w
态的量子归一化条件
1
态的统计归一化条件
这里用到了归一化条件 1和表象的完备性条件 b b 1。 b
设密度算符 ˆ 的本征态为 ，
ˆ , ˆ 2 ˆ ＝ 2 。
对于纯系综，所有系统都取同一个态 n ，
2
w
1 0
n ,
si 0 。
例题 3：部分极化系统的密度矩阵。
设
ˆ 3 4
1/ 8, 1/ 8, 1/ 8, 1/ 8,
sx / 8, sy 0, sz 3 / 8.
4
3）系综的演化
态密度算符如何随时间演化？
如果体系的哈密顿量不随时间变化，态的几率分布 w 不随时间变化。设
b
这是量子统计力学的基本公式。注意：表象变换不改变矩阵的求迹，上式不依赖于表象的选取。
在连续表象，例如坐标表象，密度算符的矩阵元
xx'
x
ˆ
x'
w
x
x'
w
(
x
)
*
(
x
')
，
系综平均
A tr
ˆ Aˆ
d
3
x
x
ˆ Aˆ
x
。
密度矩阵满足归一化条件
trˆ w b b ,b
1
A w b ' ,b,b'
b ' Aˆ b
b
b,b'
w
b
b'
b'
Aˆ
b
。
定义态密度算符
ˆ w ，
它在表象 B 的矩阵元
bb' b ˆ b ' w b b ' ，
A b ˆ b ' b ' Aˆ b b ˆ Aˆ b tr ˆ Aˆ 。
b,b '
N 2, ˆ 1 1 ,
2
2
在 sz 表象，
1/ 2, 0, 0, 1/ 2,
1 2
1 0
0 1
，
表明在完全混合系综中密度矩阵是一个单位矩阵。
在完全不极化系综中的平均值显然相互抵销，等于零：
si
tr
ˆ
sˆi
1 2
tr
sˆi
，
代入自旋矩阵 sx , sy , sz ，有
bb' w b
b' 1 N
b
b'
1 N
b b'
1 N
bb '
密度矩阵是一个单位矩阵
1
1
... 1
。
N
...
1
例题 1：完全极化系统的密度矩阵。
假设完全极化态为 sˆz 的本征态 ，
ˆ ，
在 sz 表象， 是一个 2X2 的矩阵，
1, 0, 0, 0,
2）系综平均与态密度算符
系统的力学量平均值
A Aˆ ， 这里态 是固定的，是量子平均。进入任意表象 B，
A b ' b ' Aˆ b b ， b,b '
对表象的维数求和。 系综平均
A w A ，
这里 w 是体系处于态 的几率，显然满足归一化条件
w 1 ，
是统计平均，求和指标不是对表象的维数，而是对态。例如自旋 1/2 的粒子构成的系综，自旋表 象的维数为 2，但不同粒子的自旋态可以有很多取向，求和就是对不同的取向。
1 0
0 0
。
3
如果完全极化态是 sˆx 的本征态 sx
1 2
1 2
,
ˆ sx sx ，
在 sz 表象，
sx sx sx sx
sx 1/ 2, sx 1/ 2, sx 1/ 2, sx 1/ 2,
1 2
1 1
1 1
。
例题 2：完全不极化系统的密度矩阵。
3. 系综与密度算符
1）纯系综和混合系综
相同的物理体系构成系综，例如由具有自旋的粒子构成的系综。
一个自旋为 1/2 的粒子的自旋态（方位角 , ）
( , )
c ( , )
c ( , )
cos
2
ei / 2
sin
2
ei / 2
，
其中 , 是 sˆz 的本征态，
c c
cos( / 2) ei sin( / 2)
。
如果所有粒子的自旋都取相同方向，则称体系是极化系统，构成的系综是纯系综。
如果粒子的自旋不在同一方向，则构成的系综叫混合系综。例如自旋向上的粒子数占 70％，
自旋向下的粒子数占 30％，体系是部分极化。一个自旋方向完全随机的系综，其自旋向上，向下
的几率各有 50％，整的表现是相互抵销，自旋为零，完全没极化。
5
n
ˆ n n , ˆ 2 n n n n n n ˆ,
2 , 0,1 。
如果取表象中的一个基矢与态 n 同方向，则纯系综的密度矩阵在该表象为
bb' b n n b ' bnb'n ，是一个对角矩阵，只有一个矩阵元＝1，其它矩阵元＝0：
0
...
1
...
0
对于完全混合系综，由于取各个态的几率相同， w w0 1/ N ，N 是状态数，
ˆ (t) w ,t ,t ，
由态的时间演化
i ,t Hˆ ,t , t
i ,t ,t Hˆ , t
有
i ˆ t
w
Hˆ ,t
,t ,t
,t Hˆ
ˆ, Hˆ
这就是密度算符的时间演化。虽然类似于 Heisenberg 绘景中力学量的运动方程，只差一个负号，
但 ˆ 不是力学量算符，而是 Schrodinger 绘景中由态构成的算符。