清华大学高等量子力学-Lecture-15
清华大学量子力学讲义
任意矢量：
a
ˆ 算符（对矢量的运算，例如平移，旋转等） ： Ta 基矢： en , n 1, 2,3
基矢完备性： 内积： 矢量模方：
b ，仍然是 3 维空间中的一个矢量。
3 a an en
n 1
a b anbm en em
n ,m
n
写出矩阵形式： 外积： 由于 a b
a b
b Fa
ˆ 的矩阵形式，是一个方阵，矩阵元是 F 。 F 是算符 F mn
c
b
a
b
c ， a b 的作用是把矢量 c 变成了另一个平行于 a 的矢量，故外
积 a b 是一个算符。它的具体表示是一个方阵，矩阵元是
a
mn
ma bn ma nb
类似性： sx , s y , sz 和 Ex ' , E y ' 都可看成二分量矢量 不同： s 是内禀角动量，量子力学量； E 是空间相关力学量，经典力学量。
3
2. 线性矢量空间
从上一节，电子自旋角动量在任意方向的投影 sn 只能取两个值，可看成是一个二维矢量。为了 建立量子力学的矩阵描述方式，先讨论线性矢量空间。 1）3 维矢量空间
量子性质：当 sz 有确定值时， sx 没有确定值。 sz 和 sx 不能同时有确定值！
S N
S Sz+ Sz图b
Sx＋ Sx-
N
再让入射原子束经过 Z，X 和 Z 方向的三个磁场，见图 c。最后观察到 sz 有 sz 和 sz 两个分
量，说明在第三个磁场之前 sz 有两个值 sz 和 sz 两个分量（虽然 sx 有确定值 sx ） 。
高等量子力学 课件
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
《高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲一、中文课程简介（含课程名、课程编号、学分、总学时、课程内容概要等内容）课程名称：高等量子力学课程编号：学分：3学时：48高等量子力学是本科初等量子力学的延伸。
本课程简明扼要地介绍量子力学的基本概念和重要框架后，简要讲解：粒子数表象、形式微扰理论、角动量理论、量子力学体系的对称性、时间反演对称性、相对论量子力学、前沿专题介绍。
二、英文课程简介（含课程名、课程编号、学分、总学时、课程内容概要等内容）Course Title：Advanced Quantum MechanicsCourse Code：Credit Value ：3Total Hours ：48Course Introduction ：Quantum mechanics underpins a variety of broad subject areas within the physical sciences from high energy particle physics, solid state and atomic physics through to chemistry. By building upon the conceptual foundations introduced in the undergraduate Quantum Physics course, the aim of Advanced Quantum Mechanics is to develop further conceptual insights and technical fluency in the subject. The subjects involve occupation representation, perturbation theory, angular momentum theory, symmetries, relativistic quantum mechanics, and some introduction of research sunjects.三、教学目标1、通过本课程的学习要求学生掌握高等量子力学的基本方法，并能较熟练的运用基本规律解决问题。
高等量子力学
高等量子力学连续谱在量子力学中有一些可观测量具有连续的本征值。
于是我们从从本征值方程出发，在连续谱的情况下它被写成：\hat \xi | \xi' \rangle = \xi' | \xi' \rangle \tag{1}其中\hat \xi是一个算符，而\xi' 只是一个数。
也就是说，右矢| \xi'\rangle是算符\hat \xi的一个本征右矢，其本征值为\xi'。
为了类比于分立谱，我们用：狄拉克的\delta函数替代克罗内科符号。
用对连续变量\xi'的积分代替对本征值\{ a_n \}的分立求和。
因此我们有：\langle a_m|a_n\rangle =\delta _{mn}\longrightarrow \langle\xi _p|\xi _q\rangle =\delta \left( \xi _p-\xi _q \right) \tag{2} \sum_n{\left| a_n \right> \left< a_n \right|}=I\longrightarrow\int{d\xi _q\left( \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|\right)}=I \tag{3} \left| \alpha \right> =\sum_n{\left| a_n\right>}\langle a_n|\alpha \rangle \longrightarrow \left| \alpha \right> =\int{d\xi _q\left| \xi _q \right> \langle \xi _q|\alpha \rangle} \tag{4} \sum_n{\left| \langle a_n|\alpha \rangle\right|}^2=1\longrightarrow \int{d\xi _q}\left| \langle \xi_q|\xi \rangle \right|^2=1 \tag{5} \langle \beta |\alpha \rangle =\sum_n{\langle \beta \left| a_n \right> \left< a_n\right|}\alpha \rangle \longrightarrow \langle \beta |\alpha\rangle =\int{d\xi _q\langle \beta \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|}\alpha \rangle \tag{6} \langlea_m|\hat{A}|a_n\rangle =a_n\delta _{mn}\longrightarrow \langle \xi _q|\hat{A}|\xi _p\rangle =\xi _q\delta \left( \xi _q-\xi _p \right) \tag{7} 。
清华大学课件--量子论教案
与众不同的是开尔文又敏锐地发现，在物理学 晴朗的天空里，还平静而晴朗的天空。
对这两朵乌云的研究分别导致了相对论和量子论的 诞生，它们是： 迈克尔孙-莫雷实验：在实验中没测到预期的“以 太风”，即不存在一个绝对参考系，也就是说光速
觉，认为物理学的发展已经完成，人们对物理世界
的解释已经达到了终点，宇宙万物必然按照由精美 的数学方程所表达的物理学定律永远运动下去。
著名德国物理学家基尔霍夫曾表示：
“物理学将无所作为了，至多只能在已知规
律的公式的小数点后面加几个数字罢了。” 在刚刚跨入20世纪的第一天，英国著名的物理
学家开尔文在《元旦献词》中曾经说过：
……我以前同现在一样，相信物理定律越带普遍性, 就越是简单。 ——普朗克,《M.普朗克物理论文和演讲集》
当一个人寻求生活的和谐时，必须永不忘记，在生 活的伟大戏剧中，我们既是观众，又是演员，这是 一个古老的真理。 —— 玻尔,《原子物理学与自然的描述》
第五次索尔维会议与会者合影(1927年)
N.玻尔、M.玻恩、 W.L.布拉格、L.V.德布罗意、A.H.康普顿、 M.居里、P.A.M 狄喇克、A.爱因斯坦、W.K.海森堡、 郞之万、W.泡利、普朗克、薛定谔 等
汤姆孙第一个外国研究生。后 来成为卡文迪许实验室的第四 任教授。
Rutherford （1871-1937）
他发现了放射性规律，发现了原子
核式结构，首此实现了人工核反应，预
言了中子等。被誉为“核物理之父”。 他非常重视人才培养，被称为培养人才 的巨匠。 反应堆的发明者——费米说，卢瑟福在科学史 上被怀念，不仅因为他的贡献，而且还因为“他作 为教师这个字眼最高意义上的一个教师”。他提倡
《高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲《高等量子力学》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：高等量子力学英文名称：Advanced Quantum Mechanics二、课程代码及性质课程编码：课程性质：学科(大类)专业选修课/选修三、学时与学分总学时：64（理论学时：64学时）学分：4四、先修课程先修课程：无五、授课对象本课程面向物理学各专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）量子力学理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。
本课程是物理学专业本科课程《量子力学》的后续课程，用以弥补量子力学课程与学生实际进入科研前沿之间的知识鸿沟。
其内容分为两部分：第一部分是在量子力学课程的基础上归纳阐述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。
第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。
在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。
课程的教学目的是使得学生掌握微观粒子的运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理，并了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
七、教学重点与难点：课程重点：本课程所讲授的内容均为学生从事前沿科学研究所必备，因此所有内容均为重点课程难点：本课程所讲授的内容抽象程度较高，理论推导计算量大，因此所有内容均为难点八、教学方法与手段：教学方法：采用课堂讲授、讨论、习题等多种授课形式相结合的教学新模式。
课堂讲授基本概念、基本原理，通过讨论课加深学生对基本内容的理解，通过习题课提高学生运用基本理论分析问题、解决问题的能力。
教学手段：采用多媒体与板书相结合的教学手段，传统授课手段与现代教育技术手段相互取长补短，相得益彰。
特别的，将Mathematica 和Matlab等计算软件引入本课程的教学，以实现抽象复杂的数学物理问题的直观展现，提高学生的学习兴趣。
高等量子力学第一章希尔伯特空间 PPT课件
完全集 一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ，这个空间中的每个矢量都能表为完
全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
i ai
i
的形式，其中ai 是一组复数。
如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1, 2 ,...n ，
但还不是完全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量
命名为 n1，加入这个矢量集。这时 1, 2 ,...n , n1，肯定是
证明： 设在空间中有1和2 ，对所有矢量 都满足 1 , 2
取第一式的 为2 ，第二式中的 为1，分别得 2 1 2,1 2 1
于是，根据条件（1），
2 2 1 1 2 1 即1 2 ，只有唯一的零矢量。
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
证明： 若 1,2 都是 的逆元，即
1 , 2
如果 少 多，即 m n ，则把全部 用完后，仍有 未
被顶掉。这就是说，要加上一些 才是完全集 ，与是
完全集相矛盾。所以 m n 是不可能的。
如果 多 少，即 m n，那么把全部 顶掉后，还有一些 没
有用到，这就是说， 中的一部分就是完全集，也与 是完全集
相矛盾。所以 m n也是不可能的。
这是一个复数域上的内积空间。
如果内积定义为：
(l,
m)
l1*
m12
l2*
m
23l
* 3
m34
l 4*
m4
空间是否仍然是一个内积空间？
第四个例子 数学对象为在 a x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可
积的。所谓“行为较好”是指满足一定数学要求，如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法
清华大学计算量子化学讲义
v | p |2 1 2 T = mv = 2 2m
亦不再适用，需要建立新的表达形式。量子力学的第二个基本假定认为，微观体 系以及构成它们的实物粒子的力学量应表示为一种特殊的线性算符 厄密算符。 1. 厄 密 算 符 的 定 义 （ Definition of Hermite operator） ˆ满足 若线性算符 F ˆϕ dτ = ( F ˆψ dτ ) ∫∞ ψ * F ∫∞ ˆψ) * ϕ dτ = ( ∫∞ ϕ * F
Chap. 1 Preparatory Knowledge of Quant. Mech.
ˆϕ dτ = 〈ψ | F ˆ | ϕ〉 ∫ϕ * F
conjugate ） ： 〈ψ | = ( | ψ〉 ) * 左、右矢碰在一起表示积分运算： 〈ψ | ϕ〉 = ∫ψ * ϕ dτ 用 Dirac 符 号 ， 厄 密 算 符 定 义 式 (1.1- 7) 可 改 写 为 ： ˆ | ϕ〉 = 〈 F ˆψ | ϕ〉 = 〈ϕ | F ˆψ〉* = 〈ϕ | F ˆ | ψ〉 * 〈ψ | F 根据以上定义，容易证明一阶微分算符 ˆ= d D dx 不是厄密算符，但 ˆ = i h d （ h = h ， h 为 Planck 常 数 ） ihD dx 2π 则为厄密算符（留作课外练习） 。 2. 构 建 力 学 量 算 符 的 方 法 （ How to Construct an Observable Operator） v 在经典力学中，可观测的力学量通常表示为两个基本力学量 坐标（ r ）和动 v 量（ p ）以及时间（t）的函数 v v F = f (r , p , t ) (1.1- 9) v v v v where position r = i x + jy + k z v v v v linear momentum p = i p x + j p y + k p z ˆ 系采用“经典类比”的方 在量子力学中，与可观测量 F 相应的力学量算符 F 法来建立，后者表示为两个基本力学量算 符 r ˆ（坐标算符）和 p ˆ （动量算符）以 及 t 的函数且函数的表达完全相同： v v v where position operator r ˆ= ix ˆ + jy ˆ+ kz ˆ v v v v ˆx + j p ˆy + kp ˆz linear momentum operator p = i p ˆ = f (r F ˆ, p ˆ, t ) (1.1- 10) (1.1- 8)
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问题：由于 Jˆ 与 Jˆ1, Jˆ2 有关，而 Jˆ1, Jˆ2 对易，可以同时有确定取值，则 j1, j2, m1, m2 的取值怎 样约束 j, m 的取值？
1）两个表象
Jˆ1 与
Jˆ2 相互对易，故
Jˆ12,
Jˆ1z ,
Jˆ
2 2
,
Jˆ2 z
有共同本征矢。总的矢量空间是两个独立子空间的直
积，构成无耦合表象：
j2
max
−
j2
min
+ 2 jmax
+1
j = jmin
必须相等，否则破坏正交性，完备性条件，
(2 j1
+1)(2 j2
+1) =
(
j1
+
)j2 2
−
j2 min
+ 2(
j1
+
j2 ) +1 ，
( ) j2 min
=
j1 − j2 2 ， jmin = j1 − j2 。
故当 j1, j2 确定时，总角动量 Jˆ 2, Jˆz 的取值：
先考虑任意两个角动量 Jˆ1, Jˆ2 的耦合。
⎡⎣ Jˆ1i , Jˆ1 j ⎤⎦ = i εijk Jˆ1k , ⎡⎣ Jˆ2i , Jˆ2 j ⎤⎦ = i εijk Jˆ2k , ⎡⎣ Jˆ1i , Jˆ2 j ⎤⎦ = 0
J12 = j1( j1 +1) 2 , J1z = m1 ,
m1 = − j1,..., j1
m1 ,m2
∑ ( ) m − m1 − m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm j1m1 j2m2 = 0
m1 ,m2
在无耦合表象中，基矢 j1m1 j2m2 是相互独立的，故上式存立的条件是每个基矢前的系数都
必须等于零。即要么 CG 系数=0，要么 m = m1 + m2 。我们要求的就是不等于零的 CG 系数，
耦合表象基矢
1 l, 2 , j,mj
，
无耦合表象基矢
1 l, ml , 2 , ms
。
表象变换：
由于
∑ 1
l 2 jmj
=
Cml ,ms
ml ,ms
1 l, ml , 2 , ms
∑ =
ml
⎡ ⎢⎣ Aml
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
+ Bml
l
,
ml
,
1 2
,
−1 2
⎤ ⎥⎦
m j = ml + ms ,
2
l1 2
jm j
，
代人在无耦合表象的自旋子空间 J 2 的矩阵形式
J2
=
L2
+
S2
+
2LiS
=
⎛ ⎜ ⎜
Lˆ2
+
3 4
2+
Lˆz
⎜⎜⎝
Lˆ+
Lˆ−
⎞ ⎟
⎟，
Lˆ2 + 3 4
2−
Lˆz ⎟⎟⎠
其中 Lˆ± = Lˆx ± iLˆy 为轨道角动量上升、下降算符，
以及
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
，
l,
ml
2
2
当 j = l + 1 时， 2
A = l + ml +1 ，
B
l − ml
归一化后：
1 l 2 jmj
==
l + ml +1 2l +1
11 l, ml , 2 , 2
+
l − ml 2l +1
l, ml
+ 1,
1 2
,
−1 2
，
有耦合表象
CG
无耦合表象
CG
无耦合表象
同理，当 j = l − 1 时， 2
+ 1) ⎤⎥⎦
A
+
(l − ml )(l + ml +1)B⎬⎫ l, ml
⎭
=0
⎨
⎪ ⎪⎩
⎧ ⎨ ⎩
(l
+
ml
)(l
−
ml
+1)A +
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
l
(l
+ 1)
+
3 4
− (ml
+
1)
⎞ ⎟⎠
−
j(
j
+ 1)⎤⎥⎦
⎫ B⎬
⎭
l, ml
+1
=0即Leabharlann ⎧ ⎪ ⎪⎡⎛ ⎣⎢⎜⎝
l
(l
+ 1)
+
3 4
+
ml
⎞ ⎟⎠
−
j ( j +1)⎦⎤⎥ A +
(l − ml )(l + ml +1)B = 0
⎨
→ A, B
⎪ ⎩⎪
(l
+
ml
)(l
−
ml
+1)A +
⎡⎛ ⎣⎢⎝⎜
l
(l
+1) +
3 4
− (ml
+
1)
⎞ ⎠⎟
−
j(
j
+ 1)⎦⎤⎥
B
=
0
4
j 可能取值： j = l − 1 , l + 1 共两个值。
j1m1 j2m2
m1 = − j1, , j1, m2 = − j2 , , j2 由于在无耦合表象，
1
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ1z
⎤ ⎥⎦
≠
0,
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ2 z
⎤ ⎥⎦
≠
0
，
故
Jˆ 2 不是对角矩阵，不便求解
Jˆ1
⋅
Jˆ2
=
1 2
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
−
Jˆ12
−
Jˆ22
⎤ ⎥⎦
的本征值。
由于
⎡ ⎢⎣
4.两个角动量耦合
自旋角动量与轨道运动产生的磁场之间的相互作用V ∼ Lˆ ⋅ Sˆ 。
由于
( ) Lˆ + Sˆ 2 = Lˆ2 + Sˆ2 + 2Lˆ ⋅ Sˆ ，
( ) Lˆ ⋅Sˆ
=
1⎡ 2 ⎢⎣
Lˆ + Sˆ
2
−
Lˆ2
−
Sˆ
2
⎤ ⎥
，
⎦
要了解 Lˆ ⋅ Sˆ 耦合，必须考虑两个角动量之和。
因此取
2
m = m1 + m2 。 再考虑 j 的取值。设
jmin ≤ j ≤ jmax ，
( ) ( ) jmax = mmax =
m1
+
max
m2
max = j1 + j2 。
由无耦合表象维数
D = (2 j1 +1)(2 j2 +1) ，
与耦合表象维数
jmax
∑ D =
( ) 2 j +1
=
= j1 ( j1 +1)
2
j1 j2 jm ，
Jˆ
2 2
j1 j2 jm
= j2 ( j2 +1)
2
j1 j2 jm
Jˆ 2 j1 j2 jm = j ( j +1) 2 j1 j2 jm ， Jˆz j1 j2 jm = m j1 j2 jm
在耦合表象， Jˆ 2, Jˆz 是对角矩阵，本征值就是对角元。
J 2 = j ( j +1) 2, j = j1 − j2 , , j1 + j2
J z = m , m = m1 + m2 3）耦合表象的本征态 j1 j2 jm
关键是如何求 CG 系数。不做一般讨论，有专门表可查。
下面以 Lˆ ⋅ Sˆ 耦合为例来说明求法。
Jˆ = Lˆ + Sˆ, Jˆ1 = Lˆ, Jˆ2 = Sˆ ，
l
1 2
jm j
=−
l − ml 2l +1
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
+
l − ml +1 2l +1
l, ml
+1, 1 , −1 22
。
5
由于已知的是
Jˆ12,
Jˆ1z
,
Jˆ
2 2
,
Jˆ2
z
的本征值和本征矢，为了用它们来表示总角动量
Jˆ 2 ,
Jˆz
的本征
值，必须联系两个表象，即进行表象变换。
由无耦合表象的完备性条件
∑ j1m1 j2m2
m1 ,m2
有表象变换：
j1m1 j2m2 = 1 ，
∑ j1 j2 jm =
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
j1m1 j2m2 = j1m1 j2m2 ，
( ) Jˆ
2 1
j1m1 j2m2
= j1
j1 +1
2 j1m1 j2m2 ，
Jˆ1z j1m1 j2m2 = m1 j1m1 j2m2
( ) Jˆ
2 2
j1m1 j2m2
= j2
j2 +1
2 j1m1 j2m2 ，
Jˆ2z j1m1 j2m2 = m2
ml
=
mj
− ms