量子力学讲义第二章讲义

第二章 一维势场中的粒子§2.2 方 势一、一维运动当粒子在势场V (x ,y ,z )中运动时，其 Schrodinger 方程为：22[(,,)](,,)(,,)2V x y z x y z E x y z m ψψ-∇+=若势可写成： V (x ,y ,z ) = V 1(x ) + V 2(y ) + V 3(z ) 形式，2212[()]()()2x d V x X x E X x m dx -+= 2222[()]()()2y d V y Y y E Y y m dy -+= 2232[()]()()2z d V z Z z E Z z m dz -+= ψ(x ,y ,z ) = X (x ) Y (y ) Z (z ) ψ1(x )x y z E E E E =++二、一维无限深势阱(0)()(0,)x a V x x x a ⎧<<⎪=⎨∞<>⎪⎩ 这是定态问题一维无限深势阱（0~a ）的求解解：（1）列出各势域的 S — 方程222[()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+= 202222220222()0202()0I I II II III III d m V E dx d mE dx d m V E dx ψψψψψψ⎧--=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩00E V <<0()V →∞，令22mEk =)(0>k ，022()mV E β=-方程可简化为：222222222000I I II II III III d dx d k dxd dxψβψψψψβψ⎧-=⎪⎪⎪⇒+=⎨⎪⎪-=⎪⎩(2). 写出通解 0222=+y a dx y d → sin cos sin()()()iax iax y A ax B ax A ax y Ae Be δ-⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩或束缚态自由态 0222=-y a dxy d → ax ax Be Ae y -+= 11330sin()0x xI II x x III A e B e x A kx x a A e B e x aββββψψδψ--⎧=+≤⎪=+<<⎨⎪=+≥⎩ （3）使用波函数标准条件（单值性一般在球坐标系中考虑）1) 有限性：当-∞→x ，I ψ有限性01=⇒B当∞→x ，III ψ有限性03=⇒A1x I A e βψ∴=3x II B e βψ-=当0V →∞，β→∞0=∴I ψ，0=III ψ则解为 00sin()00I II III x A kx x a x a ψψδψ⎧=≤⎪=+<<⎨⎪=≥⎩ 2) 连续性：000====x II x Iψψ， 0δ⇒=， sin II A kx ψ∴= 0II III x a x aψψ====，sin 0A ka ⇒= sin 0ka =⇒ka n π= n k aπ= 22mE k = 22222n n E ma π=， ,,21=n 能量是量子化的，不连续 00,sin 0n x x a n x A x a a ψπ⎧≤≥⎪=⎨<<⎪⎩ （4）由归一化条件定系数A2220sin 12aA n x A dx a a π=⋅=⎰A =00,0n x x a n x x a a ψπ⎧≤≥=<<标准形式是(0~a )2222,1,2,200,0n n nE n ma x x a n x x a a πψπ⎧==⎪⎪⎪⎧≤≥⎨⎪=⎪<<⎪⎩能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。

讨论00,0n x x a n x x a a ψπ⎧≤≥=<<其能量本征能为：22222n n E ma π=， ,,21=n 1、在无限深势阱中，粒子的能量是分立，不是连续的；1=n 时能量最小，叫基态能量（01≠E ）或零点能。

通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。

一般地说，束缚态所属的能级是分立的。

2、 与x 有n-1个节点。

除端点外,基态波函数无节点,第一激发态有一个节点, 第k 激发态有k 个节点.3、 函数在全空间连续,但微商n ψ'在x=0和a 点不连续。

对无限深势阱，dxd ψ是不连续的；对有限深势阱，dxd ψ是连续的。

如果区域的势为∞，则ψ必为0，今后不必重新解；三、宇称(1)空间反射：空间矢量反向的操作。

r r ⇒- (,)(,)r t r t ψψ⇒-(2)此时如果有： (,)(,)r t r t ψψ-=±(,)(,)r t r t ψψ-=称波函数具有正宇称（或偶宇称）；(,)(,)r t r t ψψ-=-称波函数具有负宇称(或奇宇称)；(3)如果在空间反射下，(,)(,)r t r t ψψ-≠±则波函数没有确定的宇称。

四、有限深对称方势阱0/2()0/2V x a V x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩ a 为阱宽，V 0为势阱高度。

求束缚态(0<E <V 0)的能级所满足的方程答案：/2ktgka β=- 或 /2kctgka β= 其中22mEk =，022()mV E β=-五、方势垒的反射与透射束缚态：当x →±∞时，ψ→0——其能量是不连续的；自由态：当x →±∞时，ψ不趋于零——其能量是连续的。

典型势垒是方势垒，其定义如下：00()00,V x a V x x x a ⎧<<⎪=⎨<>⎪⎩ 现在的问题是具有一定能量E 的粒子沿x 轴正方向射向方势垒。

i) 考虑E <V 0的情况 解：(1)、三个区域的Schrödinger 方程可写为：21122220222233222002()0020d m E x dx d m V E x a dx d m E x a dx ψψψψψψ⎧+=<⎪⎪⎪--=≤≤⎨⎪⎪+=>⎪⎩因为E <V 0令22mEk =，02()V E β-=221122222222332000d k dx d dxd k dxψψψβψψψ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得123(1)0(2)0(3)ikx ikxx x ikx ikx e Re x Ae Bex a Se Ce x aββψψψ---⎧=+<⎪=+≤≤⎨⎪=+>⎩ ikx e ψ=入 、ikx Re ψ-=反、ikx Se ψ=透在III 区域没有反射波，所以须令C =0。

123ikx ikxx x ikx e Re Ae Be Seββψψψ--⎧=+⎪=+⎨⎪=⎩(2)利用波函数标准条件来定系数。

①. 波函数连续0:x = 12(0)(0)ψψ=1R A B ⇒+=+ (4):x a = 23()()a a ψψ=a a ika Ae Be Se ββ-⇒+= (5)②. 波函数导数连续0:x = 12(0)(0)ψψ''= (1)ik R A B β-=- (6):x a = 23()()a a ψψ''= a a ika ik Ae Be Se βββ--= (7) (4)、(6)两式相加减，分别得 1[(1)(1)]21[(1)(1)]2ik ik A R ik ik B R ββββ⎧=++-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩(8) (5)、(7)两式相加减，分别得[1]2[1]2ika a ika a S ik A e S ik B e ββββ-+⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (9) (8)与(9)消去A 、B ，得 (1)(1)(1)(1)(1)(1)ika a ika aik ik ik R S e ik ik ik R S e ββββββββ-+⎧++-=+⎪⎪⎨⎪-++=-⎪⎩(10)消去R ，得 211/()11/ika a ika a Se ik Se ik ββββ-+--=-+解出，得 22/[1(/)]2ika ik Se k k a i aβββββ-=--sh ch (11)(10)式消去S ，得 21/11/1/11/a ik Rik e ik R ik βββββ--++=++- 22[1(/)][1(/)]2k a R k k a i a ββββββ-=--sh sh ch (3). 透射系数和反射系数①、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数, 用T 表示；t ij T j = ②、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数, 用F 表示； fi j F j =几率流密度矢量： **()2i j m ψψψψ=-∇-∇ **()2x i d d j e m dx dx ψψψψ=-- ikx e ψ=入，则入射波几率流密度i j x k e m = ikx Re ψ-=反，反射波几率流密度：2f x k j R e m=- 对透射波ikx Se ψ=透，所以透射波几率流密度：2t x k j S e m= 于是透射系数为:t ij T j =2S =222222224()4k k a k ββββ=++Sh 同理得反射系数：fi j F j =2R =2222222222()()4k a k a k βββββ+=++Sh Sh由以上二式显然有F +T =1，这是粒子数守恒的表现，ii) E > V 0时，不必重新去解 因02()E V k -'=，当E > V 0时，β是虚数，故可令： β=ik'，其中02()V E β-=。

这样把前面公式中的β换成ik'并注意到： sin ik'a = i sinh βa222222224()sin 4k k T k k k a k k '='''-+ 2211[1()sin ]4k k k a k k-''=+-' 2222222222()sin ()sin 4k k k a F k k k a k k ''-='''-+ 由上可知：F ≠0，即有部分反射，这是一种量子效应；当F =0，k a n π'=，即222022n E V ma π=+时，T =1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。

隧穿效应 （tunnel effect ） ：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。

3、讨论(1)、当βa >> 1时2221()24a aa e e sh a e ββββ--∴=≈ 透射系数则变为：2222222241()44a k T k e k ββββ≈++ 2241()44a k e kβββ=++ 当k ≈β（同一数量级）时，1a β>>，24a eβ>>于是： 2216()a T e k k βββ-≈+022(0a m V T e -=0020()16E V E T V -= 粗略估计，认为k ≈β（相当于E ≈V 0/2）,则T 0 = 4是一常数。