第18章 量子力学简介

第十八章量子力学简介

1905年，爱因斯坦提出光量子假说，提出光具有波粒二象性。应用光量子与物质相互作用时遵守能量守恒原理，得到光电效应方程，完满解释了光电效应。1913年，玻尔在角动量量子化假设，定态假设和跃迁假设基础上建立了氢原子理论，完满解释了氢原子光谱规律。从1900年普朗克提出量子假说，到玻尔理论以及后来对它的修正，一般认为是旧量子论。旧量子论理论结构上的特点是量子化条件加经典理论，其理论结构本身的不协调使它具有各种缺陷。也正因为如此，旧量子论能解决的问题很有限，当时已发现的很多问题不能给出满意的解释。

1924年法国科学家德布罗意在著名论文《量子理论的研究》中提出物质波假设，把爱因斯坦提出的光的波粒二象性观念扩展到运动粒子，提出实物粒子具有波粒二象性，为量子力学的建立奠定了基础。1924年，海森伯创立了矩阵力学；1926年薛定谔创立了波动力学，薛定谔证明了矩阵力学和波动力学两种量子理论是等价的。1933年，狄拉克提出了量子力学的第三种表达方式：“路径积分量子化形式”。

§18-1德布罗意假设不确定关系

一、德布罗意假设

根据所学过的内容，我们可以说，光的干涉和衍射等现象为光的波动性提出了有力的证据，而新的实验事实——黑体辐射、光电效应和康普顿效应则为光的粒子性（即量子性）提供了有力的论据。在1923年到1924年，光的波粒二象性作为一个普遍的概念，已为人们所理解和接受。法国物理学家路易·德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光才具有的，实物粒子也具有二象性。德布罗意说道：“整个世纪以来，在光学上，比起波动的研究方面来，是过于忽视了粒子的研究方面；在物质粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把关于粒子的图象想的太多，而过分地忽视了波的图象？”德布罗意把光中对波和粒子的描述，应用到实物粒子上，作了如下假设：

每一运动着的事物粒子都有一波与之相联系，粒子的动量与此波波长关系如同光子

情况一样，即

h

p

λ

=（18-1）

h h

p mv

λ==（18-2）

它被称为德布罗意波长,上式称为德布罗意公式，与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，又称物质波。 说明：

??

?

???

?=<<-=022

01m m c v c v m m c v 时，可取比较时，与 。 讨论：以电子为例，电子经电场加速后，设加速电压U ，电子速率v<

意波长为

v

m h

p h 0=

=λ。 此时 eU v m =2021 所以：

A

U

U m U

U

e m h 2.12102.121106.1101.921062.61

210

19

3134

0=?=?????=?=

----λ

二、德布罗意波的实验证实 电子衍射实验

实物粒子的波动性，当时是作为一个假设提出来的，直到1927年戴维孙和革末用电子衍射实验所证实。该实验情况如下：

1、实验装置：K 是发射电子的灯丝，D 是一组光栏缝，M 是单晶体，B 是集电器，G 是电流计。灯丝与栏缝之间有电势差U ，从K 发射的电子经电场加速，经光栏变成平行光束，以入射角?射到单晶M 上，并在M 上向各方向散射，其中沿?方向反射的电子进入集电器B 中，反射电子流的强度由电流计G 量出，集电器只接受满足反射定律的电子，目的是改变这一情况下反射电子强度和U 之间的关系。实验中?角保持不变（2个?角），改变U 而测I 。

2、实验结果

I 与U 的关系如图18-2所示，可知，U 单调增加时，I 不是单调变化，而是有 一系列极大值，这说明电子从晶体上沿?角方向反 射时，对电压U 的值有选择性，即遵守反射定律的电 子对电压有选择性。

图18-1

图18-2

3、实验结果说明了电子具有波动性

如果只认为电子具有粒子性，则上述结果难以理解，那么，如何去认识电子的这种行为呢？我们知道，X 射线在晶体体上反射加强时，有下列规律，即布拉格公式

λ?k d =sin 2（k=1,2,…）

λ为入射光波长，d 为晶格常数。将这一事实与上述结果对照一下，电子的反射和X 射线的反射极为相似，因此，要解释上述实验结果，要考虑电子的波动性。假设电子具有波动性，反射时也服从布拉格公式，其波长代以德布罗意波长，用上面公式可得结果，看看是否能解释上面的实验结果。 德布罗意波长为：

),2,1(2sin 21

22 =?=

=?==

=k m e

h U k d U

m e h m

eU

m h p h ?λ

即加速电压满足此式时，电子流强度I 有极大值，由此计算所得加速电势差U 的各个量值和实验相符，因而证实了德布罗意的假设的正确性。

电子既然有波动性，自然会联系到原子、分子和中子等其它粒子，是否也具有波动性。用各种气体分子作类似的实验，完全证实了分子也具有波动性，德布罗意公式也仍然是成立的。后来，中子的衍射现象也被观察到。现在德布罗意公式已改为表示中子、电子、质子、原子和分子等粒子的波动性和粒子性之间关系的基本公式。

4、德布罗意波的统计解释

既然电子、中子、原子等微观粒子具有波粒二象性，那么如何解释这种波动性呢？ 为了理解实物粒子的波粒二象性，我们不妨重新分析一下光的衍射情况。根据波动光学观点，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处表示波的强度大，暗处表示波的强度最小。而波的强度与振幅平方成正比。所以，图样亮处波的振幅平方大，图样暗处波的振幅平方小。根据光子的观点，光强大处表示单位时间内到达该处光子数多，光强小处表示单位时间到达该处光子数少。从统计观点看，这相当说：光子到达亮处的几率大于到达暗处的几率。因此可以说，粒子在某处出现的几率与该处波的强度成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的几率与该处波的振幅平方成正比。

图18-3

现在应用上述观点来分析一下电子的衍射图样见图18-3。从粒子观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地设向照相底片各处所形成的，有些地方很密集，有些地方很稀疏。这表示电子射到各处的几率是不同的，电子密集处几率大，电子稀疏处几率小。从波动观点看，电子密集处波强大，电子稀疏处波强小。所以，电子出现的几率反映了波的强度，因为波强正比与波幅平方。

普遍的说，某处出现粒子的几率正比与该处德布罗意波振幅的平方。这就是德布罗波的统计解释。

说明：①一切实物粒子都具有波粒二象性。宏观物体的波长一般是很短的，它们的

波动性不能通过观察而得到；相反，微观粒子，特别是匀速运动的粒子，它们物质波波长十分显著，不能把它们再看作经典粒子。

②微观粒子的波动性已经在现代科学技术上得到应用。电子显微镜分辨之所以

较普通显微镜高，就是应用了电子的波动性。我们提到过，光学显微镜由于受到可见光的限制，分辨率不能很高。放大倍数只有2000倍左右，

而电子的德布罗意波长比可见光短得多，按A λ=知，U 为几

百伏特时，电子波长和X 射线相通。如果加速电压增大到几万伏特，则λ更短。所以，电子显微镜放大倍数很大，可达到几十万倍以上。 ③应该指出，德布罗意波与经典物理当中研究的波是截然不同的，如：机械波

是机械振动在空间中的传播，而德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅平方表述了粒子出现的几率。我们绝对不能把微观粒子的波动性，机械地理解成经典物理当中的波，不能认为实物粒子变成了弯弯曲曲的波了。

例18-1：一电子束中，电子的速率为s m /104.86?，求德布罗意波长。 解：因为 s m /104.86?比c=s m /1038?小的多，

所以可用经典理论： A m v m h p h 867.010867.0104.8101.91062.610

6

31340=?=????===---λ。 例18-2：已知第一玻尔轨道半径为1r ，试计算当氢原子中电子沿第n 个玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？

解：p

h

=λ 依玻尔量子化条件 π2h n mvr n = 有： π2h n pv n =

1

122n nr 2h

r n 12nh p r n r ππ=

=

∴

=

代入中，有1

nr 2h h πλ=

n r 21π=

三、不确定关系

在经典力学中，任一时刻粒子的坐标和动量都有准确值，所以可用坐标和动量描述

粒子的状态。那么，对于微观粒子是否也可以这样做呢？下面来讨论这个问题。以电子运动为例，设平行单缝电子束，沿y 轴方向入射到单缝k 上，缝宽为b ，电子经缝后产生衍射，衍射图样分布关于y 轴对称，如图18-4所示：

在中央处形成亮纹，在其两旁还有其它亮纹。现考虑中央零级。根据单缝衍射公式有 sin()b ?λ=（第1级极小） （18-3） 通过缝后，电子由于发生衍射，所以电子运动方向发生了变化，即动量发生了变化。设经缝后电子动量为0p ，在?角内，动量x 分量x p 满足下式：

0sin()x p p ?≤≤ （18-4）

故x p 的不确定量为 sin()x p p ??= （18-5） 由式（18-3）、（18-5）有 x b p p λ?=? （18-6） 当电子通过缝时，它通过单缝那一点是不确定的。所以电子坐标x 的不确定度x ?等于缝宽度b ，所以式（18-6）可化为 x x p h ???≥ （18-7） 上式称为海森伯不确定关系，x ?、x p ?分别称为粒子的坐标x 和动量x p 的不确定量。

说明：①由不确定关系，x ?、x p ?不可能同时为零，即粒子坐标和相应方向的动量

不能同时测准确定。x 测得越准时，即x ?越小时，x p 测得越不准，即x p ?越大。当精确确定粒子坐标x （如x ?→0）时，则x p 必然无法精确测量（x ?→0时，x p ?→∞），反之亦然。

②不确定关系是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。 ③对微观粒子不能用坐标和动量描述其运动状态。

④不确定关系推广到三维情况：x y z x p h y p h z p h

???≥??

???≥?????≥?

例18-3：在电子单缝衍射中，若缝宽为90.1(110)b nm nm m -==，电子束垂直如射在单缝上，求：衍射电子横向动量的最小不确定度x P ?

解：x x p h ???≥，即 x h p x

?≥?

依题意有动量最小不确定量为

34

24

96.6210 6.6210()0.110

x h h p N s x b ---??≥===???? （x ?=b ） 例18-4：一电子具有2001-?s m 的速率，动量不确定度为%.010

，确定电子位置时，不

图18-4

确定量为多少？

解： x x p h ???≥ =>

0.01%

x x

h

h x p P ?≥=

?? )

m (...mV .h x

231

4

34

106432001019101063600010----?=????==

已确定原子大小的数量级为1010-m ，电子则更小，在这种情况下，电子位置不确定量远大于电子本身线度，所以，此时必须考虑电子的波粒二象性。

例18-5：一光子波长为 A 3000，测定此波长时产生的相对误差为610-=?λ

λ

，试求光子位置不确定量。

解：因为x x p h ??≥，所以x h x p ?≥

? 2

x dp d h h h p d d λλλλλλλλλλ

-????=?=?=?=? ??? 得：m h h x 16

10

10310103000---?=?=?=??

≥?λ

λλλλλ §18-2 波函数

对宏观物体可用坐标和动量来描述物体的运动状态，而对微观粒子不能用坐标和动量来描述状态，因为微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时测定。那么，微观粒子的运动状态用什么描述呢？遵守的运动方程又是什么呢？为解决此问题，必须建立新的理论。在一系列实验的基础上，经过德布罗意、薛定谔、海森伯、玻恩、狄拉克等人的工作，建立了反映微观粒子属性和规律的量子力学。

量子力学是研究微观客体运动的一门科学。反映微观粒子运动的基本方程是薛定谔方程，微观粒子运动状态用薛定谔方程的函数（波函数）来表述。 一、自由粒子（无外界作用）波函数

沿x 轴正向传播的单频平面余弦波的表达式为

()()?????

?

-+=λπ?πx vt a t x y 22cos , 对机械波，(),y x t 表示位移，对电磁波，(),y x t 可表示电场强度和磁场强度，等等。上式可用指数形式的实部来表示，即

222(2)

(,)x x

i t i t i y x t ae

ae e

πππνπγ??λλ

?

?---+ ?-??

==，令i A ae ?-=得：

?

?? ?

?

--=λπx vt 2i Ae

)t ,x (y （18-8） 对于自由粒子（沿+x 方向运动），其动量和能量都为常量。

由德布罗意假设 p

h

=λ

hv E = 可将（18-8）化成（()t x y ,→()t x ,ψ）

()()px Et h

i

Ae

t x --=ψπ

2, （18-9）

式（18-9）是与能量为E 、动量为p 、沿x 轴正向运动的自由粒子相联系的波。此波称为自由粒子的德布罗意波，ψ称为自由粒子的波函数。

推广：三维情况 r x → ? ()()r p Et h i Ae t r

?--=ψπ2,

p p →

或：()()[]

z p y p x p Et h

i z y x e

t z y x ++--

=ψπ

2,,,

二、波函数的统计解释

机械波的波函数表示介质中各点离开平衡位置的位移，电磁波的波函数表示空间各点电场或磁场强度，等等。那么，物质波的波函数表示什么呢？这个问题在一段时间内困扰了不少的物理专家，他们先后提出过不少的解释，现在人们普遍接受的是玻恩提出的统计解释，说明如下：

波动观点：光强∝光波振幅平方 ? 光子数∝光波振幅平方 粒子观点：光强∝光子数

即：某处出现光子的几率与该处光波振幅平方成正比对电子衍射。

波动观点：波强∝波函数振幅平方 ? 电子数∝波函数振幅平方 粒子观点：波强∝电子数

即：某处出现电子的几率与该处波函数振幅平方成正比对其他粒子（图18-5）。 波函数统计解释：某时刻，在某点找 到粒子的几率与该点处波函数振幅绝对值 平方成正比。（一般情况下，波函数是复数） 三、波函数统计解释对波函数的要求

1

、波函数的归一化

由波函数统计意义知，t 时刻，在()z y x ,,处dxdydz dV =内发现粒子数几率

()dxdydz z y x 2

,,ψ∝，如果把波函数乘上适当因子，使t 时刻在()z y x ,,处出现粒子几率

??

???

???

?图18-5

()dxdydz t z y x 2

,,,ψ=，在整个空间内粒子出现几率为

()1,,,2

=ψ???V

dxdydz t z y x

即 ?=ψψV

dV 1* （18-10） 式（18-10）称为波函数的归一化条件。它表明：粒子在全空间找到的几率等于1。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。 下列二式物理意义：

①()2

,,,t z y x ψ（或*ψψ）意义：粒子在t 时刻出现在()z y x ,,处单位体积内的几率

（几率连续）

② ()dxdydz t z y x 2

,,,ψ意义：粒子在t 时刻出现在()z y x ,,附近体积元dxdydz 内几率。

2、波函数的标准条件

单值性（几率单值的要求）

()t z y x ,,,ψ 有限性（平方可积的要求）

连续性（几率连续分布连续的要求）

说明：①物质波不是机械波，也不是电磁波，而是一种几率波。由波函数的统计

解释可以看出，对微观粒子讨论是无意义的，而决定状态的只能是波函数，从几率的角度去描述。

②波函数本身无明显的物理意义，而只有2

ψ（*ψψ=）才有物理意义，

反映了粒子出现的几率。（图18-6）

③描写微观粒子状态的波函数要满足归一化条件和波函数标准条件。（有时

也可不归一化）

④波函数是态函数，用几率角度去描述，反映了微观粒子的波粒二象性。

§18-3 薛定谔方程

1926年，薛定谔在德布罗意物质波假说的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程，可以正确处理低速情况下各种微观粒子运动的问题，他所提出的这套理论体系，当

?

??

??图18-6

时称为波动力学。后来证明，波动力学与由海森伯、玻恩等人差不多同时从不同角度提出的矩阵力学完全等价，现在一般统称为量子力学。 一、一维自由粒子的薛定谔方程

粒子波函数()()px Et h

i

Ae

t x --=ψπ

2,，令()px h

i

Ae

x πψ2=

()x e

)t ,x (Et h

2i ψπ-=ψ

()px h

i

Ae

x πψ2=只与x 有关，与t 无关，()x ψ也称为波函数（定态波函数）。

可知： ψππψπ

2

2222

2242p h Ae p h i x px h i -=??? ??=??

k mE mv m p 22

1

222=?= ? ψπψk mE h

x 2422

2

2?-=?? 即 222280k m

E x h

ψπψ?+=? （18-11）

此式为自由粒子一维运动的薛定谔方程（定态薛定谔方程）

二、一维势场中粒子的薛定谔方程

一个粒子在势场中运动，其能量E 应包括动能k E 和势能U 两部分，即k E E U =+ ，所以k E E U =-，代入（18-11）中，有

()222280m

E U x h

ψπψ?+-=? （18-12） 上式即为一维势场中粒子的薛定谔方程。

三、三维情况下粒子的薛定谔方程

在三维情况下，()(),,x y z r ψψψ== (),,()U U x y z U r ==

222

2

222x y z

????=++???

将上面三式代入式（18-12）中得：

()082222222

2=-+??+??+??ψπψψψU E h

m

z y x （18-13） 此式为三维势场中粒子的薛定谔方程。

说明：薛定谔方程不能从经典力学导出，也不能用任何逻辑推理的方法加以证明。

它是否正确，只能通过实验来检验。几十年来，关于微观系统的低能的大量实验事实无不表明用薛定谔方程进行计算（包括近似计算）所得的结果都与实验结果符合得很好。所以薛定谔方程作为基本方程的量子力学被认为是能

?????

够正确反映微观系统客观实际的近代物理理论。

§18-4 薛定谔方程的应用

对于处于定态的粒子，只要知道粒子的质量和它所在的保守场中的势能，就可以写出定态薛定谔方程式的具体形式。结合波函数的标准条件和归一化条件，就可以对该方程求解，从而得到描述粒子运动状态的波函数。 一、一维无限深势阱18-4-1一维无限深势阱1

在实际应用中，有一个很好的理想模型，这就是一维无

限深势阱。如图18-7设粒子质量为m ，势能为

()000,x a U x x x a <

=?

?∞≤≥? 讨论粒子能级和波函数

因为()U x 不随时间变化，所以是一维定态问题。由薛定谔方程有

()0082

222=-+ψπψE h m

dt d ()a x <<0 ()0'E h

m

8dt d 2

222=∞-'ψπψ ()a x ,0x ≥≤ 可知：0'=ψ，令2

2

28k h mE =π，得：0222=+ψψk dx

d 上式是二阶的、线性的、齐次的、常系数的常微分方程。其通解为

()kx c kx c x cos sin 21+=ψ，1c 、2c 为常数。

波函数满足连续性条件

()()00'0==ψψ ()()0a 'a ==ψψ

有 ()00cos 0sin 021=+= c c ψ ?02=c

()kx c x sin 1=ψ 由知 ()0sin 1==ka c a ψ

若01=c ，则()0≡x ψ，无意义。01≠c ，? 0sin =ka 即πn ka = ()???=,2,1n ? a

n k π

= 波函数为：()x a

n c x π

ψsin 1= ()???=,2,1n 归一化条件为：

()dx x a

n c dx x a

a

2

12

sin 1?

?==πψa c dx x a n c a 21

sin 2102

21?==?π 可取 a

c 2

1= 图18-7

可有 ()x a

n a x πψsin 2=

（归一化波函数） （1）波函数 x a

n sin a 2)x (π

ψ=()a x <<0，0)x (='ψ（0≤x ，0≥x ）

。 （2）能级：由E h

m k 2

22

8π=和a n k π=有 22

28n h E a m

=()???=,3,2,1n （18-14）

（3）4,3,2,1=n 时，n E 、()x n ψ、()2

x n ψ如图18-8（曲线）：18-4-2一维无限深势阱2

讨论：①22

28n h E a m

= ()???=,2,1n ，自然得到能量是量子化的，这与经典理论中能量

是连续的概念完全冲突。

②基态能或称零点能：082

2

1≠=

ma h E ，这与经典物理中，自由粒子能量最小为零完全相违背。01≠E ，由测不准关系可以说明。如果粒子能量为零，则粒子（自由的）动量为零。由h p x x ≥??知，∞→?x ，但实际上x ?被限

制在a 势阱内，所以01≠E 。实际上，这是微观粒子波粒二象性的必然反映，因为“静止的波”是不存在的。

③粒子出现的几率密度()x a

n a x n πψ2sin

22

=随x 变化，即在势阱内出现粒子的可能性不相同，与地点有关。按经典理论，势阱内各处出现粒子的可能性是等同的。 ④能量间隔：

()()2

2

222222

1812881ma h n ma h n ma h n E E E n n n +=-+=

-=?+

当n 一定，a 很大时，E ?很小，∞→a 时，0→?n E （经典情况）

2

12n n E E n n +=?，∞

→n 时，0→?n n

E E 。此时可看成能量是不连续的，这由量子理论→经典理论。

⑤波函数：x a

n sin a 2)x (π

ψ=()a x <<0，0)x (='ψ（0≤x ，0≥x ）

。表明粒图18-8

子只能出现在势阱内，此时粒子的状态称为束缚态。

⑥振荡定理：由上图知，除0=x 、a 外，k n =时，有(1)k -个节点。 ⑦2

ψ随x 、n 变化，当n →∞时，由振荡定理知，粒子在势阱内各出出现的几

率相同，过渡到经典情况。

⑧宇称：()()x f x ψ=-：()x ψ描述态为偶宇称。()()x f x ψ=--：()x ψ描述态为

奇宇称。

二、一维势垒 隧道效应 若势能分布函数为：

(0)()0

(0,)U x a U x x x a ≤≤?=?

<>? 这种势垒称之为一维方势垒（见图18-9）。18-4-3势垒

在区域Ⅰ中沿x 轴运动的粒子，

当能量0E U >

当粒子能量0E U

<时，按经典理论，粒子不可能进入区域Ⅱ；按量子力学的观点，粒子

可以穿过区域Ⅱ进入区域Ⅲ。

定态薛定谔方程为：

22

2

d 20d mE x ψψ+=(Ⅰ，Ⅲ区) 2

122mE k = 2022

2()d d m U E x

ψψ-=(Ⅱ区) 2

0222()m U E k -= 其解：11()ik x ik x x Ae Be ψ-=+(Ⅰ区) 22()k x k x x Ce De ψ-=+(Ⅱ区) 1()ik x x Ee ψ= (Ⅲ区)

在区域Ⅱ、 Ⅲ中()x ψ不为零，说明粒子可在区域Ⅱ中出现，并可穿过势垒达到区域Ⅲ，这种现象称为隧道效应。扫描隧道显微镜就是利用微观粒子的隧道效应制造而成的。图18-11即为扫描隧道显微镜的工作原理简图。

图18-9

图18-10

图18-11

§18-5电子的自旋 原子的壳层结构

一、电子的自旋 四个量子数

1、轨道磁矩

按经典理论,电子绕核旋转等效于一圆形电流，因而具有垂直轨道方向上的磁矩，称为轨道磁矩（图18-12）， 2e L m μ=

-

证明：因为L mv r

=?

则：222

222dq e ev

iS r r r dt T r

emvr e L m m μππππ======

由于角动量的大小和方向是量子化的，因而 轨道磁矩的大小和方向也是量子化的。

2、施特恩-格拉赫实验18-5-1施特恩-格拉赫实验

1921年，德国物理学家施特恩、格拉赫首先用实验证实了原子在空间中取向量子化及磁矩的存在，实验装置简图如图（18-13）所示。其基本的实验原理是，具有磁矩的原子在非均匀磁场中运动时，将受到磁场力的作用而发生偏转，偏转的方向与大小跟磁矩在磁场中的方向有关。

以银原子为例，最后得到下面两条结论：

①无外磁场时，银原子不受磁力作用，得 到一条正对狭缝的原子痕迹；② 加非均匀 外磁场时，在屏上银原子的痕迹分裂为上下 对称的两条。（如图18-14)

由于磁矩空间取向的量子化，故受力不同，因而一束可分为多束。对于一个给定的 l (0,1,2,l m l =±±±),磁矩在磁场中有(21)l +个取向，故理论上应有奇数条黑线。但对

L

e

-i

m v

r ?图18-12

图18-13

图18-14

基态银原子，(最外层仅有一个电子，处于S 态，对应的l =0)，由(21)l +可得磁矩在空间只有一个取向，原子通过非均匀磁场时，不应分裂。实验中为什么却分裂为两条呢?

3、电子的自旋

为了解释施特恩-格拉赫实验的实验现象，1925年，荷兰物理学家乌伦贝克、歌德斯密特首次提出电子自旋的假设：每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任一方向上的投影z S 也是量子化的（图18-15）

z s S m

=

s m 称为自旋量子数，只能取两个可能值，即1

2s m =±。因而有：

11,22

z S =+-

与自旋角动量S 相对应的自旋磁矩s μ，它们之间的关系是：

s e

e

S m μ=- 2sz z B e e e e S m m μμ=-=±=±

式中e m 和e -分别是电子的质量和电量，B μ是玻尔磁子。上式表示，电子的自旋磁矩在空间任一方向(如外磁场方向)的分量只有两个可能的取值。

原来，引起银原子射线束偏转的正是银原子中电子的自旋磁矩s μ。照相板上出现上、下两条银原子沉积痕迹，是由于电子的自旋磁矩s μ在空间只能有两个可能的取向，所以在外磁场方向的分量只有两个可能的数值。可见，自旋角动量S 也具有空间量子化的性质，S 在外磁场方向的分量z S 只能取两个可能的数值。18-5-2电子自旋

说明：① 电子的自旋是电子的内秉属性，它表示微观粒子运动的一个内秉自由度。

并不表示粒子围绕自身轴的自转。

②电子自旋是一个相对论的量。是相对论量子力学的直接结果

4、四个量子数

原子状态必须用四个量子数才能完全确定l s n l m m 、、、

。n 为主量子数，决定电子能量的主要部份；l 为角量子数，决定电子轨道角动量L ；l m 为磁量子数，决定轨道角动量的空间取向Z l L m =；s m 为自旋磁量子数，决定自旋角动量的空间取向Z

S m =。

（见表18-1）

()

z B 3

2

-S

图18-15

二、原子的壳层结构

1916年柯塞尔对多电子原子的核外电子分布提出了壳 层分布模型。他认为主量子数n 相同的电子分布在同一壳层

上，主量子数n 不同的电子分布在不同的壳层上。按照n 从小到大的顺序，依次分布在核外不同壳层上。通常用字母

K L M N

、、、等等分别表示1,2,3,4,n =

等等主量子数对应的电子壳层。主量子数n 相同而角量子数电子壳层的不同的分壳层（或次壳层）上。通常用字母s p d f 、、、等等分别表示

0,1,2,3,

l =等等角量子数对应的电子分壳层。一般说来，n 越小，其能级越低。同一

主壳层中（n 相同），l 越小，其能级越低。所以原子壳层结构按n ，l 的不同可依次表示为1s,2s,2p,3s,3p,3d,4s,4p,4d,4f,5s,……如图18-16所示。

电子在原子中的分布规律服从下列两条基本原理。 1、 泡利不相容原理

原子系统中,不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态 , 即不可能有具有相同的四个量子数的两个电子存在。由于一组量子数l s n l m m 、、、可决定电子的一个状态，又根据泡利不相容原理一个电子占有，所以在主量子数为n 的电子壳层中，根据

l s l m m 、、的取值范围计算可知，最多能容纳的电子数为22n 。

2、

能量最小原理

原子系统处于正常状态时,每个电子趋于占有能量最低的能级。斯莱脱和徐光宪总结的实验规律：原子中的电子大致按0.7n l +值的大小依次填充到n ，l 壳层上。

图18-16

内容概要

一、理论框架和逻辑关系

法国科学家德布罗意的物质波假设是量子力学的基础。光具有波粒二象性对德布罗意产生很大启示：光是波，但它具有粒子性；实物粒子一直被认为只是粒子，它是否也具有波动性？从而提出实物粒子具有波动性的假设，并把光的波粒二象性联系的公式

2

mc h εν

==

h

p mc λ

==

移植到实物粒子中。提出质量为m 的粒子，以速度v 匀速运动时，一方面可以用能量E 和动量p 对它作粒子的描述，另一方面也可以用频率

ν，波长λ把它作为波进行的

描述，其关系为： E h ν= h p

λ=

公式h p

λ=称为德布罗意公式。

1、量子力学的基本假设

量子力学的基本假设有：

（1）微观粒子的运动状态用波函数描述。波函数的物理意义是：

在某一时刻，粒子在空间某处的体积元d V 中出现的概率与该处波函数ψ模的平方成正比。或2ψ正比与t 时刻，粒子在空间x 处的单位体积内出现的概率。

由于波函数只有统计的意义，所以波函数满足标准条件和归一化条件。 （2）微观粒子的力学量用算符表示。

（3）微观粒子运动时其波函数的变化服从薛定谔方程。 （4）微观粒子的有关测量服从不确定关系。 （5）泡利不相容原理。 （6）最小能量原理。

2、量子力学处理问题的思路和方法

对于处于定态的粒子，只要知道粒子的质量m 、势能函数U (x )，就可写出它的定态薛定谔方程；解薛定谔方程，得到薛定谔方程的通解；应用边界条件，结合标准条件、归一[化]条件，可求解得薛定谔方程的特解。从而得到粒子的波函数和理学量的本征值—力学量的可能值。应用波函数的统计解释，可求得粒子的分布概律。

3、作为实例，展示应用量子力学处理氢原子的方法和过程。 三、本章重点

1、德布罗意的物质波假设。

2、波函数的统计解释。

3、应用不确定关系估计简单情况下力学量的取值范围和其他应用。

4、从“量子力学处理氢原子的方法和过程”理解量子力学处理问题的思路和方法。

5、理解能量量子化、角动量量子化、电子轨道的空间量子化、自旋量子化及其对应的量子数。

6、泡利不相容原理、最小能量原理。

四、本章难点

1、量子力学基本假设的理解；量子力学处理问题的思路和方法的理解和掌握。

2、应用量子力学处理实际问题一般都很复杂，本课程只能处理最简单的几个特例。通过这几个特例，掌握量子力学处理问题的思路和方法。

3、应用不确定关系估计简单情况下力学量的取值范围和其他应用。

4、四个量子数的意义及其取值关系。

五、科学思想方法的学习

学习德布罗意勇于创新的精神。

德布罗意的物质波假设是由早期量子论，或者说由旧量子论走向量子力学的里程碑。正是物质波假的提出，才逐渐建立了量子力学完整的理论体系。所以，德布罗意的物质波假设对于量子力学有特殊的重要性。

德布罗意的物质波假设的提出看起来似乎很简单：光具有波粒二象性，所以，实物粒子也应具有波粒二象性。正如德布罗意在回忆他如何提出这一假设时所说：看来光的本性具有奇异的“两重性”，如果说在几个世纪的长时间里在谈论关于光的理论时，人们过分地倾向于使用“波”的概念而过分地忽视了“微粒”的概念，那么在谈论物质的理论时，人们是否又犯了相反的错误呢？物理学家是否有权利只考虑“微粒”的概念而忽视“波”的概念呢？

法国科学家布里渊为解释波尔的定态轨道提出：原子核周围的以太由于电子运动激发一种波，这种波相互干涉，只有电子轨道半径适当时才能形成环绕原子核的驻波。德布罗意吸收了这一观点，把以太概念去掉，把以太的波动性直接赋予电子。提出电子具有波动性。

但当时，在很多科学家看来，德布罗意提出实物粒子具有波动性，很有些异想天开、标新立异，甚至有些玩世不恭。由此可以看出，实物粒子只有粒子性是多么根深蒂固，深入人心，而实物粒子具有波动性是多么令人不可思议。而德布罗意提出了人们想不到，也不敢想的观点。这是他的难能可贵之处。

1924年德布罗意的博士论文获得答辩委员会的好评。当被问到有什么可验证这一新观念时，德布罗意回答，电子在晶体上的衍射应当可以观察到这种效应。后来，戴维森和革末用实验证实了德布罗意的预见。可见德布罗意提出实物粒子具有波动性是经过深思熟虑的。

类似的事情在现代物理学的发展中也经常发生。看起来似乎是不可能的事情，有时它是真的。大家知道，强相互作用是维系原子核的作用力，是短程力，它将质子和中子中的夸克束缚在一起，将原子核中的质子和中子束缚在一起。但是，2004年诺贝尔物理学奖却发给了提出“渐近自由”理论的科学家。“渐近自由”是指，夸克之间越接近，强相互作用越弱，当夸克之间非常接近时，强相互作用力是如此之弱，以至可以把它们当成自由夸克对待。与此相反，当夸克之间的距离越大时，强相互作用力就越强。这种作用可以比喻成一个橡皮圈，橡皮圈拉得越长，力量就越大。

那些“理所当然”、“不言而喻”、“不言自明”的结论并不都是不可怀疑、不可推翻的。学习德布罗意勇于创新的精神，大胆地怀疑，审慎地思考，严密地推导，提出创新观点，获得重大成果。