第18章 量子力学简介
量子力学的基本原理
1.简介量子力学的历史和发展量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为和相互作用。
以下是量子力学历史和发展的简介：•早期量子理论的兴起：在20世纪初，科学家们通过研究辐射现象和黑体辐射问题，开始怀疑经典物理学的适用性。
麦克斯∙普朗克的量子假设和爱因斯坦的光电效应理论为量子理论的发展奠定了基础。
•波粒二象性的提出：在这个阶段，德国物理学家路易斯∙德布罗意提出了物质粒子（如电子）也具有波动性的假设，即波粒二象性。
这一假设通过实验证明，如电子衍射实验，为量子力学奠定了基础。
•薛定谔方程的建立：奥地利物理学家埃尔温∙薛定谔于1926年提出了著名的薛定谔方程，用于描述微观粒子的运动和行为。
这个方程成功地解释了氢原子的能级和谱线，奠定了量子力学的数学基础。
•不确定性原理的发现：德国物理学家瓦尔特∙海森堡于1927年提出了著名的不确定性原理，指出在测量过程中，无法同时准确确定粒子的位置和动量。
这一原理挑战了经典物理学的确定性观念，成为量子力学的核心概念之一。
•量子力学的完备性和广泛应用：随着时间的推移，量子力学逐渐发展成为一个完善的理论体系，并在许多领域得到广泛应用。
它解释了原子和分子的结构、核物理现象、固体物理、粒子物理学等多个领域的现象，并为现代科技的发展提供了基础。
量子力学的历史和发展是科学进步的重要里程碑，对我们理解微观世界的行为和深入探索宇宙的奥秘具有重要意义。
2.波粒二象性和不确定性原理的解释在量子力学中，波粒二象性和不确定性原理是两个核心概念，对我们理解微观世界的行为提出了挑战，下面是它们的解释：•波粒二象性：根据波粒二象性的理论，微观粒子（如电子、光子等）既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波的特性。
这意味着微观粒子既可以像粒子一样具有局部位置和动量，也可以像波一样展现出干涉和衍射的现象。
这种波粒二象性的解释可以通过德布罗意的波动假设来理解。
根据德布罗意的假设，微观粒子具有与其动量相对应的波长，这与光波的性质相似。
大学物理量子力学基本概念
大学物理量子力学基本概念量子力学是现代物理学的重要分支之一，它描述了微观粒子的行为和相互作用。
在大学物理学习中，量子力学是一个重要的课程内容，学习者需要理解和掌握其中的基本概念。
本文将介绍几个大学物理量子力学的基本概念，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等。
一、波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既可以表现出波动性质，又可以表现出粒子性质。
根据波动理论，微观粒子具有波动性质，可以用波函数来描述。
波函数可以表示微观粒子在空间中的概率分布，也可以通过波函数的叠加得到粒子的波动性质。
根据粒子理论，微观粒子具有局域性的位置和动量。
粒子的位置可以用位置算符表示，动量可以用动量算符表示。
根据波动-粒子二象性，微观粒子既可以表现为波函数的可观测性质，也可以表现为位置和动量的可观测性质。
二、不确定性原理不确定性原理是由海森堡提出的，它描述了在同一时间内无法同时准确测量微观粒子的位置和动量。
根据不确定性原理，位置和动量是一对互相制约的物理量，无法同时准确测量。
具体而言，不确定性原理可以表述为：对于一个微观粒子，如果我们准确测量其位置，那么对应的动量将变得不确定；反之亦然，如果我们准确测量其动量，那么对应的位置将变得不确定。
这个原理对于量子力学中的测量有重要的影响。
三、量子态量子态是描述微观粒子的状态的数学表示。
在量子力学中，一个微观粒子的量子态可以用波函数表示。
波函数是一个复数函数，它包含了微观粒子在不同状态下的概率分布信息。
量子态的演化可以通过薛定谔方程描述。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了量子态随时间的演化规律。
通过薛定谔方程，我们可以推导微观粒子的波函数在时间上的变化，从而了解微观粒子在不同时刻的行为。
四、测量在量子力学中，测量是一个重要的概念。
测量可以理解为对量子系统进行观测，以获取关于该系统性质的信息。
在测量中，量子系统的波函数会发生塌缩，即从多个可能的状态中塌缩到一个确定的状态。
测量结果的不确定性是由量子力学的本质所决定的。
量子力学的基本概念
量子力学的基本概念量子力学是研究微观世界的一门物理学科，它是现代物理学的重要基础之一。
量子力学的出现和发展，彻底改变了我们对自然界的认识，揭示了微观粒子行为的奇异性和非经典性质。
本文将简要介绍量子力学的基本概念，包括波粒二象性、不确定性原理、波函数、量子叠加态以及量子纠缠等。
1. 波粒二象性量子力学的一个重要概念是波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。
这一概念挑战了经典物理学的观念，推动了量子力学的发展。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
该原理指出，在一些重要物理量的测量中，我们无法同时确定其位置和动量的准确数值。
换言之，我们只能通过牺牲其中一个的精确度来获取另一个的准确数值。
3. 波函数波函数是量子力学描述微观粒子状态的数学函数。
波函数可以用Schrodinger方程描述其演化规律。
波函数的模的平方给出了在空间中找到粒子的概率密度。
通过对波函数的测量，我们可以得到粒子的位置、能量等信息。
4. 量子叠加态量子叠加态是量子力学中重要的概念之一。
它指的是一个物理系统可以同时处于多个可能的状态之间，只有在测量之后，才会确定其具体的状态。
这种叠加态的性质使得量子计算和量子通信等领域得以快速发展。
5. 量子纠缠量子纠缠是一种在两个或多个微观粒子之间发生的特殊相互关联。
当两个微观粒子纠缠在一起后，它们的状态无论是位置、自旋还是其他量子性质都是相互关联的，即使它们之间的距离很远。
这一现象引起了爱因斯坦的“鬼魂般的作用距离”。
总结：量子力学是一门复杂而又精确的物理学科，它揭示了微观世界的非经典性质和奇异行为。
波粒二象性、不确定性原理、波函数、量子叠加态和量子纠缠等基本概念是理解量子力学的基础。
随着量子技术的不断发展，量子力学在信息处理、通信、计算以及量子物理实验等领域正发挥着越来越重要的作用。
量子力学-简介
0
/ kT
即：
（ e 0 / kT 1)
n 0
e
n 0 / kT
1 1 x 1 x 1 e 0 / kT n 0
n
计算分子： n 0 e n 0 / kT ，令y 0 / kT
n 0 n 0 / kT ny n e ne 0 0 n 0 n 0
说明： Planck 成功的关键在于提出了能量子 0 h 的假设，辐 射能量是不连续改变的，从而导致了 E 不同于经典的能量均分 定理的连续分布。这里第一次出现了经典物理中没有的常数 h ， 这些都跳出了经典物理的框架， 成为量子物理的开端。 Planck 导 出公式后，曾努力把它纳入经典物理范畴，但未成功。
代入(7) 式得 Planck 公式
8h 3 1 d d 3 h / kT c e 1
(8)
(9)
这个公式与实验符合的很好。
实验结果：频率 d 间的辐射能量密度 d 只与频率
及黑体的绝对温度 T 有关,而与腔的形状及组成物质无关。
3. 讨论：
a. 当辐射频率高时，即当
基础知识
量子的世界、量子力学的诞生、 波函数和薛定谔方程
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
漫画：滑雪图
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
隧穿效应
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
一、普适性的完结
在牛顿物理学中没有任何普适常数。这就是它 主张普适性的原因，就是它为什么能不管对象的尺 度如何而以同一方式被应用的原因：原子、行星和 恒星的运动都服从一个定律。 然而、普适常数的发现标志着一个根本的变化。 把光速用作比较的标准，物理学建立起了低速和接 近光速的高速之间的区别。 普适常数不但通过引入物理尺度（据此，各种 行为都成为性质上有区别的）破坏了宇宙的均匀性， 而且引出了一种客观性的新概念。任何观察者都不 能以高于真空中光速的速度来发射信号。
量子力学的概念与基本原理
量子力学的概念与基本原理量子力学是一门非常重要的物理学科，在现代科学中有着广泛的应用。
量子力学的出现，使我们对自然世界有了新的认识和理解。
本文将着重介绍量子力学的概念和基本原理。
量子力学简介量子力学，也被称为量子物理学，是研究微观世界的物理学。
它的发展起源于20世纪早期，是由一些重要的科学家如普朗克、爱因斯坦、玻尔等人构建的。
量子力学的目标是探讨微观世界中不同物质的物理性质以及它们之间的相互作用。
量子力学的基本原理量子力学的基本原理包括以下几个方面：1. 波粒二象性波粒二象性指的是粒子既可以表现出波的性质，也可以表现出粒子的性质。
例如，电子和光子既可以被看作粒子，也可以被看作波。
2. 不确定关系不确定关系是指，在某些情况下，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
这个原理是由海森堡提出的，被称为海森堡不确定关系。
这个原理意味着，在测量过程中，对粒子的干扰可能会影响测量的结果。
3. 能量量子化能量量子化指的是，微观世界中存在一些量子化的现象，比如发射光子的能量是量子化的。
这个原理也是由普朗克提出的，被称为普朗克定律。
4. 简并和交换简并和交换是指，对于某些相同的粒子，如果它们的量子态是完全相同的，那么它们的波函数是完全相同的。
这个原理也被称为泡利不相容原理。
以上是量子力学的一些基本原理，这些原理描述了微观世界中的一些非常奇特的现象。
这些原理构成了量子力学的基础，也为我们了解微观世界提供了重要的指导。
量子力学的应用量子力学的应用十分广泛，它在现代科学中有着重要的地位。
以下是量子力学在不同领域的应用：1. 电子学在电子学中，量子力学被广泛应用于研究电子的性质和电子的行为。
电子的波粒二象性和不确定关系是电子学中的两个基本概念。
2. 化学在化学中，量子力学被应用于研究化学反应。
量子力学可以描述分子之间的作用力和化学反应中化学键的断裂和形成。
3. 生物学在生物学中，量子力学被应用于研究生物分子的结构和功能。
量子力学可以帮助人们了解生物分子的形成和折叠过程。
量子力学简介
x
2 d 2 ( r ) E( r ) 2 2m dx
d 2 8 2 m E 0 2 2 dx h 2 d 2 2 k 0 8 mE 2 2 令 dx k 2 h 1、解方程 x A sinkx B coskx
A,B是积分常数，可由边界条件确定。 x=0时，Ψ=0可得B=0，所以Ψ(x)=Asinkx x =a时，Ψ=0可得Ψ(a)=Asinka 由于A≠0，所以有sinka=0
2
dx A
2
sin
0
a
2
x
a
0
2 dx a
2
0
1 sin dx a 2
2
x
dx 1
(3)概率最大的位置应该满足
解得
a 2 A 1 2
2 A a
(2)粒子的概率密度为
2 2 x sin a a
2
d 2 2x 2 sin 0 dx a a 即当 2x k , k 0,1,2, a
三、一维势阱问题
以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样 确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然 结果。 EP(x) 已知粒子所处的势场为：
EP 0 EP
0 xa x 0 ,x a
x=0 x=a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。在 阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的 斥力。称为一维无限深方势阱。 其定态薛定谔方程：
(1)粒子的能量只能取分立值，这 表明能量具有量子化的性质。 (2)n叫做主量子数，每一个可能 的能量称为一个能级，n=1称为 基态，粒子处于最低状态， E1=h2/(8ma2)，称为零点能；
量子力学通俗讲解
量子力学通俗讲解量子力学是研究微观粒子的一门科学。
它的基本理论是，每一个量子都有自己的特定性质，这种性质是不可复制的，也就是说，同样的物质由不同的人制造出来，会表现出不同的性质。
那么既然量子具有特定性质，如何保证它们在运动过程中不会发生碰撞，形成新的量子？答案是，量子之间不发生直接接触。
量子力学，实际上是由量子、场等抽象概念构成的。
其核心是描述原子和分子的运动规律，以及微观粒子之间的相互作用。
它认为物质的组成、结构和相互作用等都不是物质实体本身所固有的，而是要通过测量才能够确定。
量子力学也称为量子场论，它提供了关于自然界基本粒子的一套完整的理论，但目前还未得到广泛应用。
那么，量子到底是什么呢？有人这样解释：假如我把一颗石子丢向你，你马上起身躲开，那么石子会砸到地面上，因为你的运动轨迹被限制在了一个小小的圆圈内。
但如果我将石子放在了桌子边沿，石子就无法落在地面，它会永远悬在空中，因为它没有运动轨迹。
由此，我们可以看到，当石子与桌子接触时，是无法判断它到底被挡住或者飞出的，这种情况下，石子根本无法被量子化。
那我们就来说说什么是光子，什么又是光波。
那么，什么又是光子呢？顾名思义，光子就是光的粒子，在量子力学里，光子的最大特点就是不能再分，也就是光子既不能创生，也不能消灭。
而光波呢？这里指的是光子所携带的能量，它的最大特点就是能量可以叠加，当光子在高能级和低能级的状态发生变化，它所携带的能量也就改变了。
“叮”，闹钟响了，今天又是星期一，你正忙着上学，你并不知道，地球上发生了一件惊天动地的事，那就是——一声巨响，世界上第一次被量子化了！有一个女孩穿越时空回到了过去，她是谁呢？没错，她就是爱因斯坦！爱因斯坦打开时空之门后，便从另外一个世界返回了，他望着眼前的场景感叹到：“真是太神奇了！这一切的发展超乎了我的想象！”爱因斯坦用了两个小时把量子力学介绍给了全世界，那个女孩就是——玛丽亚·格佩特梅耶娃·居里，她后来凭借自己的努力创立了世界上第一个私人核反应堆。
量子力学的基本原理与概念
量子力学的基本原理与概念量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的运动和相互作用规律。
本文将介绍量子力学的基本原理和概念，以便更好地理解和应用这一重要的学科。
1. 波粒二象性量子力学的核心思想之一是波粒二象性。
研究发现，微观粒子既表现出粒子的特点，又具有波动的性质。
例如，光既可以看作是一束由粒子（光子）组成的粒子流，也可以看作是一种电磁波，具有干涉和衍射等波动现象。
2. 不确定性原理量子力学中的另一个重要概念是不确定性原理，由海森堡提出。
不确定性原理指出，无法同时准确确定微观粒子的位置和动量。
精确测量一个粒子的位置会导致其动量的不确定性增大，相反，准确测量其动量会导致位置的不确定性增大。
这种不确定性存在于所有微观粒子中，是量子世界的本质特征。
3. 波函数和态叠加原理在量子力学中，波函数起到了非常重要的作用。
波函数描述了微观粒子的状态和行为，并用数学表达式进行表示。
对于一个给定的微观粒子，其波函数的模的平方给出了在不同位置和动量上找到粒子的概率分布。
态叠加原理是量子力学中的另一个关键概念。
根据态叠加原理，一个系统可以同时处于多个状态的叠加态。
这意味着在某些情况下，系统没有确定的状态，而是同时具有多个可能的状态，并在测量之前无法确定具体的状态。
4. 纠缠和量子隐形传态纠缠是量子力学中一个非常神奇的现象。
当两个或多个微观粒子相互作用时，它们的状态会发生相关联，无论它们之间的距离有多远。
这种相关性被称为纠缠，并且在某些特殊情况下，纠缠可以实现量子隐形传态，即在不直接传输粒子的情况下，在两个纠缠粒子之间传递信息。
5. Heisenberg方程和Schrödinger方程量子力学有两个核心方程：Heisenberg方程和Schrödinger方程。
Heisenberg方程描述了物理量的运动规律，尤其是关于位置和动量之间的关系。
Schrödinger方程描述了波函数随时间演化的规律，从而揭示了量子系统的动力学性质。
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第十八章量子力学简介1905年，爱因斯坦提出光量子假说，提出光具有波粒二象性。
应用光量子与物质相互作用时遵守能量守恒原理，得到光电效应方程，完满解释了光电效应。
1913年，玻尔在角动量量子化假设，定态假设和跃迁假设基础上建立了氢原子理论，完满解释了氢原子光谱规律。
从1900年普朗克提出量子假说，到玻尔理论以及后来对它的修正，一般认为是旧量子论。
旧量子论理论结构上的特点是量子化条件加经典理论，其理论结构本身的不协调使它具有各种缺陷。
也正因为如此，旧量子论能解决的问题很有限，当时已发现的很多问题不能给出满意的解释。
1924年法国科学家德布罗意在著名论文《量子理论的研究》中提出物质波假设，把爱因斯坦提出的光的波粒二象性观念扩展到运动粒子，提出实物粒子具有波粒二象性，为量子力学的建立奠定了基础。
1924年，海森伯创立了矩阵力学；1926年薛定谔创立了波动力学，薛定谔证明了矩阵力学和波动力学两种量子理论是等价的。
1933年，狄拉克提出了量子力学的第三种表达方式：“路径积分量子化形式”。
§18-1德布罗意假设不确定关系一、德布罗意假设根据所学过的内容，我们可以说，光的干涉和衍射等现象为光的波动性提出了有力的证据，而新的实验事实——黑体辐射、光电效应和康普顿效应则为光的粒子性（即量子性）提供了有力的论据。
在1923年到1924年，光的波粒二象性作为一个普遍的概念，已为人们所理解和接受。
法国物理学家路易·德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光才具有的，实物粒子也具有二象性。
德布罗意说道：“整个世纪以来，在光学上，比起波动的研究方面来，是过于忽视了粒子的研究方面；在物质粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把关于粒子的图象想的太多，而过分地忽视了波的图象？”德布罗意把光中对波和粒子的描述，应用到实物粒子上，作了如下假设：每一运动着的事物粒子都有一波与之相联系，粒子的动量与此波波长关系如同光子情况一样，即hpλ=（18-1）h hp mvλ==（18-2）它被称为德布罗意波长,上式称为德布罗意公式，与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，又称物质波。
说明：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<<-=02201m m c v c v m m c v 时，可取比较时，与 。
讨论：以电子为例，电子经电场加速后，设加速电压U ，电子速率v<<c 时，德布罗意波长为vm h p h 0==λ。
此时 eU v m =2021 所以： A U U m U Ue m h 2.12102.121106.1101.921062.612101931340=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=----λ二、德布罗意波的实验证实 电子衍射实验实物粒子的波动性，当时是作为一个假设提出来的，直到1927年戴维孙和革末用电子衍射实验所证实。
该实验情况如下：1、实验装置：K 是发射电子的灯丝，D 是一组光栏缝，M 是单晶体，B 是集电器，G 是电流计。
灯丝与栏缝之间有电势差U ，从K 发射的电子经电场加速，经光栏变成平行光束，以入射角ϕ射到单晶M 上，并在M 上向各方向散射，其中沿ϕ方向反射的电子进入集电器B 中，反射电子流的强度由电流计G 量出，集电器只接受满足反射定律的电子，目的是改变这一情况下反射电子强度和U 之间的关系。
实验中ϕ角保持不变（2个ϕ角），改变U 而测I 。
2、实验结果I 与U 的关系如图18-2所示，可知，U 单调增加时，I 不是单调变化，而是有 一系列极大值，这说明电子从晶体上沿ϕ角方向反射时，对电压U 的值有选择性，即遵守反射定律的电子对电压有选择性。
图18-1图18-23、实验结果说明了电子具有波动性如果只认为电子具有粒子性，则上述结果难以理解，那么，如何去认识电子的这种行为呢？我们知道，X 射线在晶体体上反射加强时，有下列规律，即布拉格公式λϕk d =sin 2（k=1,2,…）λ为入射光波长，d 为晶格常数。
将这一事实与上述结果对照一下，电子的反射和X 射线的反射极为相似，因此，要解释上述实验结果，要考虑电子的波动性。
假设电子具有波动性，反射时也服从布拉格公式，其波长代以德布罗意波长，用上面公式可得结果，看看是否能解释上面的实验结果。
德布罗意波长为：),2,1(2sin 2122 =⋅==⋅===k m eh U k d U m e h m eU m h p h ϕλ即加速电压满足此式时，电子流强度I 有极大值，由此计算所得加速电势差U 的各个量值和实验相符，因而证实了德布罗意的假设的正确性。
电子既然有波动性，自然会联系到原子、分子和中子等其它粒子，是否也具有波动性。
用各种气体分子作类似的实验，完全证实了分子也具有波动性，德布罗意公式也仍然是成立的。
后来，中子的衍射现象也被观察到。
现在德布罗意公式已改为表示中子、电子、质子、原子和分子等粒子的波动性和粒子性之间关系的基本公式。
4、德布罗意波的统计解释既然电子、中子、原子等微观粒子具有波粒二象性，那么如何解释这种波动性呢？ 为了理解实物粒子的波粒二象性，我们不妨重新分析一下光的衍射情况。
根据波动光学观点，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处表示波的强度大，暗处表示波的强度最小。
而波的强度与振幅平方成正比。
所以，图样亮处波的振幅平方大，图样暗处波的振幅平方小。
根据光子的观点，光强大处表示单位时间内到达该处光子数多，光强小处表示单位时间到达该处光子数少。
从统计观点看，这相当说：光子到达亮处的几率大于到达暗处的几率。
因此可以说，粒子在某处出现的几率与该处波的强度成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的几率与该处波的振幅平方成正比。
图18-3现在应用上述观点来分析一下电子的衍射图样见图18-3。
从粒子观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地设向照相底片各处所形成的，有些地方很密集，有些地方很稀疏。
这表示电子射到各处的几率是不同的，电子密集处几率大，电子稀疏处几率小。
从波动观点看，电子密集处波强大，电子稀疏处波强小。
所以，电子出现的几率反映了波的强度，因为波强正比与波幅平方。
普遍的说，某处出现粒子的几率正比与该处德布罗意波振幅的平方。
这就是德布罗波的统计解释。
说明：①一切实物粒子都具有波粒二象性。
宏观物体的波长一般是很短的，它们的波动性不能通过观察而得到；相反，微观粒子，特别是匀速运动的粒子，它们物质波波长十分显著，不能把它们再看作经典粒子。
②微观粒子的波动性已经在现代科学技术上得到应用。
电子显微镜分辨之所以较普通显微镜高，就是应用了电子的波动性。
我们提到过，光学显微镜由于受到可见光的限制，分辨率不能很高。
放大倍数只有2000倍左右，而电子的德布罗意波长比可见光短得多，按A λ=知，U 为几百伏特时，电子波长和X 射线相通。
如果加速电压增大到几万伏特，则λ更短。
所以，电子显微镜放大倍数很大，可达到几十万倍以上。
③应该指出，德布罗意波与经典物理当中研究的波是截然不同的，如：机械波是机械振动在空间中的传播，而德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅平方表述了粒子出现的几率。
我们绝对不能把微观粒子的波动性，机械地理解成经典物理当中的波，不能认为实物粒子变成了弯弯曲曲的波了。
例18-1：一电子束中，电子的速率为s m /104.86⨯，求德布罗意波长。
解：因为 s m /104.86⨯比c=s m /1038⨯小的多， 所以可用经典理论： A m v m h p h 867.010867.0104.8101.91062.610631340=⨯=⨯⨯⨯⨯===---λ。
例18-2：已知第一玻尔轨道半径为1r ，试计算当氢原子中电子沿第n 个玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？ 解：ph =λ 依玻尔量子化条件 π2h n mvr n = 有： π2h n pv n = 1122n nr 2h r n 12nh p r n r ππ==∴=代入中，有1nr 2h h πλ=n r 21π=三、不确定关系在经典力学中，任一时刻粒子的坐标和动量都有准确值，所以可用坐标和动量描述粒子的状态。
那么，对于微观粒子是否也可以这样做呢？下面来讨论这个问题。
以电子运动为例，设平行单缝电子束，沿y 轴方向入射到单缝k 上，缝宽为b ，电子经缝后产生衍射，衍射图样分布关于y 轴对称，如图18-4所示：在中央处形成亮纹，在其两旁还有其它亮纹。
现考虑中央零级。
根据单缝衍射公式有 sin()b ϕλ=（第1级极小） （18-3） 通过缝后，电子由于发生衍射，所以电子运动方向发生了变化，即动量发生了变化。
设经缝后电子动量为0p ，在ϕ角内，动量x 分量x p 满足下式：0sin()x p p ϕ≤≤ （18-4）故x p 的不确定量为 sin()x p p ϕ∆= （18-5） 由式（18-3）、（18-5）有 x b p p λ∆=⋅ （18-6） 当电子通过缝时，它通过单缝那一点是不确定的。
所以电子坐标x 的不确定度x ∆等于缝宽度b ，所以式（18-6）可化为 x x p h ∆⋅∆≥ （18-7） 上式称为海森伯不确定关系，x ∆、x p ∆分别称为粒子的坐标x 和动量x p 的不确定量。
说明：①由不确定关系，x ∆、x p ∆不可能同时为零，即粒子坐标和相应方向的动量不能同时测准确定。
x 测得越准时，即x ∆越小时，x p 测得越不准，即xp ∆越大。
当精确确定粒子坐标x （如x ∆→0）时，则x p 必然无法精确测量（x ∆→0时，x p ∆→∞），反之亦然。
②不确定关系是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。
③对微观粒子不能用坐标和动量描述其运动状态。
④不确定关系推广到三维情况：x y z x p h y p h z p h ∆⋅∆≥⎧⎪∆⋅∆≥⎨⎪∆⋅∆≥⎩例18-3：在电子单缝衍射中，若缝宽为90.1(110)b nm nm m -==，电子束垂直如射在单缝上，求：衍射电子横向动量的最小不确定度x P ∆解：x x p h ∆⋅∆≥，即 x h p x∆≥∆ 依题意有动量最小不确定量为342496.6210 6.6210()0.110x h h p N s x b ---⨯∆≥===⨯⋅∆⨯ （x ∆=b ） 例18-4：一电子具有2001-⋅s m 的速率，动量不确定度为%.010，确定电子位置时，不图18-4确定量为多少？解： x x p h ∆⋅∆≥ => 0.01%x xh h x p P ∆≥=∆⨯ )m (...mV .h x231434106432001019101063600010----⨯=⨯⨯⨯⨯== 已确定原子大小的数量级为1010-m ，电子则更小，在这种情况下，电子位置不确定量远大于电子本身线度，所以，此时必须考虑电子的波粒二象性。