控制原理6
《自动控制原理》第6章_自动控制系统的校正
改善系统瞬态响应。
校正装置分类
校正装置按 控制规律分
超前校正（PD） 滞后校正（PI）
滞后超前校正（PID)
校正装置按 实现方式分
有源校正装置（网络） 无源校正装置（网络）
有源超前校正装置
R2
u r (t)
i 2 (t)
R1
i1(t)
(aTa s
1)(Tb a
s
1)
滞后--超前网络
L'()
20db / dec
20 lg K c
1 1/ T1 2 1/ T2
设相角为零时的角频率
1
()
a)
20db / dec
5
1 T1T2
90
5 校正网络具有相
5
位滞后特性。
90
b)
5 校正网络具有相位
超前特性。
G( j)
Kc
( jT1
G1 (s)
N (s) C(s)
G2 (s)
性能指标
时域：
超调量 σ%
调节时间 ts
上升时间 tr 稳态误差 ess
开环增益 K
常用频域指标:
开环频域 指标
截止频率: 相角裕度:
c
幅值裕度:
h
闭环频域 指标
峰值 : M p
峰值频率: r
带宽: B
复数域指标 是以系统的闭环极点在复平面
上的分布区域来定义的。
解：由稳态速度误差系数 k v 1应00 有
G( j)
100
j( j0.1 1)( j0.01 1)
100 A()
1 0.012 1 0.00012
《自动控制原理》第六章：控制系统误差分析
e(t)=μ(p)xi(t) εxo(t) x (t) - y(t) (t) =
i
X oi (s)
E (s )
(s)
Y (s)
N (s )
拉氏变换： E(s)=μ(s)Xi(s) -Xo(s)
G1 ( s )
＋
G2 (s)
X o (s)
H (s )
ε(s) =Xi(s) - Y(s)
K1
＋
K 2 xo (t ) s
解：（1）由于系统是一阶系统，故只要参数K1K2大于零，则 系统就稳定。
1 1 ]0 （2）输入引起的误差： ess1 lim[s K2 s 0 1 K1 S s
（3）干扰引起的误差：
ess 2 lim sE 2 ( s ) lim[ s
以单位反馈为例，输入引起的误差分析：
X i (s)
E (s )
G (s )
X o (s)
X o ( s) G ( s) 1 E (s) (s) [ X i ( s )] G ( s) 1 G (s) G (s) ess lim sE ( s )
s 0
1 lim[ s X i ( s )] s 0 1 G (s)
ess 1 1 Kv
1 K
( 0) ( 1)
( 2) 0 0型系统误差无穷大；1型有限2型及以上 系统，Kv为无穷，而稳态误差为零。
加速度输入下稳态精度
定义： 静态加速度误差
2 K ( r s 1) ( k s 2 2 k k s 1) r 1
令系统中xi(t)=0 。
X i (s)
(s)
Y (s)
自动控制原理第6章习题解——邵世凡
习 题 66-1 设控制系统的开环传递函数为：()()()s s s s G 1.015.0110++= 绘出系统的Bode 图并求出相角裕量和幅值裕量。
若采用传递函数为(1+0.23s)/(1+0.023s)的串联校正装置，试求校正后系统的幅值和相角裕度，并讨论校正后系统的性能有何改进。
6—2设控制系统的开环频率特性为()()()()ωωωωωj j j j H j G 25.01625.011++= ①绘出系统的Bode 图，并确定系统的相角裕度和幅值裕度以及系统的稳定性； ②如引入传递函数()()()0125.025.005.0++=s s s G c 的相位滞后校正装置，试绘出校正后系统的Bode 图，并确定校正后系统的相角裕度和幅值裕度。
6 3设单位反馈系统的开环传递函数为()()()8210++=s s s s G 设计一校正装置，使静态速度误差系数K v =80，并使闭环主导极点位于s=-2±j23。
6-4设单位反馈系统的开环传递函数为()()()93++=s s s K s G ①如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超凋量σ =20％，试确定K 值；②根据所确定的K 值，求出系统在单位阶跃输入下的调节时间t s 。
，以及静态速度误差系数； ③设计一串联校正装置，使系统K v ≥20，σ≤25％，t s 减少两倍以上。
6 5 已知单位反馈系统开环传递函数为()()()12.011.0++=s s s K s G 设计校正网络，使K v ≥30，γ≥40º，ωn ≥2.5，K g ≥8dB 。
6-6 由实验测得单位反馈二阶系统的单位阶跃响应如图6-38所示．要求①绘制系统的方框图，并标出参数值；②系统单位阶跃响应的超调量σ =20％，峰值时间t p =0.5s ，设计适当的校正环节并画出校正后系统的方框图。
6-7设原系统的开环传递函数为()()()15.012.010++=s s s s G 要求校正后系统的相角裕度γ=65º。
自动控制原理第六章
G(s)
K0 K p (Ti s 1) Ti s2 (Ts 1)
表明：PI控制器提高系统的型号，可消除控制系统对斜 坡输入信号的稳态误差，改善准确性。
校正前系统闭环特征方程：Ts2+s+K0=0 系统总是稳定的
校正后系统闭环特征方程：TiTs3 Ti s2 K p K0Ti s K p K0 0
调节时间 谐振峰值
ts
3.5
n
Mr
2
1 ,
1 2
0.707
谐振频率 r n 1 2 2 , 0.707
带宽频率 b n 1 2 2 2 4 2 4 4 截止频率 c n 1 4 4 2 2
相角裕度
arctan
低频段：
开环增益充分大， 满足闭环系统的 稳态性能的要求。
中频段：
中频段幅频特性斜 率为 -20dB/dec， 而且有足够的频带 宽度，保证适当的 相角裕度。
高频段：
高频段增益尽 快减小，尽可 能地削弱噪声 的影响。
常用的校正装置设计方法 -均仅适用最小相位系统
1.分析法(试探法)
特点：直观，物理上易于实 现，但要求设计者有一定的 设计经验，设计过程带有试 探性，目前工程上多采用的 方法。
列劳思表：
s3 TiT
K p K0Ti
s2 Ti
K pK0
s1 K p K0 (Ti T )
s0 K p K0
若想使系统稳定，需要Ti>T。如果 Ti 太小，可能造成系 统的不稳定。
5.比例-积分-微分(PID)控制规律
R( s )
E(s)
C(s)
K
p (1
朱玉华自动控制原理第6章 复习
四、 频率法进行串联校正
1. 频率法的串联超前校正
校正时应使校正装置的最大超前相角出现在系 统的开环剪切频率处。
具体步骤：
(1) 根据给定系统稳态性能指标，确定系统的开环增益 K；
(2) 绘制在确定的K值下的系统Bode图，并求出系统的
相角裕量 ； 0
第2章 线性系统的数学模型
(3) 确定给定的相角裕量 值，计算所需增加的超
第2章 线性系统的数学模型
五、反馈校正
6.6.1 反馈校正的原理
开环传递函数
G(s)
G1(s)
1
G2 (s) G2 (s)Gc
(s)
第2章 线性系统的数学模型
G(s)
G1
(
s)
1
G2 (s) G2 (s)Gc
(s)
如果在对系统动态性能起主要影响的频率范围内有
G2( j)Gc( j) 1
G(s) G1(s) Gc (s)
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
例6－8 试确定满足下列性能指标时的反馈校正，要求相
角裕量 4剪0切频率为10rads-1<ωc<30rads-1 ，速度
误差系统Kv =200s-1 。
解：1）作出K=Kv=200s-1时未校正系统Bode图，其开
环传递函数为
200
G0 (s) s(0.1s 1)(0.01s 1)
第6章 控制系统的设计和校正
一、校正的相关概念
校正对：于动态性能和稳态性能都有一定要求的控制系统， 为使系统的各项性能指标均满足要求，就必须设法改变系 统的结构或在原系统中附加一些具有某种典型环节特性的 电网络、运算部件或测量装置等来有效改善整个系统的控 制性能，以达到所要求的指标。这个过程称为校正。
自动控制原理习题答案6
n
m
n−m
=
(0 − 0.001 − 4 − 5) − (−0.03) ≈ −2.99 4−3
渐近线与实轴的夹角
θ=
± (2k + 1)π ± (2k + 1)π = = ±60o ,180o n−m 4 −1 (k = 0,1)
系统的根轨迹如图 6.2(b)所示。
引入开环偶极子的滞后校正对根轨迹不产生显著影响，既能保证系统瞬态特性又 满足了稳态性能指标。 K 题 6.5 单位负反馈系统的对象传递函数为 G p ( s) = ，设计相位超前校正， s ( s + 4) 使校正后系统的超调量不大于10% ，上升时间不大于 2 秒，单位斜坡函数的稳态误差 不大于 0.5 。 解：采用根轨迹校正方法。 (1) 根据期望动态性能指标确定闭环主导极点的位置。为使 δ % ≤ 10% 并留有余 2 地(以确保在其他极点的作用下性能指标仍能得到满足) ，选阻尼比 ξ = 。由于 2 ξ = cos θ ， 主导极点应位于如图 6.3 所示的θ = 45o 的射线上。 再运用二阶系统调节时 3 间的近似公式 ts = ，可选择ωn = 3 ，以保证 ts ≤ 2s 并留有余地。因此主导极点为
ww
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p1 p3
× ×
Im
×
×
Re
p2
图 6.2 题 6.4 用图
ξωn
3 2 3 2 ±j 。 2 2 (2) 画出未校正系统的根轨迹图，如图 6.3 中的实线所示。由图可见，根轨迹不 通过期望主导极点，因此不能通过调节开环放大系数来满足动态性能指标。 − p1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2 = −
自动控制原理6 第五节根轨迹法设计校正网络
-6
5
4.画出校正以后系统根轨迹，求出 A1 点根轨迹增益
Kr
A1 A1 2 A1 9.6 A1 4
50.4
速度误差系数
Kv
K
Kr
2
4 9.6
10.51(
1
s
)
校正系统的开环传函为：
KcGc
(s)G(s)
50.4(s 4) s(s 2)(s 9.6)
6
用根轨迹法设计相位滞后校正网路
b
、b 0.2
；
（5）选 Zc和
Pc
：
1 bT
2.5，及
1 T
0.5
，zC
Pc
5
1 b
s+2.5 1 0.4s
Gc (s) 0.2 s+0.5 1 2s
校正后系统的开环传函
Gc G
2500k 0.2 (s 2.5) s(s 25)(s 0.5)
13
（6）画出校正后系统的根迹，除原点外，形状与原系统相似；
用根轨迹法设计相位超前校正网络 当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当
期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前 校正。
在不考虑稳态指标时设计步骤如下：
1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置；
2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿
（8）校验指标；
（9）求出网络参数 R,C ；
10
例：有一单位反馈控制系统的开环传函为 G(s) 2500k ，要求满
s(s 25)
足下列性能指标；
（1）当输入是一个1rad s的单位速度函数时，输出的速度函数
与输入速度函数的最终稳态误差不大于0.01rad； （2）单位阶跃响应的最大超调量 p 12% ，试设计一个相位滞
自动控制原理-第6章新系统稳定性分析
第6章控制系统的稳定性系统能在实际中应用的必要条件是系统要稳定。
分析稳定性是经典控制理论的重要组成部分。
经典控制理论对于判定一个线性系统是否稳定提供了多种方法。
本章主要介绍几种线形定常系统的稳定性判据及其使用，以及提高系统稳定性的方法。
6.1系统稳定性概念及其条件稳定是控制系统完成期望工作任务的前提。
系统在实际工作中，会受到外部干扰作用和内部某些因素变动影响，偏离原来的平衡工作状态；在干扰或变动消失后，系统能否恢复到原来的平衡工作状 态一稳定性，这是我们最为关心的问题。
稳定性是控制系统的重要性能，对其进行分析并给出保证系 统稳定的条件，是自动控制理论的基本任务之一。
6.1.1稳定性定义控制系统稳定性定义为：如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。
否 贝叽称这个系统是不稳定的。
由此可见，稳定性是系统的一种内在固有特性，这种特性只取决于系 统的结构和参数。
例如，图6-1 (a )所示是一个悬挂的单摆示意图。
其垂直位置 M 是原始平衡位置。
设在外界干扰作用下，摆偏离了原始平衡位置M 到达新平衡位置 b 或c 。
当外力去掉后，显然摆在重力作用下，将围绕点M 反复振荡，经过一定时间，当摆因受空气阻碍使其能量耗尽后，摆又回到原始平衡位置 M 上。
像这样的平衡点 M 就称为稳定的平衡点。
对于一个倒摆，图6-1 ( b )所示，摆的支撑点在下方。
垂直位置d 是一个平衡位置，若外力 f 使其偏离垂直位置平衡点 d ，即使外力消失，无论经过 多长时间，摆也不会回到原来平衡点d 上来。
对于这样的平衡点 d ,称为不稳定平衡点。
再如图6-2所示的小球，小球处在 a 点时，是稳定平衡点。
因为作用于小球上的有限干扰力消 失后，小球总能回到a 点。
而小球处于b 、c 点时为不稳定平衡位置， 因为只要有干扰力作用于小球, 小球便不再回到点 b 或c 。
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第六章线性系统的校正6.1 校正的概念一、校正：在系统中加入一些机构和装置（其参数可以根据需要而改变），使系统特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。
性能指标：评价系统性能优劣的一些数据。
•时域指标•频域指标二、校正的作用)10125.0)(1()()(++=s s s Ks H s G 例：要求系统在单位斜坡作用下，e ss ≤1%，且闭环谐振峰值Mr =1.25，试问K 应如何选取。
100≥∴K 当K =100时,Z =2,不稳定但稳态误差不满足要求01.01≤=Ke ss (1)相切恰与，取25.11==r M K (2)Re－4－3－1－22－11－2021ImM ＝1.25－3－4K =100K =1串联校正三、常用的校正方式C(s)G c (s)G (s)H (s)R(s)_G 2(s) C(s)H (s)G 1(s)Gc(s)R(s)__2.反馈校正串联校正比反馈校正简单，更易于对信号进行变换。
可消除系统不可变部分中被反馈所包围那部分参数波动对性能的影响。
3.复合校正G 1(s)C(s)H (s)G 2(s)Gc(s)R(s)_+校正方法: 分析法(analyzing method )综合法(synthesizing method )•分析法(试探法):确定校正方式选择一种校正装置,算出参数验算性能指标直到满足要求•综合法(希望特性法):根据性能指标确定希望开环频率特性将希望特性与系统原有部分特性比较确定校正方式和校正装置参数四、基本控制规律(1) 比例(P)控制=K p e(t)K pe(t)m(t)r(t)c(t)-(2) 比例-微分(PD)控制K p (1+τs)-m(t)c(t)e(t)r(t)p e(t)+K p τd(t)de(t)21Js 例6-1 控制系统如下。
试分析控制器采用P 或PD 对系统性能的影响。
K p (1+τs)_E(s)C(s)G C (s)R(s)1.P 控制2. PD 控制特征方程为Js 2+K p =0，阻尼比为零，阶跃响应为等幅振荡，系统临界稳定。
特征方程为Js 2+K p τs+K p =0，K p02>=JK pτζ系统阻尼比为，系统稳定。
阻尼比的大小可通过改变参数K p 和τ来调整。
微分控制只对动态过程起作用，对稳态过程没有影响。
微分通常与其他控制器结合，构成PD 或PID 控制器。
(3) 积分(I)控制作用：增加原系统的型号，提高系统的稳态性能。
缺点：增加了一个原点的开环极点，对系统的稳定性不利。
E(s)M(s)R(s)C(s)-sK i (4) 比例-积分(PI)控制E(s)M(s)R(s)C(s)-)11(sT K i p 特点：增加的极点可提高系统的型号，减小或消除稳态误差；负实零点可增加系统阻尼，克服PI 对系统稳定性及动态过程产生的不利影响。
(5) 比例-积分-微分(PID) 控制E(s)M(s)R(s)C(s)-)11(s sT K i p τ++相应的传递函数为ss T s T T K s s T K s G i i i pi p 1)11()(2++⨯=++=ττ输入输出关系：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰dt t de dt t e T t e K t m ti p )()(1)()(0τZ 1R 1C R 2Z 2u iu 01. 超前网络6.2 常用校正装置及其特性一、无源校正装置212)()()(Z Z Z s U s U s G i o c +==TsaTs a Cs R R R R Cs R R R R ++⋅=+++⋅+=1111121211212超前网络的传函：12212121>+=+=R R R a CR R R R Tωj 0σs Ts aT Ts aTsa s G c ++=++⋅=11111)(T1-aT1-超前网络的零极点分布极点总在零点的左侧∴>,1a 为补偿衰减，需串接一放大器。
补偿后：TsaTss aG s G c c++==11)()('T12=ωTαω11=m ωω))((dB L ωTαω11=m ωT12=ωω90º0º－90º)(ωφ20lgaTsaTs++11超前网络的伯德图Φm中点是两个转角频率的几何由图知：m ω)1lg 1(lg 21lg aTT m+=∴ωaTm 1=∴ωωωϕT tg aT tg c 11---= 由三角公式：221)1(ωωϕaT T a tg c +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∴-2211)1(ωωϕaT T a tg c 时当m ωω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--11sin 2111a a a a tg mϕ处的对数幅值在m ωaa j aG L c m c lg 10lg20)(lg 20)(===ωωZ 1R 1Z 2u iu 0R 2C2. 滞后网络2120)()()(Z Z Z s U s U s G i c +==TsbTs Cs R R Cs R ++=+++=11)(11212式中bT CR =2；212R R R b +=<1σωj T1-零极点分布bT1-极点总在零点的右侧∴<,1b 作用：采用滞后网络校正，主要是利用其高频幅值衰减的特性，应力求避免最大滞后角发生在校正后系统的开环截止频率附近。
T11=ωmωbT12=ωω90º0º－90º))(( ωφbT12=ω0mωωT11=ω))((dB L ω滞后网络的伯德图3.滞后－超前网络Z1R1C1Z2u i u0R2C2网络的传函:sCRsCRsCRsCRsCRsGc2122112211)1)(1()1)(1()(+++++=212122112221111,,TTCRCRCRabCRbTCRaT+=++===设212211T TCRCR=则)11)(11()(2211sTsbTsTsaTsGc++++=超前滞后因此a与b不能独立选定设a>1,b<1σωj 11T α-{超前{滞后11T -21T -21bT -滞后－超前网络的零、极点分布21Z u Z u o i -= 二、有源校正装置Z 2Z 1U i (t)U 0 (t)＋－KA12Z Z u u i o -=∴应用场合系统的调整要求比较高, 希望装置参数可任意调整。
作业（27/10）⏹5-15⏹6-1串联超前校正的原理：利用超前网络的相角超前特性。
要点：（1）正确地将超前网络的转折频率aT1和T1选在待校正系统剪切频率的两边。
6-3 串联校正及其参数确定一、超前校正（2）闭环系统的稳态性能可由选择开环增益来保证。
根据稳态误差要求,确定开环增益K确定超前网络的元件值,并注意计算结果的标称化γ验算已校正系统的相角裕度利用已确定的开环增益K ,计算未校正系统的相角裕度设计步骤：选择最大超前角频率↓=s c m t 以保证ωω成立的条件是：c m ωω=aa j aG L m c m c lg 10lg 20)(lg 20)(===ωω而)(lg 100c L a ω-=∴a T a m ω1=及由此算出11sin 1+-=-a a a m ϕ算由)(0c m ωγϕγ+=校正后0)()(0=+m c c L L ωω根据希望剪切频率计算超前网络参数和T c ωa例1 设控制系统如下图所示。
若要求系统在单位斜坡输入信号作用时,稳态误差e ss ≤0.1，开环系统剪切频率ωc ≥4.4(弧度／秒)，相角裕度γ≥45°,幅值裕度R (dB )≥10。
试选择串联无源超前网络的参数。
)1(+s s K )(s R )(s C _解)1(10)(0+=s s s G 当系统的K 值取为10时，可以满足稳态误差要求，则未校系统的传递函数为1)(00=c j G ω 算出未校正系统相角裕度1.01≤=Ke ss首先调整开环增益K本例未校正系统为Ⅰ型系统，所以有56.179018000=--=∴c arctg ωγ16.30=∴c ω40 30 20100－10－20－3020lgK－2010.10.20.30.523－40L )(ωL0cωω计算超前网络参数，并确定已校正系统的开环传函验算8.124.49090180)(110=-=--=--tg tg cc ωωγ4.4==c m ωω选adb L c lg 106)(0=-=ω由图得4=∴a 秒）(114.044.411===a T mωsss G c 114.01456.01)(4++=∴超前网络为两个转角频率：8.8114.0112.2456.011====T aT3787.3653sin 11sin 11≈==+-=--a a m ϕ未校正时458.498.1237)(0>=+=+=∴c m ωγφγ40 30 20100－10－20－3020lgK－20＋2020lga10.10.20.30.523)(ωL0cωω1ω2ωcωL c－40L－40L选择无源超前网络的元件值R 1R 2C33Kμ7.4选C=4.7μfCR R R R T R R R a 2121221,+=+= KM C aT R 100097.07.4114.041≈Ω=⨯==∴Ka R R 333100112==-=校正后开环传函)114.01)(1()456.01(10)(s s s s s G +++=例2要求系统的速度误差系数Kv =20，相角裕量≥50°，幅值裕量≥10db 。
设计串联校正装置。
解：（1）调整K 满足稳态误差要求)15.0()(0+=s s Ks G 设单位反馈系统开环传函为20)15.0(lim )(lim 000==+==→→K s s Ks s sG K s s v )15.0(20)(0+=∴ωωωj j j G 开环频特（2）画bode 图20lg20=26db4030 20 100－10－20－30－2010124520100－40ω)(ωL0cωL00cω求15.0201)5.0(202=⋅≈+ωωωω3.6=∴cω6.175.090180)(1=--=∴-cctgωωγ(3)为获得γ≥50°的相角裕量，校正装置应提供超前相角原有相角裕量附加角度（4）（5）验算dba 2.6lg 10= 616.038sin 11sin ==+-= a a m ϕ由 3861850=+-=mϕ2.4=∴a cm db L ωωω==-=92.6)(0对应的频率054.01==aT m ω4.414.181==aTT 1054.01227.0)(++=s s s G c53.5053.12385.09038)(10=+=-+=+=-cc m tg ωωγϕγ4030 20 100－10－20－30－2010124520100－40＋204.418.40cωω)(ωLcωcL－40LL串联超前校正小节：（1）可以提高系统的相对稳定性（2）可以加快系统的响应速度（3）应用超前校正时，必须指出适用范围原系统不稳定，a必须较大，使闭环带宽要求过大，抗干扰能力下降在剪切频率附近相角迅速减小的未校正系统不宜采用串联超前校正二、滞后校正基本原理：利用滞后网络的高频幅值衰减特性，使剪切频率下降，从而获得足够的相位裕度。