湘教版数学九上4.3《解直角三角形》word练习题

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湘教版九年级数学上册同步练习4.3解直角三角形

第 4 章锐角三角形函数4.3解直角三角形知识点 1已知一边一角解直角三角形1．如图 4－3－1，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.(1)已知∠ A 和 c，则 a＝________，b＝ ________；(2)已知∠ B 和 b，则 a＝________，c＝________．2．在直角三角形ABC 中，已知∠ C＝90°，∠ A＝40°，BC＝ 3，则 AC＝()A．3sin40 °B．3sin50 °C．3tan40 °D．3tan50 °图4－3－1图 4－3－23．如图 4－3－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC的长是()4 3A. 3B．4 C．8 3 D．4 34．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a＝8，∠ B＝60°，求∠ A，b，c.知识点 2已知两边解直角三角形5．已知在Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，BC＝ 2， AC＝6，则 AB ＝________，∠ A＝______°，∠ B＝________°.6．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a，b，c 分别是∠ A，∠ B，∠C 的对边，假如 a＝2，b＝2 3，求 c 及∠ B.知识点 3已知一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt△ABC中，∠C＝°，sinB＝3， BC＝ 5，则∠ B＝902________°，AB＝________．8．2019·岳阳如图 4－3－3 是教课用三角尺，边 AC＝30 cm，∠C3＝90°，tan∠BAC＝3，则边 BC 的长为 ()A．30 3 cm B．20 3 cmC．10 3 cm D．5 3 cm．在△ABC 中，已知∠＝°，＝，＝2，那么 AC 边9C90BC4sinA3的长是 ()A．6B．25C．3 5 D．213图4－3－3图 4－3－4知识点 4“双直角三角形”问题10．如图 4－3－4，在△ ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝ 8，∠ABD ＝30°，∠CAD＝45°，则 BC 的长为 ()A．4 3 B．4 3＋4C．4 3－4 D．411．教材习题 4.3 第 3 题变式如图 4－3－5，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，已知∠ BDC＝45°，BD＝10 2，AB＝20，求∠A 的度数．图 4－3－512．如图 4－3－6 所示，△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠ BAC 的平3分线．已知 AB＝10，tanB＝4，则 BC 的长为 ()A．6 B．8 C．12 D．16图4－3－6图 4－3－713．如图 4－3－7，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB＝8 cm，BC＝10 cm，则 tan∠EAF＝ ________．14．如图 4－3－8，在△ABC 中，∠ ABC＝90°，∠A＝30°，D 是边 AB 上一点，∠ BDC＝45°，AD＝4.求 BC 的长． (结果保存根号 )图 4－3－815．如图 4－3－9，在 Rt△AOB 中，∠ AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，OA 与 x 轴的正方向的夹角为 30°，求 A，B 两点的坐标．图 4－3－916．如图 4－3－10，在四边形 ABCD 中，AD∥ BC，∠ ABC＝90°，∠BCD＝45°，点 E 在 BC 上，且∠ AEB＝60°，若 AB＝2 3，AD＝1，求 CD 和 CE 的长． (结果保存根号 )图 4－3－1017．如图 4－3－11，已知 Rt△ABC 中，∠ ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥CD， AE 与 CD，CB 分别订交于点 H，E，AH＝2CH.(1)求 sinB 的值；(2)假如 CD＝5，求 BE 的长．图 4－3－11详解详析1．(1)c·sinA c·cosAb b(2)tanB sinB2．D[ 分析 ] ∵∠ C＝90°，∠A＝40°，∴∠ B＝90°－∠ A＝90°－40°＝50°.AC又∵ tanB＝BC，∴ AC＝BC·tanB＝3tan50 °.应选 D.3．D [ 分析 ] ∵在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AB＝8，cosB ＝BC，即 cos30°＝BC，AB83∴BC＝8×2＝4 3.应选 D.4．解：∠ A＝90°－∠ B＝30°，ac＝sinA＝16， b＝a·tanB＝8 3.5．2 2 30606．解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝22＋(23)2＝42，∴ c＝4.b233∵sinB＝c＝ 4＝2，∴∠ B＝60°. 7．60108．C[分析 ] ∵在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，BC∴tan ∠ BAC ＝AC .3又∵ AC ＝30 cm ，tan ∠BAC ＝ 3 ，3∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝30×3 ＝103(cm)．应选 C.2 BC9．B[分析 ] ∵在 △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，∴sinA ＝3＝ AB＝ 4，∴ AB ＝6，∴ AC ＝ 36－16＝2 5.AB10．B[ 分析 ] 第一解 Rt △ ABD ，求出 AD ， BD 的长，再解Rt △ADC ，求出 DC 的长，而后由 BC ＝BD ＋DC 即可求解．11．解：∵在 Rt △BDC 中，∠ BDC ＝45°，BD ＝10 2，2∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝10 2×2 ＝10.∵在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AB ＝20，BC 10 1∴sinA ＝ AB ＝20＝2，∴∠ A ＝30°.12．D [分析 ] ∵AB ＝AC ，AD 是∠ BAC 的均分线，∴ AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴ tanB ＝AD BD ＝34，∴ AD ＝34BD.∵AD 2＋BD 2＝ AB 2，∴ (34BD)2＋BD 2＝102，∴ BD ＝8，∴ BC ＝16.应选 D.1第5页/共8页BC＝10 cm.∵折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，∴A F＝AD＝10 cm，DE＝EF，∠ AFE＝∠ D＝90°.在 Rt△ABF 中， BF＝ AF2－AB2＝6 cm，∴FC＝BC－BF＝4 cm.设 EF＝x cm，则 DE＝x cm，CE＝CD－DE＝ (8－x)cm.在 Rt△CEF 中，∵ CF2＋CE2＝EF2，2∴42＋(8－x)＝x2，解得 x＝5，即 EF＝5 cm.在 Rt△AEF 中，EF 5 1tan∠EAF＝AF＝10＝2.14．解：设 BC＝x，在 Rt△BCD 中，∠DBC＝90°，∠BDC＝45°，∴B D＝BC＝x.∵A D＝4，∴ AB＝4＋x.在 Rt△ABC 中，∠ ABC＝90°，∠ A＝30°，BC＝x，AB＝4＋ x.BC3x∵tanA＝AB，即3＝4＋x，解得 x＝23＋2，∴BC 的长为 23＋ 2.15．解：过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D.在 Rt△AOC 中， AC＝2sin30 °＝1，OC＝2cos30°＝ 3，因此点 A 的坐标为 ( 3，1)．由于∠ AOB＝90°，∠ AOC＝30°，因此∠ BOC＝60°.31.由于点 B 在第四象限，1 3因此点 B 的坐标为 (2，－2 )．16．解：过点 D 作 DF⊥BC，垂足为 F.∵AD∥BC，∠ ABC＝ 90°，DF⊥BC，∴∠ BAD＝∠ ABC＝∠ DFB＝90°，∴四边形 ABFD 为矩形，∴DF＝AB＝2 3，BF＝AD＝1.∵在 Rt△DFC 中，∠ C＝45°，∴D F＝FC＝2 3，CD＝ 2DF＝2 6，∴B C＝FC＋BF＝AB＋AD＝2 3＋1.在 Rt△ABE 中， BE＝AB＝2，tan60 °∴C E＝BC－BE＝2 3＋1－2＝2 3－1.即 CD＝2 6， CE＝2 3－1.17．解： (1)在 Rt△ABC 中，∵∠ ACB＝90°，∴∠ CAB＋∠ B＝90°.∵A E⊥ CD，∴∠ CAH＋∠ ACH＝90°.∵C D 是斜边 AB 上的中线，∴ CD＝AD，∴∠ DAC＝∠ ACD，∴∠ B＝∠ CAH，∴sinB＝sin∠CAH.又∵ AH＝2CH，∴ AC＝5CH，CH5∴sinB＝sin∠CAH＝AC＝5 .(2)∵CD＝5，∴ AB＝2 5.5∵sinB＝5，∴A C＝2，∴ BC＝4.CE5又∵ sinB＝sin∠CAH＝AE＝5，AC＝2，∴C E＝1，∴B E＝BC－CE＝4－1＝3.。

湘教版九年级数学上册(同步导练)：4.3 解直角三角形

4.3 解直角三角形基础导练1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，∠B=30°，则c和tan A的值分别为( )A.12，33B.12，3C.43，33D.22，32.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是( )A.c=a sin AB.c=a/sin AC.c=a cos AD.c=a/cos A3.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=( )4. A.3sin40° B.3sin50° C.3ta n40° D.3tan50°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知∠A和c，则a= ，b= ；(2)已知∠B和b，则a= ，c= .5.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，∠B=30°；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=9，c=63.能力提升6.如图是教学用直角三角板，边AC=30 cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33，则边BC 的长为( ) A.303 cmB.203 cmC.103 cmD.53 cm7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为( ) A.2B.334 C.23 D.438.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sin A=35，则斜边上的高等于( )A.6425 B.4825 C.165 D.1259.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sin B=32，a=5，则∠B= °，c= . 10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： (1)a=30，b=20； (2)∠B=72°，c=14.11.∠C=90°，c=0.832 8，b=0.295 4，解这个直角三角形.12.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=25，求BC 的长和tan B 的值.13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=3.点D 为BC 边上一点，且BD=2AD ，∠ADC=60°，求△ABC 的周长（结果保留根号）.14.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD 的长.参考答案1.D2.B3.D4.(1)c sin A c cos A (2)b tanB b s i n B5.(1)∵∠C=90°，c=10，∠B=30°，∴b=5.∴a=22105-=53.∴∠A=90°-∠B=60°.(2)∵∠C=90°，b=9，c=63，∴a=22(63)927-==33.∵sin A=a c =3363=12，∴∠A=30°，∠B=60°.6.C7.B8.B9.60°1010.(1)c=222230201013a b +=+=，tan A=303202==1.5，∴∠A ≈56.3°. ∴∠B=90°-∠A ≈33.7°，即c=1013，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°. (2)∠A=90°-72°=18°.又sin B=b c ，∴sin72°=14b.∴b=14×sin72°≈13.3.∵sin A=ac，∴a=14×sin18°≈4.3.即∠A=18°，b ≈13.3，a ≈4.3.11.∵sin B=b c =0.29540.8326≈0.354 7，∴∠B ≈20°47′.∴∠A=90-∠B ≈90°-20°47′=69°13′.a=22220.83280.2954c b -=-≈0.778 6. 12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=BC AB =2105BC =，∴BC=4. 根据勾股定理得：AC=22221AB BC -=，则tan B=AC BC =2214=212. 13.在Rt △ACD 中，AC=3,∠ADC=60°∴C △ABC =27+5+3.14.过点B 作BM ⊥FD 于点M.在△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC ×tan60°=103.∵AB ∥CF ，∴BM=BC ×sin30°=103×1/2=53，CM=BC ×cos30°=15.在△EFD 中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=53，∴CD=CM-MD=15-53.。

湘教版九年级数学上册4.3解直角三角形及其应用同步练习

4.3解直角三角形及其应用〖预习练习〗1 a B 2.）(A)asin 2α (B)acos 2α (C)asin αcos α (D)asin αtan α3．半径为10cm 的圆内接正三角形的边长为，内接正方形的边长为，内接正六边形的边长为4.已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 5.已知△ABC 中，∠B ＝30°，a ＝2，c ＝3，则S △ABC ＝6.等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为7.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m8.一锥形零件的大头直径为20cm ，小头直径为5cm ，水平距离为35cm ，则该锥形零件的锥度为考点训练：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( ) (A) c=asinA ( B) c= a sinA (C) c=acosA (D) c= acosA2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10 ∠A=30°，则b=（）(A) 5 3 (B) 10 3 (C) 5 (D) 103. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 的坡度i=1：2,则BC ：CA ：AB 等于( )(A) 1：2：1 (B) 1： 3 ：2 (C) 1： 3 ： 5 (D) 1：2： 54.从1.5m 高的测量仪上,测得某建筑物顶端仰角为30°,测量仪距建筑物60m,则建筑物的高大约为( )A 34.65mB 36.14mC 28.28mD 29.78m5.已知直角三角形中,较大直角边长为30,此边所对角的余弦值为817，则三角形的周长为，面积为。

6.在平行四边形ABCD 中，AD ：AB=1：2,∠A=60°,AB=4cm,则四边形面积为7.一锥形零件的表面如图，图纸上规定锥度k=3：8，则斜角a 的正切值为8.在△ABC 中, ∠C=90°, ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c. (1)若∠A=60°,a+b=3+ 3 ,求a 、b 、c 及S △ABC (2)若△ABC 的周长为30,面积为30,求a 、b 、c9.如图四边形ABCD中, ∠A=60°, ∠B=∠D=90, CD=2, BC=11,求AC的长10.从高出海平面500米的直升飞机上,测得甲乙两船的俯角分别为45°和30°,已知两船分别在正东和正西,飞机和两船在同一铅垂面内,求两船的距离.解题指导(1)1.在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,连结AE,已知BC=3,CD=4,求(1)△ADE的面积,(2)tan∠EAB2．已知∠MON＝60°，P是∠MON内一点，它到角的两边的距离分别为2和11，求OP的长3．一个圆内接正三角形面积为16 3 cm2,求(1)这个圆的半径；(2)这个圆的外切正三角形面积?4．如图,已知⊙O中弦AB=2,弓形高CD=2- 3 ,求弓形ABC的面积5.若a、b、c是△ABC的三边, a+c=2b,且方程a(1-x2)+2bx+c(1+ x2)=0有两个相等的实数根,求sinA+sinB+sinC的值6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=Rt ∠,AC=2,tan 2A+ tan 2B= 103 ,∠A>∠B,点P 在斜边AB 上移动,连结PC,(1)求∠A 的度数(2)设AP 为x,CP 2为y,求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围,(3)求证：AP=1时,CP ⊥AB解题指导（2）1.（1）已知锥体轴截面(如图)，斜角α,tan α=18 ，求锥度K=（2）一锥形零件锥度为18，小头直径为20mm ，长为64mm,求这个零件侧面积；（3）如图，渠道横截面为等腰梯形，内坡比为2：1，测得距深为2m ，上口宽为3.5m ，求渠道底宽。

2019-2020年九年级数学上册 4.3 解直角三角形同步练习 (新版)湘教版

2019-2020年九年级数学上册 4.3 解直角三角形同步练习（新版）湘教版要点感知在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫作______.解直角三角形常见类型及求法：预习练习1-1 (兰州中考)△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是( )A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.ctanB=b1-2如图，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，a=6，解这个直角三角形.知识点解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a=6，∠B=30°，则c 和tanA 的值分别为( )A.12，33B.12，3C.43，33D.22，32.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( )A.c=asinAB.c=a/sinAC.c=acosAD.c=a/cosA3.(杭州中考)在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=( )A.3sin40°B.3sin50°C.3ta n40°D.3tan50°4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°.(1)已知∠A 和c ，则a=______ ，b=______ ；(2)已知∠B 和b ，则a=______，c= ______.5.在△ABC 中，∠C=90°.(1)若c=10，∠B=30°，求a ，b ，∠A ；(2)若b=9，c=63，求a ，∠A ，∠B.6.如图是教学用直角三角板，边AC=30 cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33，则边BC 的长为( ) A.303 cm B.203 cm C.103 cm D.53 cm7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为( )A.2B.334C.23D.438.在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用[p ，α]表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45°].若点Q 的极坐标为[4，60°]，则点Q 的坐标为( )A.(2，23)B.(2，-23)C.(23，2)D.(2，2)9.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=23，a=5，则∠B=______，c=______. 10.在△ABC 中，∠C=90°. (1)若a=30，b=20，求c ，∠A ，∠B ；(2)若∠B=72°，c=14，求a ，b ，∠A.11.(无锡中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinA=52，求BC 的长和tanB 的值.12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=9，BC=6.(1)求sinC ； (2)求AC 边上的高BD.13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=3.点D 为BC 边上一点，且BD=2AD ，∠ADC=60°，求△ABC 的周长（结果保留根号）.挑战自我14.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD 的长.参考答案要点感知解直角三角形预习练习1-1 A1-2 ∵∠A+∠B=90°，∴∠B=90°-∠A=30°.∵tanA=ba ，∴b=a/tanA=23.c=a/sinA=43.1.D2.B3.D4.(1)csinA ccosA (2)b/tanB b/sinB5.(1)∵∠C=90°，c=10，∠B=30°，∴b=5.∴a=53.∴∠A=90°-∠B=60°.(2)∵∠C=90°，b=9，c=63，∴a=33.∵sinA=1/2，∴∠A=30°，∠B=60°.6.C7.B8.A9.60°10 10.(1)c=1013，tanA=1.5，∴∠A ≈56.3°.∴∠B=90°-∠A ≈33.7°，即c=1013，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°.(2)∠A=90°-72°=18°.b=14×sin72°≈13.3.∴a=14×sin18°≈4.3.即∠A=18°，b ≈13.3，a ≈4.3.11.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinA=2/5，∴BC=4.根据勾股定理得：AC=221，则tanB=221. 12.(1)作AE ⊥BC 交BC 于点E.∵AB=AC ，∴BE=EC=3，在Rt △AEC 中，AE=62，∴sinC=322.(2)在Rt △BDC 中，∴BD=42.13.在Rt △ACD 中，AC=3,∠ADC=60°∴C △ABC =27+5+3.14.过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=103.∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30°=103×1/2=53，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=53，∴CD=CM-MD=15-53.。

初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题

初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题一、选择题1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 42.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tan A的值为()A. 35B. 45C. 34D. 433.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=()A. √26B. √2626C. √2613D. √13134.如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=12cm，则阴影部分的面积是()A. 12B. 18C. 24D. 365.如图在△ABC中，AC=BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE//BC交AC于点E，若BD=6，AE=5，则sin∠EDC的值为()A. 35B. 725C. 45D. 24256.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，下列结论正确的是()A. AC=BC⋅tanAB. AB=AC⋅cosAC. AC=AB⋅sinAD. AC=BC⋅tanB7.在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为()A. √52B. √55C. √33D. 18.如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8)，点C、F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是()A. 817B. 717C. 49D. 599.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为()A. 313B. 513C. 512D. 121310.在锐角等腰△ABC中，AB=AC，sinA=45，则cos C的值是()A. 12B. 2 C. 2√55D. √55二、填空题11.在△ABC中，AB=√2，AC=√10，tanC=13，则∠B的度数为______．12.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=2√6，则AB=______．13.已知△ABC中，AB=10，AC=2√7，∠B=30°，则△ABC的面积等于______．14.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，EF⊥BE，交边CD于点F，联结CE、BF，如果tan∠ABE=3，那么CE：BF=______．415.如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是______．三、解答题16.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BE，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求tan∠DEC．17.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，sinB=3，求tan C和BC的长．518.如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA=√3，∠ABC的平分线BD3交AC于点D，CD=√3，求AB的长？19.如图，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，OB，抛物线y=ax2+点A在x轴负半轴上，且OA=12bx+4经过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cos∠A=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．2.【答案】D【解析】解：如图所示，连接格点C、D，则CD⊥AB在Rt△ACD中，tanA=CD AD=43故选：D．构造直角三角形，根据正切函数的定义得结论．本题考查了三角函数的定义．连接格点构造直角三角形是解决本题的关键．在直角三角形中，锐角的正切=对边邻边．3.【答案】B【解析】【试题解析】解：如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB=√32+22=√13，AC=√32+32=3√2，∵S△ABC=12AC⋅BD=12×3√2⋅BD=12×1×3，∴BD=√22，∴sin∠BAC=BDAB =√22√13=√2626．故选：B．作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，∴AC=6cm．由题意可知BC//ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=6cm．故S△ACF=12×6×6=18(cm2).故选：B．由于BC//DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵△ABC中，AC=BC，过点C作CD⊥AB，∴AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，∵AE=5，DE//BC，∴AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，∴sin∠EDC=sin∠BCD=BDBC =610=35，故选：A．由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE//BC知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质等知识点．6.【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴sinA=BCAB ，cosA=ACAB，tanB=ACBC，∴AB=BCsinA，AC=AB⋅cosA，AC=BC⋅tanB；故选：D．由三角函数定义得出AB=BCsinA，AC=AB⋅cosA，AC=BC⋅tanB，即可得出答案．本题考查了解直角三角形以及三角函数定义；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：作AD⊥BC于D，如图所示：由勾股定理得：BC=√32+12=√10，AB=√12+12=√2，∵△ABC的面积=12BC×AD=12×3×1−12×1×1，∴12×√10×AD√105=12×3×1−12×1×1，解得：AD=√105，∴sin∠ABC=ADAB =√105√2=√55；故选：B．作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC=√32+12=√10，AB=√12+12=√2，由△ABC 的面积求出AD=√105，由三角函数定义即可得出答案．本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，设直线x=5交x轴于K.由题意KD=12CF=5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK=13，DK=5，∴AD=12，∵tan∠EAO=OEOA =DKAD，∴OE8=512，∴OE=103，∴AE=√OE2+OA2=263，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=12⋅AB⋅EH=S△AOB−S△AOE，∴EH=7√23，∴AH=√AE2−EH2=17√23，∴tan∠BAD=EHAH =7√2317√23=817，故选：B．如图，设直线x=5交x轴于K.由题意KD=12CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H.求出EH，AH即可解决问题．本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9.【答案】C【解析】解：设圆锥的母线长为R，由题意得60π=π×5×R，解得R=12．∴sinθ=512，故选：C．圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的母线长．根据正弦函数定义求解．本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对比与斜边之比．10.【答案】D【解析】解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵sinA=BDAB =45，∴设BD=4k，AB=5k，∴AD=√AB2−BD2=3k，∵AB=AC=5k，∴CD=2k，∴BC=√BD2+CD2=2√5k，∴cosC=CDBC =2√5k=√55，故选：D．如图，过B作BD⊥AC于D，设BD=4k，AB=5k，根据勾股定理得到AD=√AB2−BD2=3k，BC=√BD2+CD2=2√5k，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．11.【答案】45°或135°【解析】解：作AD⊥BC于D，分两种情况：①∠ABC是锐角时，如图1所示：∵tanC=13=ADCD，∴设AD=x，则CD=3x，由勾股定理得：x2+(3x)2=(√10)2，解得：x=1，∴AD=1，∵sinABC=ADAB =1√2=√22，∴∠ABC=45°；②∠ABC是钝角时，如图2所示：同①得：∠ABD=45°，∴∠ABC=135°；综上所述，∠B的度数为45°或135°；故答案为：45°或135°．作AD⊥BC于D，分两种情况：①三角函数和勾股定理得出AD=1，求出sinABC=ADAB=√22，得出∠ABC=45°；②同①得出∠ABD=45°，得出∠ABC=135°；即可得出答案．本题考查了解直角三角形、勾股定理；熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．12.【答案】6+2√3【解析】解：过点C作CD⊥AB于D．∵∠B=45°，∴CD=BD，∵BC=2√6，∴BD=BC⋅sin∠B=2√6×√22=2√3=CD，∵∠A=30°，∴AD=CDtan∠A =√3√33=6，∴AB=AD+BD=6+2√3．故答案为6+2√3．过点C作CD⊥AB于D，解直角△BCD得出BD=CD=2√3，再解直角△ACD，得出AD= 6，从而得出AB即可．本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．13.【答案】15√3或10√3【解析】解：作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5√3，在Rt△ACD中，∵AC=2√7，∴CD=√AC2−AD2=√(2√7)2−52=√3，则BC=BD+CD=6√3，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×6√3×5=15√3；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5√3，CD=√3，则BC=BD−CD=4√3，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×4√3×5=10√3．综上，△ABC的面积是15√3或10√3，故答案为15√3或10√3．作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．14.【答案】4：5【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．首先证明B，C，F，E四点共圆，推出∠EBF=∠ECF，推出△BEF∽△CDE，可得CEBF =DEEF，再证明∠DEF=∠ABE，推出tan∠ABE=tan∠DEF=34=DFDE，设DF=3k，DE=4k，可得EF=5k，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠BCD=90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠BEF+∠BCF=180°，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF=∠ECF，∵∠BEF=∠D=90°，∴△BEF∽△CDE，∴CEBF =DEEF，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠ABE，∴tan∠ABE=tan∠DEF=34=DFDE，设DF=3k，DE=4k，∴EF=5k，∴CEBF =4k5k=45，故答案为4：5．15.【答案】√22【解析】解：如图，连接AB．∵OA=AB=√10，OB=2√5，∴OB2=OA2+AB2，∴∠OAB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴sin∠AOB=√22，故答案为√22．如图，连接AB.证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】(1)证明：∵平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC；(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB，AD//BC，∴AE⊥AD，∵△ADF∽△DEC，∴AFCD =ADDE，即4√38=6√3DE，∴DE=12，∵在Rt△ADE中，AE2=DE2−AD2，∴AE=6，∴tan∠DEC=tan∠ADE=AEAD =6√3=√33．【解析】(1)易证∠ADF=∠CED和∠AFD=∠DCE，即可证明△ADF∽△DEC．(2)根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据△ADF∽△DEC可得AFCD =ADDE，即可求得DE的长，根据勾股定理可以求得AE的长，根据tan∠DEC=tan∠ADE=AEAD即可解题．本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形对边平行且相等的性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADF∽△DEC，学会转化的思想，属于中考常考题型．17.【答案】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，AB=25，sinB=ADAB =35，∴AD25=35，∴AD=15，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√392−152=36，∴tanC=ADCD =1536=512，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√252−152=20，∴BC=BD+CD=20+36=56．【解析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由sinB=ADAB =35，求出AD=15，在Rt△ACD中，由勾股定理得出CD=√AC2−AD2=36，则tanC=ADCD =512，在Rt△ABD中，由勾股定理得出BD=√AB2−AD2=20，即可得出BC的长．本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识；作辅助线构建直角三角形是解题的关键．18.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=√33，∴∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABD=30°，又∵CD=√3，∴BC=CDtan30∘=3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=BCsin30∘=6．答：AB的长为6．【解析】根据∠C=90°，tanA=√33，可求出∠A=30°，∠ABC=60°，再根据BD是∠ABC 的平分线，求出∠CBD=∠ABD=30°，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，是正确解答的关键．19.【答案】解：(1)由y=−x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=4，∴B(4,0)，C(0,4)，∴OB=4，∴OA=12OB=2，∴A(−2,0)，把A(−2,0)，B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx+4中，得{4a−2b+4=016a+4b+4=0，解得{a=−12b=1，∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；(2)∵点P在二次函数y=−12x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P(m,−12m2+m+4)，过P作PF//y轴，交BC于F，则F(m,−m+4)，∴PF=−12m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB=OC=4，∴∠OCB=45°，∵PF//y轴，∴∠PFD=∠OCB=45°，∴PD=PF⋅sin∠PFD=√22(−12m2+2m)=−√24(m−2)2+√2，∵0<m<4，−√24<0，∴当m=2时，PD最大，最大值为√2．【解析】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．(1)由直线y=−x+4得出B(4,0)，C(0,4)，即可得出A(−2,0)，将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；(2)已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根据平行线的性质得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．。

九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形作业湘教版(2021-2022学年)

４.３解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是（)Ａ.已知一直角边和一锐角B．已知一斜边和一锐角Ｃ.已知两边Ｄ.已知两角２.如图Ｋ－３４－1是教学用的三角尺,边AC＝30cm,∠C＝90°,tan∠BAC＝错误!，则边BC 的长为(）图K-３４－１A.3０错误!ｃmB.20 错误!未定义书签。

cmＣ．10 错误!未定义书签。

ｃm D.5 ＼r（3) cｍ3.2０16·牡丹江如图Ｋ-34－2,在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D.若AC=６错误!未定义书签。

，∠Ｃ=４5°，ｔａn∠ＡBC=３，则BＤ的长为( ）A.2 B ．3 C.3 错误! D ．2 错误!未定义书签。

４．如图K －３４-3,在△ＡBC 中,∠C ＝90°，AC =8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ,连接ＢＤ,若cos∠B ＤC =错误!,则ＢC 的长是( ）图K －34－3Ａ．4 cm B ．6 ｃm C ．8 cm D ．10 c ｍ5．在△A ＢC 中，∠C ＝9０°，ｔａn A =错误!,△ABC 的周长为60,那么△ABC 的面积为( ） A.60 Ｂ．3０ C ．240 D ．１２06．如图Ｋ-３４－4，△ABC 中,AB =AC ,AD 是∠BA Ｃ的平分线．已知ＡB =10,tan B ＝错误!,则B Ｃ的长为（ )图K-３4－4Ａ．6 B.８ C ．１2 D.16 二、填空题7．在△ＡＢC 中，∠C =90°,c ｏs A =1２13,BC =1２，那么AC ＝_＿______.8．如图K-３４-5，在菱形ABC Ｄ中，ＤE ⊥AB ，垂足为E ，DE =6，si ｎA ＝错误!未定义书签。

，则菱形ABCD 的周长是 _____＿__ .图K－34-59.已知△ＡBC，O为AC的中点,点Ｐ在AＣ上,若OP＝错误!未定义书签。

九年级数学上册4.3解直角三角形习题1(无答案)湘教版(new)

《解直角三角形》习题一、在直角三角形ABC中(∠C=90°).(1）若已知a、A，则b= ，c= ;（2)若已知b、A，则a= ,c= ；（3）若已知a、B，则b= ，c= ；(4）若已知b、B，则a= ,c= ；(5）若已知c、A,则a= ，b= ；(6)若已知c、B，则a= ，b= ;(7）若已知a、b,则c= ，tan A= ；（8）若已知a、c，则b= ，sin A= ；(9）若已知b、c,则a= ,cos A= 。

二、在△ABC中，∠C=90°，试根据下表中给出的两个数值，填出其他元素的值:尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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4.3 解直角三角形
要点感知1 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫作 .
预习练习1-1 (2013·兰州)△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是( )
A.csinA=a
B.bcosB=c
C.atanA=b
D.ctanB=b
1-2 如图，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，a=6，解这个直角三角形.
知识点解直角三角形
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，∠B=30°，则c 和tanA 的值分别为( )
A.12
B.12 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC 的长为( )
A.7sin35°
B.735cos ︒
C.7cos35°
D.7tan35° 3.如图所示，A ，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠BAC=90°，∠ACB=40°，则AB 等于( )
A.asin40°米
B.acos40°米
C.atan40°米
D.40a tan ︒
米
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)已知∠A和c，则a= ，b= ；
(2)已知∠B和b，则a= ，c= .
5.根据下列条件解直角三角形.
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，∠B=30°；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=9，
6.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且∠C=90°，那么下列结论正确的是( )
A.csinA=a
B.bcosB=c
C.atanA=b
D.ctanB=b
7.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB等于( )
A.m·sinα米
B.m·tanα米
C.m·cosα米
D.
m tan
米
8.(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=3
5
，则斜边上的高等于( )
A.64
25
B.
48
25
C.
16
5
D.
12
5
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，则∠B= °，c= .
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
(1)a=30，b=20；(2)∠B=72°，c=14.
11.∠C=90°，c=0.832 8，b=0.295 4，解这个直角三角形.
12.(2013·无锡)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinA=
25
，求BC 的长和tanB 的值.
13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°点D 为BC 边上一点，且BD=2AD ，∠ADC= 60°，求△ABC 的周长（结果保留根号）.
挑战自我
14.(2012·安徽)如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AB 的长.
参考答案
课前预习
要点感知解直角三角形
预习练习1-1 A
1-2 ∵∠A+∠B=90°，∴∠B=90°-∠A=30°.
∵tanA=a
b ，∴b=a tanA
∵sinA=a
c ，∴c=sinA a =当堂训练 1.D 2.C 3.C 4.(1)csinA ccosA (2)b tanB b s i n B
5.(1)∵∠C=90°，c=10，∠B=30°，∴b=5.∴∴∠A=90°-∠B=60°.
(2)∵∠C=90°，b=9，=
∵sinA=a c =12
，∴∠A=30°，∠B=60°.
课后作业
6.A
7.B
8.B
9.60°10
10=tanA=303202
==1.5，∴∠A ≈56.3°.
∴∠B=90°-∠A ≈33.7°，即，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°.
(2)∠A=90°-72°=18°.
又sinB=
b c ，∴sin72°=14
b .∴b=14×sin72°≈13.3. ∵sinA=a
c ，∴a=14×sin18°≈4.3. 即∠A=18°，b ≈13.3，a ≈4.3.
11.∵sinB=b c =0.29540.8326
≈0.354 7，∴∠B ≈20°47′.∴∠A=90°-∠B ≈90°-20°47′=69°
13′0.778 6.
12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinA=BC AB =2105
BC =，∴BC=4.
根据勾股定理得：=tanB=
AC BC =4=2.
13.在Rt △ACD 中，∠ADC=60°,
∴AD=60AC sin ︒=360sin ︒
=2， ∴BD=2AD=4,
∴2==
=
∴C △ABC 14.过点C 作CD ⊥AB 于点D.
在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，∴CD=
12
由勾股定理得=，
在Rt △BCD 中，∵tan45°=
CD BD
，∴
∴。