优选第二章控制系统的数学模型
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第2章控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念⼀. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从⽽可以抛开系统的物理属性，⽤同⼀⽅法进⾏具有普遍意义的分析研究(信息⽅法)。
从动态性能看，在相同形式的输⼊作⽤下，数学模型相同⽽物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进⾏实验模拟的基础。
⼆. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输⼊、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型⼜包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数⽅程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，⽽且与它过去的⼯作状态有关。
微分⽅程或差分⽅程常⽤作动态数学模型。
动态模型在⼀定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制⼯程中，⼀般关⼼的是系统的动态特性，因此，往往需要采⽤动态数学模型。
即，⼀般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同⼀动态系统，数学模型的表达不唯⼀。
如微分⽅程、传递函数、状态⽅程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这⼀特性，不会随模型形式的不同⽽改变。
线性与⾮线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采⽤的数学模型主要以传递函数为基础。
⽽现代控制理论采⽤的数学模型主要以状态空间⽅程状态空间⽅程为基础。
⽽以物理定律及实验规律为依据的微分⽅程微分⽅程⼜是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间⽅程的基础。
第二章 控制系统的数学模型
例3.位置随动系统的数学模型—— 微分方程
r
c
1
Ra
La
Z1
+
uT u 放大器
ua
if
SM
-
ut
+
TG
负载
Z2
转动惯量JL
-
粘性摩擦fL
任务是控制机械负载，使其位置与输入手柄 的位置相协调。
解：首先确定总输入θr总输出θc
（1）电位器对——也称为电桥，由完全相 同的两个电位器对组成。
作用：用来检测输入θr与输出θc之间的角偏 差，是控制系统中常用的误差检测器之一。
u(t) u (t) ut (t)
输出电压为ua
ua
晶体放大器的特性为：
0
u
由于随动系统总是工作在原点附近的小偏 差范围内，故可以认为放大器工作在线性 段，而大输入信号时出现的饱和非线性可 以忽略，从而得到简化的数学模型
ua (t) kau(t) k a为放大器增益
（3）.直流测速发电机（是控制系统中常 用的校正元件，常与电机同轴安装，用来 测量电机轴的角速度） 它的输入是电机轴的角速度 m (t) d m (t) dt
倍以上，这时认为r0 /RL趋于0，那么电位器
对的数学模型为
u (t) u0 (t) k (t)
说明：当负载阻抗很大时，电位器对的输出
电压uε与两个电位器电刷之间的偏差角
θε成正比。
（2）晶体放大器（控制系统中常用的放大
元件，包括电压放大和功率放大两部分）。
在本题中，放大器的输入电压为u，等于电 位器对的输出电压uε与测速发电机的反馈 电压ut之差
J1
J2 i12
二.非线性元件的线性化
第二章 控制系统的数学模型
2.3
动态结构图：
闭环控制系统的动态结构图
根据系统传递函数绘制，是系统图形化的数学模型。
调节器传递函数 可控硅传递函数 直流电动机传递函数 测速发电机传递函数
U k (s) = K p (1 + 1 / T i s ) ∆U (s) U a (s) Ks G (s) = = U k (s) Tss + 1 Km Ω (s) G (s) = = U a (s) Tm s + 1 U f (s) G (s) = = Kt Ω (s) G (s) =
第二章
控制系统的数学模型
数学模型： 描述自动控制系统输入变量、输出变量和内部变量之间关 系的数学表达式。
动态模型：描述控制系统动态特性的数学模型。 常用的动态模型有：微分方程、传递函数、动态结构图。
2.1
一、传递函数的概念和定义
传递函数
这一概念只适用于线性定常系统。
例. RL电路，ur若作输入，i作输出，求系统传递函数。 解： ①依据系统遵循的电路定理，列写微分方程 Ldi(t) / dt + Ri(t) = Ur(t) ②在零初始条件下，即i(0)=0时,对上式进行拉氏变换 LSI(S)+RI(s)=Ur(S) 传递函数：线性定常系统在零初始条件下， 系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之比 ③由定义，得传递函数 G(S)=I(S)/Ur(S)=1/(LS+R)
三、扰动作用时的闭环传递函数 令 r(t)=0 Φn(s) = Cn(s) / N(s) = G2 / (1+G 1G 2H) Cn(s)= Φn(s) N(s)
系统总输出
C(s) = Cr(s) + Cn(s)
四、闭环控制系统的误差传递函数
第2章 控制系统的数学模型
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第2章 控制系统的数学模型 2.1 线性系统的微分方程 2.2 非线性系统的线性化 2.3 传递函数 2.4 方框图及其变换 2.5 信号流图及其应用 2.6 控制系统的典型传递函数 2.7 用Matlab处理系统数学模型
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2
2.1 线性系统的微分方程
分析法建立系统微分方程的一般步骤： 分析法建立系统微分方程的一般步骤： (1) 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系， 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系， 确定系统的输入量、输出量和中间变量。 确定系统的输入量、输出量和中间变量。 (2) 根据系统 （ 或元件 ） 的基本定律 （ 物理 、 化学定 根据系统（ 或元件） 的基本定律（ 物理、 从系统的输入端开始， 律 ） ， 从系统的输入端开始 ， 依次列写组成系统各元件 的运动方程（微分方程） 的运动方程（微分方程）。 (3) 联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出 联立方程，消去中间变量， 量之间关系的微分方程。 量之间关系的微分方程。 (4) 标准化 。 即将与输出量有关的各项放在方程的左边， 标准化。即将与输出量有关的各项放在方程的左边， 与输入量有关的各项放在方程的右边， 与输入量有关的各项放在方程的右边 ， 等式两边的导数 项按降幂排列。 项按降幂排列。
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3
设有由电阻R，电感L和电容 组成的电路， 和电容C组成的电路 例2-1 设有由电阻 ，电感 和电容 组成的电路，如图2-1所 所 试列写以u 为输入量， 为输出量的微分方程。 示。试列写以 i为输入量，uo为输出量的微分方程。 设回路电流为i， 解 设回路电流为 ，根据基尔霍夫定律
dω J = ∑M dt
Mi ω J f
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第2章 控制系统的数学模型 2.1 线性系统的微分方程 2.2 非线性系统的线性化 2.3 传递函数 2.4 方框图及其变换 2.5 信号流图及其应用 2.6 控制系统的典型传递函数 2.7 用Matlab处理系统数学模型
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2.1 线性系统的微分方程
分析法建立系统微分方程的一般步骤： 分析法建立系统微分方程的一般步骤： (1) 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系， 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系， 确定系统的输入量、输出量和中间变量。 确定系统的输入量、输出量和中间变量。 (2) 根据系统 （ 或元件 ） 的基本定律 （ 物理 、 化学定 根据系统（ 或元件） 的基本定律（ 物理、 从系统的输入端开始， 律 ） ， 从系统的输入端开始 ， 依次列写组成系统各元件 的运动方程（微分方程） 的运动方程（微分方程）。 (3) 联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出 联立方程，消去中间变量， 量之间关系的微分方程。 量之间关系的微分方程。 (4) 标准化 。 即将与输出量有关的各项放在方程的左边， 标准化。即将与输出量有关的各项放在方程的左边， 与输入量有关的各项放在方程的右边， 与输入量有关的各项放在方程的右边 ， 等式两边的导数 项按降幂排列。 项按降幂排列。
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设有由电阻R，电感L和电容 组成的电路， 和电容C组成的电路 例2-1 设有由电阻 ，电感 和电容 组成的电路，如图2-1所 所 试列写以u 为输入量， 为输出量的微分方程。 示。试列写以 i为输入量，uo为输出量的微分方程。 设回路电流为i， 解 设回路电流为 ，根据基尔霍夫定律
dω J = ∑M dt
Mi ω J f
第二章 控制系统的数学模型
= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )
第二章 控制系统的数学模型
L[e at f (t )] F (s a)
1. 线性定理
2. 位移定理 3. 延迟定理 4. 终值定理
L[ f (t )] e s F (s)
lim f (t ) lim sF ( s )
s 0
t
5. 初值定理 6. 微分定理
lim f (t ) lim sF (s)
实验法（基于系统辨识的建模方法）建立系统数 学模型的几个步骤： 1. 已知知识和辨识目的 2. 实验设计--选择实验条件 3. 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 4. 参数估计--最小二乘法 5. 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进 行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定 意义上的接近
输入（已知） 黑匣子 输出（已知）
R2
C2
B1
K1 Xr
Ur
R(b) 电气系统
(a) 机械系统
解： 对机械网络(a)输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，列其 运动方程式
K1 (Xr - X c ) B1 (X r - X c ) K 2 X c B2 X c
( B1 B2 ) X c ( K1 K 2 ) X c B1 X r K1 X r
F ( s) L[sin t ] 2 s 2
6. 单位脉冲函数
0 t 0 f (t ) (t ) t 0 F ( s) L[ (t )] 1
拉氏变换基本定理
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )] a1 F1 (s) a2 F2 (s)
1. 确定系统的输入量和输出量 2. 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递 的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节 的线性化原始方程 3. 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方 程式
1. 线性定理
2. 位移定理 3. 延迟定理 4. 终值定理
L[ f (t )] e s F (s)
lim f (t ) lim sF ( s )
s 0
t
5. 初值定理 6. 微分定理
lim f (t ) lim sF (s)
实验法（基于系统辨识的建模方法）建立系统数 学模型的几个步骤： 1. 已知知识和辨识目的 2. 实验设计--选择实验条件 3. 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 4. 参数估计--最小二乘法 5. 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进 行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定 意义上的接近
输入（已知） 黑匣子 输出（已知）
R2
C2
B1
K1 Xr
Ur
R(b) 电气系统
(a) 机械系统
解： 对机械网络(a)输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，列其 运动方程式
K1 (Xr - X c ) B1 (X r - X c ) K 2 X c B2 X c
( B1 B2 ) X c ( K1 K 2 ) X c B1 X r K1 X r
F ( s) L[sin t ] 2 s 2
6. 单位脉冲函数
0 t 0 f (t ) (t ) t 0 F ( s) L[ (t )] 1
拉氏变换基本定理
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )] a1 F1 (s) a2 F2 (s)
1. 确定系统的输入量和输出量 2. 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递 的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节 的线性化原始方程 3. 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方 程式
第2章 控制系统的数学模型
二、传递函数的特点
(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零 初始条件下进行拉氏变换得到的；
(2)传递函数与微分方程一一对应； (3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统 的内部物理结构的有关信息；
(4)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与 输入信号的形式和大小无关；
(5)传递函数与系统的输入输出的位置有关； (6)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下 的动态特性就确定了。
c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条 件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：
C ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) R( s) a0 s n a1s n 1 an1s an
分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以 G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即 n m ,是有理 真分式，若 m n,我们就说这是物理不可实现的系统。
输入（充分激励）
黑匣子
输出（测量结果）
具体方法：频率特性法:最小二乘 (曲线拟合)法、神经元网 络法、模糊模型法等。 模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。
分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参
数，推导系统输入输出之间数学关系。
C ( s) 传递函数： G ( s ) k R( s )
求G ( s)
V2 ( s) V1 ( s)
Z 2 ( s) G ( s) Z1 ( s) 1 R1 Z1 ( s) R1 // C1s R1C1s 1 1 R2C 2 s 1 Z 2 ( s) R2 C2 s C2 s
第2章控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型
2.1 引言
控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。
一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。
对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。
对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。
解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。
实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。
近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。
本章主要采用解析法建立系统的数学模型。
数学模型有多种形式。
时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。
本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。
22。
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机械旋转系统
电气系统三元件
电阻 电容 电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
RLC 串联网络电路
相似物理系统
2.2 非线性数学模型的线性化
2.2.1 常见非线性模型 2.2.2 线性化问题的提出 2.2.3 线性化方法
2.2.1 常见非线性模型
➢叠加原理：
可加性 齐次性
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
设函数f(t)满足：
1)f(t)实函数；
2)当t<0时 ， f(t)=0；
3)当t0时，f(t)的积分
0
f (t)est dt
在s的某一域内收敛
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
数学模型的形式
➢时间域： 微分方程 差分方程 状态方程
➢复数域： 传递函数 结构图
➢频率域： 频率特性
2.1.2 建立数学模型的基础
微分方程
（连续系统）
y(t),
dy dt
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理
电学：
欧姆定理、基尔霍夫定律
热学：
传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的 准确性和简化
线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性
机械运动系统的三要素
质量 M
弹簧 K
阻尼 B
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
实例
机械平移 机械旋转
机械平移系统
！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。
1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则： 注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。 注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
液面系统线性化
常数！
2.3 拉氏变换及其反变换
2.3.1 拉氏变换的定义 2.3.2 拉氏变换的计算 2.3.3 拉氏变换求解方程
2.3.1 拉氏变换的定义
拉氏反变换的定义 其中L－1为拉氏反变换的符号。
2.3.2.1 拉氏变换的计算
➢指数函数 ➢三角函数 ➢单位脉冲函数 ➢单位阶跃函数 ➢单位速度函数 ➢单位加速度函数 ➢幂函数
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（Euler公式）
幂函数的拉氏变换
阶跃函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
2.3.2.3 拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理
线性定理 叠加定理
比例定理
微分定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
系 统 框 图
2.1.1 数学模型的定义
数学模型：
描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程
建立数学模型的方法： 解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
增量方程
增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始 点，这时，系统所有的初始条件均为零。
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。
多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
单变量函数泰勒级数法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
.... bm1s .... an1s
bm bn
,m
n
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)
原函数的n重积分像函数中除以sn
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)的稳态性质
sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
卷积定理
L f (t) * g(t) f (t) * g(t) estdt 0
控制工程基础
第二章控制系统的数学模型
优选第二章控制系统的数学模 型
School of Automotive study
同济大学汽车学院
2.1 物理系统的数学模型
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础
2.1.1 数学模型的定义
系 统 示 意 图
系 统 框 图
Remember 恒温箱自动控制系统?
f ( x) f (x)
不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。
液面系统(非线性)
是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。
2.2.2 线性化问题的提出 ➢线性系统优点：
✓可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行 分析和设计。
➢线性系统缺点：
✓有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性； ✓非线性系统的分析和综合是非常复杂的。
2.1.1 数学模型的定义
➢ 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 ➢系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。
t u2 u ua n v u t
物理量的变换， 物理量之间的相互关系 信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到最后的平衡状态--稳定运动
线性化定义
将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线 性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
2.2.3 线性化方法
增量 （微小偏差法） 平衡点泰勒展开
非线性方程 局部线性增量方程
假设： 在控制系统整个调节过程
中，所有变量与稳态值之间 只会产生足够微小的偏差。
以微小偏差法为基础，运 动方程中各变量就不是它们 的绝对值，而是它们对额定 工作点的偏差。
t
f (t )g( )d
est dt
t f (t )g( )estd dt
00
00
f (t )g( )estdtd x t g( )es f (x)esxdxd
0
0
0
F (s)G(s)
2.3.2.2 拉氏反变换方法 部分分式法的求取拉氏反变换
F(s)
B(s) A(s)