圆锥曲线典型小题48道
圆锥曲线测试题 小题
圆锥曲线测试题 小题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线)0(42≠=a ax y 的焦点坐标为 （ ）A ．（0,41a） B ．)161,0(a C ．)161,0(a-D ．)0,161(a2．中心在原点，准线方程是4±=x ，离心率是21的椭圆方程为 （ ）A ．1422=+y x B ．14322=+y x C ．13422=+y x D ．1422=+y x 3．双曲线与椭圆1522=+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为（ ）A ．1322=-x y B ．1322=-x y C ．1322=-y x D ．1322=-y x 4．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB|的值为 （ ）A ．738B ．316 C ．38 D ．73165．ab ay bx b y ax b a =+=+-≠≠220,0,0和则方程所表示的曲线可能是 （ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(1122222222>>>=+=-b m a by m x b y a x 和椭圆的离心离互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 7．已知椭圆121)(1222=-+t y x 的一条准线方程为y=8，则t 为 （ ）A ．7或－7B ．4或12C ．1或15D ．08．给出下列曲线①0124=-+y x ，②322=+y x ，③1222=+y x ，④1222=-y x其中与直线32--=x y 有交点的所有曲线是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④9．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足|PF 1|=e|PF 2|，则e 的值为 （ ）A ．22B ．32-C ．33 D ．22-10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为,215+A ，F 分别是它的左顶点和右焦点，设B 点坐标为（0，b ），则∠ABF 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．已知方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围为 . 12．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 .13．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线恰有3条，则λ= .14．抛物线)0(22>=p px y 的动弦长|PQ|为8p ，当PQ 的中点M 到y 轴的距离最小时，直线PQ 的倾斜角为 .一、1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 二、11．),1()2,(+∞---∞ 12．x y 542-= 13．4 14．656ππ或。
圆锥曲线与向量小题
圆锥曲线小题专项训练1．已知抛物线x y 82=的准线与双曲线A,B 两点，双曲线的一条渐近线F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ）2所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸缩变换ϕ为（ ）C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩3的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于则直线AB 的方程是 ( ) ．A ．4．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。
”由此可得如下结论：如右图，过双曲线C ：右支上的点P 的切线l 平分12F PF ∠。
现过原点作l 的平行线交1PF 于M ，则||MP 等于（ ）A ．aB ．b CD ．与点P 的位置有关5e右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2) （ ）A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能6．如图，在ΔABCC ，以A 、H 为焦点的双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 CD7F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使1||||PO PF =，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(1,)+∞ C ．（1，3） D ．[)2,+∞8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A.34 B. 35 C.2 D. 37 9．M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM则直线PN 的斜率的取值范围是( )A ．B ．C ． ]2,8[--D ． ]8,2[ 10．设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆（ ） A 、 B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-. 11．已知实系数方程2(1)10x a x a b +++++=的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，值范围是（ ）A ．(2,1)-- B12．如图，已知点B x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且PM//x 轴，9=⋅BM BP ，若点P 的坐标为（0，t ），则t 的取值范围是（ ）A ．0<t<3B ．0<t ≤3CD ．0<t 13. 已知圆O 的半径为1，PA,PB 为该圆的两条切线，A,B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为（ ）A ．24+-B ．23+-C ．224+-D ．223+-14.已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．15．给定椭圆12222=+by a x ，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则离心率e 的取值范围是_________.向量小题专项训练1．已知向量21e e +=，2122e e -=，则1e 与2e 共线是与共线的（ ）AC =BA A. B. D.值是（ ）A.33 B.22 C.32 D.43 4．如图),(y x P 是边长为1的正方形内的一点，若PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆面积均不小于61，则PAC AP ∠cos ||的最大值为（ ）A ．322 B ．552 C ．32 D ．22 5．如图抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l 经过抛物线C 1的焦点，依次交抛物线C 1，圆C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.p 24 B. p 23 C.p 22D ．p 2 6.若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 . 7已知O 为ABC ∆的外心， 3,2==AC AB ，12=+y x，若y AB x += )0(≠xy ，则=∠BAC cos.8、设O 为△ABC 的内心，当AB=AC=5，BC=6时，n m +=，则n m +的值为________。
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切, 则该双曲线的离心率等于( C )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）62.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l , 点A l ∈, 线段AF 交C 于点B , 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =(A).2 (B). 2 (C).3 (D). 33.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线, 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =u u u r u u u r, 则双曲线的离心率是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．104.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 右顶点为A , 点B 在椭圆上, 且BF x ⊥轴, 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r, 则椭圆的离心率是（ ）A ．3 B ．22 C ．13 D ．125.点P 在直线:1l y x =-上, 若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点, 且|||PA AB =, 则称点P 为“点”, 那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点, 则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.57.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =8.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切, 则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）69.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点, F 为C 的焦点。
第八章 圆锥曲线方程单元检测题(一)椭圆(B)
第八章 圆锥曲线方程单元检测题（一）椭圆（B ）一、选择题（每小题6分，共48分） 1、若椭圆192522=+yx上的点P 到左准线的距离是2.5，则P 到右焦点的距离是（ ）（A ）8 （B ）10 （C ）4.5 （D ）2 2、设点A （－2，3），F 为椭圆1121622=+yx的右焦点，点M 在椭圆上运动，当∣MA∣＋2∣MF ∣取最小值时，点M 坐标为（ ） （A ）（0，23） （B ）（0，－23） （C ）（23，3） （D （－23，3）3、如果直线y=mx+1与椭圆x 2＋4y 2=1只有一个公共点，则m 2的值为（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）43 （D ）544、M 为椭圆上一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，若∠M F 1F 2=2α，∠M F 2F 1=α，（α≠0），则椭圆离心率是（ ）（A ）2cos α－1 （B ）1－2sin α （C ）1－2cos2α （D ）以上都不对 5、如果椭圆4x 2＋y 2=k 上有两点间的最大距离是8，那k=（ ） （A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）4 6、若直线y=x ＋t 与椭圆1422=+yx相交于A 、B 两点，当t 变化时，∣AB ∣的最大值是（ ）（A ）2 （B ）554 （C ）5104 （D ）51027、把椭圆192522=+yx绕其左焦点按逆时针方向旋转90°后所得椭圆的准线方程是（）（A ） y=－49，y=441 （B ）y=49，y=－441 （C ）x=－49 ，x=441 （D ）x=49，x=－4418、在椭圆12222=+by ax 上取三点，其横坐标满足x 1＋x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长分别是r 1，r 2，r 3，则有（ ）（A ）r 1，r 2，r 3成等差数列 （B ）r 1，r 2，r 3成等比数列（C ）11r，21r，31r成等差数列 （D ）11r，21r，31r成等比数列二、填空题（每小题6分，共24分） 9、与椭圆14922=+yx有两个共同的焦点，且过点（3，－2）的椭圆方程是 。
圆锥曲线训练题二
圆锥曲线训练题二一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．双曲线方程为22125x y k k+=--，则k 的取值范围是（ D ）A 、5k >B 、25k <<C 、22k -<<D 、22k -<<或5k >2．点P 是以12,F F 为焦点的椭圆上的一点，过焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ A ）A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线3．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是（ B ）A 、(),0-∞B 、(,2]-∞C 、[0,2]D 、(0,2)4．12,F F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF 的最大值是（C ）A 、4B 、5C 、2D 、15. 设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y ab a b-=的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ B ）A 、[2，3]B 、（1，3]C 、[)3,+∞D 、(]1,26. 已知P 为抛物线24y x =上任一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点A （4，5），|PA|+d 的最小值是（ D ）A、4 B1D 1二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.直线2y k =与曲线2222918k x y k x +=（,0k R k ∈≠）的公共点的个数是48. 已知以11(2,0),(2,0)FF -为焦点的椭圆与直线40x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为9.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是4310．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上的三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++等于 6三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线l 的方程为x =-8，直线l 与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知8MN =，且||2||PM MF =．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求证：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠；(3) 求三角形△ABF 面积的最大值． 11. (1) 解：∵8MN =，∴4a =，又∵||2||PM MF =，∴12e =，∴2222,12c b a c ==-=，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=． …………3分 (2) 证：当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB 方程为8x my =-，代入椭圆方程整理得：22(34)481440m y my +-+=．2576(4)m ∆=-，24834A B m y y m +=+，214434A B y y m =+．则22A B AF BF A B y y k k x x +=+++(6)(6)66(6)(6)A B A B B A A B A B y y y my y my my my my my -+-=+=---- 26()(6)(6)A B A B A B my y y y my my -+=--，而221444826()2603434A B A B mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++ ∴0AF BF k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠． …………8分 (3) 解：12ABF PBF PAFB A S S S PF y y ∆∆∆=-=⋅-= 即：2723(4)16ABFS m ∆==≤=-+当且仅当=，即m =（此时适合于0>∆的条件）取到等号．∴△ABF 面积的最大值是33． …………14分12. 如图椭圆134:22=+y x C 的右顶点是OANB 是矩形（O 为原点），点M E ,（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点在椭圆C 上；（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,问：直线KS 是否经过x 12．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -， 所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分 由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ，所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分 （2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:22=+y x C ， 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -，2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+，直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得 设42)(2212121=-++-=x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与 y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．13．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而 14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即 4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。
(完整word版)圆锥曲线基础知识专项练习
圆锥曲线练习一、选择题（本大题共13小题,共65。
0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A。
k＞1 B.k＜—1C。
-1＜k＜1 D。
-1＜k＜0或0＜k＜12。
方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（—1，2）B。
m∈（-4,2)C。
m∈（-4，-1）∪（—1，2） D.m∈（—1，+∞)3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3 B。
1 C.3 D。
64。
已知椭圆的焦点为（-1,0）和（1，0），点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为（)A. B.C。
D。
5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆”，那么（)A。
甲是乙成立的充分不必要条件B。
甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6。
“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A。
充要条件B。
充分非必要条件C.必要非充分条件D。
既不充分也不必要条件7。
方程+=10,化简的结果是（）A。
+=1 B。
+=1 C.+=1 D。
+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为,则|PF｜=（)A.B。
C.D。
9。
若点P到点F(4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A。
y2=-16x B.y2=—32x C.y2=16x D.y2=32x10。
抛物线y=ax2(a＜0）的准线方程是( ）A.y=—B.y=-C.y=D.y=11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=—3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812。
已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A(0,2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( ）A。
2 B。
C.-1 D。
+113.若直线y=kx—2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（) A。
圆锥曲线经典题目(含答案解析)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE||PF|=2．。
圆锥曲线小题练习
6．过点 作圆 的两条切线,切点分别为 , ,则直线 的方程为.
7．若直线 与直线 平行，则 =
8．若双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的焦点坐标是_____________.
9．已知直线l1：4x﹣3y+16=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1的距离为d1，动点P到直线l2的距离为d2，则d1+d2的最小值为
圆锥曲线小题训练
1．已知定点P(3，2)及直线 ，点Q是直线l在第一象限内的点，PQ交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，则△OMQ面积的最小值为
2．过点（﹣2，1），倾斜角的余弦值为 的直线方程为．
3．若椭圆 的焦点在x轴上，则k的取值范围为．
4．过点M 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__ __
17．一条渐近线方程为 ，焦点（4,0），则双曲线的标准方程为______________.
18．如果实数x，y满足 ， 恒成立，则 的取值范围是____________.
19．过点 作直线 交椭圆 于 两点，若点 恰为线段 的中点，则直线 的方程为．
20．双曲线 的渐近线方程为．
21．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2 ，则a＝__________.
22．与圆（x－2）2＋（y＋1）2＝4外切于点A（4，－1）且半径为1的圆的方程为________．
23．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点F1（﹣c，0），右焦点F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使|PF1|=2c，∠F1PF2=30°，则该椭圆的离心率e为．
24．如果对任何实数k，直线（3＋k）x＋（1-2k）y＋1＋5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．
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典型小题1- 1双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4典型小题1- 2如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0典型小题1- 3以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对典型小题1- 4过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+典型小题1- 521,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7B ．47 C ．27 D ．257 典型小题1- 6以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=典型小题1- 7设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定典型小题1- 8若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．1(,)44±B ．1(,84±C ．1(,44D ．1(,84典型小题1- 9椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为A ．20B ．22C ．28D ．24典型小题1- 10若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2典型小题1- 11与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 典型小题1- 12若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）典型小题1- 13椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。
典型小题1- 14双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。
典型小题1- 15若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。
典型小题1- 16对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。
典型小题1- 17若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________．典型小题1- 18设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________。
典型小题1- 19椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。
典型小题1- 20双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为__ _。
典型小题1- 21若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则AB =______。
典型小题1- 22若直线1y kx =-与双曲线224x y -=始终有公共点，则k 取值范围是 。
典型小题1- 23．已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线28y x =上的点到直线AB 的最段距离为__________。
典型小题1- 24已知定点(A -，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，则过椭圆上一点M 使2AM MF +取得最小值时点M 的坐标为 。
典型小题1- 25抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)Pxy为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最 小值是（ ）A ．12B ．C ．D ．典型小题1- 26已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．B ．C ．D ．典型小题1- 27已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32典型小题1- 28已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD典型小题1- 29已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A B ．2 C ．115D ．3典型小题1- 30已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为，则此双曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．典型小题1- 31椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）22y px =F 22179x y -=x K A |||AK AF AFK 22221(0,0)x y a b a b-=>>,M N O OM ON ⊥)0,5(1-F (0,2)1422=-y x 1422=-y x 13222=-y x 12322=-y x 2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C P 12F F P ∆CA ．B ．C ．D ． 二、填空题典型小题1- 32在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．典型小题1- 33已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且过点(2,3)，则它的渐近线方程为 .典型小题1- 34若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 .典型小题1- 35如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 .典型小题1- 36已知椭圆的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则△的面积是______．典型小题1- 37以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.典型小题1- 38在抛物线上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则。
典型小题1- 39抛物线24y x =上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离||4MF =，则点M 的横坐标 x = .典型小题1- 40在抛物线)0(22>=p px y 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 .12(,)331(,1)22(,1)3111(,)(,1)32222221(0,0)x y a b a b-=>>y =e 22142x y +=1F 2F P 12||||2PF PF -=12PF F 221916x y -=px y 22==p典型小题1- 41已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为。
典型小题1- 42已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是（Ⅰ）求椭圆的方程；典型小题1- 43在平面直角坐标系xOy 中，点E 到两点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之和为E 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）写出C 的方程；典型小题1- 44知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；典型小题1- 45已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；典型小题1- 46已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；典型小题1- 47已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b +=>>的右顶点(2,0)A ，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；典型小题1- 48已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点 （Ⅰ）求椭圆的标准方程；22221a b χγ-=221259χγ+=C x 1)2P C。