第二节 动能 动能定理
必修2 动能定理
平抛运动
第二步：抓好关键点，找出突破口
小物块能通过“8”字轨道最高点 D 点的临界速度为 vD＝0，A 到 D，由动能定理求初速度的最小值；A
至 J 由动能定理求出小物块通过 J 点的速度，再由平抛运动的规律求落地点到 J 点正下方的水平距离； 分析两种情况：①小物块恰过“0”字最高点 G，由重力提供向心力。小物块 A 至 G 由动能定理列式， 求出“0”字轨道半径 R′。 ②小物块恰到达“0”字轨道半径高度时速度为零，运用动能定理求出“0”字轨道半径 R′，再得到“0”字 轨道半径 R′的范围。
A.W1>W2，F＝2Ff C.P1<P2，F>2Ff
B.W1＝W2，F>2Ff D.P1＝P2，F＝2Ff
2.如图 9 甲所示，一质量为 4 kg 的物体静止在水平地面上，让物体在随位移均匀减小的水平推力 F 作用下开始运动，推力 F 随位移 x 变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5， (取 g＝10 m/s2)，则下列说法正确的是( )
应用动能定理解题的基本思路
1.如图 5 所示，质量为 m 的小球，从离地面 H 高处从静止开始释放，落到地面后继续陷入泥中 h 深 度而停止，设小球受到空气阻力为 f，重力加速度为 g，则下列说法正确的是( ) A.小球落地时动能等于 mgH B.小球陷入泥中的过程中克服泥的阻力所做的功小于刚落到地面时的动能 C.整个过程中小球克服阻力做的功等于 mg(H＋h) D.小球在泥土中受到的平均阻力为 mg(1＋H)
科学思维——动能定理的综合应用 物理计算题历来是高考拉分题，试题综合性强，涉及物理过程较多，所给物理情境较复杂，物理模型 较模糊甚至很隐蔽，运用的物理规律也较多，对考生的各项能力要求很高，为了在物理计算题上得到 理想的分值，应做到细心审题、用心析题、规范答题。 【例】 (2018·3 月浙江温州选考适应性考试)如图 11 所示，某玩具厂设计出一个“2018”字型的竖直 模型玩具，固定在足够长的水平地面上，四个数字等高，“2”字和“8”字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成， 过“2”字出口 H 点的竖直虚线与“2”字上半圆相切，“0”字是半径为 R 的单层光滑圆轨道，“1”字是高度 为 2R 的具有左右两条通道的光滑竖直细管道，所有轨道转角及连接处均平滑，H、F、B、C 间的距 离分别为 3R、3R、2R。一小物块(可视为质点)分别从“1”字轨道 A 端的左、右两侧通道进入模型开始 运动，小物块与 FB、BC 段轨道的动摩擦因数μ1＝0.4，与 HF 段轨道的动摩擦因数μ2＝0.15，已知 R ＝1 m。
第2课时 动能定理
【审题突破】
①Ek－h 图象中斜率表示什么？ ②如何计算瞬时功率？
③当力随位移均匀变化时如何计算功？
图5
【例 2】若物体质量 m＝1 kg，上升了 1 m 高度时 撤去拉力，撤去拉力前物体的动能 Ek 与上升高 度 h 的关系图象如图乙所示．(g 取 10 m/s2，不 计空气阻力)
(1)求物体上升到 0．4 m 高度处 F 的瞬时功率． (2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落 下，钉子获得 20 J 的动能向下运动．钉子总长为 10 cm．撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重 力．已知钉子在插入过程中所受阻力 Ff 与深度 x 的关系图象如图丙所示，求钉子能够插入的最大 深度．
图5
解析 (1)撤去 F 前，根据动能定理，有 (F－mg)h＝Ek－0 由题图乙得，斜率为 k＝F－mg＝20 N 得 F＝30 N 又由题图乙得，h＝0．4 m 时，Ek＝8 J， 则 v＝4 m/s P＝Fv＝120 W
(2)碰撞后，对钉子， 有－ Ff x′＝0－Ek′ 已知 Ek′＝20 J Ff ＝k′2x′ 又由题图丙得 k′＝105 N/m 解得：x′＝0．02 m
(1)2 J (2)35 N (3)2.77 m
(1)小球到达 B 点时的速率； (2)若不计空气阻力，则初速度 v0 为多少； (3)若初速度 v0＝3 gL，则小球在从 A 到 B 的过程中克服空气阻力做了多少功．
图3
解析 (1)小球恰能到达最高点 B，
有
mg＝mvLB
2
，得
vB＝
g2L．
2
(2)若不计空气阻力，从 A→B 由动能 定理得
－mg(L＋L2)＝12mvB2－12mv0 2
3．明确研究对象在过程的初末状态的动能 Ek1 和 Ek2； 4.列动能定理的方程 W 合＝Ek2－Ek1 及其他必要的解题方
第2讲动能动能定理
2mg的两球速度大小为v2，由动量守恒定
律知mv1＝2mv2
④
飞出轨道后两球做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线
运动，有2R＝v2t
⑤
综合②③④⑤式得v＝的判断及计算 【例题】 一质量为 m 的小球用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点， 小球在水平力 F 作用下，从平衡位置 P 点缓慢地移动，当悬线 偏离竖直方向θ角到达 Q点时，如图5－2－7 所示，则水平力F 所做h，A 选项正确；由动能 定理知小车受到的合力做的功等于小车动能的增加，W 合＝ΔEk ＝12mv2，B 选项正确；由动能定理，W 合＝W 推＋W 重＋W 阻＝12mv2， 所以推力做的功 W 推＝12mv2－W 阻－W 重＝12mv2＋mgh－W 阻，C 选项错误；阻力对小车做的功 W 阻＝12mv2－W 推－W 重＝12mv2＋ mgh－Fs，D 选项错误．
答案：A智浪教育--普惠英才热点1 运用动能定理解决多过程问题 【例1】(2010 年全国卷Ⅱ)如图 5－2－3，MNP 为竖直面 内一固定轨道，其圆弧段 MN 与水平段 NP 相切于 N，P 端固定 一竖直挡板．M 相对于 N 的高度为 h，NP 长度为 s.一物块自 M 端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停 止在水平轨道上某处．若在 MN 段的摩擦可忽略不计，物块与 NP 段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求物块停止的地方与 N 点距 离的可能值．
如果某个力对物体做负功，则加负值．
②位移和速度，必须是相对于同一个参考系，一般以地面
为参考系．智浪教育--普惠英才2．动能定理的运用 (1)动能定理中涉及的物理量有 F、s、m、v、W、Ek 等，在 涉及含有上述物理量的问题时，可以考虑使用动能定理．由于 动能定理只需考虑过程中力做功的情况和初、末状态的动能， 而无需考虑运动状态的细节，所以运用动能定理解题，往往比 用牛顿运动定律要简便．用动能定理还能解决一些牛顿运动定 律难以求解的问题，如变力做功，曲线运动等，所以解题时， 应优先考虑用动能定理．
第2讲动能定理及其应用
第2讲动能定理及其应用思维诊断(1)动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能．()(2)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化．()(3)动能不变的物体所受合外力一定为零．()(4)做自由落体运动的物体，动能与下落距离的平方成正比．()(5)物体做变速运动时动能一定变化．()考点突破2.动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力．3．合外力对物体做正功，物体的动能增加；合外力对物体做负功，物体的动能减少；合外力对物体不做功，物体的动能不变．4．高中阶段动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系．5．适用范围：直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、各个力同时做功、分段做功均可用动能定理．mv2变式训练1如图所示，木盒中固定一质量为m的砝码，木盒和砝码在桌面上以一定的初速度一起滑行一段距离后停止．现拿走砝码，而持续加一个竖直向下的恒力F(F＝mg)，若其他条件不变，则木盒滑行的距离()A．不变B．变小C．变大D．变大变小均可能＝Mv＋.显然考点二动能定理的应用1.应用动能定理解题的步骤：2．注意事项：(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学研究方法要简便．(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理没有任何依据．(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解．(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为－W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号．[例2]如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功W f；(2)小船经过B点时的速度大小v1；(3)小船经过B点时的加速度大小a.2m1－④点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为＋1－－2m1－＋1－－f m考点三用动能定理处理多过程问题优先考虑应用动能定理的问题(1)不涉及加速度、时间的问题．(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题．(3)变力做功的问题．(4)含有F、l、m、v、W、E k等物理量的力学问题．[例3]如图是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径R＝2 m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量m＝2 kg的小车与水平轨道之间的动摩擦因数为μ＝0.5，加速阶段AB的长度l＝3 m，小车从A点由静止开始受到水平拉力F＝60 N的作用，在B点撤去拉力，取g＝10 m/s2.试问：(1)要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在C点的速度为多少？(2)满足第(1)的条件下，小车能沿着出口平直轨道CD滑行多远的距离？(3)要使小车不脱离轨道，求平直轨道BC段的长度范围．[解析](1)设小车恰好通过最高点的速度为mg＝mv20R①变式训练3如图所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h＝0.8 m，质量为m＝2 kg的小物块M从斜面顶端A处由静止滑下，从O点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C.已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g＝10 m/s2，下滑时逆着毛的生长方向．求：(1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)．(2)若物块M能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？(3)物块M在斜面上下滑过程中的总路程．示的物理意义．(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点，图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题．或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．A．2 m/sB．8 m/s类题拓展质量均为m的两物块A、B以一定的初速度在水平面上只受摩擦力而滑动，如图所示是它们滑动的最大位移x与初速度的平方v20的关系图象，已知v202＝2v201，下列描述中正确的是()A．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是对B做功的2倍B．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是v2H H⎛⎫11质点在轨道最低点时受重力和支持力，根据牛顿第三定律可知，支持力2R，得v＝gR.对质点的下滑过程应用动能定理，，C正确．．甲车的刹车距离随刹车前的车速v变化快，甲车的刹车性能好乙车与地面间的动摩擦因数较大，乙车的刹车性能好．以相同的车速开始刹车，甲车先停下来，甲车的刹车性能好。
第二节 动能 动能定理
Ek
=
1 2
mv2
（2）动能定理的公式： W = Ek2 Ek1
物理（电工电子类）(修订版)
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek2 Ek1
物理（电工电子类）(修订版)
第二章 机械能
动能定理 合外力对物体所做的功，等于物体动能 的变化量。这一关系叫做动能定理。
动能定理的公式： W = Ek2 Ek1
Ek1和Ek2分别表示物体具有的初动能和末动能，而初 动能和末动能只与初速率和末速率有关，与物体运动的 路径无关。
FN v 1
v2
F Ff
G
s
作用在物体上的合外力为F–Ff ，它对物体做的功为 W = (F Ff )s
物理（电工电子类）(修订版)
第二章 机械能
由牛顿第二定律有：F Ff = ma
由匀变速直线运动公式有： s = v22 - v12
2a
所以 W = (F Ff )s
= ma v22 - v12 2a
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
物理（电工电子类）(修订版)
第二章 机械能
说明 应用动能定理解题的基本思路 选取研究对象， 分析研究对象的受力情况和各力做功情况，明确物体 在过程始末状态的动能Ek1和Ek2。根据动能定理列方程 求解。
物理（电工电子类）(修订版)
第二章 机械能
例题 在我国黑龙江省举办的第24届世界大学生冬季 运动会上，在亚布力雪场进行的高山滑雪比赛，雪道落 差为912 m。质量为60 kg的运动员，在山顶由静止滑下如 图所示。问运动员滑下时的最大速度是多少？（阻力忽 略不计）
物理（电工电子类）(修订版)
第二章 机械能
《动能和动能定理》 讲义
《动能和动能定理》讲义一、引入在我们的日常生活和物理学的研究中，经常会遇到物体运动的情况。
当物体运动时，它就具有了一种能够做功的能力，这种能力被称为动能。
那么，什么是动能？动能的大小与哪些因素有关？动能定理又是什么呢？接下来，让我们一起深入探讨这些问题。
二、动能的定义动能，简单来说，就是物体由于运动而具有的能量。
一个物体的动能与其质量和速度的平方成正比。
如果用字母Ek 表示动能，m 表示物体的质量，v 表示物体的速度，那么动能的表达式可以写成：Ek ＝ 1/2 mv²。
从这个表达式可以看出，物体的质量越大，速度越快，它所具有的动能就越大。
例如，一辆高速行驶的汽车比一辆缓慢行驶的自行车具有更大的动能；一个质量较大的铅球比一个质量较小的乒乓球在相同速度下具有更大的动能。
三、动能定理动能定理是物理学中一个非常重要的定理，它描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。
当一个力作用在物体上，并且使物体在力的方向上发生了位移，这个力就对物体做了功。
力所做的功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积。
假设一个物体受到一个恒力 F 的作用，在力的方向上移动的距离为s，那么力 F 所做的功 W ＝ Fs 。
根据牛顿第二定律 F ＝ ma （其中 a 是物体的加速度），以及运动学公式 v² v₀²＝ 2as （其中 v 是末速度，v₀是初速度），我们可以推导出动能定理的表达式。
对 v² v₀²＝ 2as 进行变形，得到：s ＝（v² v₀²) ／ 2a 。
将 s ＝（v² v₀²) ／ 2a 代入 W ＝ Fs 中，得到：W ＝ F ×（v² v₀²) ／ 2a 。
又因为 F ＝ ma ，所以 W ＝ ma ×（v² v₀²) ／ 2a ，化简后得到：W ＝ 1/2 mv² 1/2 mv₀²。
第2讲 动能定理及其应用
用，在 0～6 s 内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分
别如图所示。下列说法中正确的是(g 取 10 m/s2)
()
A．0～6 s 内拉力做的功为 140 J B．物体在 0～2 s 内所受的拉力为 4 N C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为 0.5 D．合外力在 0～6 s 内做的功与 0～2 s 内做的功相等
()
A．FL＝12Mv2
B．Fs＝12mv2
C．Fs＝12mv20－12(M＋m)v2
D．F(L＋s)＝12mv20－12mv2
解析：根据动能定理，对子弹，有－F(L＋s)＝12mv2－12mv20，选项 D 正确； 对木块，有 FL＝12Mv2，选项 A 正确；由以上二式可得 Fs＝12mv20－12(M ＋m)v2，选项 C 正确，只有选项 B 错误。 答案：ACD
联立解得：t＝
2L gsin θ－μ1cos θ
可见， t 与 m 无关，小华与小明下滑的时间相同。
[答案] (1)2.4 m (2)2 2 m/s (3)见解析
[规律方法] (1)在恒力作用下的直线运动问题可以应用牛顿运动定律与运动学公式结合求
解，也可以应用动能定理求解。 (2)在不涉及时间的问题中，可优先考虑应用动能定理。 (3)动能定理中的位移和速度均是相对于同一参考系的，一般以地面为参考系。
(2)冲上斜面的过程，由动能定理得 －mgLsin 30°＝0－12mv2A 解得冲上斜面 AB 的长度 L＝5 m。 [答案] (1)5 2 m/s (2)5 m
考法(四) 动能定理与 v-t、P-t 图像的合
[例 4] (多选)放在粗糙水平地面上质量为 0.8 kg 的物体受到水平拉力的作
(1)求滑梯的高度 h； (2)若小明裤料与滑板间的动摩擦因数 μ1＝13，求他从滑梯上由静止滑到底 端的瞬时速度大小； (3)若体重比小明重、穿相同裤料的小华，从滑梯上由静止滑到底端，有 人认为小华滑行的时间比小明长。这种说法是否正确？简要说明理由。
第2课 动能 动能定理及其应用
第2课动能动能定理及其应用考点一动能1．定义．物体由于运动而具有的能．2．表达式．E k＝12mv2．3．物理意义．动能是状态量，是标量(填“矢量”或“标量”)．4．单位．焦耳，符号J．5．动能的相对性．由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性．6．动能的变化．物体末动能与初动能之差，即ΔE k＝12mv22－12mv21.考点二动能定理1．内容．合力对物体所做的功等于物体动能的变化．2．表达式．(1)W＝ΔE k；(2)W ＝E k2－E k1；(3)W ＝12mv 22－12mv 21． 3．物理意义．合外力做的功是物体动能变化的量度．4．适用条件．(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．(2)即适用于恒力做功，也适用于变力做功．(3)力可以是各种性质的力，即可以同时作用，也可以不同时作用．1．光滑斜面上有一小球自高为h 的A 处由静止开始滚下，抵达光滑的水平面上的B 点时速度大小为v 0，光滑水平面上每隔相等的距离设置了一个与小球运动方向垂直的活动阻挡条，如图所示，小球越过n 条活动阻挡条后停下来．若让小球从h 高处以初速度v 0滚下，则小球能越过活动阻挡条的条数为(设小球每次越过活动阻挡条时克服阻力做的功相同)(B )A ．nB ．2nC ．3nD ．4n解析：设每条阻挡条对小球做的功为W ，小球自高为h 的A 处由静止开始滚下，根据动能定理，有：mgh ＝12mv 20，nW ＝0－12mv 20；小球自高为h 的A 处以初速度v 0滚下，根据动能定理，有：mgh －n′W＝0－12mv 20；以上三式联立解得：n′＝2n. 2．质量m ＝1 kg 的物体，在水平拉力F(拉力方向与物体初速度方向相同)的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4 m时，拉力F 停止作用，运动到位移是8 m 时物体停止，运动过程中E k s 的图线如图所示．(g 取10 m/s 2)求：(1)物体的初速度多大；(2)物体和水平面间的动摩擦因数为多大；(3)拉力F 的大小．解析：(1)由图象知：E k0＝12mv 20＝2 J ；代入数据得：v 0＝2 m/s ；故物体的初速度为2 m/s.(2)4～8 m 内，物体只受摩擦力作用，由动能定理得：－μmgx 2＝0－E k1；代入数据得：μ＝E k1mgx 2＝101×10×4＝0.25； 故物体和水平面间的动摩擦因数为0.25.(3)0～4 m 内，由动能定理得：Fx 1－μmgx 1＝E k1－E k0；代入数据得：F ＝4.5 N ．故拉力F 的大小为4.5 N.答案：(1)2 m/s (2)0.25 (3)4.5 N3．如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t ＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则(C)A．t 1时刻小球动能最大B．t2时刻小球动能最大C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能解析：在t1时刻，小球刚好与弹簧接触，重力大于弹力，合外力与速度方向一致，故小球继续加速，即小球动能继续增加，A项错；在t2时刻弹簧弹力最大，说明弹簧被压缩到最短，此时，小球速度为零，B项错；t2～t3过程中，弹簧从压缩量最大逐渐恢复到原长，在平衡位臵时，小球动能最大，所以小球的动能先增大后减小，C项正确；t2～t3过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故小球增加的动能与重力势能之和等于弹簧减少的弹性势能，D项错．课时作业一、单项选择题1．如图所示，质量为m的物体静止于倾角为α的斜面体上，现对斜面体施加一水平向左的推力F ，使物体随斜面体一起沿水平面向左匀速移动x ，则在此匀速运动过程中斜面体对物体所做的功为(D )A ．FxB ．mgxcos αsin αC ．mgxsin αD ．0解析：由于物体做匀速运动，其处于平衡状态．物体动能和势能在运动过程中都不发生变化，故根据动能定理知合外力对物体做功为零．而重力做功为零，所以斜面体对物体做功为零，故应选D.2．如图所示，固定斜面倾角为θ，整个斜面分为AB 、BC 两段，AB ＝2BC.小物块P(可视为质点)与AB 、BC 两段斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2.已知P 由静止开始从A 点释放，恰好能滑动到C 点而停下，那么θ、μ1、μ2间应满足的关系是(B )A ．tan θ＝μ1＋2μ23B ．tan θ＝2μ1＋μ23C ．tan θ＝2μ1－μ2D ．tan θ＝2μ2－μ1解析：由动能定理得mg·AC·sin θ－μ1mgcos θ·AB －μ2mgcosθ·BC ＝0，则有tan θ＝2μ1＋μ23，B 项正确． 3．人用手托着质量为m 的物体，从静止开始沿水平方向运动，前进距离x 后，速度为v(物体与手始终相对静止)，物体与人手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为(D )A ．mgxB ．0C．μmgx D.12mv2解析：物体与手掌之间的摩擦力是静摩擦力，静摩擦力在零与最大值μmg之间取值，不一定等于μmg.在题述过程中，只有静摩擦力对物体做功，故根据动能定理，摩擦力对物体做的功W＝12mv2.4．构建和谐型、节约型社会深得民心，节能器材遍布于生活的方方面面．自动充电式电动车就是很好的一例．电动车的前轮装有发电机，发电机与蓄电池连接．当骑车者用力蹬车或电动自行车自动滑行时，自行车就可以连通发电机向蓄电池充电，将其他形式的能转化成电能储存起来．现有某人骑车以500 J的初动能在粗糙的水平路面上滑行，第一次关闭自动充电装置，让车自由滑行，其动能随位移变化关系如图中图线①所示；第二次启动自动充电装置，其动能随位移变化关系如图线②所示，则第二次向蓄电池所充的电能是(A)A．200 J B．250 JC．300 J D．500 J解析：滑行时阻力F f恒定，由动能定理对图线①有：ΔE k＝F f x1，x1＝10 m.对图线②有：ΔE k＝F f x2＋E电，x2＝6 m.所以E电＝410ΔE k＝200 J，故A正确．5．如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，则从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是(A )A ．mgh －12mv 2 B.12mv 2－mgh C ．－mgh D ．－(mgh ＋12mv 2) 解析：由A 到C 的过程运用动能定理可得：－mgh ＋W ＝0－12mv 2，所以W ＝mgh －12mv 2，所以A 正确． 二、不定项选择题6．如图所示，板长为l ，板的B 端静放有质量为m的小物体P ，物体与板间的动摩擦因数为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体保持与板相对静止，则这个过程中(CD )A ．摩擦力对P 做功为μmg cos α·l(1－cos α)B ．摩擦力对P 做功为mgsin α·l(1－cos α)C ．支持力对P 做功为mglsin αD ．板对P 做功为mglsin α解析：对物体运用动能定理：W 合＝W G ＋WF N ＋W 摩＝ΔE k ＝0，所以WF N ＋W 摩＝－W G ＝mglsin α.因摩擦力的方向(平行于木板)和物体速度方向(垂直于木板)始终垂直，对物体不做功，故斜面对物体做的功就等于支持力对物体做的功，即WF N ＝mglsin α，故C 、D 正确．7．人通过滑轮将质量为m 的物体，沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h ，到达斜面顶端的速度为v ，如图所示，则在此过程中(BD )A ．物体所受的合外力做功为mgh ＋12mv 2B ．物体所受的合外力做功为12mv 2C ．人对物体做的功为mghD ．人对物体做的功大于mgh解析：物体沿斜面做匀加速运动，根据动能定理有W 合＝W F －W f －mgh ＝12mv 2，其中W f 为物体克服摩擦力做的功．人对物体做的功即是人对物体的拉力做的功，所以W 人＝W F ＝W f ＋mgh ＋12mv 2，A 、C 两项错误，B 、D 两项正确．8．两根光滑直杆(粗细可忽略不计)水平平行放置，一质量为m 、半径为r 的均匀细圆环套在两根直杆上，两杆之间的距离为3r ，如图甲所示为立体图，如图乙所示为侧视图．现将两杆沿水平方向缓慢靠近直至两杆接触为止，在此过程中(BD )A ．每根细杆对圆环的弹力均增加B ．每根细杆对圆环的最大弹力均为mgC ．每根细杆对圆环的弹力均不做功D ．每根细杆对圆环所做的功均为－14mgr 解析：本题考查物体平衡的动态分析和动能定理．以圆环为研究对象，由于两杆始终处于同一水平面，因此两杆对环的作用力大小始终相等，且它们的合力始终等于环的重力，即合力F 是一定值，当两杆水平靠近时，两个弹力与竖直方向的夹角变小，根据三角形边与角的关系可知，两个弹力逐渐变小，A 项错误；因此开始时两杆相距3r 时弹力最大，由几何关系可知，这时F N ＝F ＝mg ，B 项正确；在缓慢移动的过程中，圆环的重心下降r 2，设两个弹力做的功各为W ，则根据动能定理，2W ＋mgr 2＝0，则W ＝－14mgr ，D 项正确．9．如图所示，质量为M 、长度为L 的木板静止在光滑的水平面上，质量为m 的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用一水平恒力F 作用在小物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动．已知物体和木板之间的摩擦力为F f .当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为x ，则在此过程中(ABC )A ．物体到达木板最右端时具有的动能为(F －F f )(L ＋x)B ．物体到达木板最右端时，木板具有的动能为F f xC ．物体克服摩擦力所做的功为F f (L ＋x)D ．物体和木板增加的机械能为Fx解析：由题意画示意图可知，由动能定理对小物体：(F －F f )·(L ＋x)＝12mv 2，故A 正确．对木板：F f ·x ＝12Mv 2，故B 正确．物块克服摩擦力所做的功F f ·(L ＋x)，故C 正确．物块和木板增加的机械能12mv 2＋12Mv 2＝F·(L ＋x)－F f ·L ＝(F －F f )·L ＋F·x ，故D 错误． 10．如图所示为某探究活动小组设计的节能运动系统．斜面轨道倾角为30°，质量为M 的木箱与轨道的动摩擦因数为36.木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m 的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程．下列选项正确的是(BC )A ．m ＝MB ．m ＝2MC ．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度D ．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能解析：受力分析可知，下滑时加速度为：gsin θ－μg cos θ，上滑时加速度为：gsin θ＋μg cos θ，所以C正确．设下滑的距离为l，根据能量守恒有：μ(m＋M)glcos θ＋μMgl cos θ＝mglsin θ，得：m＝2M；B正确．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D错误．三、非选择题11．如图所示，竖直固定放置的斜面DE与一光滑的圆弧轨道ABC相连，C为切点，圆弧轨道的半径为R，斜面的倾角为θ.现有一质量为m的滑块从D点无初速下滑，滑块可在斜面和圆弧轨道之间做往复运动，已知圆弧轨道的圆心O与A、D在同一水平面上，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，求：(1)滑块第一次至左侧AC弧上时距A点的最小高度差h.(2)滑块在斜面上能通过的最大路程s.解析：(1)由动能定理得：mgh－μmgcos θ·Rtan θ＝0，得h＝μRcos2θsin θ＝μR cos θcot θ.(2)滑块最终至C点的速度为0时对应在斜面上的总路程最大，由动能定理得：mgRcos θ－μmg cos θ·s＝0，得：s＝R μ.答案：(1)μR cos θcot θ(2)Rμ12．如图所示，一半径为R 的半圆形轨道BC 与一水平面相连，C 为轨道的最高点，一质量为m 的小球以初速度v 0从圆形轨道B 点进入，沿着圆形轨道运动并恰好通过最高点C ，然后做平抛运动．求：(1)小球平抛后落回水平面D 点的位置距B 点的距离；(2)小球由B 点沿着半圆轨道到达C 点的过程中，克服轨道摩擦阻力做的功．解析：(1)小球刚好通过C 点，由牛顿第二定律mg ＝m v 2C R小球做平抛运动，有2R ＝12gt 2，s ＝v C t 解得小球平抛后落回水平面D 点的位臵距B 点的距离s ＝2R.(2)小球由B 点沿着半圆轨道到达C 点，由动能定理－mg·2R －W f ＝12mv 2C －12mv 20 解得小球克服摩擦阻力做功W f ＝12mv 20－52mgR.答案：(1)2R (2)12mv 20－52mgR 13．如图所示，倾角θ＝37°斜面上，轻弹簧一端固定在A 点，自然状态时另一端位于B 点，斜面上方有一半径R ＝1 m 、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于D 处，圆弧轨道的最高点为M.现有一小物块将弹簧缓慢压缩到C 点后释放，物块经过B 点后的位移与时间关系为x ＝8t －4.5t 2(x的单位是m ，t 的单位是s)，若物块经过D 点后恰能到达M 点，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：(1)物块与斜面间的动摩擦因数μ；(2)BD 间的距离x BD .解析：(1)由x ＝8t －4.5t 2知，物块在B 点的速度v 0＝8 m/s ，从B到D 过程中加速度大小a ＝9 m/s 2，由牛顿第二定律得：a ＝F m gsin 37°＋μg cos 37°，得：μ＝38. (2)物块在M 点的速度满足mg ＝m v 2M R，物块从D 到M 过程中，有：12mv 2D ＝mgR(1＋cos 37°)＋12mv 2M，物块在由B 到D 过程中，有：v 2D －v 20＝－2ax BD ，解得：x BD ＝1 m.答案：(1)38 (2)1 m。
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第二节动能动能定理
教学目标
1．使学生进一步理解动能的概念，掌握动能的计算式
2．结合教学，对学生进行探索研究和科学思维能力的训练
3．理解动能定理的确切含义，应用动能定理解决实际问题．
教学难点
应用动能定理解决实际问题
教学课时2课时
教学过程
一、动能
如果一个物体能够对外界做功，我们就说这个物体具有能。
我们在初中学过，物体由于运动而具有的能量叫做动能。
水车利用的就是河水的动能。
那么，动能的大小跟哪些因素有关呢？
让滑块A从光滑的导轨上滑下，撞到一个静止的木块B上，推动木块做功。
让同一个滑块从不同的高度滑下，可以看到，高度越高，滑块滑下的速度越大，把木块推得越远，对木块做功越多；让质量不同的滑块从同一高度滑下，滑块滑下的速度相同，可以看到，质量越大的滑块把木块推得越远，对木块做的功越多。
实验表明，物体的质量越大，速度越大，它的动能就越大。
那么，怎样定量地表示动能的大小呢？
通过大量精确的实验，人们发现：一个质量为m，速度为v的物体，它的动能等于物体的质量与速度二次方乘积的一半。
用E k表示动能，则有
动能是标量，它的SI单位是J。
[例题1] 一个质量为60 kg的人以10 m/s的速度奔跑；
一颗质量为0.010 kg的子弹以800 m/s的速度射出；人和子弹
相比，哪一个的动能大？
解：根据动能的定义式，人的动能是
子弹的动能是
通过比较可知，子弹比人的动能大。
二、动能定理
如果一个质量为m，初速度为v1的物体，受到外力F的作用，并在力的方向上产生了一个位移s，而物体的末速度变为v2。
从功和能的角度看此过程，外力对物体做了功W，物体的动能发生了变化。
它们之间的关系为
即合力做的功等于物体动能的变化，这个结论叫做动能定理。
例如，一辆汽车启动时，在牵引力和阻力的共同作用下开始加速，动能越来越大。
牵引力和阻力的合力做正功，汽车的动能增加；当汽车刹车时，在阻力的作用下开始减速，动能越来越小。
阻力的做了负功，汽车的动能增加了一个负值，即动能减少了。
[例题2] 汽车的制动性能，是衡量汽车性能的重要指标。
在一次汽车制
动性能的测试中，司机踩下刹车，使汽车在阻力作用下逐渐停止运动。
下表中记录的是汽车在不同速度行驶时，制动后所经过的距离。
1．为什么汽车的速率越大，制动的距离也越大？
2．让汽车载上3名乘客，再做同样的测试，结果发现制动距离加长了。
试分析原因。
3．设汽车在以60 km/h的匀速率行驶的时候（没有乘客）制动，在表中填上制动距离的近似值。
试说明你分析的依据和过程。
解：1．以汽车为研究对象。
在制动过程中，刹车产生的阻力对汽车做负功，汽车制动后的末速度是零。
假设汽车制动时的阻力不变，由动能定理可知：
汽车制动前的速率越大，初动能就越大，制动时阻力做的负功也越多，因而制动过程中经过的距离也越长。
2．载上3名乘客的汽车，质量增加了，在速率相同的情况下，初动能也增加了。
假设汽车制动时的阻力不变，由动能定理可知，制动距离也会随着增加。
3．由于不知道汽车的质量及其制动过程中的阻力大小，所以不能直接求解。
但是我们通过分析动能定理和表中的数据发现，制动距离与汽车速率的平方成正比，因此可以得出当汽车速率为60 km/h时的制动距离是36 m。
当公路上行驶的车辆意外发生碰撞时，它们的损坏程度和事故的严重性跟碰撞前车辆的动能大小有关，而车辆的动能则取决于车辆的质量和速度的平方。
因此在公路上，尤其是在高速公路上，都有限制车速的标志。
货车、客车的质量较大，对它们速度大小的限制值要比轿车小一些。
例如，高速公路对中、重型车辆和客车的车速限制一般是100 km/h，对轿车一般是120 km/h。
机在开车时要时刻注意与前面的车辆保持一定的距离，防止发生追尾事故。
要知道汽车速度提高1倍，制动距离要增加3倍。
当你以50 km/h的速度行驶时，需要与前车保持大约50 m的制动距离；当你以100 km/h的速度行驶时，则需要与前车保持200 m的制动距离。
练习2-2
1．把一辆汽车的速度从0加速到10 m/s，和从10 m/s加速到20 m/s，哪种情况做的功多？
答案：把汽车的速度从10 m/s加速到20 m/s做的功多。
2．质量为2.0 kg的小车在光滑的水平路面上行进了2.5 m，速度从0 增大到5 m/s。
小车所受的水平推力为多少？
答案：10 N。
3．一足球运动员把一个质量为0.5 kg的球踢出去，脚对球的冲力是700 N，
球离脚时的速度为10 m/s，球沿地面滚动了25 m后停止。
求：（1）该运动员踢球所做的功为多少？
（2）球滚动过程中克服阻力做的功为多少？球所受的平均阻力为多少？
答案：（1）25 J；（2）25 J ，1 N。